文档文本内容
随机抽样、频率分布直方图及样本的数
字特征
考点1
专题10 概率、统计及随机变量分布列
5 大考点概览
题型01 随机抽样、频率分布直方图及样本的数字特征
题型02 一元线性回归模型
题型03 列联表与独立性检验
题型04 古典概型、条件概率及全概率公式
题型05 离散型随机变量期望、方差及其分布列
一、单选题
1．（2026·广西崇左·二模）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有
的学生喜欢足球，
的学生喜欢篮球，
的学生既喜欢足球又喜欢篮球.若对只喜欢足球和只喜欢篮球的学生用等比
例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取的样本中只喜欢足球的学生有3 人，则抽取的样本中只
喜欢篮球的学生有（ ）
A．3 人
B．4 人
C．6 人
D．9 人
2．（2026·河南开封·二模）某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的4000 张图片进
行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比
为
，现采用分层抽样的方法抽取容量为n 的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾
图片比有害垃圾图片多25 张，则
（ ）
A．80
B．100
C．120
D．160
3．（2026·天津和平·二模）如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直
方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·云南玉溪·二模）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取
名居民进行问
卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出如下频率分布直方图，若
的频率为
，
的值为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
5．（2026·山东德州·二模）一组不全相等的数据
的平均数为
，方差为
；设新数
据
的平均数为
，方差为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知数据
、
、
、
的平均数
，方差为
．设
，数据
、
、
、
的方差为
，数据
、
、
、
、
、
、
、
的方差为
，下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·湖南·二模）在一次数学考试中，有一道满分为15 分的立体几何题．某学习小组6 名同
学这题的得分为
，且有
，已知这6 名同学的80%分
位数和平均分都是12 分，则该6 名同学答题得分的极差为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．（2026·浙江宁波·二模）某中学校园十佳歌手比赛中，7 位评委对某歌手的评分分别为
，记为数组
，将数组
中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5 个有
效评分记为数组
，对这两个数组进行比较，有（ ）
A．极差相同
B．方差相同
C．
分位数相同
D．平均数相同
9．（2026·河北邢台·二模）某小商品生产企业对2025 年1 月到11 月甲，乙两个车间的产量（单位：
百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（ ）
A．乙车间产量的中位数为6 月份的产量
B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差
C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值
D．甲车间产量的第80 百分位数大于乙车间产量的第80 百分位数
10．（2026·广东江门·二模）某工厂抽检了100 个零件，并统计了这些零件的直径（单位：
）
数据，得到如下表格：
直径/mm
46
47
48
49
50
51
52
53
54
频数
5
8
12
15
20
18
12
6
4
由表可知这100 个零件的直径的第60 百分位数为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·山东滨州·二模）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”
竞赛活动，并对200 位参赛学生的综合表现进行评分.学生得分的频率分布直方图如图所示，根据
图中数据，估计得分的第80 百分位数为（ ）
A．78
B．82
C．85
D．88
12．（2026·天津河北·二模）数列
是各项均为正数的等差数列，且公差
；数列
是各项
均为正数的等比数列，且公比
，若项数均为
项（
，
），下列说法错误的是
（ ）
A．数据
，
，
，…，
的平均数是
；
B．数据
，
，
，…，
的平均数是
；
C．若
，
，则数据
，
，
，…，
的中位数大于数据
，
，
，…，
的中位数：
D．若
，
，则数据
，
，
，…，
的平均数大于数据
，
，
，…，
的平均数.
二、多选题
13．（2026·安徽淮南·二模）已知一组大小不等的数据
的平均数为
，方差为
，标
准差为，极差为
，若
，则下列关于数据
的结论正确的是（ ）
A．平均数为
B．方差为
C．标准差为
D．极差为
14．（2026·辽宁抚顺·二模）
是空气中的细小污染物，其浓度（单位：
）越高，空气
质量越差，浓度越低，空气质量越好.我国现行
国家标准规定：若
日平均浓度不超过
35，则当天空气质量等级为“优”；若
日平均浓度超过35 但不超过75，则当天空气质量等
级为“良”.某城市一周内
日平均浓度如下表，则（ ）
星期
一
二
三
四
五
六
日
日平均浓
度
34
27
43
23
45
26
19
A．该城市这周共有5 天的空气质量等级为“优”
B．该城市这周
日平均浓度数值的40%分位数为27
C．该城市这周
日平均浓度数值的极差为28
D．该城市这周
日平均浓度数值的平均数为31
15．（2026·河北保定·二模）为助力“北斗卫星导航系统”相关科普项目的校园推广，某校“科创
社”统计了8 个小组完成北斗卫星模型拼装的时长
(单位：分，
)，同时统计了另一
所学校“科创社”8 个小组完成同款模型拼装的时长
(单位：分，
).已知点
与
点
关于直线
对称，且
的中位数为
，极差为
，平均数为
，方差为
，则
关于数据
，下列说法正确的是（ ）
A．中位数为
B．极差为
C．平均数为
D．方差为
16．（2026·贵州贵阳·二模）为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机
接口操作实验，实验评分部分满分10 分．随机抽取10 名参与实验的高三学生的操作得分（单位：
分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（ ）
A．该样本的70%分位数为7 分
B．该样本的极差为5 分
C．用样本均值估计总体均值，其值约为7 分
D．用样本方差估计总体方差，其值约为1.8
三、填空题
17．（22-23 高一下·四川乐山·期末）王老师为了了解本班学生每周购买零食的支出情况，利用分
层抽样抽取了一个10 人的样本，统计结果如下：
人数
平均支出（元）
方差
男生
6
35
6
女生
4
40
4
则该班学生每周购买零食的支出的总方差为______．
18．（2026·陕西·二模）中山大学X 同学参加了今年3 月组织的考研复试测试，共有5 名考官打分，
如果去掉一个最高分和最低分，则X 同学的平均成绩为95.8；如果仅去掉一个最低分，则X 同学的
平均成绩为96.6；如果仅去掉一个最高分，则X 同学的平均成绩为94 分．如果5 位考官的成绩都
保留，则X 同学的平均分为_____．
19．（2026·上海徐汇·二模）已知实数
满足
，则
的方差的最大值为
__________.
四、解答题
20．（2026·山东淄博·二模）下图是某校高一学生“运动与健康”评价得分的频率分布直方图，评
分在区间
，
，
，
上，分别对应A，B，C，D 四个等级.为了进一步加
强学生对运动与健康的重视，初评获A 等级的学生不参加复评，等级不变；对其余学生学校将进行
一次复评.复评中，原获B 等级的学生有
的概率提升为A 等级；原获C 等级的学生有
的概率提
升为B 等级；原获D 等级的学生有
的概率提升为C 等级，未提升等级的保持等级不变.假设用频
率估计概率，且每名学生复评结果相互独立.
