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专题08 磁场
安培力和洛伦兹力
1．(2025·成都二模)如图是超导电磁船的简化原理图，
和
是与电源相连的两个电极，它们之间的距
离为
且处于垂直纸面的匀强磁场区域（由超导线圈产生，其独立电路部分未画出）。通电后，两电极之
间的海水受到安培力的作用，船体就在海水的反作用力推动下行驶。已知船的总质量为
，当电极间的电
流为
、磁场的磁感应强度大小为
时，船体恰好以速度匀速航行。设船体受到的阻力恒定，关于超导
电磁船，以下说法正确的是（ ）
A．该超导电磁船应用的是电磁感应原理
B．若
接直流电源的正极，则磁场方向垂直纸面向里时船体前进
C．改变电极正负或磁场方向，可控制船体前进或后退
D．若仅将磁场的磁感应强度增大为
，则船体的加速度大小为
【答案】C
【详解】A．该超导电磁船应用了磁场对电流的作用力，故A 错误；
B．两电极之间的海水受到安培力的作用，船体就在海水的反作用力推动下向前驶动，因此，海水受到的
安培力指向船尾方向，根据左手定则，磁场方向垂直纸面向外，故B 错误；
C．改变电极正负或磁场的方向，安培力方向改变，可以控制船体前进或后退，故C 正确；
D．磁感应强度大小为
时，船体匀速运动，即安培力大小与阻力大小相等，即
，将磁感应强度大
小增大为
时，安培力变为
，船体所受合外力大小
则加速度大小为
，D 错误。
故选C。
2．(2025·遂宁二模)关于通电直导线在匀强磁场中所受的安培力，下列说法正确的是（ ）
A．安培力的方向可以不垂直于直导线
B．安培力的方向总是垂直于磁场的方向
C．安培力的大小与通电直导线和磁场方向的夹角无关
D．将直导线从中点折成直角，安培力的大小一定变为原来的一半
【答案】B
【详解】AB．根据左手定则可知，安培力方向与磁场和电流组成的平面垂直，即与电流和磁场方向都垂
直，A 错误，B 正确；
C．磁场与电流不垂直时，安培力的大小为F=BILsinθ，则安培力的大小与通电导线和磁场方向的夹角有关，
C 错误；
D．当电流方向与磁场的方向平行，所受安培力为0，将直导线从中折成直角，让其中的一半与磁场的方
向平行，安培力的大小将变为原来的一半；将直导线在垂直于磁场的方向的平面内从中折成直角，安培力
的大小变为原来的
，D 错误。
故选B。
3．(2025·攀枝花二模)宇宙中无时无刻都有大量的有害射线向地球射来，地球的磁场可以有效地改变这些
射线中大多数带电粒子的运动方向，使之不能到达地面。若一束α 射线从赤道正上方沿竖直方向射向地球，
在地磁场的作用下该束射线会朝哪个方向偏移？（ ）
A．东
B．南
C．西
D．北
【答案】A
【详解】地球的磁场由南向北，当带正电的宇宙射线粒子垂直于地面向赤道射来时，根据左手定则可以判
断粒子的受力的方向为向东，所以粒子将向东偏转。
故选A。
4．(2025·成都邛崃二模)小明设计了如图所示的方案，探究金属杆在磁场中的运动情况，质量分别为2m、
m 的金属杆P、Q 用两根不可伸长的导线相连，形成闭合回路，两根导线的间距和P、Q 的长度均为L，仅
在Q 的运动区域存在磁感应强度大小为B、方向水平向左的匀强磁场。Q 在垂直于磁场方向的竖直面内向
上运动，P、Q 始终保持水平，不计空气阻力、摩擦和导线质量，忽略回路电流产生的磁场。重力加速度
为g，当P 匀速下降时，求
（1）P 所受单根导线拉力的大小；
（2）Q 中电流的大小。
【答案】（1）mg；（2）
【详解】（1）由P 匀速下降可知，P 处于平衡状态，所受合力为0，设导线的拉力大小为T，对P 有
2T = 2mg
解得
T = mg
（2）设Q 所受安培力大小为F，对P、Q 整体受力分析，有
mg＋F = 2mg
又
F = BIL
解得
带电粒子在磁场中的运动
5．(2025·成都石室中学二模)如图所示，在水平面内存在一半径为2R 和半径为R 的两个同心圆，半径为R
的小圆和半径为2R 的大圆之间形成一环形区域。小圆和环形区域内分别存在垂直水平面、方向相反的匀
强磁场。小圆内匀强磁场的磁感应强度大小为B。位于圆心处的粒子源S 沿水平面向各个方向发射速率为
的正粒子，粒子的电荷量为q，质量为m，为了将所有粒子束缚在半径为2R 的圆形内，环形区域磁
感应强度大小至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】粒子在小圆内做圆周运动由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
作出粒子运动轨迹，如图所示
由轨迹圆可知，粒子从A 点与OA 成
角的方向射入环形区域，粒子恰好不射出磁场时，轨迹圆与大圆相
切，设粒子在圆周运动的半径为
，根据几何关系有
根据余弦定理有
解得
粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
故B 正确，ACD 错误
故选B。
6．(2025·成都二模)如图所示，等腰直角三角形
内有一垂直纸面向里的匀强磁场（
边界无磁场），
边长为
，磁场磁感应强度大小为B。ab 边中点的粒子源
垂直
以不同速率向磁场内发射带负电的
粒子，粒子质量为
，电荷量为
，不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能从
点飞出磁场
B．粒子可能从点飞出磁场
C．能从
