文档文本内容
【第11 讲：指数函数的图像与性质】
一．指数函数的特征及解析式（共4 小题）
二．由指数函数的解析式求解参数（共1 小题）
三．指数函数的定义域（共5 小题）
四．指数函数的值域（共2 小题）
五．指数函数图象特征与底数的关系（共6 小题）
六．指数函数及指数型复合函数的图象（共3 小题）
七．求指数函数及指数型复合函数的单调性（共4 小题）
八．由指数函数的单调性求解参数（共2 小题）
九．求指数函数及指数型复合函数的最值（共3 小题）
十．由指数函数的最值求解参数（共5 小题）
十一．指数函数的实际应用（共3 小题）
十二．指数函数综合题（共4 小题）
【知识点清单】
1．指数函数的特征及解析式
【知识点的认识】
1、指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R，值域是
（0，+∞）．
2、指数函数的解析式：
y＝ax（a＞0，且a≠1）
3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a＞0，x 是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a 大于零且不等于1 的理由：
如果a＝0，当x＞0 时，ax恒等于0；当x≤0 时，ax无意义；
如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x= 1
4 ，x= 1
2在实数范围内函数值不存在．
如果a＝1，y＝1x＝1 是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0 且a≠1．
题型梳理
总览
2．指数函数的定义域
【知识点的认识】
指数函数的解析式、定义、定义域、值域
1、指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R，值域是
（0，+∞）．
2、指数函数的解析式：
y＝ax（a＞0，且a≠1）
3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a＞0，x 是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a 大于零且不等于1 的理由：
如果a＝0，当x＞0 时，ax恒等于0；当x≤0 时，ax无意义；
如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x= 1
4 ，x= 1
2在实数范围内函数值不存在．
如果a＝1，y＝1x＝1 是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0 且a≠1．
3．指数函数的值域
【知识点的认识】
指数函数的解析式、定义、定义域、值域
1、指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R，值域是
（0，+∞）．
2、指数函数的解析式：
y＝ax（a＞0，且a≠1）
3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a＞0，x 是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a 大于零且不等于1 的理由：
如果a＝0，当x＞0 时，ax恒等于0；当x≤0 时，ax无意义；
如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x= 1
4 ，x= 1
2在实数范围内函数值不存在．
如果a＝1，y＝1x＝1 是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0 且a≠1．
4．指数函数的图象
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
（0，+∞）
性质
过定点（0，1）
当x＞0 时，y＞1；
x＜0 时，0＜y＜1
当x＞0 时，0＜y＜1；
x＜0 时，y＞1
在R 上是增函数
在R 上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；
同样地，当0＜a＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l 时，函数y＝ a x与函数y=( 1
a )
x的图象关于y 轴对称．
【解题方法点拨】
利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
5．求指数函数及指数型复合函数的单调性
【知识点的认识】
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a
＞1，0＜a＜1 的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判
断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X 的增大，Y 值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X 的增大，内层函数的Y 值就在不断的减
小，而内层函数的Y 值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X 的增大时，内层函数
的Y 值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X 不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复
合函数的Y 值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则
若随着内层函数自变量X 的增大，内层函数的Y 值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X 不断增大，
又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y 值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
【解题方法点拨】
指数函数及其复合函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，是分析函数性质的重要内容．
﹣分析指数函数的解析式，确定其单调性：当a＞1 时，指数函数单调递增；当0＜a＜1 时，指数函数单调
递减．
﹣对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层指数函数确定复合函数的整体单调性．
﹣验证单调性的准确性．
6．指数函数的实际应用
【知识点的认识】
指数函数图象的应用：
函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何
与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用
指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．
22．指数函数综合题
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
0＜a＜1 a＞1
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
（0，+∞）
性质
过定点（0，1）
当x＞0 时，y＞1；
x＜0 时，0＜y＜1
当x＞0 时，0＜y＜1；
x＜0 时，y＞1
在R 上是增函数
在R 上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；
同样地，当0＜a＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l 时，函数y＝ a x与函数y=( 1
a )
x的图象关于y 轴对称．
【解题方法点拨】
利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
一．指数函数的特征及解析式（共4 小题）
1．若指数函数f（x）的图象过点（3，8），则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝x3
B．f（x）＝2x
C．f（x）＝（1
2）x
D．f（x）= x
1
3
