文档文本内容
【第10 讲：指数对数运算】
一．有理数指数幂与根式的互化（共5 小题）
二．有理数指数幂及根式化简运算求值（共9 小题）
三．对数的概念（共2 小题）
四．指数式与对数式的互化（共18 小题）
五．对数的运算性质（共5 小题）
六．对数运算求值（共6 小题）
【知识点清单】
1．有理数指数幂及根式
【知识点的认识】
根式与分数指数幂
规定：a
m
n =
n√a
m（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
a
−m
n = 1
a
m
n
= 1
n√a
m（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义
有理数指数幂
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：a
m
n =
n√a
m（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：a
−m
n = 1
a
m
n
= 1
n√a
m（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．
2．对数的概念
【知识点的认识】
1．对数的定义
题型梳理
总览
如果ax＝N（a＞0 且a≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x＝logaN，其中a 叫做对数的底数，N
叫做真数．
（2）几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a（a＞0 且
a≠1）
log
a N
常用对数
底数为10
lg
N
自然对数
底数为e
ln
N
3．指数式与对数式的互化
【知识点的认识】
ab＝N⇔logaN＝b；
alogaN＝N；logaaN＝N
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）
（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）
（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法）
（4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）=
1
lo gab lo ga g( x)；（换底法）
（5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax 或t＝ax）（换元法）
4．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①a
lo ga N =
N ；②logaaN＝
N （a＞0 且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； loga M
N =logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； loga
n√M = 1
nlogaM．
5．对数运算求值
【知识点的认识】
对数的性质：①a
lo ga N =
N ；②logaaN＝
N （a＞0 且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN；loga M
N =logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM；loga
n√M = 1
nlogaM．
【解题方法点拨】
﹣利用对数定义直接求值．
﹣利用换底公式lo gab= lo gcb
lo gc a进行换底运算．
﹣结合对数运算性质，如loga（mn）＝logam+logan、lo ga( m
n )=lo gam−lo gan、lo ga(m
n)=nlo gam进
行化简求值．
一．有理数指数幂与根式的互化（共5 小题）
1．已知a＞0，则❑√a
1
3 ❑√a
1
2 ❑√a化为（ ）
A．a
7
12
B．a
5
12
C．a
5
6
D．a
1
3
【考点】有理数指数幂与根式的互化．
版权所有
【分析】利用根式的运算性质即可得出．
【解答】解：原式=
❑√a
1
3 ❑√a
1
2 ⋅a
1
2 =
❑√a
1
3 ⋅a
1
2 =a
1
2 × 5
6 =a
5
12．
故选：B．
【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．
3√a
−2可化为（ ）
A．a
−2
3
B．a
−3
2
C．a
2
3
D．−a
2
3
【考点】有理数指数幂与根式的互化．
版权所有
【分析】将根式化为有理数指数幂的形式，即可得答案．
【解答】解：3√a
−2=(a
−2)
1
3 =a
−2
3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．
（多选）3．下列各式中正确的是（ ）
知识讲解与常考题型
题型分类
A．❑√a
4=|a|
B．2﹣2＝﹣4
C．(
3√a
2⋅❑√a)÷
6√a=a
D．
10√(❑√2−1)
5= ❑√
❑√2−1
【考点】有理数指数幂与根式的互化．
版权所有
【分析】根据指数幂的运算法则计算可得．
【解答】解：根据根式的意义及指数幂的运算性质可得，
对于A：❑√a
4=a
2≠|a|，故A 错误；
对于B：2
−2= 1
4 ≠−4，故B 错误；
对于C：(
3√a
2⋅❑√a)÷
6√a=(a
2
3 ⋅a
1
2 )÷ a
1
6 =a
2
3 + 1
2 −1
6 =a，故C 正确；
对于D：10√(❑√2−1)
5=(❑√2−1)
5
10 =(❑√2−1)
1
2 = ❑√
❑√2−1，故D 正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了根式的意义及指数幂的运算性质，属于基础题．
4．将❑√a
2❑√a(
a
其中＞0)化为有理数指数幂的形式为 a
5
4 ．
【考点】有理数指数幂与根式的互化．
版权所有
【分析】利用根式与分数指数幂的互化求解．
【解答】解：❑√a
2❑√a=
❑√a
2⋅a
1
2 =
❑√a
5
2 =a
5
4．
故答案为：a
5
4．
【点评】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化，属于基础题．
5．计算化简A，B：
（1）已知a＞0，b＞0，化简：A=(3a
2
3 b
1
2 )(−8a
1
2 b
1
3 )÷(−6a
1
6 b
5
6 )；
（2）化简：B =
3√a ❑√a
❑√a
+
❑√1−2a+a
2(a＞1)．
【考点】有理数指数幂与根式的互化．
版权所有