(1)求该校高一学生“运动与健康”评价得分的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）；
(2)若初评中甲获得B 等级，乙、丙获得C 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B 等级的人数为
X，求X 的分布列和数学期望
；
(3)从全体高一学生中任选1 人，在已知该学生是复评提升等级的条件下，求该学生初评是B 等级
的概率.
21．（2026·北京昌平·二模）为了培养学生的
应用能力和创新思维，提高学生的科学素养，某学
一元线性回归模型
考点2
校开展了人工智能课程.为了解该校学生对相关人工智能课程的兴趣程度，对学生进行了简单随机
抽样，获得数据如下表：
非常感兴趣
一般感兴趣
不感兴趣
合计
小学
20 人
40 人
40 人
100 人
初中
50 人
30 人
20 人
100 人
合计
70 人
70 人
60 人
200 人
假设小学生和初中生每人对人工智能课程的兴趣程度互不影响. 用频率估计概率.
(1)从该校初中生中随机抽取3 名同学，估计这3 名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”
的概率；
(2)规定：每名“非常感兴趣”的学生记5 分，每名“一般感兴趣”的学生记3 分，每名“不感兴
趣”的学生记1 分. 根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，按照学生人数比例先从样本中的小
学生中抽取了10 人，再从这10 人中随机抽取2 人．记
为这2 人的得分之和，求
的分布列和数
学期望；
(3)记样本中的小学生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为
，
其方差为
；样本中的初中生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为
，其方差为
；
的方差为
．写出
的大小关系．结论不要求证明.
一、单选题
1．（2026·湖北孝感·二模）为了研究物理成绩
与数学成绩
之间的关系，随机抽取
名学生的
成绩，用最小二乘法得到
关于
的线性回归方程为
，则样本点
的残差为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·陕西商洛·二模）已知某种商品的广告费支出
（单位：万元）与销售额
（单位：万
元）之间有如下对应数据：
4
6
7
8
根据上表可得经验回归方程
，据此估计，当投入
万元广告费时，销售额为（ ）
A．
万元
B．
万元
C．
万元
D．
万元
3．（2026·江西九江·二模）已知变量
与
线性相关，现收集了5 组样本数据如下表．
1
2
3
4
5
10
15
19
23
28
根据上表可得线性回归方程为
，则
（ ）
A．4
B．4.4
C．4.5
D．5
4．（2026·广东清远·二模）已知线性相关的两个变量
的取值如表所示，如果其线性回归方程为
，则
（ ）
3
4
6
7
20
40
80
A．50
B．60
C．70
D．75
5．（2026·福建莆田·二模）为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小
组随机调查了50 名学生，得到成对样本数据
，其中
表示每日自主阅读时间
（单位：小时），
表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为
.下列说法
正确的是（ ）
A．该样本数据的相关系数为5.2
B．当阅读时间每增加1 小时，语文成绩平均增加5.2 分
C．该样本数据中，至少有一个点
在回归直线上
D．若某学生每日阅读时间为2 小时，则他的语文成绩一定为
分
6．（2026·天津河西·二模）某研究小组为了探究变量x 与y 之间的线性相关关系，收集了5 组数据
，（
），并绘制成如图所示的散点图（点A，B，C，D，E）.经计算，这5 组数
据的样本相关系数为r.若去掉点
后，剩余4 组数据的样本相关系数为
，则下列结论正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·河北沧州·二模）某校研究性学习小组收集了某地区近几年的某种经济指标
与年份
的
数据，经计算得经验回归方程为
．若
年该经济指标的实际值为
，则残
差为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·山东济宁·二模）用模型
拟合一组数据，令
，若根据样本数据计算
可得
，
，且
与
的经验回归方程为
，则
（ ）（参考数据
，
）
A．1.2
B．0.92
C．0.3
D．0.4
9．（2026·河北沧州·二模）某数字档案馆为推进古籍数字化，引进了一套基于图像处理的扫描仪，
专门用于扫描古籍页面.该扫描仪配备了实时数据采集系统，能够自动记录每次扫描的页面数量与
扫描时间.为了建立扫描页面数量与时间之间的预测模型并优化扫描仪参数设置，技术员进行了5
次扫描，收集数据如下表所示：
扫描页面数量x
100
200
300
400
500
扫描时间y/
min
8
15
24
30
38
由上表数据求得y 关于x 的经验回归方程为
，据此估计扫描
页古籍所需时间为
（ ）
A．70.5min
B．72.5min
C．73.5min
D．75.5min
10．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气
温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正
确的是（ ）
A．小明根据散点图判断气温与日期无相关关系
B．小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为
，其中x 为日
期（3 月1 日为
，3 月31 日为
）
C．小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱
D．小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关
二、多选题
11．（2026·山东德州·二模）下表是我国2021 年至2025 年生活垃圾无害化处理量
（单位：亿
吨）与年份代码
（1-5 分别对应2021-2025）的相关数据.根据表中数据求得
关于
的经验回归方
程为
，则（ ）
1
2
3
4
5
12
18
25
30
34
A．
与
正相关
B．回归直线过点
C．