【考点】指数函数的特征及解析式．
版权所有
【分析】利用待定系数法求解即可．
知识讲解与常考题型
题型分类
【解答】解：设f（x）＝ax（a＞0 且a≠1），
∵指数函数f（x）的图象过点（3，8），∴a3＝8，
∴a＝2，
∴f（x）＝2x．
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数函数的定义，属于基础题．
2．若函数f ( x)=( 1
3 )
| x|
+m−1的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是
[0
，
1 ）
．
【考点】指数函数的特征及解析式．
版权所有
【分析】问题转化为m−1=−( 1
3 )
| x|
有实数解，结合指数函数的性质即可求解．
【解答】解：因为函数f ( x)=( 1
3 )
| x|
+m−1的图象与x 轴有公共点，
即m−1=−( 1
3 )
| x|
有实数解，
因为|x|≥0，
所以0＜（1
3）|x|≤1，
则﹣1≤﹣（1
3）|x|＜0，故﹣1≤m﹣1＜0，
解得0≤m＜1．
故答案为：[0，1）．
【点评】本题主要考查了指数函数性质的应用，属于基础题．
3．如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）满足关系式：y＝at（a＞0 且
a≠1），则浮萍面积从4m2到12m2至少需要经过
1.6
个月．（精确到0.1）
【考点】指数函数的特征及解析式．
版权所有
【分析】结合指数及对数运算即可求解．
【解答】解：由图象可得，a＝2，f（x）＝2x，
由浮萍面积为4m2时，2
x1=4，即x1＝2，
若浮萍面积为12m2时，2
x2=12，即x2＝log212＝2+log23，
则x2﹣x1＝log23≈1.6．
故答案为：1.6．
【点评】本题主要考查了指数及对数的运算，属于基础题．
4．已知函数f ( x)=a( 1
2 )
x
+b的图象过原点，且无限接近直线y＝2 但又不与该直线相交，则f（1）＝
1
．
【考点】指数函数的特征及解析式．
版权所有
【分析】根据指数函数的性质确定a，b 的值，即可求解．
【解答】解：因为函数f ( x)=a( 1
2 )
x
+b无限接近直线y＝2 但又不与该直线相交，
所以b＝2，
又函数f ( x)=a( 1
2 )
x
+b的图象过原点，
所以a×( 1
2 )
0
+2=0，
解得a＝﹣2，
所以f ( x)=−2×( 1
2 )
x
+2，
所以f (1)=−2× 1
2 +2=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了指数函数的性质，属于基础题．
二．由指数函数的解析式求解参数（共1 小题）
5．函数y＝（2a2﹣3a+2）ax是指数函数，则a 的值为（ ）
A．1
2
B．1
C．−1
2
D．1 或1
2
【考点】由指数函数的解析式求解参数．
版权所有
【分析】根据指数函数的结构形式得到关于a 的方程，解出即可．
【解答】解：∵函数y＝（2a2﹣3a+2）ax是指数函数，
∴2a2﹣3a+2＝1，解得：a= 1
2，a＝1（舍），
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数问题，考查底数a 的范围，是一道基础题．
三．指数函数的定义域（共5 小题）
6．函数f ( x)= ❑√1−( 1
2 )
x的定义域为（ ）
A．（﹣∞，0）
B．（0，+∞）
C．[0，1）
D．[0，+∞）
【考点】指数函数的定义域．
版权所有
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解指数不等式得答案．
【解答】解：由1−( 1
2 )
x≥0，得( 1
2 )
x≤1，即x≥0．
∴函数f ( x)= ❑√1−( 1
2 )
x的定义域为[0，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
7．已知函数f（x）的定义域为（1，+∞），则函数F( x)= f (2
x−3)+ ❑√3−x的定义域为（ ）
A．（2，3]
B．（﹣2，3]
C．[﹣2，3]
D．（0，3]
【考点】指数函数的定义域．
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【分析】F（x）的定义域为y = f (2
x−4)，y = ❑√3−x两个函数定义域的交集，列出不等式组求解即可．
【解答】解：由题可知，{
2
x−3＞1
3−x ≥0 )⇒{x＞2
x ≤3 ⇒2＜x ≤3，故函数F（x）的定义域为（2，3]．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
8．函数f ( x)=
❑√1−e
x+
1
❑√x +3的定义域为（ ）
A．（﹣3，0]
B．（﹣3，1]
C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]
D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]
【考点】指数函数的定义域．
版权所有
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0 联立不等式组求解．
【解答】解：要使原函数有意义，
则{
1−e
x≥0
x +3＞0)，解得﹣3＜x≤0．
∴函数f ( x)=
❑√1−e
x+
1
❑√x +3的定义域为（﹣3，0]．
故选：A．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
（多选）9．已知函数f ( x)= 2
x−1
2
x+1
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的定义域为R
B．函数f（x）的值域为（﹣1，1）
C．函数f（x）的图象关于y 轴对称
D．函数f（x）在R 上为减函数
【考点】指数函数的定义域；函数的值域；函数的单调性．
版权所有
【分析】根据指数函数的性质，结合函数奇偶性的定义、单调性的性质逐一判断即可．
【解答】解：A：因为2x＞0，所以函数f（x）的定义域为R，故A 正确；
B：f ( x)= 2
x−1
2
x+1
=1−
2
2
x+1
，
由2
x＞0⇒2
x+1＞1⇒0＜
1
2
x+1
＜1⇒−2＜−
2
2
x+1
＜0⇒−1＜−
2
2
x+1
＜1，
所以函数f（x）的值域为（﹣1，1），故B 正确；
C：因为f (−x)= 2
−x−1
2
−x+1
= 1−2
x
1+2
x =−f ( x)，
所以函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y 轴对称，故C 错误；
D：因为函数y＝2x+1 是增函数，因为y＝2x+1＞1，所以函数y =
2
2
x+1是减函数，
因此函数f ( x)=1−
2
2
x+1是增函数，故D 错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查分式函数的性质，利用分子常数法分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．
10．在(2a+1)
−1
2中，实数a 的取值范围是 (−1
2 ，+ ∞) ．
【考点】指数函数的定义域．
版权所有
【分析】由负分数指数幂化为根式，根据偶次根式有意义求出参数的范围．
【解答】解：(2a+1)
−1
2 =
1
❑√2a+1
，故2a+1＞0，
解得a＞−1
2，故实数a 的取值范围是(−1
2 ，+∞)．
故答案为：(−1
2 ，+∞)．
【点评】本题主要考查指数函数定义域的求解，属于基础题．
四．指数函数的值域（共2 小题）
11．函数y =2
2 x−x
2
的值域为（ ）
A．[2，+∞）
B．（﹣∞，2]
C．(0，1
2 ]
D．（0，2]
【考点】指数函数的值域．
版权所有
【分析】根据指数函数的性质即可求解．
【解答】解：设u＝f（x）＝2x﹣x2，f（x）max＝f（﹣1）＝1，
y＝2u∈（0，2]．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数和二次函数的性质，属于基础题．
12．已知1
2 ≤x ≤2，求函数y =( 1
4 )
x−1
−4( 1
2 )
x
+2的值域为 [1，5
4 ] ．
【考点】指数函数的值域．
版权所有
【分析】借助换元法可得y＝4t2﹣4t+2，再结合x 的范围运用二次函数性质计算即可得．
【解答】解：令t =( 1
