文档文本内容
第15 讲函数的实际应用
（知识清单+3 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
指数增长模型应用，考查增长率建模 y = N (1+ p)
x，结合实际情境判断增长趋
势
多选题
6 分
三种函数模型增速对比，核心结论：a
x≫x ≫loga x(a>1)，判断实际增长
快慢
单选题
5 分
二次函数最值建模，利用 x =−b
2a 求解实际利润、面积最值问题
解答题
12 分
指数衰减模型应用，考查折旧、衰减类实际建模 y = N (1−p)
x
单选题
5 分
一次函数线性建模，匀速、定额变化类实际问题求解
填空题
5 分
对勾函数最值应用，利用 x + k
x ≥2❑√k 求解实际成本最值问题
解答题
12 分
对数函数模型性质，考查饱和型增长规律，辨析三种模型变化特征
多选题
6 分
幂函数模型实际应用，几何面积、体积类建模判断
单选题
5 分
综合函数建模，融合指数、二次函数模型，求解实际动态变化与最值问题
解答题
12 分
【知识点01】三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xα(α>0)
在(0,＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x 的增大逐渐表现
为与y 轴
平行
随x 的增大逐渐表
现为与x 轴
平行
随α 值的变化而各有不同
【例1】某养殖场家禽数量年增长率为8%，现有家禽500 只，建立x年后家禽总数的函数模型。
解析：代入指数增长公式：y =500(1+8 %)
x =500⋅1.08
x( x∈N )
【知识点02】常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a,b 为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c 为常数,a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝k
x ＋b(k,b 为常数,k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a,b,c 为常数,a>0 且a≠1,b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a,b,c 为常数,a>0 且a≠1,b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a,b,α 为常数,a≠0,α≠0)
【例1】用长度为80m 的篱笆围成矩形菜园，求菜园的最大面积。
解析：设矩形长为x，宽为40−x，面积S = x(40−x)=−x
2+ 40 x
x
=−
40
2×(−1) =20
Smax
=20×20= 400
即菜园最大面积为400 m
2。
【题型一】常见的函数模型(1)——二次、分段函数
【例1】（2025·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
每户每年天然气用量
天然气价格
不超过
2.98 元
超过
但不超过
的部分
3.60 元
超过
的部分
4.50 元
若某户居民一年的天然气费为2082 元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设天然气费用为使用量的函数，根据题意写出分段函数解析式，先判断对应哪一段，再求解即可.
【详解】设天然气使用量为
，天然气费为
元，
则
，
由于
，则
,
所以
，
解得
,
所以天然气使用量为
，
故选：B.
【例2】劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生
去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x 件时，售价为s 元/件，且满足
，
每天的成本合计为
元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为
___________万元.
【答案】 200 7.94
【分析】将利润表示为关于
的一个二次函数，求出该函数的最值即可.
【详解】由题意易得日利润
，
故当日产量为200 件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94 万元，
故答案为：200，7.94.
【例3】（2026·山东·一模）咖啡店销售一款咖啡，每杯的销售价为10 元时，每天可以销售200 杯，为提高咖啡加工
品质，进行了设备更新，为此咖啡店提高了销售价（规定为1 元的整数倍）．经市场调研发现，每杯的销售价每提高
1 元，每天少销售5 杯（不考虑其他因素）．问每杯咖啡的销售价为多少时，可使每天的销售额最大，最大销售额是
多少?
【答案】每杯咖啡的销售价为25 元时，最大销售额是3125 元.
【分析】 设销售价为
元，销售额为
元，写出
关于
的函数，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】设销售价为
元，销售额为
元，
则
，当
元时，
元，
所以当每杯咖啡的销售价为25 元时，最大销售额是3125 元.
【变式1】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形
是上底为
，下底为
，高为
的等腰梯形，记梯
形
位于直线
左侧的阴影部分的面积为
，则
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】写出
的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可.
【详解】根据题意可知在梯形
中，
；
当
时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为
；
当
时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，
其面积为
；
当
时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，
即
；
所以可得
；
根据函数类型对比图象可得A 正确.
