文档文本内容
【第20 讲：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质及三角函数模型的应
用】
【新高考课程标准要求】
1.了解函数实际意义及参数影响：结合具体实例，了解
的实际意义，观察参数
，
，
对函数图象变化的影响。其中
影响函数的振幅，
影响函数的周期，
影响函数的相位，通过对图象
的观察和分析，理解这些参数如何改变函数的形状、位置和周期等特征。
2.运用三角函数模型解决问题：会用三角函数解决简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的
重要函数模型。例如，在物理中的简谐运动、交流电问题，以及生活中的潮汐变化、气温变化等周期现象，
都可以用三角函数模型来刻画，通过建立三角函数模型，求解相关问题，体现数学的应用价值。
【知识梳理】
一、函数
的基本概念
1. 解析式结构：
（
，
），其中
、
、
为常数，
为自变量，定义域
为
。
2. 参数的物理与几何意义
振幅
：表示函数图象偏离平衡位置的最大距离，决定函数的值域（
）和图象的“高
低”。
周期
：由
决定，周期公式为
，表示函数图象重复一次所需的水平长度，决定图象的“疏
密”。
相位
：反映函数图象的水平位置状态；
称为初相，决定函数图象与
的水平平移
关系。
二、函数
的图象变换
以
为基础，通过三步变换可得到
的图象，主要有两种常见变换路径：
1. 先平移，后伸缩
相位平移：将
的图象沿
轴平移
个单位（若
则向左平移，若
则向右平移），
得到
的图象；
周期伸缩：保持纵坐标不变，将
图象的横坐标变为原来的
倍，得到
的图象；
振幅伸缩：保持横坐标不变，将
图象的纵坐标变为原来的
倍，最终得到
的图象。
2. 先伸缩，后平移
周期伸缩：保持纵坐标不变，将
图象的横坐标变为原来的
倍，得到
的图象；
相位平移：将
的图象沿
轴平移
个单位（若
则向左平移，若
则向右平
移），得到
的图象；
振幅伸缩：保持横坐标不变，将
图象的纵坐标变为原来的
倍，最终得到
的图象。
三、函数
的性质（
，
）
1. 定义域：全体实数，即
。
2. 值域：取值范围为
。当
时，函数取得最大值
；当
时，函数取得最小值
。
3. 周期性：属于周期函数，最小正周期为
。若
，可先利用诱导公式
将
化为正数，再计算周期。
4. 奇偶性
若
（
），函数为奇函数，满足
；
若
（
），函数为偶函数，满足
；
当
为其他值时，函数既不是奇函数也不是偶函数。
5. 单调性
单
调
递
增
区
间
：
解
不
等
式
（
）
，
可
得
（
）；
单调递减区间：解不等式
（
），可得
（
）。
6. 对称性
对称中心：令
（
），求解得对称中心坐标为
（
）；
对称轴：令
（
），求解得对称轴方程为
（
）。
四、三角函数模型的应用
1. 适用场景：主要用于描述现实世界中具有周期变化规律的现象，常见例子包括：
物理领域：简谐运动（如单摆摆动、弹簧振子振动）、交流电的电流与电压变化；
自然现象：潮汐的涨落规律、昼夜气温的周期性变化、星体的运行周期；
生活场景：钟表指针的转动周期、音乐声波的振动规律、交通信号灯的切换周期。
2. 建模步骤
第一步：收集数据。记录周期现象中“时间-数量”对应的具体数据，例如“时刻-气温”“时间-潮
汐高度”等；
第二步：绘制散点图。根据收集到的数据，在平面直角坐标系中描出对应点，观察散点分布是否符合
正弦曲线的特征；
第三步：确定函数解析式。先由数据中的最大值与最小值计算振幅；再根据实际现象的周期
（如1
天24 小时则周期
），通过
确定
；最后代入已知点（如图象的最高点、最低点或平衡位
置点）的坐标，求解初相
；
第四步：检验与修正。将模型的预测值与实际观测数据进行对比，若偏差较大，调整
、
等参数以
优化模型；
第五步：解决问题。利用确定的
模型，回答实际问题，例如预测某一时刻的数值、
求解最值对应的时间等。
【课前自测】
一、单选题
1．（2022·天津·高考真题）关于函数
，给出下列结论：
①
的最小正周期为
；
②
在
上单调递增；
③当
时，
的取值范围为
；
④
的图象可由
的图象向左平移
个单位长度得到．
其中正确结论的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数
的图象，只要把函数
图象上所有的点
（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
3．（24-25 高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3 米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5 圈，筒车的轴
心O 距离水面的高度为1.5 米.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d 为
负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t（单位：秒）之间的关系为
（
，
，
），则（ ）
A．
B．
C．盛水筒出水后至少经过
秒就可到达最低点
D．盛水筒P 在转动一圈的过程中，P 在水中的时间为
秒
二、多选题
4．（24-25 高一下·江苏盐城·期中）若函数
在一个周期内的图象
如图所示，则（ ）
A．
的最小正周期为3π
B．
的增区间是
C．
是奇函数
D．将
的图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）得到
的图象
三、填空题
5．（2025 高三·全国·专题练习）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象上所
有的点的横坐标 到原来的 （纵坐标不变），再向 平行移动 个单位长度．
6．（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）已知函数
的部分图象如图所
示，若将函数
的图象向右平移
个单位后所得曲线关于
轴对称，则
的最小值为 .