2 )
x
，由1
2 ≤x ≤2，则t =( 1
2 )
x
∈[ 1
4 ，
❑√2
2 ]，
则y =( 1
4 )
x−1
−4( 1
2 )
x
+2=( 1
2 )
2 x−2
−4( 1
2 )
x
+2
= 4( 1
2 )
2 x
−4( 1
2 )
x
+2= 4t
2−4t +2= 4(t −1
2 )
2
+1，
由t ∈[ 1
4 ，
❑√2
2 ]，则ymin= 4( 1
2 −1
2 )
2
+1=1，
又当t = 1
4 时，y = 4 t
2−4 t +2= 4× 1
16 −4× 1
4 +2= 5
4 ，
当t =
❑√2
2 时，y = 4 t
2−4 t +2= 4× 1
2 −4×
❑√2
2 +2= 4−2❑√2，
有5
4 −(4−2❑√2)=2❑√2−11
4 = 8 ❑√2−11
4
=
❑√128−❑√121
4
＞0，
故5
4 ＞4−2❑√2，故函数y =( 1
4 )
x−1
−4( 1
2 )
x
+2的值域为[1，5
4 ]．
故答案为：[1，5
4 ]．
【点评】本题考查了指数函数的单调性、换元法以及二次函数在给定区间上求值域的方法．通过换元将
复杂的指数型函数转化为熟悉的二次函数，考查了学生的转化与化归思想以及对函数性质的综合运用能
力．
五．指数函数图象特征与底数的关系（共6 小题）
13．四个指数函数y＝2x，y＝3x，y =( 1
2 )
x，y =( 1
3 )
x的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．图象①，②，③，④对应的函数依次为y =( 1
2 )
x，y =( 1
3 )
x，y＝2x和y＝3x
B．图象①，②，③，④对应的函数依次为y =( 1
3 )
x，y =( 1
2 )
x，y＝2x和y＝3x
C．图象①，②，③，④对应的函数依次为y =( 1
3 )
x，y =( 1
2 )
x，y＝3x和y＝2x
D．图象①，②，③，④对应的函数依次为y =( 1
2 )
x，y =( 1
3 )
x，y＝3x和y＝2x
【考点】指数函数图象特征与底数的关系．
版权所有
【分析】由已知结合指数函数的性质分别检验各函数即可判断
【解答】解：结合指数函数的性质可知，当a＞1 时，y＝ax单调递增，且底数越大，函数图象越接近y
轴，
当0＜a＜1 时，y＝ax单调递减，且底数越小，函数图象越接近y 轴，
故y＝2x，y＝3x，y =( 1
2 )
x，y =( 1
3 )
x的图象分别对应④③①②．
故选：D．
【点评】本题主要考查了指数函数的图象及性质的应用，属于基础题．
14．已知（x1，y1）和（x2，y2）是函数y＝2x图象上的两点，则（ ）
A．y1+ y2≥2
x1+ x2
B．y1+ y2
2
≤2
x1+ x2
2
C．y1 y2≥4
x1−1+ 4
x2−1+2
x1+ x2−1
D．y1+ y2
2
≥2
x1+ x2
2
【考点】指数函数图象特征与底数的关系．
版权所有
【分析】直接利用均值不等式结合指数运算进行求解即可．
【解答】解：已知（x1，y1）和（x2，y2）是函数y＝2x图象上的两点，
可得：y1=2
x1，y2=2
x2，由于2
x1＞0，2
x2＞0，
因此y1+ y2=2
x1+2
x2≥2
❑√2
x1⋅2
x2=2×2
x1+ x2
2 ，当且仅当2
x1=2
x2，即x1＝x2时等号成立，
得：y1+ y2
2
≥2
x1+ x2
2 ．
故选：D．
【点评】本题考查了均值不等式，是基础题．
15．已知0＜b＜1，若e
a+lnb= 1
b
2 −a，则（ ）
A．a＞b﹣1
B．a＞b﹣2
C．ea＜b﹣1
D．ea＜b﹣2
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；利用导数求解函数的单调性和单调区间．
版权所有
【分析】由ea+lnb= 1
b
2 −a，得e
a+a= 1
b
2 + ln 1
b ，推导出1
b + ln 1
b ＜1
b
2 +ln 1
b
2，设函数f（x）＝ex+x，则
f（ln1
b ）＜f（a）＜f（ln 1
b
2），由此利用函数的单调性求解．
【解答】解：由ea+lnb= 1
b
2 −a，可得e
a+a= 1
b
2 + ln 1
b ，
∵0＜b＜1
b
2，
∴1
b + ln 1
b ＜1
b
2 +ln 1
b
2，
设函数f（x）＝ex+x，则f（ln1
b ）＜f（a）＜f（ln 1
b
2），
∴f（x）在R 上单调递增，
∴ln1
b ＜a＜ln 1
b
2，即b﹣1＜ea＜b﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．设a＞0，s∈R．下列各项中，能推出as＞a 的一项是（ ）
A．a＞1，且s＞0
B．a＞1，且s＜0
C．0＜a＜1，且s＞0
D．0＜a＜1，且s＜0
【考点】指数函数图象特征与底数的关系．
版权所有
【分析】利用特殊值法判断ABC；利用指数函数的单调性判断D．
【解答】解：对于A，取a＝2，s＝0.1，则as＝20.1＜a＝2，故A 错误；
对于B，取a＝2，s＝﹣1，则as＝2﹣1＜2，故B 错误；
对于C，取a＝0.1，s＝2，则as＝0.12＜0.1，故C 错误；
对于D，当0＜a＜1 时，y＝as是减函数，
∴s＜0 时，as＞a，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查指数函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．若函数f（x）＝（4mx﹣n）2的大致图象如图所示，则（ ）
A．mn＜0
B．m+n＞1
C．mn＞1
D．m+n＜0
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；等式与不等式的性质．
版权所有
【分析】由已知可得x = lo g4n
m
，分类讨论，可得结论．
【解答】解：由题意知，令4mx﹣n＝0，得mx＝log4n，所以x= 1
mlog4n．
由函数f（x）的图象知，x＞0，
所以当m＞0 时，n＞1；当m＜0 时，0＜n＜1．
当m＜0 时，若x→+∞，4mx→0，所以f（x）→n2，和图象不符，
所以m＞0，n＞1，所以一定有m+n＞1．
故选：B．
【点评】本题考查了幂函数与指数函数、对数函数的应用问题，是基础题．
18．若4x+3y＞2﹣y+9﹣x，则（ ）
A．2x﹣y＞0
B．2x﹣y＜0
C．x+2y＞0
D．2x+y＞0
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；由函数的单调性求解函数或参数．
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【分析】设f（x）＝2x﹣3﹣x，则原不等式可转化为f（2x）＞f（﹣y），利用f（x）单调性求解即可．
【解答】解：由4x+3y＞2﹣y+9﹣x，得22x﹣3﹣2x＞2﹣y﹣3y，
设f（x）＝2x﹣3﹣x，因为y＝2x在R 上单调递增，y＝3﹣x在R 上单调递减，y＝﹣3﹣x在R 上递增，
所以f（x）在R 上单调递增，且f（2x）＞f（﹣y），
所以2x＞﹣y，即2x+y＞0．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数的单调性，增函数的定义，是中档题．
六．指数函数及指数型复合函数的图象（共3 小题）
19．函数f（x）＝e|x|﹣3|x|﹣1 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】指数函数及指数型复合函数的图象．
版权所有
【分析】根据题意，求得f（x）为偶函数，再利用导数求得函数f（x）的单调区间，结合选项，即可求
解．
【解答】解：由函数f（x）＝e|x|﹣3|x|﹣1 的定义域为R，
且f（﹣x）＝e|﹣x|﹣3|﹣x|﹣1＝e|x|﹣3|x|﹣1＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，
当x∈（0，+∞）时，f（x）＝ex﹣3x﹣1，则f′（x）＝ex﹣3，
当x∈（0，ln3）时，f′（x）＜0；当x∈（ln3，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，ln3）上单调递减，在（ln3，+∞）上单调递增．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象变换，函数的奇偶性的应用，是基础题．