边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为
D．能从
边界飞出的粒子在磁场中运动的最小速度为
【答案】AC
【详解】粒子可能的轨迹如图所示
A．如图所示，若粒子沿轨迹1 运动，由几何关系可知，此时的半径为
故A 正确；
B．与
边相切的粒子，轨迹如2，由几何关系可知，半径为
由几何关系可知，切点到
的距离也为
所以切点在点上侧，故粒子不可能过点，故B 错误；
CD．当粒子与
边相切出磁场时，粒子的速度最小，运动时间最长，轨迹如2，由几何关系可知，此时的
圆心角为
根据牛顿第二定律可知
解得
周期为
运动的时间为
故C 正确，D 错误。
故选AC。
7．(2025·遂宁二模)如图所示，在
边界的右侧和
边界的上方有一垂直纸面向外匀强磁场，磁感应强度
大小为
。
足够长，
距离为
，且
，
、
、
、共面。在
点有一粒子源，
点到
、
的距离均为
。打开粒子源发射装置，能够沿纸面向各个方向均匀发射质量为
，电荷量为
的带正电
粒子，速率
。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（ ）
A．从
边射出磁场的粒子数占总粒子数的
B．从
边射出磁场的粒子数占总粒子数的
C．到达
边的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．能够打在
和
边上的所有粒子在磁场中运动最长路径与最短路径之比为
【答案】AD
【详解】A．如图所示，当速度方向与
夹角为
，粒子恰好经过
点，当速度方向与
夹角满足
，粒子到达
边，所以从
边出磁场的粒子数为总数的
，故A 正确；
B．如图所示，从
边出磁场的粒子数需要满足
，则占粒子总数为
，故B 错误；
C．如图所示，当射入点
与
边上的点的连线与
边垂直时，此粒子在磁场中运动时间最短，运动时间
故C 错误；
D．如图所示，当转过圆心角为
时路径最长，转过圆心角为
时路径最短，故D 正确。
故选AD。
8．(2025·成都二模)如下图所示，速度选择器入口有一个粒子源 P，它能向选择器注入大量不定速率的氕
核
、氘核
、氚核
。选择器内部的磁场磁感应强度为
和电场方向见图，选择器出口右侧沿
选择器中轴线确定x 轴建立坐标系，第一象限内（包括x 轴）以直线
为界，在直线两侧分布两
个方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为
。对于某时刻同时到达O 点的氕、氘、氚（不计重力以及
粒子间的相互作用力），关于它们以后在磁场
中的运动过程，下列叙述正确的是（ ）
A．圆周运动的半径相同
B．最先跨过OA 分界线的是氚核
C．下次再次相遇前的路程相同
D．下次相遇时三种粒子的速度要么平行，要么垂直
【答案】CD
【详解】A．能穿过速度选择器，根据
可知，氕、氘、氚的速度相同，进入磁场
后，根据
可得运动半径
因三种粒子电量相同，但是质量不同，则运动半径不同，故A 错误；
B． 粒子跨过OA 分界线使转过的角度相同，而根据周期
可知因氕的质量最小，则周期最小，最先跨过OA 分界线，故B 错误；
CD．氕、氘、氚的运动半径之比为1:2:3，设为R、2R、3R，氕、氘、氚的运动周期之比为1:2:3，设为
T、2T、3T，则结合下图
下次再次相遇时，氕、氘、氚分别走过6 段、3 段和2 段四分之一圆弧，则氕、氘、氚的路程分别为
即氕、氘、氚的路程相等，结合下图可知，下次相遇时三种粒子的速度要么平行，要么垂直，故CD 正确。
故选CD。
9．(2025·泸州二模)如图所示，空间有平行于x 轴的匀强磁场（磁场区域足够大），磁场的磁感应强度大小
为B，方向沿x 轴正方向。质量为m、带电量为q 的粒子从坐标原点O 以大小为
的速度射出，该速度平
行于
平面且与x 轴的夹角为
，粒子重力不计。规定：沿着x 轴正方向看去，
平面左边区域
为内侧、
平面右边区域为外侧。
，
。则粒子离开O 点后的运动过程中，下列
说法正确的是（ ）
A．第一次返回x 轴时到O 点的距离为
B．相邻两次回到x 轴的时间间隔为
C．运动过程中离x 轴的最大距离为
D．相邻两次回到x 轴的时间间隔内粒子在
平面内侧和外侧运动的时间相等
【答案】AC
【详解】A．粒子沿x 轴方向做匀速直线运动，速度大小为
粒子在垂直x 轴的平面内做匀速圆周运动，速度大小为为
周期为
粒子每运动一个周期，回到x 轴一次，因此第一次返回x 轴时到O 点的距离为
故A 正确；
B．相邻两次回到x 轴的时间间隔为一个周期，即
故B 错误；
C．运动过程中离x 轴的最大距离为
故C 正确；
D．粒子运动过程中，不可能运动到
平面外侧，故D 错误。
故选AC。
10．(2025·自贡二模)如图，一半径为
的圆内存在匀强磁场，磁感应强度大小为
，方向垂直于纸面向里，
在圆形磁场右边有一接地的“
”形金属挡板
，在bc 边中点O 开一小孔，圆
形磁场与bc 边相切于O 点，挡板内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度大小
，在cd
边下方
处放置一足够长的水平接收板P，初速度可忽略的大量电子，经过电压U 加速后，有宽度为
的平行电子束竖直向上进入圆形磁场，均通过O 点进入
，电子质量为m，电荷量为e，忽略电子间的相
互作用和电子的重力，其中
已知，求：