D．预测2030 年生活垃圾无害化处理量为60 亿吨
12．（2026·福建厦门·二模）为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即
时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5 场直播带货的数据，如下表所示：
直播间展示时长
1
2
3
4
5
即时下单量
12
18
25
30
34
若
与
的经验回归方程为
，样本相关系数为，则（ ）
A．
B．回归直线过点
C．
D．当直播间展示时长为10 分钟时，即时下单量的值估计为63
13．（2026·四川攀枝花·二模）某公司近5 年的利润情况如下表所示：
第
年
1
2
3
4
5
利润
/亿元
2
3
4
5
7
利用最小二乘法计算数据，得到的经验回归方程为
，则（ ）
A．变量
与
正相关
B．回归直线一定过点
C．
D．预测该公司第7 年的利润约为9 亿元
14．（2026·新疆·二模）某电子商城统计了最近5 个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示：
时间x（月份）
1
2
3
4
5
销量y（百台）
0.3
0.4
0.6
0.7
0.9
若y 与x 线性相关，且经验回归方程为：
，则下列说法正确的是（ ）
A．变量x，y 正相关
B．
C．可以预测当
时，商城内该电脑的销量为1 百台
D．当
时，残差为
15．（2026·广东深圳·二模）某公司统计了去年1 月份到5 月份某种产品的销售额如下表：
月份
1
2
3
4
5
销售额
万
元
1.8
2.2
2.8
3.1
根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为
，则（ ）
A．变量
与
正相关
B．
C．样本数据
的下四分位数为1.8
D．当
时，
的预测值为4.1 万元
三、填空题
16．（2026·山东滨州·二模）已知变量
和变量
的一组成对样本数据为
，
其中
，其回归直线方程为
，当增加两个样本数据
和
后，经重新计算得
到新回归直线的斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据
所对应的残差为
__________.（残差
观测值预测值）
四、解答题
17．（2026·河北沧州·二模）某新能源汽车4S 店在某平台开启了直播销售，星期一至星期五的五个
工作日内，直播时长x（小时）与直播时在线观看人数y（百人）如下表：
星期
一
二
三
四
五
直播时长x（小时）
2
5
6
4
8
直播时在线观看人数y（百
人）
4
8
9
7
16
附：样本相关系数
经验回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
，
，
，
.
(1)试根据样本相关系数r 的值判断该直播的在线观看人数y（百人）与直播时长x（小时）的线性
相关性的强弱（若
，则认为y 与x 的线性相关性较强；若
，则认为y 与x 的线性
相关性较弱）.
(2)利用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程，并预测直播时长为10 小时时的在线观看人数.
18．（2026·广东佛山·二模）近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生
成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，
某研究机构对2025 年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了14 款进行标准化测试，由测试
数据得到下面的散点图：
(1)用频率估计概率，根据2025 年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026 发布的大
模型是多模态模型的概率；
(2)若t 为时间变量，y 为分数，根据多模态模型数据
（
，2，3，4，5，6，
表示
2025 年1 月份，
表示2025 年6 月份，…），计算得
，
，
.
（i）建立y 关于t 的线性回归方程；
（ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为
，该区域的某家企业在2026 年4 月发
布了1 款标准化测试得分为68 分的大模型，定义统计量
，Q 值越小的大模型发生的可
能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
，
.
19．（2026·山东青岛·二模）随着新能源产业的快速发展，某新能源车企凭借技术创新与市场扩张，
实现近7 年利润持续增长，其利润情况如下表所示（单位：亿元）.
第
年
1
2
3
4
5
6
7
利润
/亿元
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)建立
关于
的一元线性回归模型，求出其经验回归方程，并预测该新能源车企第10 年的利润；
(2)若用另一个非线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到的经验回归方程的残差平方和为
0.62，根据残差平方和的值，分析该非线性经验回归方程与（1）所求的线性经验回归方程哪一个
拟合效果更好，并说明理由.
参考公式和数据：经验回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
20．（2026·安徽芜湖·二模）某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，
天的人园游客量统计数据如下：
活动开展第
天
人园游客量
（百人）
(1)由数据看出，可用线性回归模型拟合
与
的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），
并推断相关程度的强弱；
(2)求经验回归方程
以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差）
(3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、
②、③的概率依次为
、
、
；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为
，从另两个通道离
园的概率均为
，求游客从通道①离园的概率.
附：参考公式：相关系数
；回归直线方程
，其中
，
；
参考数据：
，
，
，
.