20 ．已知函数f （x ）＝mx﹣2 （m ＞0 ，且m≠1 ）恒过定点（a ，b ），则在直角坐标系中函数
g( x)=( 1
a )
| x +b|的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】指数函数及指数型复合函数的图象．
版权所有
【分析】先求出函数f（x）的定点，再结合函数的单调性，即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝mx﹣2（m＞0，且m≠1），
令x﹣2＝0，解得x＝2，
故f（2）＝1，即函数过定点（2，1），
由题意可知，a＝2，b＝1，
故g( x)=( 1
a )
| x +b|=( 1
2 )
| x +1|，
函数g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，故D 选项符合．
故选：D．
【点评】本题主要考查指数函数的图象与性质，属于基础题．
21．函数f（x）＝ax﹣b的图像如图所示，其中a、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
【考点】指数函数及指数型复合函数的图象．
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【分析】根据函数图象的变化趋势及特殊点确定答案即可．
【解答】解：由图象从左到右下降可知，
0＜a＜1；
由图象与y 轴的交点可知，
0＜a﹣b＜1，
故b＜0；
故0＜a＜1，b＜0；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象与性质，属于基础题．
七．求指数函数及指数型复合函数的单调性（共4 小题）
22．若函数f（x）＝a|x﹣1|（a＞0，a≠1）满足f（﹣1）＝4，则f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（﹣∞，1]
B．[1，+∞）
C．[﹣1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1]
【考点】求指数函数及指数型复合函数的单调性．
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【分析】根据已知f（﹣1）＝4，代入函数f（x），结合a＞0，a≠1，推出a＝2，所以f（x）＝2|x﹣1|，
对绝对值函数单调性进行分段讨论求解．
【解答】解：由f（x）＝a|x﹣1|，则f（﹣1）＝a|﹣1﹣1|＝a2＝4，
又a＞0，且a≠1，∴a＝2，f（x）＝2|x﹣1|．
当x≥1 时，|x﹣1|＝x﹣1，此时f（x）＝2x﹣1，y＝2x﹣1随着x 的增大而增大，∴f（x）在[1，+∞）上单
调递增；
当x＜1 时，|x﹣1|＝1﹣x，此时f（x）＝21﹣x，y＝21﹣x随着x 的增大而减小，∴f（x）在（﹣∞，1）上
单调递减．
∴函数f（x）＝2|x﹣1|在[1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1]上单调递减（包含x＝1，左侧递减，右侧
递增）．
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质应用问题，是基础题．
23．若函数f（x）＝a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1）= 1
9，则f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（﹣∞，2]
B．[2，+∞）
C．[﹣2，+∞）
D．（﹣∞，﹣2]
【考点】求指数函数及指数型复合函数的单调性．
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【分析】由f（1）= 1
9，解出a，求出g（x）＝|2x﹣4|的单调增区间，利用复合函数的单调性，求出f
（x）的单调递减区间．
【解答】解：由f（1）= 1
9，得a2= 1
9，于是a= 1
3，因此f（x）＝（1
3）|2x﹣4|．
因为g（x）＝|2x﹣4|在[2，+∞）上单调递增，
所以f（x）的单调递减区间是[2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查指数函数的单调性，复合函数的单调性，考查计算能力，是基础题．
24．已知函数f ( x)=2
x
2−2 x +1，则f（x）（ ）
A．在（﹣∞，1]上单调递增且值域为[1，+∞）
B．在（﹣∞，1]上单调递减且值域为[1，+∞）
C．在（﹣∞，1]上单调递增且值域为（0，1]
D．在（﹣∞，1]上单调递减且值域为（0，1]
【考点】求指数函数及指数型复合函数的单调性；复合函数的值域．
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【分析】结合二次函数及指数函数的性质，复合函数单调性即可求解．
【解答】解：令g（x）＝x2﹣2x+1，
根据二次函数性质可知，g（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
因为y＝2t在R 上单调递增，
根据复合函数的单调性可知，f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，f（x）≥1，
f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）≥1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数函数，二次函数的性质及复合函数单调性的应用，属于中档题．
25．已知函数f ( x)=−( 1
3 )
| x|
+1，则不等式f（2m﹣1）＜f（m+3）成立的实数m 的取值范围为
{ m |
−2
3 ＜m＜4}
．
【考点】求指数函数及指数型复合函数的单调性．
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【分析】利用函数的单调性和奇偶性解抽象函数不等式可得．
【解答】解：因为f ( x)=−( 1
3 )
| x|
+1，
所以f (−x)=−( 1
3 )
|−x|
+1=−( 1
3 )
| x|
+1= f ( x)，定义域为R 关于原点对称，所以f（x）为偶函数，
又当x≥0 时，f ( x)=−( 1
3 )
x
+1为增函数；当x＜0 时，f（x）为减函数，
所以f（2m﹣1）＜f（m+3）即|2m﹣1|＜|m+3|，
两边平方整理可得3m2﹣10m﹣8＜0，解得−2
3 ＜m＜4．
故答案为：{m|−2
3 ＜m＜4}．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
八．由指数函数的单调性求解参数（共2 小题）
26．设函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]
B．[﹣2，0）
C．（0，2]
D．[2，+∞）
【考点】由指数函数的单调性求解参数．
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【分析】由已知结合复合函数的单调性即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，
所以g（x）＝（x﹣a）x 在（0，1）上单调递减，
所以1
2 a≥1，即a≥2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了指数与二次函数的单调性及复合函数单调性的应用，属于基础题．
27．设函数f ( x)=( 1
2 )
x( x−a)
在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0]
B．[﹣2，0]
C．（0，2]
D．[2，+∞）
【考点】由指数函数的单调性求解参数．
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【分析】由指数复合函数的区间单调性有a
2 ≤0，即可求参数范围．
【解答】解：根据指数函数的性质可知，y =( 1
2 )
x
在R 上单调递减，且f（x）在区间（0，1）上单调递
减，
根据复合函数单调性可知，函数y＝x（x﹣a）＝x2﹣ax 在区间（0，1）上单调递增，
根据二次函数的单调性可知，a
2 ≤0，即a≤0，
∴a 的取值范围是（﹣∞，0]．
故选：A．
【点评】本题主要考查了由函数单调性求解参数范围，属于基础题．