【考点一：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象及变换】
【例题】1．（2025·北京石景山·一模）已知函数
（其中
，
，
）．
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数
唯一确定．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在
上的最大值和最小值．
条件①：
；
条件②：
是
的对称中心；
条件③：
可以由函数
平移得到．
注：如果选择的条件不符合要求，得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数
的图象向右平移φ 个单位长度得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识讲解与常考题型
题型分类
【针对训练】3．（2024·福建厦门·三模）将函数
的图象向右平移
个单位后
得到
的图象，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·广东湛江·期末）已知函数
，要得到函数
的图象，只需将
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
5．（23-24 高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）将函数
的图象向右平移
个单
位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，得到
的图象，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题策略】
一、图象识别与参数求解策略
1. 核心思路：“三看”定参数（
、
、
）
看最值，求
：振幅
是函数最大值与最小值差值的一半。若图象有上下平移（如
），需先通过“最大值
”或“
最小值”确定
，再结合图象升降趋势（如
附近图象向上则
，向下则
）定符号。
看周期，求
：先从图象中找“一个完整周期”的长度（相邻两个最高点、相邻两个最低点，或相邻
两个平衡位置且升降趋势相同的点之间的水平距离），即为周期
。再根据公式
（若题目未限定
符号，默认
；若
，可利用诱导公式转化为正
分析）计算
。
看特殊点，求
：优先选择“易计算”的特殊点代入解析式，常见选择顺序：
1. 图象的最高点（此时
，即
，
）；
2. 图象的最低点（此时
，即
，
）；
3. 图象与平衡轴（
）的交点且明确升降趋势（如上升时
且
，下
降时
，
）。
代入时需结合题目对
的范围要求（如
或
）确定
的值，进而求出唯一的
。
2. 易错点提醒
若图象仅给出部分周期（如半个周期、四分之一个周期），需先补全周期再计算
，例如：若相邻最
高点与最低点之间的水平距离为
，则该距离为
，即
。
代入特殊点求
时，若代入的是“非最值、非平衡轴”的点，需注意可能对应多个
值，需结合图象
整体趋势筛选（如看
附近的函数值正负）。
二、图象变换类解题策略
1. 核心原则：“分步拆解，明确顺序”
图象变换的本质是“横、纵坐标的伸缩与平移”，需严格区分“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的差
异，避免混淆平移单位。两种变换路径的关键步骤对比如下：
路径1：先平移，后伸缩（以
为例）
1. 相位平移：
沿
轴平移
个单位（
左移，
右移），得
；
2. 周期伸缩：横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得
；
3. 振幅伸缩：纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变），得最终解析式。
路径2：先伸缩，后平移（以
为例）
1. 周期伸缩：
横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得
；
2. 相位平移：沿
轴平移
个单位（
左移，
右移），得
；
3. 振幅伸缩：纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变），得最终解析式。
2. 解题关键技巧
“逆向思维”求变换：已知目标函数与原函数，求变换过程
例如：已知
的图象经变换得到
，可逆向拆解：先看振幅（从到
，纵坐
标伸3 倍），再看相位（
，即
左移
个单位），最终整合变换步骤。
“标记特殊点”验证变换：通过跟踪原函数的特殊点（如
、
、
）在变换后的坐标，
验证变换是否正确
例如：
的点