【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；
（2）根据指数幂的运算性质求解即可．
【
解
答
】
解
：
（
1
）
A
=(3a
2
3 b
1
2 )(−8a
1
2 b
1
3 )÷(−6a
1
6 b
5
6 )=−24 a
2
3 + 1
2 b
1
2 + 1
3 ÷(−6a
1
6 b
5
6 )= 4 a
7
6 −1
6 b
5
6 −5
6 = 4 a．
（2）B =
3√a⋅a
1
2
❑√a
+
❑√(1−a)
2=
3√a
3
2
❑√a +a−1=1+a−1=a．
【点评】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．
二．有理数指数幂及根式化简运算求值（共9 小题）
6．设a＞0，下列计算中正确的是（ ）
A．a
3
2 ⋅a
2
3 =a
B．(a
3
2 )
2
3 =a
C．a﹣4•a4＝0
D．a
3
2 ÷ a
2
3 =a
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
版权所有
【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解．
【解答】解：对于A，a
3
2 ⋅a
2
3 =a
3
2 + 2
3 =a
13
6 ，故A 错误；
对于B，(a
3
2 )
2
3 =a
3
2 × 2
3 =a，故B 正确；
对于C，a﹣4•a4＝a﹣4+4＝a0＝1，故C 错误；
对于D，a
3
2 ÷ a
2
3 =a
3
2 −2
3 =a
5
6，故D 错误．
故选：B．
【点评】本题考查有理数指数幂及根式的化简运算，属于基础题．
7．(❑√3)
❑√2•(❑√3)
❑√2的值是（ ）
A．3
B．3
❑√2
C．9
D．81
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
版权所有
【分析】利用有理数指数幂运算法则求解．
【解答】解：(❑√3)
❑√2•(❑√3)
❑√2=(❑√3×❑√3)
❑√2=3
❑√2．
故选：B．
【点评】本题考查有理数指数幂运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．某放射性物质在衰减过程中，其质量y 与年数t 满足关系式y =m0e
−kt（m0为初始质量，m0＞0，k 为常
数，e≈2.718）．已知该放射物质经过4 年，其质量变为初始质量的1
3，若再经过8 年，该放射性物质
的质量变为初始质量的（ ）
A．1
3
B．1
9
C．1
27
D．1
36
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
版权所有
【分析】根据给定条件，利用指数运算法则列式计算得解．
【解答】解：由已知当t＝4，y = 1
3 m0时，1
3 m0=m0e
−4 k，所以e
−4 k = 1
3，
再经过8 年，即t＝12 时，y =m0e
−12k =m0(e
−4 k)
3= 1
27 m0，
所以再经过8 年，该放射性物质的质量变为初始质量的1
27 ．
故选：C．
【点评】本题考查指数运算，属于基础题．
9．某食品的保鲜时间y（单位：天）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+m（e 为自然对数的底
数，k，m 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是14 天，在10℃的保鲜时间是7 天，则该食品在20℃
的保鲜时间是（ ）
A．48 小时
B．60 小时
C．72 小时
D．84 小时
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
版权所有
【分析】由已知结合指数运算性质即可求解．
【解答】解：因为y＝ekx+m，
若该食品在0℃的保鲜时间是14 天，在10℃的保鲜时间是7 天，则{
e
m=14
e
10k +m=7)，
所以e10k= 1
2，
所以该食品在20℃的保鲜时间是y＝e20k+m＝e20k•em= 1
4 ×14 = 7
2天，即84 小时．
故选：D．
【点评】本题主要考查了指数运算性质应用，属于基础题．
10．已知a2x＝3，则ax+a﹣x＝（ ）
A．4 ❑√3
3
B．
❑√30
3
C．16
3
D．10
3
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
版权所有
【分析】根据条件可求出a﹣2x的值，然后对ax+a﹣x求平方即可得解．
【解答】解：∵a2x＝3，∴a
−2 x= 1
3，
∴(a
x+a
−x)
2=a
2 x+2+a
−2 x =3+2+ 1
3 = 16
3 ，
∴a
x+a
−x = 4 ❑√3
3
．
故选：A．
【点评】本题考查了指数的运算法则，是基础题．
11．某放射性物质在衰变过程中，其质量m（单位：克）与年数t 满足关系式m=m0e
−kt（m0为初始质量，
k 为常数，e≈2.718）．已知经过3 年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6 年，该放射
性物质的质量变为初始质量的（ ）
A．1
3
B．1
4
C．1
6
D．1
8
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
版权所有
【分析】依题意，t＝3 时，e﹣3k= 1
2，求出t＝9 时，ekt的值．
【解答】解：经过3 年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，
∴t＝3 时，e﹣3k= 1
2，
∴再经过6 年，t＝9，
m＝m0e﹣9k＝（1
2）3m0= 1
8m0，
∴再经过6 年，该放射性物质的质量变为初始质量的1
8．
故选：D．
【点评】本题考查完指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．若5m＝2，5n＝3，则5
3m−2n
2
的值为（ ）
A．
❑√2
3
B．2❑√2
3
C．2❑√3
9
D．2❑√2
9
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
版权所有
【分析】结合指数幂的运算性质即可求解．
【解答】解：若5m＝2，5n＝3，则5
3m−2n
2
= ❑√
5
3m
5
2n = ❑√
8
9 = 2❑√2
3
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算，属于基础题．
13．计算0.027
1
3 −(π −4)
0+16
3