九．求指数函数及指数型复合函数的最值（共3 小题）
28．函数f ( x)= ❑√x −1+2
x−3的值域为（ ）
A．[﹣2，+∞）
B．[﹣1，+∞）
C．[0，+∞）
D．[1，+∞）
【考点】求指数函数及指数型复合函数的最值．
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【分析】先根据二次根式有意义的条件求出函数的定义域，再根据函数单调性求出函数的值域．
【解答】解：由x﹣1≥0，得x≥1，则f（x）的定义域为[1，+∞），
易得f ( x)= ❑√x−1+2
x−3是增函数，所以f（x）≥f（1）＝﹣1，即f（x）的值域为[﹣1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值域求解中的应用，属于基础题．
29．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯
函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝
3．已知函数f ( x)= 2
x +1
1+2
x ，则函数y＝[f（x）]的值域是（ ）
A．{0，1}
B．（0，2）
C．（0，1）
D．{﹣1，0，1}
【考点】求指数函数及指数型复合函数的最值．
版权所有
【分析】根据高斯函数的定义可解．
【解答】解：因为函数f ( x)= 2
x +1
1+2
x = 2
x +1+2−2
1+2
x
=2−
2
1+2
s∈（0，2），
所以当f（x）∈（0，1）时，[f（x）]＝0，
当f（x）∈[1，2）时，[f（x）]＝1，
则函数y＝[f（x）]的值域是{0，1}．
故选：A．
【点评】本题考查函数的值域求法，属于基础题．
（多选）30．定义在R 上的函数f（x）满足f (lo g3 x)= x
2−4 x +3，则（ ）
A．函数f（x）的解析式为f（x）＝9x﹣4×3x+3
B．函数f（x）图象的对称轴为直线x＝2
C．函数f（x）的单调递增区间为[log32，+∞）
D．函数|f（x）|在[ 1
2 ，1]上的最大值为4 ❑√3−6
【考点】求指数函数及指数型复合函数的最值；求指数函数及指数型复合函数的单调性．
版权所有
【分析】利用换元法可求出函数f（x）的解析式，可判断A 选项；利用特殊值法可判断B 选项；利用复
合函数的单调性可判断C 选项；利用指数函数和二次函数的基本性质可求出函数|f（x）|在[ 1
2 ，1]上的
最大值，可判断D 选项．
【解答】解：对于A：令t＝log3x，其中t∈R，则x＝3t，
由f (lo g3 x)= x
2−4 x +3可得f（t）＝（3t）2﹣4×3t+3＝9t﹣4×3t+3，
所以f（x）＝9x﹣4×3x+3，故A 正确；
对于B：因为f（1）＝9﹣4×3+3＝0，f（3）＝93﹣4×33+3＝624，即f（1）≠f（3），
所以函数f（x）的图象不关于直线x＝2 对称，故B 错误；
对于C：因为f（x）＝（3x）2﹣4×3x+3＝（3x﹣2）2﹣1，
令m＝3x，y＝（m﹣2）2﹣1，
内层函数m＝3x为增函数，外层函数y＝（m﹣2）2﹣1 的增区间为[2，+∞），减区间为（﹣∞，2]，
因为m＝3x≥2，
所以x≥log32，
由复合函数法可知，函数f（x）的增区间为[log32，+∞），故C 正确；
对于D：当x∈[ 1
2 ，1]时，由指数函数的性质可得❑√3≤3
x≤3，
所以❑√3−2≤3
x−2≤1，
所以|❑√3−2|＜1，
所以0≤（3x﹣2）2≤1，从而有f（x）＝（3x﹣2）2﹣1∈[﹣1，0]，
故当x∈[ 1
2 ，1]时，|f（x）|∈[0，1]，即|f（x）|的最大值为1，故D 错误．
故选：AC．
【点评】本题考查函数的性质，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
十．由指数函数的最值求解参数（共5 小题）
31．已知函数f（x）＝|ex﹣1|，满足f（a）＝f（b）（a≠b），在区间[a，2b]上的最大值为e﹣1，则b 为
（ ）
A．1n3
B．1
3
C．1
2
D．1
【考点】由指数函数的最值求解参数；函数图象的简单变换．
版权所有
【分析】先推得a＜0＜b，再结合函数的单调性，即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝|ex﹣1|，满足f（a）＝f（b）（a≠b），
则a＜0＜b，
函数f（x）在[0，2b]上单调递增，
故f（2b）＞f（b）＝f（a），
函数f（x）在区间[a，2b]上的最大值为e﹣1，
则f（2b）＝|e2b﹣1|＝e2b﹣1＝e﹣1，解得b= 1
2．
故选：C．
【点评】本题主要考查由指数函数的最值求解参数，属于基础题．
32．已知奇函数f（x）＝ax+b•a﹣x（a＞0，a≠1）在[﹣1，1]上的最大值为8
3，则a＝（ ）
A．1
3或3
B．1
2或2
C．3
D．2
【考点】由指数函数的最值求解参数．
版权所有
【分析】先利用奇函数的性质求解b 的值，再分a＞1 和0＜a＜1 两种情况讨论，结合指数函数的单调
性求解即可．
【解答】解：由奇函数的性质可知，f（0）＝0，
∴1+b＝0，∴b＝﹣1，
经检验，b＝﹣1 符合题意，
∴f（x）＝ax﹣a﹣x，
当a＞1 时，f（x）＝ax﹣a﹣x在[﹣1，1]上单调递增，
∴f（x）max＝f（1）＝a﹣a﹣1= 8
3，
解得a＝3 或−1
3（舍去），
当0＜a＜1 时，f（x）＝ax﹣a﹣x在[﹣1，1]上单调递减，
∴f（x）max＝f（﹣1）＝a﹣1﹣a= 8
3，
解得a= 1
3或﹣3（舍去），
综上所述，a＝3 或1
3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，属于中档题．
33．函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值是最小值的2 倍，则a 的值是（ ）
A．1
2或❑√2
B．1
2或2
C．1
2
D．2
【考点】由指数函数的最值求解参数．
版权所有
【分析】利用指数函数的单调性，求出函数的最值，列出方程求解即可．
【解答】解：由题意可得：
∵当a＞1 时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，
∴f（2）＝2f（1），
∴a2＝2a，
解得a＝0（舍去），或a＝2．
∵当 0＜a＜1 时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴f（1）＝2f（2），
∴a＝2a2，解得a＝0（舍去），或a= 1
2．
综上可得，a＝2，或 a= 1
2．
故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
（多选）34．若函数y＝ax（a＞0 且a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差为1
2，则实数a 的值为（
）
A．2
B．3
2
C．2
3
D．1
2
【考点】由指数函数的最值求解参数．
版权所有
【分析】根据指数函数为单调函数，由此可得|1﹣a|= 1
2，解方程可得答案．
【解答】解：y＝ax（a＞0，且a≠1）在区间[0，1]上为单调函数，
又∵函数y＝ax（a＞0 且a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差为1
2，
∴|1﹣a|= 1
2，
即1﹣a= 1
2或a﹣1= 1
2，
解得a= 1
2或a= 3
2．
故选：BD．
【点评】本题考查的知识点是指数函数单调性的应用，熟练掌握指数函数的单调性是解答的关键，属于
基础题．
35．已知函数f（x）＝ax，g（x）＝a2x+m，其中m＞0，a＞0 且a≠1．当x∈[﹣1，1]时，y＝f（x）的最大
值与最小值之和为5
2．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若a＞1，记函数h（x）＝g（x）﹣2mf（x），求当x∈[0，1]时，h（x）的最小值H（m）．
【考点】由指数函数的最值求解参数．
版权所有
【分析】（Ⅰ）根据x∈[﹣1，1]时，y＝f（x）的最大值与最小值之和为5
2．建立方程关系即可求a 的值；
（Ⅱ）求出函数h（x）的表达式，利用换元法求函数的最值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，f（x）的最大值与最小值之和为a+a
−1= 5
2，
∴a=2或1