故选：A
【变式2】某景区套票原价300 元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人
数不低于10，则票价打9 折；若人数不低于50，则票价打8 折；若人数不低于100，则票价打7 折.不重复打折.方案二：
按原价计算，总金额每满5000 元减1000 元.已知一个旅游团有47 名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团
购票总费用的最小值为___________元.
【答案】11710
【分析】由题意分析方案一和方案二的单人票价，可得用方案二先购买34 张票，剩余13 张用方案一，费用最小，从
而可求出其最小值
【详解】方案一：满10 人可打9 折，则单人票价为270 元，
方案二：满5000 元减1000 元，按原价计算
，则满5000 元至少凑齐17 人，
，则单人票价为
，
满10000 元时，
，则需34 人，单人票价为241 元，
满15000 元时，
，人数不足，
因为
，
所以用方案二先购买34 张票，剩余13 不满足方案二，但满足方案一，
所以总费用为
（元），
故答案为：11710
【变式3】（2024·全国·模拟预测）某种汉堡是某西餐店火爆的快餐品种之一，该店该种汉堡的成本为每个10 元，
售价为每个15 元，若当天没有售出，则全部销毁．
(1)若该西餐店某天制作该种汉堡
（
）个，求该西餐店当天该种汉堡的利润
（单位：元）关于当天需求量
（单位：个，
）的函数解析式；
(2)该西餐店某月（按30 天算）每天制作该种汉堡90 个，并对该月该种汉堡的日需求量（单位：个）进行统计，对统
计数据进行分析制成条形图如图所示，求该西餐店该月这种汉堡的平均日利润．
【答案】(1)
（
）
(2)
（元）
【分析】（1）分别写出
和
时的利润，表示为分段函数的形式；
（2）由（1）求出的解析式求出利润，再求平均利润即可.
【详解】（1）当
时，日利润
，
当
时，日利润
，
，
关于
的函数解析式为
（
）.
（2）由题及（1）知，日利润为180 元的天数为1，
日利润为240 元的天数为3，
日利润为300 元的天数为4，
日利润为360 元的天数为5，
日利润为420 元的天数为6，
日利润为450 元的天数为11，
该月的平均日利润为
（元）.
故该西餐店该月这种汉堡的平均日利润为
（元）.
【题型二】常见的函数模型(2)——指数、对数、幂函数
【例4】（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义
声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知
，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：
，
对于选项A：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，故A 正确；
对于选项B：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为
，即
，
可得
，即
，故C 正确；
对于选项D：由选项A 可知：
，
且
，则
，
即
，可得
，且
，所以
，故D 正确；
故选：ACD.
【例5】（2026·湖南长沙·模拟预测）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质
含量非常高，它可
以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知
的质量
随时间（年）的
指数衰减规律是：
（其中
为
的初始质量）．则当
的质量衰减为最初的
时，所经过的时间
约为（参考数据：
，
）（ ）
A．
年
B．
年
C．
年
D．
年
【答案】D
【详解】已知衰减公式
，当
的质量衰减为最初的
时，满足：
，即
，
两边取对数得：
，
则
，
即
．
【例6】（2024·山西·模拟预测）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速
（单位：
）可以表示为
，其中
表示鱼的耗氧量的单位数，当一条大西洋鲑鱼静止时，它的耗氧
量的单位数
______.
【答案】
【分析】根据题意，令
，解简单的对数方程即可得解.
【详解】依题意，可知
，
当
时，
，即
，则
，即
.
故答案为：
.
【变式1】（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强
（单位：W/m2）和定值
（单位：W/m2）比值的常用对数
值再乘以10，即声强级
（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和
人与人交谈时的声强的比值约为
，那么这种火箭发射的声强级约为（ ）
A．150 dB
B．285 dB
C．145 dB
D．235 dB
【答案】D
【分析】设人与人交谈时的声强约为
W/m²，依题推得
，将这种火箭发射的声强
代入公式结合对数
运算即可求得．
【详解】设人与人交谈时的声强约为
W/m²，依题意，
，则得
，
依题意，该火箭发射时的声强约为
W/m²，则其发射的声强级约为：
.
