专题08 计数原理与概率统计
7 大考点概览
考点01 计数原理
考点02 统计与线性回归方程
考点03 古典型概率与条件概率
考点04 二项分布与超几何的均值与方差
考点05 离散型随机变量的均值与方差
考点06 概率统计综合题型
1．（2026·福建南平·二模）已知二项式(ax + b
x)
5的展开式中所有项的系数和为32，若X ∼N (1,4)，且
P(X <a)=0.2，则P(X <b)=（ ）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
2．（2026·福建莆田·模拟预测）有6 个球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中每次随机取出一个，取
出的球不放回，直到6 个小球都取完为止．记第n次取出球的号码为an(n=1,2,3,4,5,6)，在ai−1
和ai+1
至少
有一个大于ai(i=2,3,4,5)的条件下，数列{an)是递增数列的概率为___________．
3．（2026·福建漳州·三模）已知A1, A2
是集合A的非空子集，若A1∩A2=∅，则称( A1, A2)是集合A的
“互斥子集组”，并规定( A1, A2)与( A2, A1)为不同的“互斥子集组”．集合{1,2,3,4)的不同“互斥子集
组”的个数是___________．（用数字作答）
4．（2026·福建三明·二模）(x −2 y)
6的展开式中x
2 y
4的系数为________．（结果用数字表示）
5．（2026·福建宁德·模拟预测）某高中举行益智闯关团队赛，共4 个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5
名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最
后一关由2 名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种.
6．（2026·福建厦门·模拟预测）已知(2 x + 1
x)
n的展开式中所有项的系数之和为81，则此展开式中常数项
为______.
考点1
计数原理
7．（2026·福建·二模）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基
建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5 名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每
人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，
则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答）
8．（2026·福建厦门·二模）某校安排3 名男生和2 名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至
多3 人，且至少有1 名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）．
9．（2026·福建漳州·二模）在(
1
x −x)
6的展开式中，x
2的系数是（ ）
A．15
B．−15
C．30
D．−30
10．（2026·福建南平·二模）用函数^y =2
2 x +3拟合一组数据，则观测数据(2,126)的残差为________.
11．（2026·福建三明·二模）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若样本数据x1, x2,⋯, x6的平均数为2，则数据2 x1−1,2 x2−1,⋯,2 x6−1的平均数为4
B．根据小概率值α =0.05的独立性检验，当χ
2≥x0.05=3.841时，
可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05
C．在一组样本数据(x1, y1),(x2, y2),⋯(xn, yn)（n≥2，x1, x2,⋯, xn
不全相等）的散点图中，
若所有样本点(xi, yi)（i=1,2,⋯,n）都在直线y =−1
3 x +1上，则这组样本数据的线性相关系数为
−1
3
D．若P( A)=0.5，P(B|A))=0.6，P(B|A))=0.2，则P(B)=0.4
12．（2026·福建厦门·二模）（多选）为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与
即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5 场直播带货的数据，如下表所示：
直播间展示时长x
1
2
3
4
5
即时下单量y
12
18
25
30
34
若y与x的经验回归方程为^y = ^b x +7，样本相关系数为r，则（ ）
A．r >0
B．回归直线过点(3,25)
考点2
统计与线性回归方程
C．^b=5.6
D．当直播间展示时长为10 分钟时，即时下单量的值估计为63
13．（2026·福建漳州·二模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若两个变量的样本相关系数r的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强
B．若随机变量X服从正态分布N (3,σ
2)，且P(X ≤4)=0.7，则P(3< X <4)=0.2
C．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22 的上四分位数为11
D．对具有线性相关关系的变量x , y，其经验回归方程为^y =0.3 x−m，若样本数据的中心点为
(m,2.8)，则实数m的值是4
14．（2026·福建福州·三模）某AI 数据中心共有4 个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4 个模型在某