21．（2026·上海静安·二模）下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表．
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码x
1
2
3
4
5
年销售量у（万
台）
2
3.5
2.5
8
9
(1)用计算器计算净化器的年销售量y 关于年份代码x 的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两
位小数）
(2)为了调查A、B 两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B 两地区的人群中分别
进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2 列联表．
知晓
不知晓
合计
A 地区
80
20
100
B 地区
40
60
100
合计
120
80
200
试根据表中数据判断A、B 两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著
水平
）
列联表与独立性检验
考点3
附：关于回归方程
，回归系数的计算公式
，其中
为样本点的
中心；
的计算公式
；
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828
一、单选题
1．（2026·天津南开·二模）下列说法中，正确的是（ ）
A．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大
B．在回归分析中，
为0.98 的模型比
为0.99 的模型拟合的效果更好
C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低
D．根据分类变量
与
的成对样本数据，计算得到
，根据小概率值
的
独
立性检验
，可判断
与
有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05
二、多选题
2．（2026·江西抚州·二模）某校团委对“学生性别和是否喜欢运动的关联性”进行了一次调查，
其中被调查的男女生人数相同，男生中喜欢运动的人数占男生人数的
､
，女生中喜欢运动的人数
占女生人数的
，若有
的把握，但没有
的把握认为“学生性别和是否喜欢运动有关”，
则被调查的男生人数可能为（ ）
附：
，其中
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A．25
B．45
C．60
D．75
3．（2026·山东聊城·二模）某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120 名
高血压患者按年龄分为“中青年组（<60 岁）”和“老年组（
岁）”，记录用药后的疗效
（“有效”“无效”），得到如下列联表：
患者
疗效
总计
有效
无效
中青年组
10
40
50
老年组
40
30
70
总计
50
70
120
附：
，其中
．
0.10
0.05
0.025
0.01
2.706
3.841
5.024
6.635
则下列说法中正确的有（ ）
A．若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7 人，再从这7 人中随机抽取2 人，则至少抽到1 名
“无效”患者的概率为
B．从所有患者中随机抽取1 人，设事件
“该人在中青年组”，事件
“该药对此人有
效”，则事件A 与B 相互独立
C．根据小概率值
的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错
误的概率不超过
D．若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所得
值比原
值大
4．（2026·湖南常德·二模）下列说法正确的是（ ）
A．样本数据2，3，3，4，7，8，10，18 的第80 百分位数为10
B．样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数的值越大
C．根据分类变量
与
的成对数据，计算得到
，依据
的独立性检验，
结论为变量
与
不独立
D．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域内
三、填空题
5．（2026·上海·二模）某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，
收集了相关数据，绘制了
列联表，设原假设
：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格
个数没有影响，计算出统计量
，已知
，则在显著性水平
下，
推断的结论为________
．（用“拒绝”或“接受”填空）
四、解答题
6．（2026·浙江·二模）睡眠是人体生理活动的基本阶段，良好的睡眠质量能够保证身体健康、增
强免疫力、提高工作和学习的效率.某科研小组为了研究平均每天使用电子产品的时间
（单位：
h）对睡眠质量的影响，对100 位志愿者平均每天使用电子产品的时间和睡眠质量进行了调研，并
统计得到了如下表格：
轻度睡眠障碍人数
1
2
3
1
2
重度睡眠障碍人数
4
3
6
4
4
睡眠质量良好人数
25
25
11
5
4
总人数
30
30
20
10
10
(1)由表中的数据求这100 人平均每天使用电子产品时间的估计值（同一组中的数据用该组区间的
中点值代表）；
(2)从这100 人中随机抽取一人，求此人在轻度睡眠障碍的前提下，平均每天使用电子产品的时间
在
内的概率；
(3)若平均每天使用电子产品的时间大于等于4 小时为超标.按所给数据，完成下面列联表，并根据
小概率值
的独立性检验，能否认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关.
睡眠质量
平均每天使用电子产品的时间
合计
超标
不超标
良好
障碍（包括轻度和重
度）
合计
100
附：
，
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
7．（2026·贵州贵阳·二模）某兴趣小组对高二某次数学测试成绩进行随机调查，将选考物理的学生
记为A 类，选考历史的学生记为B 类，并从这两类学生中各随机抽取100 名考生的成绩，整理得数据
如下表（单位：人）：
分类\成绩
A 类男生
10
30
20
B 类男生
20
23
7
A 类女生
10
22
8
B 类女生
21
22
7
(1)把成绩在
称为“及格”，成绩在
称为“不及格”，在A 类男生与B 类男生中各抽
取一名，估计他们数学成绩都及格的概率；
(2)填写下面
列联表，并根据小概率值
的独立性检验，分析该年级A 类考生的本次考试
成绩及格是否和性别有关？
及格
不及格
合计
A 类男生
A 类女生
合计
(3)把每一类学生是否及格的频率作为概率，如果A 类男生，A 类女生，B 类男生，B 类女生占全年
级学生的比例分别为42%，40%，8%，10%，从全年级考生中随机抽取一位学生，求这位学生考试
成绩不及格的概率．
附：
，
0.05
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
8．（2026·江西·二模）羽毛球运动在我国是非常受大众喜爱的一项运动，但自2023 年以来，由于
多种原因，羽毛球价格经历多轮上涨，部分高端型号涨幅甚至超过同期黄金涨幅，越来越多的球友
直呼快打不起球了．我国某著名体育厂商抓住这个历史机遇推出了人造羽毛球，名为碳音球，这款
羽毛球采用碳纤维复合材料替代天然羽毛，其飞行轨迹与击球手感接近天然羽毛球，但价格却只有
天然羽毛球的60%到70%，该羽毛球一经上市便引起热烈反响，但舆论对其评价褒贬不一．某市场
调查机构调查了男性和女性各100 名羽毛球爱好者对碳音球和天然羽毛球的偏好程度，现统计得出
样本中偏好碳音球的人数占样本总数的45%，其中偏好碳音球的女性羽毛球爱好者有50 人．
偏好碳音球
偏好天然羽毛
球
合计
男性
女性
50
合计
200
(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并分析是否有90%的把握认为两种羽毛球的偏好与性
别有关?
(2)现从男性羽毛球爱好者中按对碳音球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10 人，然后
从这10 人中随机抽取3 人参加有奖问答，记3 人中偏好碳音球的人数为
，求
的分布列和数学
期望．
(3)若某羽毛球俱乐部的男女比例为3：2．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，
已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率．
附：
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
9．（2026·广西桂林·二模）智能驾驶辅助系统是指利用车载传感器、控制器等装置、实现环境感
知、规划决策与运动控制，辅助驾驶员完成部分驾驶操作，提升行车安全性与舒适性的系统，驾驶
员仍需全程监管车辆并随时接管驾驶：驾龄是指初次领取机动车驾驶证至今的时间长度、为研究智
能驾驶辅助系统使用情况与驾龄的关系，随机调查了200 名私家车车主，得到如下列联表：
经常使用智能驾驶辅助系
统
不经常使用智能驾驶辅助系
统
合
计
驾龄≤5
年
58
42
100
驾龄＞5
年
36
64
100
合计
94
106
200
(1)从这200 名车主中随机抽取1 人，已知该车主驾龄不超过5 年，求该车主经常使用智能驾驶辅助
系统的概率；
(2)根据小概率值
的独立性检验，分析智能驾驶辅助系统使用情况是否与驾龄有关.