【变式2】（2025·四川眉山·模拟预测）某工厂生产某零件，2025 年8 月共生产该零件1 万件，根据市场需求，计划
这之后每月的产量在前一个月的产量的基础上增加20%，则2025 年10 月该工厂这种零件的产量为______万件，2026
年2 月该工厂这种零件的产量______（填“能”或“不能”）超过3 万件.（参考数据：
，
）
【答案】 1.44/
不能
【分析】由题可得第n 个月产量的表达式，据此可得
的结果；求出2026 年2 月该工厂这种零件的产量，利用指
数式和对数式的互化，以及对数的运算，即可求解.
【详解】记2025 年8 月为第1 个月，该工厂这种零件的产量为
，
则第
个月该工厂这种零件的产量为
，由题意可得
（万件）.
2025 年10 月为第3 个月，
则2025 年10 月该工厂这种零件的产量为
.
2026 年2 月为第7 个月，
，
因为
，
所以
.
故答案为：1.44；不能
【变式3】（2024·广东湛江·一模）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有
关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把
茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是
，室温是
，那么
后茶水的温度
单位：
，可由公式
求得，其中
是常数，为了求出这个
的值，某数学建模兴趣小组在
室温下进行了数学实
验，先用
的水泡制成
的茶水，利用温度传感器，测量并记录从
开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜
集整理到了如下的数据：
(1)请你利用表中的一组数据
，
求
的值，并求出此时
的解析式计算结果四舍五入精确到
；
(2)在
室温环境下，王大爷用
的水泡制成
的茶水，想等到茶水温度降至
时再饮用，根据（1）的结果，
王大爷要等待多长时间
计算结果四舍五入精确到分钟．
参考数据：
，
，是自然对数的底数，
【答案】(1)
，
；
(2)要等待约分钟.
【分析】（1）将给定数据代入函数模型，求出常数
及对应的函数关系.
（2）由（1）中关系式，求出
时的值.
【详解】（1）依题意，
，且当
，
时，
，
则
，
，解得
，
所以
.
（2）由（1）知，
，当
时，
，即
，
整理得
，解得
，
王大爷要等待约分钟.
【题型三】函数模型的应用实例
【例7】（2026·浙江绍兴·模拟预测）
年某新能源车企搭载AI 智能续航系统，汽车匀速行驶时，剩余续航里程
与行驶总时间
满足函数关系
．该车先匀速行驶
，之后进入拥堵路段，系统切换能耗模式，
剩余续航按
衰减（
为匀速
后的剩余续航，为拥堵行驶时间）．当剩余续航降至
时，汽车从出
发到此刻的总行驶时长约为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
，再令
，从而可得所求时间.
【详解】因为
为匀速
后的剩余续航，所以
，
令
，即
，
，故
；
当剩余续航降至
时，汽车从出发到此刻的总行驶时长约为
.
【例8】（2025·云南·模拟预测）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器
的最大速度（单位：
）与燃料的质量
（单位：
）和飞行器（除燃料外）的质量
（单位：
）的函数关
系是
．已知质量为
的飞行器所处高空的音速为
，若燃料的质量分别为
和
时，最
大速度对应的马赫数分别为1 和11，则
___________．
【答案】
【分析】由题意可得
，计算可求得
的值.
【详解】依题意，
，
即0.2
，
即
，
，则
．
故答案为：
.
【例9】（2024·吉林长春·模拟预测）某制药厂临床试验一批新药的疗效（
-因子是主要成分），根据国家规定：服
用新药后100mL 血液中
-因子含量达到
认定为有效Ⅰ级，80mg 及以上认定为有效Ⅱ级，20mg 以下认定为
无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中
-因子的浓度呈线性增长，当其上升到
时，血液中
-因子的浓度将会以每小时
的速度减少（函数模型如图）．
(1)请写出服用该药后血液中
-因子浓度
（单位：
）随时间
（单位：小时）变化的关系式；
(2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中
-因子才能降至无效？（结果取整数）．
（参考数据：
）
【答案】(1)
；
(2)9 个小时.
【分析】（1）根据给定的条件，结合图象求出
与
的关系式.
（2）利用（1）的结论，结合已知建立不等式，再利用单调性求解即得.