（1）电子进入圆形磁场区域时的速度v；
（2）圆形磁场区域的半径
；。
（3）电子在水平接收板上击中的区域。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，区域如图左
【详解】（1）电子初速度为0，忽略电子间的相互作用和电子的重力，经过电压U 加速，则
解得
（2）因为有宽度为
的平行电子束竖直向上进入圆形磁场，均通过O 点，画图可知，圆形磁场半径等于
电子在其运动轨迹的半径，即
（3）挡板内电子进入挡板内磁场，由
可知在挡板内做圆周运动的半径为圆形磁场内圆周运动半径的2 倍，即
当圆的轨迹与ab 边相切时，即粒子在O 点速度方向向上，此时粒子可以射到收集板，如左图所示。随着
粒子在O 点速度从竖直向上往顺时针偏转时，其轨迹也绕O 点顺时针偏转，当偏转到圆的轨迹与ad 边相
切时，此时粒子刚好不能射到收集板，如右图所示
在右边大三角形中
在三角形
中
则
代入解得
电子在水平接收板上击中的区域为
这一区域。
11．(2025·南充二模)图甲是半径为R 的四分之一圆柱面阴极
和位于圆柱面轴线
上的阳极构成光电
管的示意图，某单色光照射阴极，逸出的光电子到达阳极形成光电流。已知阴极材料的逸出功为
，光电
子的最大初速度为
，电子电荷量为
、质量为m，真空中光速为c，普朗克常量为h。
（1）求入射光的波长λ 和遏止电压
；
（2）图乙是光电管横截面示意图，在半径为R 的四分之一圆平面内加垂直纸面向外的匀强磁场，只研究
在该截面内运动的光电子，仅考虑洛伦兹力作用，要使从阴极上N 点逸出的光电子运动到阳极，速度至少
为
。
①求磁感应强度的大小B；
②若阴极表面各处均有光电子逸出，求能到达阳极的光电子逸出区域与整个阴极区域的比值k。
【答案】（1）
，
；（2）
，
【详解】（1）由爱因斯坦光电效应方程
所以
由动能定理得
所以
（2）速度为
的电子刚好能到达阳极的临界轨迹如图所示
即从N 点沿切线方向进入磁场的电子在磁场中轨迹是半圆弧，
为其直径，所以
由洛伦兹力提供向心力可得
所以
（3）速度为
的电子半径设为
，则
所以
即电子以最大速度
与
成
进入磁场时刚好到达阳极O，从N 点射入的电子速度方向合适，在
之间均可到达阳极O 处；当电子从P 点以最大速度
与
成
方向射出，电子刚好与磁场边界
相切，即能到达阳极O 处的光电子只分布在
之间，如图所示
所以
12．(2025·南充二模)如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，大量比荷为
、速
度大小范围为
的粒子从PM 和QK 间平行于PM 射入圆形磁场区域，PM 与圆心O 在同一直线上，
PM 和QK 间距离为0.5R，已知从M 点射入的速度为
的粒子刚好从N 点射出圆形磁场区域，N 点在O 点
正下方，不计粒子重力以及粒子间的相互作用。求：
（1）圆形区域磁场的磁感应强度B 及带电粒子电性；
（2）圆形区域内有粒子经过的面积；
（3）挡板CN、ND 下方有磁感应强度为2B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，ND=R，直线CD 与圆形区
域相切于N 点，到达N 点的粒子均能从板上小孔进入下方磁场，挡板ND 绕N 点在纸面内顺时针旋转，
ND 板下表面上有粒子打到的区域长度l 与板旋转角度α（0°≤α<90°）之间的函数关系式。
【答案】（1）
，带正电；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）速度为
的粒子从M 点射入，从N 点出，轨道半径为r，依题意有
由左手定则判断可得粒子带正电；
（2）速度为
的粒子从M 射入，射出点为A，如图1 所示，依题意有
MK 间入射的速度为
的粒子能到达的区域为图中阴影部分，面积为
（3）如图2 所示，由几何关系可知，能到达N 点的带电粒子速度均为
，半径均为R，
中有
从K 点射入带电粒子速度偏转角为60°，从M 入射带电粒子速度偏转角为90°，从N 点出射的粒子速度与
ON 的夹角最大值为
挡板下方磁感应强度为2B，粒子均以速度
进入（如图3），有
则轨道半径为
在三角形NFD 中有
连接HG 构成三角形，
中有
ND 板下表面被粒子打到的长度为
（
）
或
(
)
带电粒子在复合场中的运动
13．(2025·成都石室中学二模)在竖直平面内有xOy 直角坐标系，
区域内有竖直向下的匀强电场，第一
象限有水平向右的匀强电场，两区域场强大小相等，
区域内还有向里的匀强磁场
。下端位于
O 点的绝缘木板固定在第一象限，上端位于磁场右边界，与
夹角
，木板下端锁定了两个可视为
质点的带电滑块P 和滑块Q，电荷量大小均为
，P 的质量为
，Q 的质量为
，两滑块
间有一根压缩的绝缘微弹簧（不连接）。现解除锁定，弹簧瞬间恢复原长（无机械能损失）后，P 做匀速
圆周运动，Q 恰好与木板无压力。忽略电荷间的相互作用，重力加速度
，
，
，
，求：
(1)滑块P 和滑块Q 所带电性；
(2)解除锁定前的弹性势能
；
(3)滑块P 从开始运动到第一次过
轴所用时间
和滑块Q 离开木板后在电场中的运动时间
（
保留小
数点后一位，
可保留根号）。
【答案】(1)P 带负电，Q 带正电
(2)
(3)
，
【详解】（1）据题意分析可得，P 做匀速圆周运动，电场力与重力合力为零，电场力方向向上，与电场强