附：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
10．（2026·河北·二模）人工智能大模型已成为新一代数字技术核心，某企业自主研发了人工智能
大模型
，为了比较其与传统人工智能模型
的文本生成效果，随机抽取
两种模型各
次文
本生成效果，已知每次文本生成效果分为有效生成与无效生成两种情况，且部分统计数据如下表.
有效生成
无效生成
合计
模型
模型
合计
(1)完成
列联表，并以样本估计总体，频率估计概率，若利用模型
随机生成次文本，求该文
本生成效果为有效生成的概率；
(2)根据小概率值
的独立性检验，判断文本生成效果与模型类型是否有关.
附
11．（2026·山东泰安·二模）为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运
动时间，从2000 名学生中随机抽取了100 名学生进行调查，得到的数据如表所示
日均运动时间（小时）
男生人数
5
20
20
10
女生人数
15
20
6
4
(1)该校高三2000 名学生中，日均运动时间不足1 小时的学生约为多少人？
(2)估计该校高三学生日均运动时间的平均数；
(3)根据小概率值
的独立性检验，能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5 小时”
与“性别”有关联？
附
，其中
.
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
12．（2026·河北邯郸·二模）2026 年马年春晚是
大模型与节目结合最多的一场春晚，其中大模
型“豆包”贯穿整场晚会．为了了解人们对大模型“豆包”应用的关注程度，现随机抽取不同年龄
段的1000 人进行调查统计，得到如下
列联表：
年龄
“豆包”应用
合计
不关注
关注
不超过50 岁
400
600
超过50 岁
300
合计
1000
(1)完成
列联表，并依据小概率值
的独立性检验，判断人们对大模型“豆包”应用的
关注程度是否与年龄有关联；
(2)从不超过50 岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6 人，从这6 人中随机抽取2 人做进
一步的访谈，记抽到的2 人中关注“豆包”应用的人数为X，求X 的分布列和数学期望．
附：
，其中
．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
13．（2026·上海徐汇·二模）为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏
好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆（如健身房､体育中心）和社区公共运动场（如
小区健身点､街心公园）两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民
分为青壮年组（
岁且
岁）和中老年组（
岁），从该区随机抽取170 名成年居民进行调
查，得到如下不完整的
列联表：
青壮
年
中老年
合计
商业健身场馆
60
社区公共运动场
50
合计
80
170
(1)请补充
列联表，并根据表中数据判断能否有
的把握认为年龄与居民健身场所的选择有
关；
(2)用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14 个人，再从14 个人中随机抽取7 个人，
用随机变量
表示这7 个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求
的分布和数学期望.
参考公式及数据：
，其中
.
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
14．（2026·吉林长春·二模）为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，
随机测量了50 名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计
整理各组人数如下列联表（单位：人）．
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
男
8
24
32
女
12
6
18
合计
20
30
50
(1)依据
的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？
(2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率．
附：
，其中
．
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
15．（2026·山东济宁·二模）随着量子计算技术的突破，传统密码的安全性受到挑战.某实验室为研
究“量子算力等级”与“密码破译成功率”的关系，进行了模拟测试，统计数据如下：
量子算力等级
密码破译成功
密码破译失败
合计
高算力量子机
64
16
80
低算力量子机
36
24
60
合计
100
40
140
(1)依据小概率值
的独立性检验，即认为密码破译成功率是否与量子算力等级有关；
(2)该实验室使用两台不同算力的量子机（记高算力量子机为A 机、低算力量子机为B 机）对同一
套传统密码进行破译测试，已知A 机单次破译成功的概率为
，失败的概率为
；B 机单次破译成
功的概率为
，失败的概率为
；两台机器的破译过程相互独立.测试方案：先随机选择一台机器
进行第一次破译，选中A 机的概率为
，选中B 机的概率为
；若第一次破译成功则停止测试；
若第一次破译失败，则换用另一台机器进行第二次破译，无论第二次破译是否成功都停止测试，求
破译成功的概率.
附：
，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
16．（2026·广西南宁·二模）中考体育成绩关系到考生最终的中考分数，广西多地将1000 米跑
（男）、800 米跑（女）作为必考项目．某校体育老师对自己所带一个班的学生进行1000 米跑
（男）、800 米跑（女）测试，通过统计，整理数据得到如下
列联表：
男生
女生
合计
达标
24
18
42
不达标
11
7
18
合计
35
25
60
(1)试估计该班的达标率；
(2)根据小概率值
的独立性检验，分析成绩是否达标与学生性别有关．
参考公式：
，
．
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
17．（2026·四川攀枝花·二模）某学校对学生是否喜欢跑步锻炼进行调查，随机抽取男女学生共n
人进行问卷调查，统计得到如下
列联表：
喜欢
不喜欢
合计
男生
100
20
女生
20
合计
n
若采用比例分配的分层随机抽样从这n 人中抽取5 人，则有男生3 人，女生2 人．
(1)求
以及这
人中喜欢跑步锻炼的概率；
(2)根据小概率值
的独立性检验，能否认为学生喜欢跑步锻炼与其性别有关？
(3)用样本估计总体，将频率视为概率，从该校全体学生中随机抽取2 人，记其中喜欢跑步锻炼的
人数为X，求X 的数学期望.
附：
，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
18．（2026·安徽滁州·二模）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100
位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷
调查.经统计这100 位居民的网购消费金额均在区间
内，按
，
，
，
，
，
分成6 组，其频率分布直方图如图所示.
(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
(2)将网购消费金额不少于20 千元的人称为网购迷，补全下面的2×2 列联表，并判断有多大把握认
为“是否为网购迷与性别有关系”；
网购人群类别
性别
合计
男
女
网购迷
20
非网购迷
45
合计
100
(3)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统
计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
类别
网购总次数
支付宝支付次
数
银行卡支付次
数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
古典概型、条件概率及全概率公式
考点4
乙
90
60
18
12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2 次，记两人采用支付宝支付的次数之和为
，
求
的数学期望.