，经“左移
，横坐标缩为
”后，坐标变为
错误！正确计算：
先左移
得
，再横坐标缩
（乘以
）得
，可代入目标函数
验证：
，符合。
三、复杂图象变换（含多个参数）解题策略
1. 含上下平移（
）的变换
先处理“上下平移”：上下平移仅影响函数的平衡轴（从
变为
），不影响
、
、
的
变换，可单独拆分步骤（如先上下平移，再进行横纵坐标的伸缩与水平平移，或反之，顺序不影响结果）。
例如：
的变换：
右移
个单位→
→横坐标
缩为
倍→
→纵坐标伸2 倍→
→上移1 个单位→最终解析式。
2. 利用诱导公式统一函数类型（如
转
）
若题目中涉及
与
的变换，先利用诱导公式
将余弦
函数转化为正弦函数，再按正弦函数的变换规则求解。
例如：求
到
的变换，可先转化为
到
的变换，再按正弦函数路径分析。
【考点二：由图像确定函数y＝Asin（ωx+φ）的解析式】
【例题】一、单选题
1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数
的图象如图所示，将其向左平移
个单位长度，得到
的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
的图象关于直线
对称
D．函数
在
上单调递减
多选题2．（2025·重庆·三模）如图是函数
的部分图象，则下列结论
正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于
中心对称
C．
在
上单调递增
D．
的图象向左平移
个单位长度后为奇函数
【针对训练】多选题3．（2025·广东汕尾·三模）已知函数
的部分图
象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．当
时，
的图象与
轴有2 个交点
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数
，
的部分图象如图所示．若将
函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象．若函数
为奇函数，则的最小值
是 ．
5．（2023·广西·模拟预测）已知函数
（
，
）的部分图象如图所示．将函数
图象上所有的点向左平移
个单位长度得到函数
的图象，则
的值为 ．
【解题策略】
1. 求振幅
：由图像的“最值”确定
振幅
反映函数图像的“纵向伸缩幅度”，与图像的最高点（最大值）、最低点（最小值）直接相关。
若图像的最大值为
，最小值为
，则：
当
时，
（即最大值与最小值差值的一半）；
若图像整体呈现“ 先降后升” （与
的“ 先升后降” 趋势相反），则
，此时
；
特殊情况：若图像过原点且无纵向翻转，可直接通过最高点纵坐标确定
（如最高点为
，则
）。
2. 求角频率
：由图像的“周期”确定
决定函数图像的“横向伸缩速度”，核心是先通过图像求出周期
，再结合周期公式计算
。
步骤1：求周期
从图像中提取周期相关的“关键距离”，常见方法有：
相邻两个最高点（或相邻两个最低点）之间的水平距离，即为一个周期
；
相邻一个最高点与一个最低点之间的水平距离，为
，因此
（最高点与最低点的水平间距）；
若图像过平衡位置（
的点），相邻两个“上升过平衡位置”（或相邻两个“下降过平衡位
置”）的点之间的水平距离，即为
，故
（相邻同方向过平衡位置点的间距）。
步骤2：求
利用周期公式
，变形得
，再根据题目是否指定
（通常默认
）确定
的
值。
3. 求相位
：由图像的“特殊点”代入求解
相位
决定函数图像的“左右平移”，需结合图像上的“特殊点”（如最高点、最低点、平衡位置
点）代入解析式求解，常用方法有两种：
方法1：代入最高点或最低点
找到图像上一个明确的最高点
或最低点
，将
（或
）、
（或
）
及已求得的
、
代入
，得到方程：
最高点：
，即
，解得
（
）；
最低点：
，即
，解得
（
）；
再根据题目对
的范围要求（通常为
或
），确定唯一的
。
方法2：代入平衡位置点（需结合单调性）
若代入的是平衡位置点
，需先判断该点附近的单调性（是“上升过平衡”还是“下降过平
衡”），避免
值出错：
若点
处函数呈“上升趋势”（如
中的
），则
（
）；
若点
处函数呈“下降趋势”（如
中的
），则
（
）；
再结合
的范围确定最终值。
4. 验证：代入其他特殊点检验解析式
求得
、
、
后，需选取图像上另一个未使用过的特殊点（如另一个平衡位置点或最值点）代入解
析式，验证
值是否与图像一致，避免因读取图像坐标误差或计算错误导致结果出错。
【考点三：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质综合应用】