度方向相反，可知，滑块P 带负电。Q 恰好与木板无压力，重力、电场力与洛伦兹力的合力为零，则滑块
Q 带正电。
（2）P 做匀速圆周运动，电场力与重力合力为零，则有
Q 恰好与木板无压力，重力、电场力与洛伦兹力的合力为零，则有
解得
设弹簧恢复后滑块P 和滑块Q 的速度分别为
和
，对滑块Q 有
弹簧恢复原长瞬间，滑块P 和滑块Q 动量守恒，以滑块P 的速度方向为正方向，则有
滑块P 和滑块Q 机械能守恒，则有
解得
（3）滑块P 做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
，
解得
滑块P 从开始运动到第一次过
轴所用时间
，
解得
滑块Q 在重力和电场力的合力下做类平抛运动，作出运动轨迹如图所示
过木板的上端作垂线交x 轴于M 点，轨迹经时间
交x 轴于N 点，设MN 长度为
，木板的长度为
滑块Q 在
方向匀速直线运动，则有
滑块Q 在合力方向匀加速直线运动，则有
根据牛顿第二定律有
联立求解可得
，
14．(2025·攀枝花二模)如图甲所示，在平面直角坐标系xOy 中，在直线
和y 轴之间有垂直纸面
的匀强交变磁场，磁场方向垂直纸面向外为正方向，磁感应强度的大小和方向变化规律如图乙所示；在直
线（图中虚线）
右侧有沿x 轴负方向的匀强电场。t=0 时，一带正电的粒子从y 轴上的P 点
沿与y 轴正方形成45°角射入匀强交变磁场，在t=3t0时垂直穿过x 轴，一段时间后粒子恰好沿
原路径回到P 点。粒子可视为质点、重力不计，忽略由于磁场变化引起的电磁效应，求：
(1)粒子的比荷
；
(2)粒子的初速度大小v0；
(3)匀强电场的场强大小E。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子要沿原路返回到P 点，则粒子在3t0时垂直穿过x 轴时粒子必在磁场中，根据几何关系，
此时粒子的速度方向沿y 轴正方向，轨迹如图所示。
设在0~t0内粒子的速度偏转角为θ，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，根据磁场变化的规律，则有
，
粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有
，
可得粒子在磁场中的运动周期
联立解得解得
（2）设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系有
粒子由洛伦兹力提供做圆周运动的向心力，则有
联立以上各式解得
（3）根据几何关系，则有
可知，粒子在t =5t0时沿x 轴正方向进入电场。粒子要沿原路返回到P 点，则粒子从电场回到磁场时，磁
场方向应垂直纸面向里，即粒子最早应在t =9t0时返回磁场。设粒子在电场中运动的时间为t，考虑到周期
性，则有
对粒子在电场中的运动，由动量定理，则有
联立以上各式，解得
15．(2025·广安二模)如图所示，在Ⅰ区域（
），存在沿y 轴负方向大小为E 的匀强电场：在Ⅱ区
域（
），存在垂直纸面向里磁感应强度大小B 的匀强磁场：在Ⅲ区域（
）同时存在垂直
纸面向外的匀强磁场和沿y 轴正方向的匀强电场，磁感应强度大小为
，电场强度大小为E。一比荷
的带正电粒子，从A 点
沿x 轴正方向以速度
进入Ⅰ区域：粒子经
B 点
进入Ⅱ区域。又从C 点
进入Ⅲ区域，其中
，不计粒子的重力。求：
(1)Ⅰ区域电场强度E 的大小和Ⅱ区域的磁感应强度B 的大小；
(2)粒子在Ⅲ区域运动速度的最大值
；
(3)粒子在Ⅲ区域运动过程中经过x 轴时的横坐标x。
【答案】(1)
，
(2)
(3)
（
，1，2，3……），
（
，1，2，3……）
【详解】（1）如图，粒子在Ⅰ区域从A 到B 做类平抛运动，设粒子运动的时间为
，由类平抛运动知识得
水平方向
竖直方向
由牛顿第二定律
联立解得
则粒子运动到B 点的速度为
解得
如图方向与x 轴正方向成45°，如图，粒子在Ⅱ区域从B 到C 做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力
由几何关系可得
解得Ⅱ区域的磁感应强度B 的大小为
（2）如图，粒子在Ⅱ区域逆时针转过90°运动到C 点，则
方向与x 轴成45°，将速度分解如图
，
因
，
其中
联立解得
，
则粒子的运动可分解成在x 轴正方向以
做匀速直线运动和在
平面做半径为R、顺时针方向的匀速圆
周运动，则两个分运动的速度大小不变，均为
粒子从C 点开始经
，两个分运动速度方向都为x 轴正方向，即最大速度为
（3）如图，由粒子在Ⅲ区域的运动由在x 轴正方向以
做匀速直线运动和
平面做半径为R 的匀速圆周
运动合成，运动轨迹如图：当匀速圆周运动
时，粒子恰好运动到x 轴，则
解得
（
，1，2，3……）
当匀速圆周运动
时，粒子也恰好运动到x 轴，则
解得
（
，2，3……）
16．(2025·乐山二模)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，xOy 平面直角坐标
系中第I 象限存在垂直于纸面向外的匀强磁场B0（大小未知）；第II 象限存在沿x 轴正方向的大小未知的
匀强电场；第IV 象限交替分布着沿
方向的匀强电场和垂直xOy 平面向里的匀强磁场，电场、磁场的宽
度均为L，边界与y 轴垂直，电场强度
，磁感应强度
。一质量为m，电量为+q 的粒子
从点