天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2026·福建龙岩·三模）已知数据：1,2,2,3,3,3,5,5，将这组数据中的每个数值都加上3 后，与原始数
据相比，调整后的数据中不会发生改变的是（ ）
A．方差
B．众数
C．中位数
D．平均数
16．（2026·福建南平·二模）（多选）已知各项均为正数的数列：1，2，x1，x2，x3，x4，其中奇数项成
公差为d的等差数列且和为9，偶数项成公比为q的等比数列且和为14，则下列选项中正确的是（ ）
A．d =1
B．q =2
C．上四分位数为5
D．下四分位数为5
17．（2026·福建泉州·模拟预测）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了
2025 年国庆期间该市A和B两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（ ）
A．景区A这7 日数据的第80%分位数是8.7
B．景区B这7 日数据的极差是1.7
C．景区A这7 日数据的平均数比景区B的两倍小
D．景区B这7 日数据的方差比景区A的大
18．（2026·福建漳州·三模）样本数据5,8,8,9,9,9的众数为（ ）
A．4
B．8
C．8.5
D．9
19．（2026·福建宁德·二模）（多选）某市生态环境局记录了4 月1-7 日连续7 天的PM2.5 预测误差（预测
误差=实际浓度-预测浓度，单位：μg/m
3），如下表：
日期
1
2
3
4
5
6
7
预测误差
−1
2
0
−1
3
2
2
则以下结论正确的是（ ）
A．这组数据的中位数是−1
B．这组数据的众数是2
C．若第8 天的预测误差为1，则加入该数据后的平均数不变
D．若第8 天的预测误差为1，则加入该数据后的方差变小
20．（2026·福建厦门·模拟预测）（多选）某校有学生3000人，其中男生1800人，女生1200人.为调查学
生的课外阅读情况，按性别比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生250人，并统计样本中男生和女生
一天的阅读时间（单位：分钟），绘制成如下两个频率分布直方图，则（ ）
A．a=0.020
B．样本中男生阅读时间的中位数低于40分钟
C．样本中阅读时间在40分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多
D．用样本估计总体，全校学生中阅读时间在60分钟以上的约有780人
21．（2026·福建·二模）某次测试中，某10 人的成绩（单位：分）分别为：48，75，58，66，78，82，
84，78，86，91，则这组数据的第80 百分位数是（ ）
A．78
B．82
C．84
D．85
22．（2026·福建·二模）某次测试中，某10人的成绩（单位：分）分别为：48、75、58、66、78、82、
84、78、86、91，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A．78
B．82
C．84
D．85
23．（2026·福建南平·二模）某智能助手回答问题数据统计如下：理学类占总提问的40%，回答正确率为
90%；文史类占总提问的60%，回答正确率为80%，用频率估计概率，则该助手回答问题正确的概率为（
）
A．0.72
B．0.8
C．0.84
D．0.9
24．（2026·福建漳州·三模）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，且三人的选择相互独
立．设事件A =“三个人去的景点各不相同”，事件B =“甲去了第1 个景点”，事件C =“乙去了第1 个
景点”，则下列说法错误的是（ ）
A．B与C互斥
B．A与B相互独立
C．P( A)= 2
9
D．P( A ∣C)= 2
9
考点3
古典型概率与条件概率
25．（2026·福建莆田·二模）有4 个大小、形状相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取球一次
（至少取一个），则取出的球的标号之和不超过5 的概率为_____.
26．（2026·福建龙岩·三模）某逃脱关卡游戏的最后一关有3 扇外观有细微差异的传送门，其中仅有1 扇
传送门可通往安全出口，资深玩家可以识别细微差异，新手玩家无法识别这种差异．该关卡的游戏规则为：
每位玩家每次仅选1 扇传送门尝试，选对且走出安全出口，游戏结束，选错则重新选择．规定每位玩家至
多有10 次尝试的机会，且每次尝试后传送门的顺序会随机调整．现有新手玩家A和资深玩家B独立挑战该
关卡，玩家A每次均从3 扇门中等可能随机选择1 扇门尝试，各次选择相互独立；玩家B每试错1 扇门，下
次则不重复选择已选错的门．设挑战结束时，随机变量X , Y 分别为玩家A , B尝试的次数．
(1)求P(Y > X )；
(2)求证：E (X )<3．
27．（2026·福建福州·三模）共有3 枚质地均匀的硬币，每枚硬币抛出后正面朝上与反面朝上的概率均为1
2
.
第一次将三枚硬币同时抛出，之后每次从当前反面朝上的硬币中任意选取2 枚同时抛出，直到反面朝上的
硬币数少于2 枚时停止操作.当停止操作时，所有硬币均为正面朝上的概率为__________.
28．（2026·福建厦门·模拟预测）某棋类游戏有不同规格的地图，规格为X n（n∈N
∗，n>1）的地图共
有2n+3个格子，编号为0，1，2，…，2n+2，如下图所示.
0
1
2
…
2
n
2n+1
2n+2
游戏规则如下：
①玩家首先选定地图规格X n，并获得2 枚金币，棋子位于起点（0 号格子）；
②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2 时，棋子向前跳1 格；否则，向前跳2 格；如此重复操
作直至游戏成功或失败；
③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1 枚金币.当金币被扣光或棋子落到2n+2号格子时，游戏终止，
视为失败，无奖励；当棋子落到2n+1号格子时，游戏终止，视为成功，获得奖励10n 元.