【例题】多选题1．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
，其中
，若
将其图象向左平移
个单位，此时图象正好关于坐标原点对称，则以下结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在
上的最小值为
C．函数
的一个对称中心为
D．若
时，方程
有两个不同的解，则
多选题2．（2025·山东泰安·模拟预测）函数
在一个周期内的图象如图所示，
为图
象的最高点，
为图象与
轴的交点，点
，且
为正三角形，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．当
，函数
的值域为
C．将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到一个偶函数的图象
D．若
，且
，则
【针对训练】多选题3．（2025·山东泰安·模拟预测）将函数
图象上所有点的横
坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象，则下列结论正确的为（ ）
A．函数
为偶函数
B．直线
是函数
图象的一条对称轴
C．若
，则
的值域为
D．
是函数
的一个单调递减区间
多选题4．（2025·河北保定·二模）将函数
的图象向左平移
个单位长度得到
的图象，若
的图象关于
轴对称，且在区间
上单调递减，则（ ）
A．
B．不等式
的解集为
C．
D．函数
的单调递增区间为
【解题策略】
函数
（
）图象与性质综合应用解题策略
核心思想是“整体代换+数形结合”：将
视为“整体角”，转化为基本正弦函数
的图象
与性质来分析，同时结合
的纵向伸缩（
）、横向伸缩（
）、左右平移（
）特征，
打通“图象”与“性质”的关联，具体策略分场景如下：
一、单调性相关问题：“定整体范围，套正弦单调区间”
1. 求函数的单调区间
步骤1：确定“整体角
”的取值范围
若求某区间
上的单调性，先根据
，计算
的范围
（注意：
时，
随
递增；
时，随
递减）。
步骤2：结合
的单调区间列不等式
基本正弦函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
（
）。
若
：函数
的单调性与
一致，直接列
（增）或
（减），解出
的范围。
若
：函数
的单调性与
相反，需列
（增）或
（减），再解
。
示例：求
的递增区间（先化为
，
，需求
的递减区间，即
，解得
，
）。
2. 比较函数值大小
核心：利用单调性，将“不同自变量对应的函数值”转化为“同一单调区间内的自变量大小比较”。
步骤：
1. 确定各自变量
是否在同一单调区间内（若不在，利用周期性转化到同一周期）；
2. 比较
的大小；
3. 根据函数在该区间的单调性（增/减），判断
与
的大小。
二、最值与值域问题：“抓A 定振幅，控整体角定范围”
1. 求函数最值（或值域）
关键：最值由振幅
和“整体角
的取值范围”共同决定。
步骤：
1. 求
的取值范围（若
无限制，
；若
有区间限制，按
的范围求的范围）；
2. 根据的范围，求
的值域（如
，则
）；
3. 结合振幅
，求
的值域：
若
：值域为
，最大值为
，最小值为
；
若
：值域为
，最大值仍为
，最小值仍为
。
2. 由最值求参数范围
示例：已知
在
上的最大值为
，求
或
的范围。
先确定
在
上的范围
；
若
，则
，需
，结合
判断
是否在
内，进而求
；
若涉及
，则通过的范围是否包含
的最值点（如
）来列不等式。
三、对称性问题：“抓正弦函数对称特征，列方程求参数”
的对称性由“整体角
对应
的对称性”决定，核心是利用
的
对称轴和对称中心特征：
1. 对称轴（过最值点）
的对称轴为
（
），对应
的对称轴满足：
，解得对称轴方程：
。
应用：若已知某直线
是对称轴，代入方程得
，可求解
或
。
2. 对称中心（平衡位置点，
）
的对称中心为
（
），对应
的对称中心
满足：
，解得对称中心横坐标：
。
应用：若已知某点
是对称中心，代入方程得
，可求解参数。
四、奇偶性问题：“用奇偶性定义，定相位
”
利用奇偶性的定义
（偶函数）或
（奇函数），结合
推导
的取值：
1. 奇函数（
）
代入得：
，化简为
。
利用正弦差公式展开：
，整理得
对任意
成立，故
，即
（
）。
特殊：当
时，
是常见奇函数。
2. 偶函数（
）
代入得：
，化简为
。
利用正弦和差公式展开：
，整理得
对任意
成立，故
，即
（
）。
特殊：当
时，
，与余弦函数（偶函数）一致。
五、易错点提醒
1. 忽略
的正负：
的正负直接影响函数的单调性和“整体角的增减性”，求解单调区间时务必先判
断
符号。
2.