以平行于y 轴的初速度v0进入第II 象限，恰好从点N（0，2L）进入第I 象限，然后又垂直于
x 轴进入第IV 象限，多次经过电场和磁场后某时刻粒子的速度沿x 轴正方向。粒子始终在电场、磁场中运
动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。求：
(1)磁感应强度B0的大小；
(2)粒子刚射出第1 层磁场下边界时的速度方向；
(3)粒子进入第n 层磁场时的速度大小vn以及最远能进入第几层磁场。
【答案】(1)
(2)与y 轴负方向夹角为30°
(3)
，4
【详解】（1）设粒子在第II 象限运动的时间为t，在N 点沿x 轴的分速度为vx，由于粒子垂直电场方向进
入电场则可知粒子在电场中做类平抛运动，由平抛运动的研究方法，x 方向有
y 方向有
通过N 点的速度
与y 轴正方向的夹角满足
在第I 象限运动由牛顿第二定律有
根据垂直于x 轴进入第IV 象限，由几何关系知
联立解得
（2）设穿过x 轴下方第一层电场后的速度为v1，由动能定理有
解得
在x 轴下方第一层磁场中运动的轨迹如图所示
由洛伦兹力充当向心力有
解得
设速度偏转角为θ，则根据几何关系可得
则
即粒子射出第1 层磁场下边界时速度的方向与y 轴负方向夹角为30°。
（3）当粒子在第n 层磁场中运动时，此前粒子已经过n 个电场，
由动能定理
解得
若粒子在第n 层磁场中距离x 轴最远，则最大速度为vn
在水平方向上由动量定理有
即
其中ym为磁场中向下运动的最远距离，由题意
满足条件：
且
解得满足条件的整数
故最远能进入第4 层磁场。
17．(2025·德阳二模)竖直平面内水平虚线上方有方向水平向左的匀强电场。虚线下方高度为H 的区域内有
方向垂直于纸面向里的匀强磁场和方向竖直向上的匀强电场，虚线上、下方的电场强度大小相等。将质量
为m、电荷量为
的小球从a 以初速度
竖直向上抛出，小球的运动轨迹如图所示，a、c 两点在虚线上，
b 点为轨迹的最高点。小球从c 点进入虚线下方区域做匀速圆周运动且恰好不出下边界。不计空气阻力，
重力加速度为g。求：
(1)小球运动到c 点时的速度大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度B 的大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由于小球在虚线下方磁场和电场中做匀速圆周运动，则
从a 到c，在竖直方向上，则
在水平方向上
，
由运动的合成：
联立解得
（2）由题意可知小球运动轨迹如图所示。
设c 点小球速度与水平方向成
，由
解得
由几何关系可得，
，解得
由牛顿第二定律，得
由以上各式，联立得
18．(2025·遂宁射洪中学二模)如图，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内有匀强电场图中未画出，第二
象限内除
区域外都有匀强磁场，其方向垂直坐标平面向外，磁感应强度大小为 B。一束带电粒子
从AC 边界以相同方向的速度进入匀强磁场，结果都从y 轴上的C 点平行x 轴向右飞出磁场，其中从A 入
射的粒子到达x 轴上的D 点图中未标出时，速度方向斜向右下与
夹角为
，且大小与A 点速度相
等，已知带电粒子质量为m，电量为
，AC 边界与x 轴夹角
，C 点坐标为
，电场中D 点到
O 点的电势差为U，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的时间不相等
B．带电粒子从AC 边界入射的速度大小与其入射点y 坐标的关系为
C．第一象限内匀强电场的场强大小为
D．从A 入射的粒子在第一象限电场中的最小速度大小为
【答案】BD
【详解】A．由直线单边界磁场规律可知，带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心角都为
，故时间
，
相等，A 错误；
B．如图，由几何关系：弦长
，
，
解得带电粒子的速度大小v 与其入射点y 坐标的关系为
B 正确；
C．根据粒子到达x 轴上的D 点时，速度方向斜向右下与
夹角为
，且速度与其初速度等大，可知连
接CD 即为匀强电场中的一条等势线，粒子在C 点速度与等势线的夹角与D 点速度与等势线的夹角应相等，
如图可得
，故匀强电场的场强大小为
C 错误；
D．从A 入射的粒子速度大小为
（B 选项关系式
代入即可），C 点速度与A 点一样大，在第一象限电场中做类斜抛运动，当速度方向
与电场力方向垂直时，速度最小，其大小为速度沿CD 方向的分量
D 正确。
故选BD。
19．(2025·遂宁射洪中学二模)云室能利用饱和蒸气的凝结显示带电粒子在电磁场中的径迹。某同学利用云
室和照相技术，设计了图（a）所示能测量电场强度和磁感应强度的一种装置。一长方体云室，以其左侧
面粒子入射口为坐标原点O，长、宽、高方向为x、y、z 轴建立坐标系；速率为
、比荷为
的带正电粒
子可从O 点以任意方向射入云室；在云室前方有一相机，可以沿y 轴方向对轨迹拍照。不计粒子所受重力
和阻力。
(1)若云室中只分布着沿x 轴正方向、磁感应强度为B 的匀强磁场。让粒子从O 点沿z 轴正方向射入云室，
求粒子到达z 方向最高点时的坐标；（结果用m、q、
、B 表示）
(2)若云室中同时分布着方向均沿x 轴正方向的匀强磁场和匀强电场，且电场强度为E，磁感应强度为B，