【详解】（1）开始时，血液中
-因子浓度呈线性增长时，设
，
将
代入，得
，解得
，因此
；
当
时，
，又当
-因子浓度上升到
时，以每小时
的速度减少，
则当
时，
，
所以所求关系式为
.
（2）设至少要经过
小时血液中
-因子降至无效，即
，
整理得
，两边取常用对数，得
，
则
，解得
，
所以至少要经过9 个小时血液中
-因子才能降至无效.
【变式1】（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风
力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：
（其中为轮毂高度风速，单位：
，
为风力等级）．
我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到
，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）
（注：
，
）
A．9 级
B．11 级
C．13 级
D．15 级
【答案】B
【分析】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解．
【详解】将轮毂高度瞬时风速
代入
，得
，
由
知，
，则
，
所以
，
又
，所以
，
所以
．
【变式2】（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积
单位：
与时间
单位：月的
关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1 个月时，浮萍面积为
，第5 个月时，浮萍面积就会超过
，下列
函数模型：①
，②
，③
，④
中，最符
合浮萍面积y 与时间t 关系的模型是______ 填写序号，若浮萍蔓延到
，所经过的时间
______.
【答案】 ③
【分析】由已知结合基本初等函数的图象判断函数模型，求出函数解析式，即可求解
【详解】
为线性增长，
的增长速度会逐渐变慢，
由图象可知，模型①④不符合，
将
，
代入模型②③，得
，
，即模型②
，模型③
，
当
时，模型②，
不符合，
当
时，模型③，
，选模型③；
由
，解得
故答案为：③；
【变式3】（2025·安徽合肥·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽
省合肥市于
年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足
，经市
场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当
时，载客量会逐渐增加，载客量与
成一次函数关
系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为
人，当
时，列车为满载状态，载客量为
人，记列车载客
量为
.
(1)求
的表达式，并求当发车时间间隔为
分钟时，列车的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为：
（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收
益最大，并求出最大值.
【答案】(1)
，
人；
(2)发车时间间隔为
分钟时，该线路每分钟的净收益最大为
元.
【分析】（1）由题设，有当
时，
，且
，
，求
值，进而写出其分段
函数的形式，再求
.
（2）由（1）写出
解析式，讨论
、
求最大值即可.
【详解】（1）由题设，当
时，令
，
又发车时间间隔为3 分钟时的载客量为333 人，10 分钟时的载客量为480 人，
所以
，解得
，
所以
，
当
时，
，
所以
，
故
时，
，
所以当发车时间间隔为
分钟时，列车的载客量为
人；
（2）（2）因为
，
所以由（1）可得：
当
时，
，
当且仅当
等号成立，
则
时，
（元），
当
时，
在
递减，
则
（元）
综上，发车时间间隔为4 分钟时，该线路每分钟的净收益最大为112 元.
【解题大招01】一次函数建模技巧（匀速线性问题）
解题技巧：实际问题中均匀变化、固定收费、定额增减类问题，统一套用一次函数。固定常量为截距b，单位变
化量为斜率k，无需复杂推导，直接建模。
核心公式：y =kx +b(k ≠0)
易错提醒：实际问题必须限定定义域，x ≥0，人数、数量类需满足x∈N
∗。
【例1】某奶茶店外送服务费基础4 元，每超出1 公里加收1.2 元，设超出公里数为x，求总服务费解析式。
解析：y =1.2 x + 4( x ≥0)
【解题大招02】指数模型秒杀技巧（增长率/衰减率问题）
解题技巧：题干出现“增长率、降低率、折旧、复利、繁殖、衰变”，直接锁定指数函数模型，是高考最快秒
杀技巧。
核心公式
增长模型：y = N (1+ p)
x
衰减模型：y = N (1−p)
x
其中：N为初始量，p为变化率，x为时间/变化次数。
【例2】某基金年化收益率3.5%，存入本金20000 元，复利计息，求x年后本息和。
解析：y =20000(1+3.5 %)
x =20000⋅1.035
x( x∈N )
【解题大招03】对数模型判性技巧（饱和增长问题）
解题技巧：学习积累、热度推广、技能提升类饱和增长问题，增速先快后慢，选用对数模型，只需判断单调性
与增速趋势，简单计算取值。
核心公式：y = loga x(a>1)
【例3】学生刷题掌握知识点模型为y =8 log2 x，求第8 天掌握知识点数量。
解析：y =8 log2 8=8×3=24