附：
.
0.1
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．（2026·广西河池·二模）《我爱古诗词》是某卫视推出的大型传统文化竞技类节目，旨在弘扬
中华诗词文化、考验选手诗词储备与临场应变能力．某机构为了解大学生喜欢《我爱古诗词》是否
与性别有关，对某校
名大学生进行问卷调查，得到如下列联表：
喜欢
不喜欢
合计
男生
女生
合计
(1)判断在犯错误的概率不超过
的前提下能否认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关，并说明理
由；
(2)已知在参与问卷调查的大学生中有
名是大一学生，其中
名喜欢《我爱古诗词》．现从这
名
大一学生中随机抽取
人，设抽到喜欢《我爱古诗词》的人数为
，求
的分布列与数学期望．
附：
，
（
结果精确到
）．
一、单选题
1．（2026·四川达州·二模）“本福特定律”又称“首位数字定律”，是一条关于自然界和人类社
会中大量数据的首位数字分布概率的统计规律：一个数的首位数字是
的概率为
，据此可知，一个数的首位数字是3 的概率与首位数字是5 的概率之差约为（参考数据：
）（ ）
A．0.046
B．0.023
C．0.262
D．0.131
2．（2026·山东威海·二模）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为0.75，
连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为不优良的概
率是（ ）
A．0.85
B．0.8
C．0.2
D．0.15
3．（2026·福建南平·二模）某智能助手回答问题数据统计如下：理学类占总提问的40%，回答正确
率为90%；文史类占总提问的60%，回答正确率为80%，用频率估计概率，则该助手回答问题正确
的概率为（ ）
A．0.72
B．0.8
C．0.84
D．0.9
4．（2026·山东菏泽·二模）已知甲袋中有3 个红球和2 个白球，乙袋中有2 个红球和3 个白球.从甲
袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·浙江台州·二模）设一个随机事件的样本空间为
，事件
，则下列结论中不一
定成立的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
6．（2026·河北保定·二模）若两个随机事件
相互独立，满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·河南开封·二模）某同学每周进行两次游泳训练，每次游趟或
趟，第一次游趟或
趟的概率均为
，若第一次游趟，则第二次游趟的概率为
，游
趟的概率为
；若第一
次游
趟，则第二次游趟的概率为
，游
趟的概率为
．若一周至少游
趟为训练量达标，
则该同学一周训练量达标的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·四川德阳·二模）某知识过关题库中有
三种难度的题目数分别为
，其
中小明完成
型题目的正确率分别为
，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2026·山东青岛·二模）箱子中有
个大小相同的球，编号分别为
．按如下
方式从箱子中不放回地取球：第一次随机取出一个球，若该球的编号为
，则第二次
随机一次取出
个球．记完成上述两次取球后编号为
的球被取出的概率为
，
设
，则（ ）
A．
B．
为定值
C．
D．
10．（2026·河南濮阳·二模）在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核
心驱动力．当前AI 正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与
可解释性等核心难题．某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行
技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，
且攻克该技术难题的概率分别为
，则（ ）
A．只有一个小组受到奖励的概率等于
B．技术难题被攻克的概率为
C．只有甲、丙小组受到奖励的概率为
D．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为
11．（2026·山西太原·二模）设
，
为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．若事件
，
互斥，则
B．若事件
，
互斥，则
C．若事件
，
相互独立，则
D．若
，则
12．（2026·江苏·二模）已知事件
，
满足
，
，则（ ）
A．事件
，
相互独立
B．事件
，
互斥
C．
D．
13．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）将一个质地均匀的正方体骰子独立地抛掷3 次，则（ ）
A．三次点数均为偶数的概率是
B．三次点数和为9 的概率是
C．事件“三次点数有且仅有一次为6”与事件“三次点数之和为9”相互独立
D．在三次点数互不相同的条件下，点数之和为9 的概率是
三、填空题
14．（2026·天津北辰·二模）2026 年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI 助手体
验活动.三人一组，每人可向AI 助手提问.甲、乙、丙三人体验AI 问答系统.活动分两环节，第一环
节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为
，抢到者向AI 提问，AI
给出正确答案的概率分别为甲是
，乙、丙均是
.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑
上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是
，乙、丙均是
，且甲、乙、丙三人各题是
否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到
正确答案的人数为X，则X 的数学期望为_______.
15．（2026·河北张家口·二模）某新能源汽车公司的电池由甲、乙两个厂家独立供货，汽车装配电
池前，公司要对两个厂家所供电池进行严格检测，从甲厂家供货的
件电池中检测出不达标的有
件，从乙厂家供货的
件电池中检测出不达标的有件．现从两个厂家等可能随机挑选一家，
从所供货的电池中随机选择一件，检测结果不达标，则该件电池来自乙厂家的概率为________．
16．（2026·天津·二模）甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题，已知每轮比赛中，
甲、乙猜对的概率分别为
和
，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响，在一轮
比赛中，恰有一人猜对的概率为__________；若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的
概率为__________．
17．（2026·甘肃·二模）某超市有两个人工收银区
和一个自助收银区
，通过统计，顾客在
区进行付款的概率分别为
，在
区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率
分别为
，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为
，则实数
__________.
四、解答题
18．（2026·湖南湘潭·二模）某鲜花批发店每天早晨以每支2 元的价格从鲜切花生产基地购入某种
玫瑰，经过保鲜加工后全部装箱（每箱500 支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1 元），然后以每
箱2000 元的价格整箱出售.由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午3 点以前所购
进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱1200 元的价格降价处理.根据经验，降价后能够把剩
余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种玫瑰，由于库房限制每天最多加工6 箱.