粒子进入云室后将做图（b）所示的三维运动。让粒子从O 点沿z 轴正方向射入云室，求粒子第一次到达z
方向最高点时的速度大小；（结果用
、E、B 表示）
(3)某次实验中，云室中同时分布着方向均沿x 轴正方向的匀强磁场和匀强电场，相机拍得的照片如图
（c），该同学利用照片和背景换算测得A、B 两个交点的实际x 坐标分别为1.2m 和3.2m，C、D 两个极值
点的实际z 坐标分别为0.144m 和
。已知
，
。求：①电场强度E 和磁
感应强度B 的大小；②粒子入射速度在三个方向的分量
、
和
。（取
）
【答案】(1)
(2)
(3)①
，
；②
，
，
【详解】（1）粒子受洛伦兹力作用在yOz 平面内做匀速圆周运动，轨迹图所示
由牛顿运动定律有
可得半径
解得粒子第一次到达z 方向最高点时的坐标为
（2）粒子所受电场力沿x 轴正方向，洛伦兹力在yOz 平面内。由运动的分解与合成可知，粒子在复合场中
的三维运动由x 方向的匀加速直线运动和yOz 平面内的匀速圆周运动合成。其中，粒子的轨迹在yOz 平面
内的投影如图所示
粒子做圆周运动的周期：
粒子运动
时第一次到达z 方向最高点
此时粒子在y、z 方向的速度大小分别为：
，
粒子在x 方向做匀加速运动，由牛顿运动定律有：
由运动学规律可得粒子运动
时在x 方向的分速度大小为：
粒子第一次到达z 方向最高点时的速度大小为：
解得：
（3）①设入射速度在x 方向和yOz 平面内的速度分量分别为
、
，则：
由（2 ）中分析可知，粒子在yOz 平面内的运动为图所示的匀速圆周运动。C、D 两个极值点的实际z 坐标
之差即为yOz 平面内圆周运动的直径
即：
粒子经时间2T 运动到A 点，故：
粒子经时间4T 运动到B 点，故：
周期为：
联立可得：
，
将数据代入解得电场强度E 和磁感应强度B 的大小为：
，
②粒子在yOz 平面内做圆周运动的半径为：
如图所示，圆心
的z 坐标为：
与y 轴的夹角
为：
解得：
，
，
20．(2025·遂宁二模)如图所示，圆心坐标为原点
的半圆形半径
，圆心坐标为
的圆弧
半径
，它们之间存在磁感应强度大小
，方向垂直于纸面向外的匀强磁场区域。一位于
处的粒子源在
平面内向第I 象限均匀地发射速度大小
的带正电粒子，经磁场偏转后射出
该磁场。平行金属板
的极板长
，间距
，其中
极板左端坐标为
，现在两
极板间加上某恒定电压，进入平行金属板前匀速直线运动时间最短的粒子
恰好从
板右端射出电场。若
粒子重力不计，比荷
，不计粒子间的相互作用力及电场的边缘效应。（已知
）
(1)粒子在磁场中的运动半径
及
粒子在
点入射方向与
轴夹角
；
(2)求粒子从
点出发到离开电场的最长时间；
(3)粒子
恰好能从电场右边界中点射出，经过无场区域到达
轴上的
点（图中未画出），一段时间后经
某矩形磁场区域偏转，然后匀速直线运动再次回到
点，且此时速度方向与
轴负方向夹角为
，若此矩
形磁场的磁感应强度大小
，方向垂直于
平面，求此矩形磁场区域的最小面积。
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【来源】2025 届重庆市高三第六次质量检测物理试题
【详解】（1）粒子在磁场中的运动半径
， 根据
得
经分析，所有入射粒子离开磁场时速度方向均平行于x 轴，
粒子从
点射出磁场，进入平行
金属板前匀速直线运动时间最短，则有
，
（2）粒子沿
轴正向入射，从
点出发到离开电场的时间最长。从
点射出磁场，然后匀速
直线经过无场区，再通过电场偏转射出电场。在半圆里运动时间
在磁场里运动时间
出磁场到离开电场这段过程，考虑
方向速度一直没变
其中
，
（3）所有从电场中射出的粒子运动形式均一样，初速度为的类平抛运动，粒子
从
进入电
场，
点射出电场。电场里水平位移为0.12m，竖直位移为0.06m，故射出时速度方向与
轴成
角，大小为
。
点坐标为
。
粒子在磁场
中运动半径为
再次回到
点时，速度与
轴负半轴夹角为
斜向下，则对应速度偏转角为
，磁场
中运动圆弧圆
心角也为
，矩形磁场最小面积为
速度与
轴负半轴夹角为
斜向上，则对应速度偏转角为
，磁场
中运动圆弧圆心角也为
，矩
形磁场最小面积为
21．(2025·宜宾二模)如图所示，在平面直角坐标系
中，四边形
为正方形，边长为
，其中的等
腰直角三角形
区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，在第一象限内的一个等腰直角三角形
区域内
有匀强电场，
，
平行
轴。一带正电的粒子从A 点沿
轴正方向射入磁场，空气阻力及粒子所
受的重力均可忽略不计，磁感应强度和电场强度的大小保持不变。
(1)若电场方向沿
轴正方向，该粒子射入匀强磁场时的速度大小为
，粒子恰好从
点射出磁场并进入电
场，最终从
点射出电场，求匀强电场的电场强度
与匀强磁场的磁感应强度
的比值；
(2)若该粒子射入匀强磁场时的速度大小为
，匀强电场方向为沿
轴负方向，求带电粒子从电场中射出时
的位置坐标；
(3)若该粒子射入匀强磁场时速度大小变为
，其中
，匀强电场方向为沿
轴负方向，求带电粒子从
电场射出后打到
轴的位置距坐标原点的最小距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子从
点离开磁场，作出运动轨迹，如图1 所示
根据几何关系可知，粒子运动轨迹圆心为