【解题大招04】二次函数最值解题技巧（高考解答题核心）
解题技巧：利润最大、面积最大、用料最省最值问题，统一用二次函数顶点法；先判开口方向，再求顶点，顶
点不在定义域内则用区间单调性求最值。
核心公式
y =a x
2+bx +c(a≠0)
最值横坐标：x =−b
2a
开口判定：a>0有最小值，a<0有最大值。
【例4】商品销售利润满足y =−3 x
2+60 x，求最大利润。
解析：
x
=−
60
2×(−3) =10
ymax
=−3×10
2+60×10=300
最大利润为300。
【解题大招05】对勾函数最值秒杀技巧（分式最优问题）
解题技巧：题干出现“平均成本最低、用料最省、分式和型最值”，优先对勾函数基本不等式求解，无需单调
性讨论。
核心公式
y = x + k
x (k >0, x>0)
x + k
x ≥2❑√k，当且仅当x = ❑√k取最小值
【例5】求函数y = x + 64
x ( x>0)的最小值。
解析：y ≥2❑√64 =16，当x =8时，ymin=16
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·吉林·二模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：
）关于时间（单位：
）的函数解析式为
（
为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为
，若从
到
，水面
高度下降了
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】A
【详解】由题意可得
，解得
．令
，
即
，化简得
，解得
（
舍去）．
2．（2026·湖南怀化·二模）某AI 大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为
，经过t 年后算力为P，则P 与t 的
函数关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】P 与t 的函数关系式为
．
3．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率
（单位：次
）与体重
（单位：kg）、外界环境温度
（单位：℃）有关，满足
（
为常数）．已知在环境温度为
时，
为两个睡眠中的恒温动物，
的体重为
、脉搏率为210 次
，
的脉搏率是105 次
，则
的体重为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意知在环境温度为
时，
的体重为
、脉搏率为210 次
，
故
，
的脉搏率是105 次
，设其体重为t kg，则
，
则
，即
，解得
（kg）.
二、多选题
4．（2024·河南·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修
排气扇恢复正常，每排气4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度变为原来的
.由检验知该地下车库一氧化碳浓度
（ppm）与排气时间（分钟）之间存在函数关系
，其中
（
为常数）.已知空气中一氧化碳浓度不
高于0.5ppm 为正常，人可以安全进入车库.若刚好经过
（分钟），人就可以安全进入车库了，则（ ）
A．
B．
C．
D．排气12 分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm
【答案】ACD
【分析】由题意可设
，再由已知列关于
，
的方程组，求出
判断A 与B；进一步求出
的解
析式，算出
，判断C 与D．
【详解】由题意可设
，则
，此时
为常数，
由题意，
，则
，即
，
所以
，故A 正确，B 错误；
因为刚好经过
（分钟），人就可以安全进入车库了，
所以
，又由
，得
，
，
解得
，所以
，故C 正确；
，故排气12 分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
5．（2023·贵州铜仁·模拟预测）牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型
（t 为时间，单位：
分钟，
为环境温度，
为物体初始温度，
为冷却后温度），假设一杯开水温度
，环境温度
，
常数
，大约经过________分钟水温降为30℃（参考数据：
）．
【答案】
【分析】代入数据，结合指数与对数性质运算即可得.
【详解】由题意
，则
，所以
分钟．
故答案为：
.
6．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒
精含量大于或者等于
且小于
认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员
喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了
. 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时
30%的速度减少，那么他至少经过_____个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85）
【答案】
【分析】设至少经过
个小时后才能驾驶，由题意有
，两边同时取对数得
，然后求解
即可.
【详解】设至少经过
个小时后才能驾驶，则有
，
即
，两边同时取对数得
，即
，
因为
，所以
，
所以
，即至少经过
个小时才能驾驶.