2．
（Ⅱ）h（x）＝22x+m﹣2m•2x．
即h（x）＝（2x）2﹣2m•2x+m，
令t＝2x，
∵x∈[0，1]时，
∴t∈[1，2]，
h（t）＝t2﹣2mt+m，对称轴为t＝m
当0＜m＜1 时，H（m）＝h（1）＝﹣m+1；
当1≤m≤2 时，H（m）＝h（m）＝﹣m2+m；
当m＞2 时，H（m）＝h（2）＝﹣3m+4．
综上所述，H (m)={
−m+1 ，(0＜m＜1)
−m
2+m， (1≤m≤2)
−3m+ 4， (m＞2))
．
【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，利用换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键，
要求熟练掌握指数函数和二次函数的图象和性质．
十一．指数函数的实际应用（共3 小题）
36．抗生素主要有抑菌与杀菌的作用，但抗生素的大量使用容易导致其通过直接或间接的途径进入环境，
进而造成环境污染、危害生物体健康．已知水中某生物体内抗生素的残留量y（单位：mg）与时间t
（单位：年）近似满足关系式y＝λ（1﹣e﹣λt），λ≠0，其中λ 为抗生素的残留系数，当t＝10 时，
y = 3
4 λ，则λ 的值约为（参考值：ln2≈0.7）（ ）
A．0.54
B．0.34
C．0.24
D．0.14
【考点】指数函数的实际应用．
版权所有
【分析】根据题意，结合指数与对数的运算法则，代值计算即可．
【解答】解：由题意知，y＝λ（1﹣e﹣λt），将t＝10，y= 3
4 λ 代入，得3
4 λ＝λ（1﹣e﹣10λ），
所以e﹣10λ= 1
4 ，即e10λ＝4，解得10λ＝ln4，即λ= 1
5ln2≈1
5 ×0.7＝0.14．
故选：D．
【点评】本题考查了指数与对数的运算问题，是基础题．
37．碳14 具有放射性．活体生物组织内的碳14 含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14 开始衰减
已知碳14 的半衰期约为5730 年，即生物死亡t 年后，碳14 含量C(t )=C0( 1
2 )
t
5730，其中C0为活体生物
组织内碳14 的含量．科学家一般利用碳14 这一特性测定生物死亡年代.2025 年科学家在我国发现的某
生物遗体中碳14 的含量约为原始含量的0.92，已知( 1
2 )
2.12
≈0.23，则根据所给的数据可推断该生物死
亡的朝代为（ ）
A．宋（公元960～1279 年）
B．元（公元1271∼1368 年）
C．明（公元1368∼1644 年）
D．清（公元1636∼1912 年）
【考点】指数函数的实际应用．
版权所有
【分析】根据碳14 含量的计算公式列出方程，然后结合已知条件求解出生物死亡的时间，进而判断该
生物死亡的朝代．
【解答】解：由题意可知，C（t）＝0.92C0，代入公式可得0.92C0=C0( 1
2 )
t
5730，
因为C0≠0，两边同时除以C0，得到0.92=( 1
2 )
t
5730，
对0.92=( 1
2 )
t
5730两边取以1
2为底的对数，可得lo g1
2
0.92=
t
5730，
则t =5730×lo g1
2
0.92，
因为( 1
2 )
2.12≈0.23，0.92＝4×0.23，即0.92= 4×( 1
2 )
2.12=( 1
2 )
−2×( 1
2 )
2.12=( 1
2 )
0.12，
所以lo g1
2
0.92=lo g1
2
( 1
2 )
0.12=0.12，
将lo g1
2
0.92=0.12代入t =5730×lo g1
2
0.92，可得t＝5730×0.12＝687.6≈688（年），
已知是在2025 年发现该生物遗体，那么该生物死亡的时间约为2025﹣688＝1337（年），
因为1271＜1337＜1368，
所以该生物死亡的朝代为元（公元1271～1368 年）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
38．某种放射性元素的原子数N 随时间t 的变化规律是N＝ae﹣bt，其中a，b 都是正常数，则该种放射性元
素的原子数由a 个减少到a
2个时所经历的时间为t1，由a
2个减少到a
4 个时所经历的时间为t2，则
t1
t2
=（
）
A．2
B．1
C．ln2
D．e
【考点】指数函数的实际应用．
版权所有
【分析】由N＝ae﹣bt，利用t＝0 求出N＝a，再求出N= a
2时求出t1，N= a
4 时求得t 和t2的值，从而求出
t1
t2
的值．
【解答】解：由N 随t 的变化规律是N＝ae﹣bt，
当t＝0 时N＝a，若N= a
2，则e﹣bt= 1
2，所以﹣bt＝ln1
2 =−ln2，解得t= ln 2
b ；
若N= a
4 ，则e﹣bt= 1
4 ，所以﹣bt＝ln1
4 =−2ln2，解得t= 2ln 2
b
；
所以t1= ln 2
b ，t2= 2ln 2
b
−ln 2
b = ln 2
b ，
所以
t1
t2
=1．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数模型应用问题，也考查了对数的运算性质，是中档题．
十二．指数函数综合题（共4 小题）
39．已知函数f ( x)= 2
x +1
1+2
x + x
2023+2023 x，正数a，b 满足：f（ab﹣a）+f（b﹣2）＝2，则2
a+1 +
1
b−1
的最小值为 2❑√2 ．
【考点】指数函数综合题；运用基本不等式求最值；求指数函数及指数型复合函数的单调性．
版权所有
【分析】由已知函数可得对称中心，由对称中心的性质可得a，b 的关系，用基本不等式解得最小值．
【解答】解：因为f ( x)= 2
x +1
1+2
x + x
2023+2023 x =−2(
1
1+2
x −1
2 )+ x
2023+2023 x +1，
因为y＝2x+1 在定义域R 上单调递增且2x+1＞1，又y = 1
x 在（1，+∞）上单调递减，
所以y =−2(
1
1+2
x −1
2 )在定义域R 上单调递增，
又y＝x2023与y＝2023x 在定义域R 上单调递增，
所以f（x）在定义域R 上单调递增，
又f ( x)+ f (−x)=−2(
1
1+2
x −1
2 )+ x
2023+2023 x +1+[−2(
1
1+2
−x −1
2 )]−x
2023−2023 x +1
=1−
2
2
x+1
+ x
2023+2023 x +1+1−2
x +1
2
x+1
−x
2023−2023 x +1=2，
即f（x）+f（﹣x）＝2，所以f（x）关于点（0，1）成中心对称，
正数a，b 满足：f（ab﹣a）+f（b﹣2）＝2，所以ab﹣a+b﹣2＝0，
则（a+1）（b﹣1）＝1，又a+1＞1，所以b﹣1＞0，
所以2
a+1 +
1
b−1 ≥2❑√
2
a+1 ⋅
1
b−1 =2❑√2，当且仅当a+1＝2（b﹣1）时，等号成立．
所以2
a+1 +
1
b−1的最小值为2❑√2．
故答案为：2❑√2．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及其偶性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属
于中档题．
40．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5 个月时，浮萍面积就会超过30m2；
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1、5 个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t3；
其中正确的序号是
①②⑤
．
【考点】指数函数综合题；指数函数的图象．
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【分析】本题考查的是函数模型的选择和应用问题．在解答时，首先应该仔细观察图形，结合图形读出
过的定点进而确定函数解析式，结合所给月份计算函数值从而获得相应浮萍的面积进而对问题作出判断，
至于第⑤要充分结合对数运算的运算法则进行计算验证．
【解答】解：∵点（1，2）在函数图象上，
∴2＝a1∴a＝2，故①正确；
∴函数y＝2t在R 上是增函数，且当t＝5 时，y＝32 故②正确，
4 对应的t＝2，经过1.5 月后面积是23.5＜12，故③不正确；
如图所示，1﹣2 月增加2m2，2﹣3 月增加4m2，故④不正确．
对⑤由于：2=2
t1，3=2
t2，6=2
t3，
∴t1＝1，t2＝log2
3，t3＝log2