，则运动的轨道半径为
，设粒子的质量为
，电荷量为
，
粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，则有
粒子在电场中做匀变速曲线运动，
方向做匀速直线运动，则有
方向上做匀加速度直线运动，则有
根据牛顿第二定律有
解得
（2）若入射速度大小变为
，设带电粒子在磁场中运动轨道半径为
，洛伦兹力提供向心力，则有
结合上述解得
根据几何关系可知，粒子沿
轴正方向从
点射出磁场并由
点进入电场，作出运动轨迹如图2 所示
因为电场方向变为沿
轴负方向，粒子应从左侧
点离开电场，由几何关系得射出时沿
方向位移与沿
方向上的位移相等，设为
，其在电场中运动时间为
，粒子在电场中做匀变速曲线运动，
方向做匀速
直线运动，则有
方向上做匀加速直线运动，则有
解得
根据几何关系可知，出射点
的横坐标为
的纵坐标为
则出射点的坐标为
。
（3）若入射速度大小变为
，设带电粒子在磁场中运动轨道半径为，洛伦兹力提供向心力，则有
结合上述解得
作出运动轨迹，如图3 所示
根据几何关系可知，粒子沿
轴正方向从
点射出磁场并在点
进入电场，因为电场方向沿
轴负方向，
粒子应从左侧
点离开电场，打在
轴上的
点，由几何关系得射出时沿
方向位移与沿
方向上的位移
相等，设为，其在电场中运动的时间为
，粒子在电场中做匀变速曲线运动，
方向做匀速直线运动，
则有
方向上做匀加速度直线运动，则有
解得
设粒子射出电场时速度方向与
轴正方向的夹角为
，则有
在三角形
中有
由几何关系得
点距
点的距离
根据数学函数规律可知，当
时
有最小值，代入得粒子打到
轴上的点距坐标原点的最短距离为
22．(2025·成都邛崃二模)如图所示，
为带电金属板，金属板间电压为
，板间距离为
，同时
板间有方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一束带正电粒子以平行于金属板的速度
自
点射入复合场区域，
恰好沿直线通过金属板。已知
为
的中点，金属板足够长，带电粒子的比荷
，不计带电粒子
的重力及它们之间的相互作用，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小
；
(2)若仅撤去电场，带电粒子将打在金属板上且被金属板吸收，则此位置距金属板左端的距离及粒子在磁场
中运动的时间；
(3)若仅将金属板间电压变为
，则带电粒子在两板间运动的最大速率以及沿电场线方向上的最大偏移量。
【答案】(1)
(2)
，
(3)
，
【详解】（1）带电粒子能沿直线通过金属板，有
解得
（2）带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有
解得
带电粒子向上偏转，设打在
板上距
端
处，由几何关系有
解得
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期
设此过程所对应的圆心角为
，有
解得
则带电粒子在匀强磁场中的运动时间
（3）通过配速法，使电场力与洛伦兹力平衡，有
解得
即将带电粒子的初速度
分解为向右的
和向左的
如图所示
则带电粒子在两板间运动的最大速率
带电粒子做匀速圆周运动的半径
因
故带电粒子沿电场线方向的最大偏移量
23．(2025·攀枝花二模)如图，边长为L 的正方形
区域及矩形
区域内均存在电场强度大小为E、方
向竖直向下且与
边平行的匀强电场，
右边有一半径为
且与
相切的圆形区域，切点为
的中
点，该圆形区域与
区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从
b 点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经
边的中点进入
区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区
域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求：
(1)粒子沿直线通过
区域时的速度大小；
(2)粒子的电荷量与质量之比；
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）带电粒子在
区域做直线运动，则有电场力与洛伦兹力平衡，可知粒子带正电，经
边
的中点速度水平向右，设粒子到达
边的中点速度大小为
，带电荷量为
，质量为
，由平衡条件则有
解得
（2）粒子从b 点到
边的中点的运动，可逆向看做从
边的中点到b 点的类平抛运动，设运动时间为，
加速度大小为
，由牛顿第二定律可得
由类平抛运动规律可得
联立解得粒子的电荷量与质量之比
（3）粒子从
中点射出到圆形区域做匀圆周运动，设粒子的运动半径为
，由洛伦兹力提供向心力可得
解得
粒子在磁场中运动轨迹图如图所示，由图可知，粒子沿半径方向射入，又沿半径方向射出，设粒子射出圆
形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为
，由几何关系可知
可得
则有
24．(2025·遂宁二模)制作半导体时，向单晶硅或其他晶体中掺入杂质。单晶硅内的原子是规则排列的，在
两层电子间的间隙会形成如图甲所示的上下对称的匀强电场，设某空间存在上下对称的匀强电场，并在该
电场中的下半区域加一方向垂直纸面向里的匀强磁场，如图乙所示。电荷量为＋q、质量为m 的带电小球