故答案为：
.
7．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x 年底光
伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型
，其中N 为饱和度，
为初始值，p 为年增长率．
若该地区2024 年底的光伏太阳能板保有量约为20 万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为
，饱和度为1020
万块，那么2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量约__________万块．
（结果四舍五入保留到整数，参考数据：
，
，
）
【答案】
【分析】把已知数据代入模型
，求出对应的值即可．
【详解】根据题意，所给模型中
，
则2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量为
，
因为
，所以
，
所以2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量约36 万块.
故答案为：36.
四、解答题
8．（2024·山东·二模）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车
距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离
（米）与汽车的车速
（千米／时）满足下列关系：
（
，
是常数，
）.根据多次实验数据绘制的刹车距离
（米）与汽车的车速
（千米/时）的关系图，如图所示.
(1)求
，
的值；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 米，求该型号汽车行驶的最大速度.
【答案】(1)
，
(2)行驶的最大速度为70 千米时．
【分析】（1）把点
，
代入函数
解析式，求解
，
的值即可；
（2）令
求出
的取值范围即可．
【详解】（1）由图象可知，点
，
在函数
图象上，
，解得
，
，
；
（2）令
，得
，
解得
，
又
，
，
即行驶的最大速度为70 千米时．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·贵州贵阳·二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型
（其中y 为感染人
数，
为初始感染人数，k 为传播系数，t 为发现疫情后的天数，e 为自然对数的底数）．已知发现疫情第1 天感染人
数为120 人，第3 天感染人数为270 人．若感染人数达到1000 人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第
（ ）天启动．（参考数据：
，
，
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【详解】由题意可得
，所以
，所以
.
由
，得
，
两边取自然对数得
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，即
.
所以最迟应在发现疫情后第7 天启动．
2．（2026·山东聊城·模拟预测）某新能源汽车研究机构发现，A 款电动汽车的保值率（即使用t 年后的二手车价格与
新车指导价的比值）P 随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：
，其中，a 和b 为常数.
已知A 款电动汽车使用2 年后保值率为
，使用4 年后保值率为
.若该车的保值率低于
即被视为“大幅
贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据：
，
）（ ）
A．5 年
B．6 年
C．7 年
D．8 年
【答案】B
【详解】由题意，当
时，
，
根据题中数据，可列方程组
，则
，则
，
即
，所以
，由
，则
，
所以该车大约在使用6 年后会进入“大幅贬值”区间.
二、多选题
3．（2025·陕西·一模）记等比数列
的公比为q，前n 项和为
，已知
，且
，
，
成等差数列，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
，
，
成等比数列
C．若
，则数列
的前n 项和为
D．若
，则存在正整数M，使得当
时，
【答案】ACD
【分析】对于A，由
，
，
成等差数列结合题意可判断选项正误；
对于B ，由A 分析可得公比，即可判断选项正误；
对于C，由B 分析可得
，即可判断选项正误；
对于D，由指数函数与一次函数增长速度可判断选项正误.
【详解】对于A，因为
，且
，
，
成等差数列，所以
，故A 正确；
对于B，由
，得
，解得
或
，当
时，
，故B 错误；
对于C，若
，则
，
，所以
，
所以
的前n 项和为
，故C 正确；
对于D，当
时，
，
，
由于
呈指数增长，而
呈线性增长，
因此当n 足够大时，必有
，故D 正确．
故选：ACD
三、填空题
4．（2024·河南洛阳·模拟预测）在高度为
的竖直墙壁面上有一电子眼
，已知
到天花板的距离为
，电子
眼
的最大可视半径为
．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为0.2m 的木棒（木棒竖直下
落且保持与地面垂直），则电子眼A 记录到木棒通过的时间为______s．（注意：位移与时间的函数关系为
，
重力加速度
取
）
【答案】
【分析】由题意中的函数关系建立方程组，解之即可求解.