6，
又因为1+log2
3＝log2
2+log2
3＝log2
2×3＝log2
6，
∴若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t3成立．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查的是函数模型的选择和应用问题、数形结合法．在解答的过程当中充分体现了观察图
形、分析图形和利用图形的能力，同时对数求值和对数运算的能力也得到了体现．
41．已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2x+2﹣x．
（1）试求f（x）的表达式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；
（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1 恒成立，求实数t 的取值范围．
【考点】指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．
版权所有
【分析】（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）＝0，x∈（0，1）时，f（x）＝﹣f
（﹣x）＝﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；
（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；
（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1 恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每
一个值，不等式t＞−4
x−1
4
x+1
恒成立，从而可得．
【解答】解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，
∴f（0）＝0，
设x∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则
f（x）＝﹣f（﹣x）
＝﹣（2x+2﹣x），
故f（x）={
2
x+2
−x，x∈(−1，0)
0，x =0
−(2
x+2
−x)，x∈(0，1))
；
（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=2
x1+2
−x1−（2
x2+2
−x2）
= (2
x1−2
x2)(2
x12
x2−1)
2
x12
x2
，
∵x1＜x2＜0，
∴2
x1−2
x2＜0，0＜2
x12
x2＜1，
故f（x1）﹣f（x2）＞0，
故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；
（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1 可化为
t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，
化简可得，t＞−4
x−1
4
x+1
，
令g（x）=−4
x−1
4
x+1
=−1+
2
4
x+1，
∵x∈（0，1），
∴g（x）＜﹣1+
2
4
0+1
=0，
故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1 恒成立可化为
t≥0．
【点评】本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．
42．设函数f（x）＝kax﹣a﹣x（a＞0 且a≠1）是定义域为R 的奇函数；
（1）若f（1）＞0，判断f（x）的单调性并求不等式f（x+2）+f（x﹣4）＞0 的解集；
（2）若f（1）= 3
2，且g（x）＝a2x+a﹣2x﹣4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．
【考点】指数函数综合题；由函数的单调性求解函数或参数；函数的奇偶性．
版权所有
【分析】由题意，先由奇函数的性质得出k 的值，
（1）由f（1）＞0 求出a 的范围，得出函数的单调性，利用单调性解不等式；
（2）f（1）= 3
2得出a 的值，将函数变为g（x）＝22x+2﹣2x﹣4 （2x﹣2﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣4（2x﹣2﹣
x）+2，再利用换元法求出函数的最小值．
【解答】解：函数f（x）＝kax﹣a﹣x（a＞0 且a≠1）是定义域为R 的奇函数，可得f（0）＝0，从而得
k﹣1＝0，即k＝1．
（1）由f（1）＞0 可得a−1
a ＞0，解得a＞1，所以f（x）＝ax﹣a﹣x是增函数，
由f（x+2）+f（x﹣4）＞0 可得f（x+2）＞﹣f（x﹣4）＝f（4﹣x），
所以x+2＞4﹣x，解得x＞1，
即不等式的解集是（1，+∞）．
（2）f（1）= 3
2得a−1
a = 3
2，解得a＝2，故g（x）＝22x+2﹣2x﹣4 （2x﹣2﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣4（2x﹣
2﹣x）+2，
令t＝2x﹣2﹣x，它在[1，+∞）上是增函数，故t≥3
2，即g（x）=t
2−4t +2，t ≥3
2．
此函数的对称轴是t＝2≥3
2，故最小值为22﹣4×2+2＝﹣2．
【点评】本题考查指数函数与奇偶性单调性结合的题，综合性强，本题第二小题考查复函数最值的求法，
换元法解此类题可大大降低难度．
一、单选题
1．已知函数
，（
且
），若
在
上的最大值为
，最小值为
，且
课后针对训练
，则实数
的值为（ ）
A．
B．2 或
C．
D．
或
2．已知函数
在
上为单调函数，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知偶函数
的定义域为
，且当
时，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．25
D．15
6．设
，若满足
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设
，如果
，且
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知
是奇函数，
是偶函数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
10．设函数
在区间
上单调递减，则a 的取值范围是 ．
11．函数
的定义域是 ．
12．已知函数
是定义域为R 的偶函数，则
．
13．若函数
的值域为
，求
的取值范围 ．
14．若函数
的值域是
，则
的取值范围是 ．
15．函数
与指数函数
（
且
）互为反函数，且
的图象过点
，则
．
四、解答题
16．若
是偶函数，求其值域和对称性．
17．求函数
的图象的对称中心．
18．设
是
的二次函数，
，且
，求函数
和
的解析式．
19．每逢节假日，汕头小公园开埠区总是游人如织，这里的骑楼风貌、非遗展演、戏亭印象、时尚潮玩，
总能让慕名而来的游客感受到“最潮最老”的潮汕文化.经统计，汕头小公园开埠区2021 年至2023 年春节
期间的游客人数如下表所示：
年份
2021 年
2022 年
2023 年
年份代码x
1
2
3
游客人数y（单位：万人）
120
180
270
根据上述数据，汕头小公园开埠区春节期间的游客人数y（万人）与年份代码x（注：记2021 年的年份代
码为
，2022 年的年份代码为
，依此类推）有两个函数模型可供选择：①
，②
(1)试判断哪个函数模型更合适（给出判断即可，不必说明理由），请根据你的判断结果以及表中数据求出
该函数模型的函数解析式；
(2)为提升游客的旅游体验，汕头市需提前做好各项准备.请问大约在哪一年，汕头小公园开埠区春节期间的
游客量约是2022 年的3 倍？（参考数据：
）
20．若关于
的方程
恰有两个实根，求
的取值范围．
21．设函数
．
(1)若
的定义域为
，求
的取值范围；
(2)若
，求
的值域．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
D
D
B
A
D
B
A
ACD
1．D
【分析】由
的范围讨论单调性，确定最值即可求解．
【详解】当
时，
单调递增，
此时
，所以
，解得
；
当
时，
单调递减，此时
，
所以
，解得
．
所以实数
的值为
或
．
故选：D.