的范围限定：题目通常要求
或
，求解后需根据范围确定唯一
，避免多解。
3. “整体角”的范围计算错误：当
有区间限制时，需结合
的正负准确计算
的范围（如
时，
增大，减小）。
4. 验证意识：求得参数或解析式后，务必代入图象特殊点（如最值点、平衡位置点）或性质（如单调性、
对称性）验证，避免计算错误。
【考点四：三角函数模型的应用】
【例题】1．（23-24 高一下·广东广州·期末）如图，设筒车上的某个盛水筒
到水面的距离
（单位：
）（在水面下则
为负数），若以盛水筒
刚浮出水面时开始计算时间，则
与时间（单位：）之间
的关系为
.已知一个半径为
的筒车按照逆时针方向每分
钟转5 圈，筒车的轴心
距离水面的高度为
.则
.
【针对训练】2．（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，一个摩天轮半径为10 米，轮子的底部在地
面上2 米处，如果此摩天轮每20 秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点
处（点
与摩天轮中心
高度相
同）时开始计时.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10 米?
【解题策略】
实际应用（三角函数模型）：“读题提特征，建解析式求解”
1. 解题步骤
步骤1：提取题目中的“图象特征”
从实际场景（如简谐运动、波动、周期性变化的温度/电流等）中提取关键量：
振幅
：最大值与最小值的差的一半（如“最大位移3，最小位移-3”，则
）；
周期
：完成一次周期性变化的时间（如“10 秒重复一次”，则
），进而求
；
初始条件（求
）：如“
时，函数值为
”，代入解析式求
。
步骤2：建立解析式并验证
根据提取的
写出
，代入某一已知点验证是否正确。
步骤3：解决具体问题
如“求
时的函数值”“求函数取某值时的
范围”等，利用解析式计算或结合性质求解。
一、单选题
1．（2025·湖北恩施·模拟预测）要得到函数
的图象，只要将函数
的图象
（ ）
课后针对训练
A．向右平移
个单位
B．向左平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向左平移
个单位
2．（2025·河北石家庄·三模）将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则函数
图象的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·模拟预测）为了得到函数
的图象，可将函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，若
为奇函数，则
的最小值是（ ）
A．
B．1
C．2
D．
5．（2025·广东佛山·三模）将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的
图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上的值域为
D．
在
上单调递增
6．（2024·全国·模拟预测）将函数
的图象向右平移
（
）个单位长度，得到函数
的图象，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，则下列说
法正确的是（ ）
A．
，
B．
在区间
上单调递增
C．函数
的图象关于点
中心对称
D．函数
的图象可由
的图象向左平移
个单位长度得到
8．（2023·安徽安庆·三模）函数
（其中
）的图像如图所示，则下列
说法正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期是
B．
C．为了得到
的图像，只需将
的图像向左平移
个单位长度
D．为了得到
的图像，只需将
的图像向左平移
个单位长度
9．（2024·山东济宁·一模）已知函数
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
和
为函数
图象的两条相邻的对称轴，则
B．若
，则函数
在
上的值域为
C．将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，若
为奇函数，则
的最小
值为
D．若函数
在
上恰有一个零点，则
三、填空题
10．（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），
再将图象上所有的点向右平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
.
11．（2024·辽宁·模拟预测）将函数
的图像向右平移
个单位长度后，所得
图像对应的函数是偶函数，则
的最小值为 ．
四、解答题
12．（23-24 高一上·江苏镇江·期末）已知函数
（其中
，
）的最小正周期
为
，且___________.
①点
在函数
的图象上；
②函数
的一个零点为
；
③
的一个增区间为
.
请你从以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给分），补充完整题目，并求解下列问
题：
(1)求
的解析式；
(2)用“五点作图法”画出函数
一个周期内的图象.