【详解】由已知得，木棒做自由落体运动，
设从开始下落到木棒的下端开始进入电子眼的视线和木棒的上端开始离开电子眼的视线所需要的时间分别为
，
位移分别为
，
所以
，则
，
所以电子眼A 记录到木棒通过的时间为
．
故答案为：
5．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时间
（单位：
）间的关系为
，若在前
消除了
的污染物，当污染物减少
时，所需时间约为_____
（精确到
，参考数据：
，
，
）．
【答案】33
【分析】由题意列式，再根据指数化成对数，利用对数的运算即可得出结果.
【详解】由题意可知，当
时，
，
所以当污染物减少
时，
，
解得
.
故答案为：33
四、解答题
6．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板
通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度
（E 为入射
光能量且
为入射光入射有效面积），电池板转换效率
与入射光功率密度
成反比，且比例系
数为k．
(1)若
平方米，求蓄电池电能储存量Q 与E 的关系式；
(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量
，锂离子蓄电池的放电量
．设
，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？
注：①蓄电池电能储存量
；
②当S，k，Q 一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用题目所给公式及数据计算即可得；
（2）用S，k，Q 表示出两种蓄电池的放电量后作差比大小即可得.
【详解】（1）
，
若
平方米，则
；
（2）由
，即
，
铅酸蓄电池的放电量为：
，
锂离子蓄电池的放电量为：
，
则
，
令
，可得
，
即
时，
，此时应选择铅酸蓄电池，
当
时，
，此时应选择锂离子蓄电池，
当
时，
，两种电池都可以.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·山东烟台·二模）已知某数据中心的算力
（单位：EFLOPS）与芯片投入量
（单位：万片）满足饱和增
长模型：
，其中
为该中心最大理论算力.已知投入2 万片芯片时，算力
，若要求算力
，则芯片投入量至少为（ ）
A．3 万片
B．4 万片
C．5 万片
D．6 万片
【答案】B
【详解】
，将
代入，
得
，
整理得：
，
两边取自然对数：
，
解得：
，
所以
，
由
，得
，
即芯片投入量至少为4 万片.
2．（2026·江苏南通·三模）社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10 元.已知日销售量与每盒售价（元）
满足关系式：
，其中p 为每盒售价
，
为每日销量.若要使每日销售利润最
大，则每盒礼盒应定价为（ ）
A．17.9 元
B．18.9 元
C．19.9 元
D．20.9 元
【答案】B
【分析】每日销售利润等于每盒利润乘以每日销量．先写出利润函数，对利润函数取对数，再利用导数判断最大值的
位置，最后结合四个选项进行判断．
【详解】由题意，每盒进货成本为10 元，每盒售价为
元，所以每盒利润为
元．
每日销量为
，且
．
因此每日销售利润为
．
因为
，所以
．
令
，则
．
求导得
．令
，得
．
两边同乘
，得
．
整理得
，解得
或
．
因为
，所以只取
．
当
时，
，利润函数递增；当
时，
，利润函数递减．
所以利润函数在
时取得最大值．
在选项中，17.9 元和18.9 元都小于19.18 元，且利润函数在此区间递增，
所以18.9 元优于17.9 元；19.9 元和20.9 元都大于19.18 元，且利润函数在此区间递减，
所以19.9 元优于20.9 元．再比较18.9 元和19.9 元，代入利润函数可得18.9 元对应的利润更大，故每盒礼盒应定价为
18.9 元．
二、多选题
3．（2026·河南·三模）一款运动APP 测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时
间t（单位：分钟）之间的关系满足
，其中
为正整数，
表示不超过
的最大整数.当
时，心率为120 次/分钟，当心率不低于90 次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静
息心率（休息时的心率）为60 次/分钟，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的最大值为124
C．该运动员第9 分钟时恢复到静息心率
D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5 分钟
【答案】ABD
【分析】对于A，根据分段函数定义可得当
时，
，
，结合函数单调性即可判断；
对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将
代入函数计算函数值即可判断；对于D 根据“运动后活
跃期”定义求得满足
的值即可判断.