2．D
【分析】通过题干可知分段函数要整体递增，根据每段需分别递增，且分段点处也要满足条件列式即可.
【详解】当
时，函数
单调递增，又
在
上为单调函数，则
在
上单调递增，
当
时，
，解得
，
又要保证端点处满足题干，
，解得
，
即a 的取值范围为
．
故选：
.
3．D
【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可.
【详解】由题意可得：
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
故选：D.
4．B
【分析】函数
图象是由函数
图象向左平移1 个单位，作出函数
的图象，即可求解.
【详解】作出函数
的图象，如下图所示，
将
的图象向左平移个单位得到
图象.
故选：B
5．A
【分析】利用偶函数性质可得
，即可求得
，从而可求解.
【详解】由偶函数的性质可知，
，得
，
即
时，
，则
，故A 正确.
故选：A．
6．D
【分析】由函数得到
性质，再将
转化为
，由函数
的单调性解得.
【详解】由题意可列
，得
.
即
关于
点对称．
因为
，所以
是增函数，
为减函数，
为增函数，
故
单调递增．
所以
，
，
即需满足
，解得
或
.
故选：D．
7．B
【分析】利用函数的奇偶性，结合特值点处的函数值判断即可.
【详解】函数
的定义域为R，
，
函数
是奇函数，其图象关于原点对称，排除C；
，
当
时，
，
且
，
而
，即
，故
，
所以
在
的单调递增区间上，AD 不满足，B 满足.
故选：B
8．A
【分析】运用分段函数的形式写出
的解析式，作出
的图象，由数形结合可得
的范围，结合
，化简即可得到结果．
【详解】
，其图象如图所示，
由图可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
要使
，且
成立，则有
且
，故必有
且
，
又
，即为
，整理得
，
故选：A．
9．ACD
【分析】根据给定条件，利用奇函数、偶函数定义建立方程组求出
判断AC；利用指数、对数运
算计算判断BD.
【详解】由
，得
，而
是奇函数，
是偶函数，
则
，解得
，
则
，ACD 正确，B 错误.
故选：ACD
10．
【分析】利用指数函数的性质及复合函数求同增异减求单调性的方法可解
【详解】∵函数
在R 上单调递减，且
在区间
上单调递减，∴函数
在区间
上单调递增，∴
，即
，∴a 的取值范围是
．
故答案为：
．
11．
【分析】解不等式
，可得出原函数的定义域.
【详解】要使函数
有意义，则
，变形可得
，
因为指数函数
在
上单调递增，则
，解得
，
故函数
的定义域是
.
故答案为：
.
12．
【分析】法一：由偶函数性质有
恒成立，求参数值，进而求函数值；法二：由偶函数得
求参数值，注意验证，进而求函数值.
【详解】法一：由函数
是定义域为R 的偶函数，得
恒成立，
即
恒成立，即
恒成立，
又
不恒为0，所以
，则
；
法二：
，
，因为函数
是定义域为R 的偶函数，
所以
，即
，解得
，
经检验，此时
为偶函数，故
，
所以
．
故答案为：
13．
【分析】令
，结合题意可得
为值域的子集，从而可求解.
【详解】令
，则
，
因函数
的值域为
，
所以
，只需
，即
.
故
的取值范围为
.
故答案为：
.
14．
【分析】求解
的值域，即可根据
求解.
【详解】由于
的值域是
，
令
，则要能取遍所有
的值，
，
因此
，故
故答案为：
15．
【分析】思路一：首先求得
，进一步得
即可得解；思路二：由题意函数
的
图象过点
，求得
即可得函数表达式，进一步即可得解.
【详解】方法一：
的图象过点
，即
，解得
，故
．
其反函数为
，所以
．
方法二：因为指数函数
（
且
）的反函数为
（
且
），
的图象过点
，故函数
的图象过点
，
所以
，故
，所以
，所以
．
故答案为：
.
16．答案见解析
【分析】利用偶函数的性质求得
，讨论参数求出对应值域，由偶函数得到对称性即可.
【详解】由
且
，则
，
所以
恒成立，可得
，
当
，则
，当且仅当
时取等号，此时值域为
，对称轴为
；
当
，则
，当且仅当
时取等号，此时值域为
，对称轴为
；
17．
【分析】化
，再由
，即可得对称中心.
【详解】由
，
所以
，
所以对称中心是点
.
18．
，
．
【分析】设
，根据
，得到
，
比较系数，得到方程组，求出答案.
【详解】设
，则
．
由
得：
，
即
，
即
，这是关于
的恒等式，
比较系数得
，解得
，
所以
，
．
19．(1)模型①
更合适，
(2)2025 年
【分析】（1）首先分析出模型①更合适，然后将
代入模型①，求出
的值，即可得到函
数解析式，特别注意
的取值范围；
（2）由题意知游客量约是2022 年的3 倍即540 万人，再根据（1）所得的函数解析式列出等式，整理可得
，再利用指数式和对数式的互化表示出
，再利用换底公式及对数的性质运算即可.
【详解】（1）选择函数模型①
更合适，
将
代入模型①，可得
，解得
，
所以函数解析式为
；
（2）因为2022 年的游客量约为180 万人，所以当汕头小公园的游客量约是2022 年的3 倍时，
约是540 万人，即
，整理可得
，
所以
.
故大约在2025 年，汕头小公园的游客量约是2022 年的3 倍．
20．
【分析】由
，得
，令
，
，将原问题转化为
与
的图象交点问题即可求解.
【详解】由
，得
，
令
，
，且对于任意
，
都有两个解，
当且仅当
时，
，
则
，原问题转化为当
时，
与
的图象有一个交点，
因为
的对称轴为
，且
时，
，
，
，
所以
的大致图像如图所示，
与
的图象有一个交点，解得
．
21．(1)
(2)
．
【分析】（1）依题意令分母不等于0，换元
，化简得
对于
恒成立，再根据对勾
函数性质和基本不等式计算得到结果；
（2）当
时，
．两次换元法令
，
，化简得
．分类讨论①当
时，②当
时，计算函数值域；
【详解】（1）
的定义域为
，即
对于
恒成立，
令
，则
，即
对于
恒成立，
由对勾函数的性质可知
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，又
，当且仅当
时等号成立，
所以
，即
的取值范围为
．
（2）当
时，
．
令
，则
，
令
，则
．
①当
时，
；
②当
时，
，
因为
，
所以由对勾函数的性质可得
，
所以
，
即
，
所以
．
综上，
的值域为
．