(1)若某天该鲜花批发店购入并加工了6 箱该种玫瑰，在下午3 点以前售出4 箱，且当天售出的全部
6 箱被6 位不同的顾客购买.现从这6 位顾客中随机选取2 人赠送优惠卡，则恰好一位是以2000 元
价格购买的顾客，另一位是以1200 元价格购买的顾客的概率是多少？
(2)该鲜花批发店统计了100 天内该种玫瑰在每天下午3 点以前的销售量t（单位：箱），统计结果
如下表所示（视频率为概率）：
t/箱
4
5
6
频数
30
x
y
①估计接下来的一个月（30 天）内该种玫瑰每天下午3 点以前的销售量不少于5 箱的天数是多少？
②若批发店每天在购进5 箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大（不考虑其他成本），求x 的取值
范围.
19．（2026·北京石景山·二模）2026 年春节期间，模式口历史文化街区推出“骐骥献瑞”主题集章
打卡活动.游客可以收集“龙马献瑞”，“马到成功”，“马效炎德”，“马奔财乡”，“奇骏延
年”，“马行无疆”6 个蕴含马年吉祥寓意的专属印章.为了解不同年龄段游客的打卡习惯，从参与
活动的人群中随机抽取100 名游客，统计他们集章情况如下表（同一题材重复集章只计1 个）：
组别
集章1 个
集章2 个
集章3 个
集章4 个
集章5 个
集章6 个
各组总人数
青年
1 人
1 人
2 人
12 人
12 人
2 人
30 人
中年
3 人
2 人
8 人
30 人
15 人
2 人
60 人
老年
1 人
2 人
1 人
3 人
2 人
1 人
10 人
每个游客的打卡行为相互独立.
(1)从上表的青年组中随机抽取1 名游客，求该游客集章个数不少于4 的概率；
(2)从参与打卡活动的青年和中年游客中各随机抽取2 人，用上表统计的频率估计概率，试估计这4
人中“恰有2 人集章4 个、2 人集章5 个”的概率；
(3)将青年、中年、老年组的组别分别编码为
，0，1，用上表统计的频率估计概率，从集章个数
为k（
，2，3，4，5，6）的游客中随机抽取1 人，记该游客的组别编码为
，写出满足
的k 值的个数.（结论不要求证明）
20．（2026·北京朝阳·二模）2026 年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少
年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取2000 人作为样本，统计样本中不
同过敏程度的人数，得到下表：
离散型随机变量期望、方差及其分布列
考点5
过敏程度
无过敏
轻度过敏
中度过敏
重度过敏
极重度过敏
城区
220
180
150
50
郊区
500
120
80
70
30
用频率估计概率．
(1)从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率；
(2)从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取2 人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过
敏”的概率；
(3)该市疾控中心规定过敏程度评分如下表：
过敏程度
无过敏
轻度过敏
中度过敏
重度过敏
极重度过敏
过敏程度评
分
0
1
2
3
4
该市疾控中心对该市A、B 两个地区同步开展调查，已知A 地区与B 地区青少年人数之比为3：2，
地区青少年的过敏程度平均评分为
，
地区青少年的过敏程度平均评分为0.6．疾控中心对这
两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后A 地区青少年的过敏程度平均评分降低了
地区青少年的过敏程度平均评分不变．记
为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评
分．若干预后
（该市青少年的过敏程度平均评分），直接写出
的最小正整数值．（结论
不要求证明）
一、单选题
1．（2026·广西桂林·二模）把1、2、3、4 四个数字随机排成一行，从左到右依次读取，从第二个
数开始，每当读到的数字比前面所有数字都大时，称该数为一个“新高”.记排列中“新高”的个
数为随机变量
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
2．（2026·山东济宁·二模）抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6 的正方
体骰子，当出现6 点时，就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则在30 次试验中成功次
数
的均值和方差分别为（ ）
A．5，
B．5，
C．10，
D．10，
3．（2026·安徽淮南·二模）设
，随机变量
的分布列为
0
1
则（ ）
A．
在
上单调递增
B．
在
上单调递减
C．
的最小值为
D．
的最大值为
4．（2026·河北唐山·二模）已知随机变量
，随机变量
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·河北张家口·二模）已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量
，且
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·广东惠州·二模）已知随机变量
的分布列为
0
1
2
3
0.3
0.3
0.2
0.1
设函数
，若
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·山东临沂·二模）抛三枚质地均匀的硬币，记正面朝上的数量为随机变量X，定义随机变
量
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
8．（2026·重庆渝中·二模）小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽
子的概率为
，戴墨镜的概率为
，各天穿戴的情况独立，
表示他在20 天的游玩时间中只戴帽
子的天数，则其期望
（ ）
A．4 天
B．8 天
C．10 天
D．16 天
9．（2026·河北·二模）已知某口袋中装有编号分别为1，2，3，4 的红色小球各一个，编号分别为
1，2，3，4 的白色小球各一个(共8 个小球，除颜色与编号外，其他完全相同)，每次从口袋中不放
回地任取一个小球，只要取到相同编号的红色小球和白色小球，就结束取球.记取球次数为X，则X
的数学期望为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．（2026·河北沧州·二模）设随机变量
的分布列为
（
，2，
为常数），
则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·湖南长沙·二模）若随机变量X 服从正态分布
，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·山东威海·二模）已知随机变量
，则（ ）
2
2
1
1
2
2
,
,
,
X
N
Y
N
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
三、填空题
13．（2026·天津北辰·二模）2026 年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI 助手体
验活动.三人一组，每人可向AI 助手提问.甲、乙、丙三人体验AI 问答系统.活动分两环节，第一环
节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为
，抢到者向AI 提问，AI
给出正确答案的概率分别为甲是
，乙、丙均是
.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑
上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是
，乙、丙均是
，且甲、乙、丙三人各题是
否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到
正确答案的人数为X，则X 的数学期望为_______.
14．（2026·浙江台州·二模）已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2 个白球和4
个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；
若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜
色的球没有差异），依此规则操作2 次，记袋中的白球个数为
，则
的数学期望为_______.