(1)若选定规格为X 2的地图，求游戏成功的概率；
(2)若选定规格为X n的地图，求棋子落到2n 号格子且游戏成功的概率；
(3)为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图？
29．（2026·福建泉州·模拟预测）某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100 元可抽奖一次.抽奖规则
如下：箱中共有4 个红球和2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3 个球，若摸出的红
球不少于2 个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响.
考点4
二项分布与超几何分布的均值与方差
(1)求抽奖一次中奖的概率；
(2)商场规定每中奖一次，返现10 元.设某顾客在活动期间消费M元，按规定返现Y 元.若事件“Y =100”的
概率最大，求M的最小值.
30．（2026·福建漳州·三模）某智慧园区需要对3 台设备进行巡检，现有以下两个巡检方案：
方案一：采用智能机器人巡检，在第一轮巡检中，对3 台设备逐一进行检测，若机器人成功检测2 台或3
台设备，则直接完成巡检，无需进行第二轮巡检；若机器人成功检测的设备少于2 台，则进行第二轮巡检．
第二轮巡检只需对第一轮未成功检测的设备再次逐一进行检测，无论第二轮检测结果如何都结束巡检．机
器人每次成功检测每台设备的概率为p(
2
3 ≤p<1)
，且每台设备检测互不影响，每次检测也互不影响，每
台设备检测一次的费用为18 元．
方案二：采用人工巡检，对3 台设备逐一进行检测，仅需巡检一轮即可完成，每台设备检测一次的费用为
30 元．
(1)当p= 2
3
时，求机器人无需对设备进行第二轮巡检的概率；
(2)记机器人巡检结束时对所有设备检测的总次数为X，求X的数学期望（用p表示）；
(3)若以检测的平均总费用为决策依据，在方案一和方案二之中选其一，应选用哪个？
31．（2026·福建莆田·模拟预测）篮球运动员甲做分组投篮训练，投篮5 次为一组，投中一次得1 分，未
投中一次得-1 分．假设甲每次投中的概率为p(0< p<1)．
(1)若p= 1
2
，求甲在一组投篮训练中累计得分为1 分的概率；
(2)收集甲以往100 组训练数据，分别计算每组累计得分，如下表所示：
累计得分
-5
-3
-1
1
3
5
频数
1
8
24
34
26
7
（i）求表中累计得分的平均数；
（ii）用X表示一组投篮训练的累计得分．将（i）中的平均数作为X的数学期望的估计值，求p的值．
32．（2026·福建厦门·二模）某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下：
①将n(n∈N
∗,n≥2)各学生依次编号为1,2,⋯,n，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张；
②老师先给1 号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡；
2
③号从1 号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3 号从2 号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上
述操作，直至n号从n−1号手中的三张卡片中随机抽取一张；
④老师从n号手中的三张卡片中随机取出一张弃置．
则一轮游戏结束．
(1)求在一轮游戏结束后，1 号学生手中恰有两张红卡的概率；
(2)求在一轮游戏结束后，n号学生手中红卡张数的期望；
(3)在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行
下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止．求比赛进行两轮后终止，
且此时只剩一个学生未被淘汰的概率．
33．（2026·福建福州·三模）近年，国家不断加大反诈宣传力度.“摸球中奖”就是街头常见的诈骗小游戏，
其规则为在不透明袋中装有若干个不同颜色的小球，以摸到特定组合即可获得大额奖金为诱饵，吸引路人
参与.已知袋中装有2 个红球，3 个黄球，4 个蓝球，这9 个球除了颜色不同以外其他特征均相同，摸球者
从袋中随机摸出5 个球，若其中三种颜色球的个数比为0:1:4（所述比例不固定对应具体颜色，下同），
则获得100 元奖金；若其中三种颜色球的个数比为0:2:3，则获得5 元奖金：若其中三种颜色球的个数比
为1:l:3，则没有奖金也不需付钱：仅当其中三种颜色球的个数比为1:2:2时，需要支付10 元.
(1)求摸球者摸球一次获得100 元奖金的概率；
(2)试用所学的概率与统计知识揭穿此骗局.
34．（2026·福建南平·二模）在棱长为1个单位的正四面体A −BCD中，一个质点从顶点A出发，每次等可
能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的.