从上边界以初速度v0垂直电场入射，小球第一次经过对称轴OO′时的速度为2v0，小球最终从上半区域水平
射出。已知上下场区的长为L，电场强度E=
，g 为重力加速度。求：
（1） 上下场区的宽度d
（2） 要使小球不越过下边界，所加磁场的磁感应强度B 的范围。
（3） 小球在场区中运动的总时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
（n=1，2，3，…）
【详解】（1） 小球第一次经过对称轴OO′时
小球进入电场后在竖直方向上的加速度
又
解得
，
（2）小球经过对称轴OO′时速度与对称轴OO′的夹角为
得
小球进入电场下半区域时，因为重力等于电场力，所以小球做匀速圆周运动
设圆周运动半径为R，若小球恰好不越过下边界，则有
解得
根据洛伦兹力提供向心力，有
得
所以磁感应强度
（3） 小球第一次经过对称轴OO′时的水平位移
小球在复合场中做周期性的运动，在一个周期内运动轨迹如图所示
在下半部复合场中水平方向的位移应为
所以
（n=1，2，3，…）
解得
（n=1，2，3，…）
所以带电小球的运动时间为
（n=1，2，3，…）
解得
（n=1，2，3，…）
25．(2025·泸州二模)如图所示，一个电荷量为
，质量为
的正电粒子（不计重力）从正极板上
点开始
经不同的电压加速后，从负极板上小孔
射出再进入右侧边长为
的正方形匀强磁场区域（
的连线经
过
边、
边的中点），磁感应强度大小为
，方向垂直于纸面向外。求：
(1)粒子刚好从D 点射出，则粒子在磁场中运动的时间；
(2)粒子刚好能从
点射出，需在极板间所加电压
。
【答案】(1)
；(2)
【详解】(1)带电粒子从
点离开磁场，粒子在磁场中运动的周期
运动时间
解得粒子在磁场中运动的时间
(2)由动能定理可得
由洛伦兹力提供向心力得
解得
粒子从
点离开磁场，由几何关系得
解得
所以电压
26．(2025·资阳二模)如图所示，平面直角坐标系的第一象限有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场左边界到
y 轴的距离为s（s 未知），磁感应强度为B2（B2未知）；第二象限有沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度
为E（E 未知）；第四象限有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场上边界到x 轴距离为d，磁感应强度为
。有一个带正电的粒子（质量为m、电荷量为q、不计重力）从电场中的A（- 2L，L）点以水
平向右的速度v0射出，恰好经过坐标原点O 进入第四象限，经过磁场后，从x 轴上某点进入第一象限的磁
场中，经过磁场偏转后水平射出，恰好经过y 轴上的P（0，2d）点。求：
(1)电场强度E；
(2)磁感应强度B2；
(3)第一象限磁场左边界到y 轴的距离s。
【答案】(1) E =
；(2) B2 =
；(3) s = 4d
【详解】(1)在匀强电场中，设粒子运动时间为t，加速度为a，到达原点O 时竖直分速度为vy，合速度为
v；由牛顿第二定律和运动学公式得
2L = v0t，L =
at2，a =
联立解得
E =
(2)由(1)问可知
vy = at，2L = v0t，a =
，E =
联立上式有
vy = v0，v =
=
v0
设合速度v 与x 轴正方向夹角为θ，由平行四边形定则得：
vy = vsinθ
解得
θ = 45°
设粒子在第一象限的磁场中做圆周运动的半径为r2，由几何关系、牛顿第二定律和洛伦兹力公式得
r2 + r2cos45° = 2d，qvB2= m
解得
B2=
(3)粒子的运动轨迹如下图所示
设粒子在第四象限的磁场中做圆周运动的半径为r1，由几何关系、牛顿第二定律和洛伦兹力公式得
ON = d + 2r1sin45° + d，qvB1= m
，MN = r2sin45°，s = ON - MN
联立解得
s = 4d
27．(2025·乐山二模)如图所示，在平面直角坐标系xoy 的第二象限内有平行于y 轴的匀强电场，电场强度
大小为E，方向沿y 轴负方向。在第一、四象限内有一个半径为R 的圆，圆心坐标为（R，0），圆内有方
向垂直于xoy 平面向里的匀强磁场。一带正电的粒子（不计重力），以速度为v0从第二象限的P 点，沿平
行于x 轴正方向射入电场，通过坐标原点O 进入第四象限，速度方向与x 轴正方向成
，最后从Q 点平
行于y 轴离开磁场，已知P 点的横坐标为
。求：
（1）带电粒子的比荷
；
（2）圆内磁场的磁感应强度B 的大小；
（3）带电粒子从P 点进入电场到从Q 点射出磁场的总时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由水平方向匀速直线运动得
2h=v0t1
竖直向下的分速度
由竖直方向匀加速直线运动知
vy=at1
加速度为
根据以上式解得
（2）粒子进入磁场的速度为v，有
粒子运动轨迹如图所示
由几何关系得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为
r=R
由洛伦兹力提供向心力可知
解得
（3）粒子在磁场中运动的时间为
粒子在磁场中运动的周期为
，粒子在电场中运动的时间为
粒子运动的总时间
代入数据得