15．（2026·贵州贵阳·二模）在一个袋子中装有4 个大小相同的小球，小球上的编号依次为1，2，
3，4，现在有放回的抽取n 次，每次只取一个小球，记这n 次取到的小球的最大编号为X，则
______，
______．
四、解答题
16．（2026·辽宁锦州·二模）高尔顿钉板是英国统计学家高尔顿设计的一种概率模型，其结构如下，
在一块竖直木板上钉有若干排等间距的钉子，每排钉子的数量比上一排多一枚，且相邻的两排钉子
的位置相互错开，木板底部有若干个等宽的凹槽，用于收集下落的小球，小球从木板顶端的入口处
1
1
0,1
σ
X
N
1
2
P X
P Y
1
2
2
1
P X
P Y
1
2
1
2
,
1
1
2
1
P X
P Y
1
3
3
4
1
2
4
5
1
2
X
X
(
1)
P X
(
)
E X
自由下落，在下落过程中，小球每次遇到钉子时，向左或向右下落的概率均为0.5，且每次下落是
相互独立的.现有一个高尔顿钉板，其设置
排钉子，第
排钉子下方有
个凹槽.从左至右依次
记为凹槽0，凹槽1，…，凹槽
，当
时，钉板如图所示.进行
次独立重复试验，每次试验
投放一个小球.设小球从入口下落最终落入凹槽
的个数为
.
(1)若
，
（ⅰ）当
时，求
；
（ⅱ）当
时，求
的数学期望与方差；
(2)当
足够大时，可以认为小球最终落入的凹槽标号
服从正态分布
，其中
为
的数学
期望，
为
的方差.若
，
，试估计落在凹槽15 到凹槽21（含15 和21）内的小球
总数.
参考数据：若随机变量
，
，
，
.
17．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2 分球的命中率为0.8，3 分球
的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2 分球或3
分球.
(1)若该运动员等可能地选择投2 分球或3 分球，求他投一次篮命中的概率：
(2)现该运动员拥有连续2 次投篮的机会，他制定了如下策略：
m
m
1
m
m
11
m
n
0,1,2,
,
k k
m
k
X
8
m
1
n
3
P k
1600
n
3
X
n
k
2
,
N
k
2
k
36
m
10000
n
2
,
Y
N
0.6827
P Y
2
0.9545
P Y
3
0.9973
P Y
若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型
的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大.
18．（2026·辽宁抚顺·二模）为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10 个不
透明的箱子，每个箱子内装有4 个除颜色外其他完全相同的小球，其中5 个箱子各装有2 个白球和
2 个红球，另外5 个箱子各装有1 个白球和3 个红球，顾客从10 个箱子中随机地选取1 个箱子，记
所选的箱子中红球的个数为m，顾客可从选中的箱子中一次性取出
个球，若取出的均是
红球，则顾客可获得奖金
元，否则无法获得奖金.
(1)当
时，求顾客可以获得奖金的概率；
(2)当n 取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？
19．（2026·河南·二模）中国航天“十五五”规划核心是从航天大国迈向航天强国、从大国重器转
向万亿级支柱产业、从近地领先走向深空领跑.为实现发动机科研突破，我国某航天研究院对甲、
乙、丙三款新型发动机关键部件进行可靠性测试，单次测试中，部件连续稳定工作时长达到1200
小时及以上，即可判定为“一级可靠性部件”.为预测本次测试中获评“一级可靠性部件”的数量
及最优部件型号，收集了三款部件过往的测试数据（单位：小时），如下所示：
甲部件：
乙部件：
丙部件：
(1)求收集到的甲部件测试数据的第
分位数；
(2)假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三款部件的测试结果相互独立.设
为甲、乙、丙三款部件
中获评“一级可靠性部件”的总数量，求
的概率分布列和数学期望
．
20．（2026·河北保定·二模）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，
每位参与团购且购买金额不低于100 元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中
放有除颜色外完全相同的4 个红球与12 个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2 次，每次从箱子
中随机取1 个球，第1 次顾客从箱子中随机取出1 个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入
2 个与第1 次取出的球颜色相同的球，然后进行第2 次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出
(
{1,2})
n n
120
1
n
m
1
n
1380,1350,1280,1250,1230,1210,1190,1170,1150,1120
1360,1310,1260,1220,1180,1160
1420,1330,1170,1140
80%
X
X
E X
红球奖励20 元.
(1)求顾客第2 次取出红球的概率.
(2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X 元，求E(X).
(3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回
答问题，每位顾客最少回答 2 个问题，最多回答 3 个问题，若前 2 个问题至少回答正确 1 个，则
不再回答第 3 个问题，若前2 个问题都回答错误，则需回答第 3 个问题，且第 1 个问题回答正确
奖励 6 元，第 2 个和第3 个问题回答正确均奖励 12 元.已知顾客甲正确回答这 3 个问题的概率依
次为
且这3 个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，
顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由.
21．（2026·山东威海·二模）把4 个形状大小相同的球等可能地放入编号为1，2，3，4 的四个盒子
中，记放入1 号，2 号，3 号，4 号盒子中的球的个数分别为
．
(1)求
的概率；
(2)求
且
的概率；
(3)设函数
，记
，求
的分布列与数学期望．
22．（2026·江西·二模）甲、乙两人进行投篮练习，每人最多投篮
次，约定如下：
若先投篮者有两次投篮不中，则换成另一人投篮，否则一直投篮2n 次．假设甲每次投篮投中的概
率为
，且各次投篮结果相互独立．若甲先投篮，随机变量X 表示换成乙投篮时甲投篮的次数．
(1)求
，
；
(2)求X 的分布列；
(3)当
时，求
．
3 2 1
4 3 2
，，，
1
2
3
4
i
i
i
i
，，，
1=2
i
1=1
i
2=2
i
1
>0
= 0
=0
x
f x
x
，
，
1
2
3
4
X=
+
+
+
f
f
f
i
i
f
i
i
X
*
2
3,
N
n n
n
2
3
(
2)
P X
(
3)
P X
2
n
(
2
)
P X
X
n
∣