(1)若质点移动了3次，记其经过点B的次数为X，求X的分布列及数学期望；
(2)若质点移动了n次，质点回到A点的概率为an.
（ⅰ）求数列{an)的通项公式；
（ⅱ）设bn=|4 an−1)，证明：∑
i=1
n
ln(
1+bi
1+bi+1)
bi−bi+1
< 1
2
.
35．（2026·福建三明·二模）袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中有2 个红球和3 个白球，从中随机
摸出2 个球．
(1)求摸到的两个球颜色相同的概率；
(2)用X表示摸出的球为白球的个数，求X的分布列及均值．
36．（2026·福建厦门·模拟预测）随机变量X 的分布列为P(X =0)=a，P(X =1)=b.若E (X )=2a，则a=
（ ）
考点5
离散型随机变量的均值与方差
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．3
4
37．（2026·福建厦门·二模）（多选）设正整数n=a0⋅2
0+a1⋅2
1+⋯+a8⋅2
8+a9⋅2
9，其中
ai∈{0,1},i=0,1,2,⋯,9，定义ω(n)=a0+a1+⋯+a9．设集合A ={n∣ω(n)=2}，从A中随机选取一
个元素，记为X，则（ ）
A．10∈A
B．A中的元素个数为36
C．P( X ≥100)= 8
15
D．E( X )= 1023
5
38．（2026·福建·二模）某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
k (1−α )
2
kα
k
k (1−α )
其中k >0，0<α <1．
(1)当α = 1
2
时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值；
(2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为1
3
，每个盲盒是否为封面
款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．
现从顾客中随机选取一人．
（i）求该顾客为幸运客户的概率f (α )；
（ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过1
2
，求α的取值范围．
39．（2026·福建宁德·模拟预测）某答题闯关游戏，开始时，先给每位参加者赋分3 分，并规定：每答一
题，答对加1 分，否则减1 分；当积分为6 分时，闯关成功并结束游戏；当积分为0 分时，闯关失败，也
结束游戏.甲同学参加该游戏，假如他答对每道题的概率均为2
3
，且每道题答对与否相互独立.记游戏结束时
甲的答题数为X.
(1)证明：X为奇数；
(2)当n为奇数时，记甲答完第n题时积分为4 分、2 分的概率分别为an，bn，证明：an=2bn；
(3)求X的分布列.
考点6
概率统计综合题型
40．（2026·福建泉州·模拟预测）（多选）已知随机事件A，B均包含于必然事件Ω，若0< P( A)<1，
0< P(B)<1，则（ ）
A．P(B| A)+ P(B| A)= P( A)
B．P( A)+ P(B)≤1+ P( AB)
C．|P( AB)−P( A) P(B))≤1
4
D．P(B| A)⋅P( A |B)= P( AB)
41．（2026·福建宁德·二模）把学生考试中解答题结果正确无明显逻辑错误，但书写步骤不规范缺少必
､
､
要文字说明卷面潦草得分要点缺失的解答定义为“拙解”
､
､
.为优化考试阅卷效率，某市教育学院引入AI
智能阅卷系统，对数学试卷采用两台AI1,AI2初评+人工仲裁的方式阅卷.按扣分评分：“拙解”扣1 分､2
分､3 分.AI1,AI2初评与人工仲裁扣分概率均相同，且相互独立，各扣分概率如下表：
扣分
1
2
3
概率
1
4
1
2
1
4
记系统AI1,AI2的扣分分别为X1, X 2，仲裁扣分为X 3，扣分规则如下：
①若|X 1−X 2)≤1，取X1, X 2
的平均数为最终扣分；
②若|X 1−X 2)>1，启动人工仲裁，取X 1, X 2
中与X 3
更接近者，与X 3
计算平均数为最终扣分，若
|X 3−X 1)=|X 3−X 2)，则取X1, X 2
中较小者与X 3
计算平均数为最终扣分.
根据以上材料，解决如下问题：
(1)设某同学一道“拙解”的最终扣分为随机变量X，求P(X =1.5)；
(2)该同学本次考试5 道解答题全部为“拙解”，各题扣分相互独立.
（i）记单题扣2 分的题目数为Y 1
，求P(Y 1= 4|Y 1≥3)；
（ii）记单题扣分不高于2 分的题目数为Y 2，若该同学通过规范书写，可将单题扣分不高于2 分的概率提
升至q，为使P(Y 2≥4)≥0.9，求q的最小值（结果保留两位小数）.
（参考数据：0.88
4≈0.60,0.88
5≈0.53,0.89
4≈0.63,0.89
5≈0.56）