【详解】对于A，当
时，
，则
，其中
，
为正整数，
当
时，
，此时
，符合题意，
当
时，
，此时
，不符合题意，
因为
单调递减，且
为正整数，所以
，故A 正确；
对于B，当
且
时，
，
所以当
时，
取得最大值：
，
当
且
时，
，
，
因为
在
上单调递减，所以
，
所以当
时，
取得最大值：
，
综上，
的最大值为124，故B 正确；
对于C，当
时，
，
所以该运动员第9 分钟时没有恢复到静息心率，故C 错误；
对于D，当
且
时，
，
当
时，
取得最小值，
，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”，
当
且
时，
，
，即
，
所以
，即
，解得
，所以有
，
，
综上，当
且
时，
，
因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5 分钟，故D 正确.
三、填空题
4．（2026·江苏·三模）某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量
（单位：拷贝数/升）与时间（小
时）的关系为
，其中
，
为初始病毒载量，则病毒载量在
_____小时达到峰值，之后病毒
载量每经过1 小时衰减为原来的
倍，当低于
时不具传染性，则从
起，该病毒具有传染性的总时长为_____
小时．
【答案】 4 32
【分析】分类讨论的范围得出
的增减性，即可得出病毒载量达到峰值的时间；再分类讨论的范围，结合指数
函数的单调性解不等式即可求解该病毒具有传染性的总时长．
【详解】当
时，此时
，
代入原函数指数部分：
，
所以，
，
已知
，则
，
所以当
时，指数
是关于的减函数，
因此
在
上单调递减，
当
时，此时
，代入原函数指数部分：
，
所以，
，
同理得
在
上单调递增，
综合以上两种情况，
在
时单调递增，在
时单调递减，
因此，病毒载量在
时达到峰值．
在
时，
，
根据题意，对于任意
，有：
，
代入表达式：
，
整理得，
，
，
所以
，
病毒具有传染性的条件是
，即
，
整理得，
，
当
时，不等式变为：
，
结合前提
，得到
；
当
时，不等式变为：
，
结合前提
，得到
，
综合两种情况，病毒具有传染性的时间段为
，
题干要求计算从
起的传染时长，即时间区间
的长度，
故总时长为
小时．
四、解答题
5．（2024·福建泉州·模拟预测）在相同的介质中，人们肉眼看到的光线总是呈直线运动的.由于光在不同的介质中的
传播速度不同，因此在不同的介质中光会发生折射现象.在如图所示的平面直角坐标平面
中，光在介质Ⅰ内点
以入射角
，速度
在介质1 内传播至
轴上的点
，而后以折射角
，速度v 在介质Ⅱ内传播至点
.
(1)将光从点A 传播到点B 的所需的时间关于x 的函数的解析式
；
(2)费尔马认为：光总是沿着最节省时间的路线传播，设点B 在x 轴上的射影为C.根据费尔马的结论，解决以下问题：
（i）证明：
.
（ii）若
，
，
，求光线从点A 传播到点B 所经过路程的取值范围.
【答案】(1)
，
，
(2)（i）证明过程见解析；（ii）
【分析】（1）由勾股定理得到
，
，表达出
，
；
（2）（i）求导，结合零点存在性定理得到函数单调性，及存在唯一的
，使得
，结合费尔马的结
论，当
时，光线所经过的时间最短，由
得到方程，结合
，证明出结论；
（ii）代入化简得到
，
，得到点
的轨迹，光线从
运动到点
所经过的路程为
.
【详解】（1）由勾股定理得
，
，
所以
，
，
（2）（i）
，
由于
在
上为增函数，
在
上为减函数，
故
在
上为增函数，
又
，
，
由零点存在性定理得，存在唯一的
，使得
，
且
在
上单调递减，在
上单调递增，
据此，并运用费尔马的结论，当
时，光线所经过的时间最短，
令
得，
，
故
，
又
，故
；
（ii）当
，
，
时，
，
整理得
，
，
故点
的轨迹为长轴长为4，短轴长为
的椭圆在坐标轴第四象限的部分，
光线从
运动到点
所经过的路程为
，
其中
，代入得
；
故光线从点A 传播到点B 所经过路程的取值范围为
.
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点
的坐标
表示相关点
的坐标
，然后代入点
的坐标
所满足的曲线方程，
整理化简可得出动点
的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标
之间的直接关系难以找到时，往往先寻找
与某一参数得到方程，即为动点的轨
迹方程；