4 +0.4 9
1
2 =
8
．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
版权所有
【分析】根据给定条件，利用指数运算计算得解．
【解答】解：原式= 3
10 −1+2
3+ 7
10 =8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了指数运算性质的应用，属于基础题．
14．计算：( 27
8 )
−2
3 −2×(❑√π +3)
0+10×
3√0.008= 4
9 ．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
版权所有
【分析】应用根式与有理数指数幂的关系及指数幂运算化简求值．
【解答】解：原式=( 2
3 )
3× 2
3 −2+10×( 1
5 )
3× 1
3 = 4
9 −2+2= 4
9 ．
故答案为：4
9 ．
【点评】本题考查有理数指数幂的化简，属于基础题．
三．对数的概念（共2 小题）
15．在对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）中，实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）
B．（3，5）
C．（3，4）
D．（3，4）∪（4，5）
【考点】对数的概念．
版权所有
【分析】根据对数的概念，底数大于0 且不等于1，真数大于0，列不等式组即可求解．
【解答】解：要使对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）有意义，需满足{
a−3＞0
a−3≠1
5−a＞0)，
解得3＜a＜4 或4＜a＜5，
所以实数a 的取值范围是（3，4）∪（4，5）．
故选：D．
【点评】本题主要考查对数的概念，属于基础题．
16．对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，5）
B．（2，5）
C．（2，3）∪（3，5）
D．（2，+∞）
【考点】对数的概念．
版权所有
【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可．
【解答】解：要使对数式b＝log（a﹣2）（5﹣a）有意义，
则 {
a−2＞0
5−a＞0
a−2≠1)，解得a∈（2，3）∪（3，5），
故选：C．
【点评】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题．
四．指数式与对数式的互化（共18 小题）
17．历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明大大缩短了计算
时间，为人类进行科学研究和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．
已知lg2≈0.301，lg5≈0.699，则2.51051的估算值为（ ）
A．10418
B．10419
C．10420
D．10421
【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．
版权所有
【分析】结合对数的运算性质即可求解．
【解答】解：因为lg2≈0.301，lg5≈0.699，
所以lg2.51051＝1051lg2.5＝1051（lg5﹣lg2）≈1051×（0.699﹣0.301）≈418，
所以2.51051≈10418．
故选：A．
【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．
18．已知2a＝3b＝t，且2
a + 1
b =2，则t＝（ ）
A．❑√3
B．2❑√3
C．±2❑√3
D．12
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．
版权所有
【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解．
【解答】解：由2a＝t 可得a＝log2t，
所以1
a =logt2，
由3b＝t 可得b＝log3t，
所以1
b =logt3，
故2
a + 1
b =2logt2+logt3＝logt4+logt3＝logt12＝2，
故t2＝12，由于t＞0，
故t =2❑√3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．
19．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用I D= I 0e
−KD表示其总衰减规律，其
中K 是消光系数，D（单位：米）是海水深度，ID（单位：坎德拉）和I0（单位：坎德拉）分别表示在
深度D 处和海面的光强．已知某海域6 米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K 的值约
为（ ）
（参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6）
A．0.2
B．0.18
C．0.15
D．0.14
【考点】指数式与对数式的互化．
版权所有
【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得．
【解答】解：某海域6 米深处的光强是海面光强的40%，
依题意得，
I D
I 0
= 40 % =e
−6 K，
化成对数式，−6 K = ln 2
5 = ln2−ln5≈−0.9，
则该海域消光系数K 的值约为K≈0.15．
故选：C．
【点评】本题考查指数式、对数式互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．已知2x＝3y＝5z（x，y，z≠0），且1
x + 1
y = a
z ，则a＝（ ）
A．log23
B．log25
C．log35
D．log56
【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．
版权所有
【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．
【解答】解：2x＝3y＝5z＝k，
则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
故1
x + 1
y =logk3+logk2＝logk6＝alogk5，
故a= lo gk 6
lo gk5 =log56．
故选：D．
【点评】本题主要考查对数的运算，属于基础题．
21．已知实数a，b 满足a﹣1＝ln（4﹣a），beb＝e3，其中e 是自然对数的底数，则a+b＝（ ）
A．2
B．e
C．3
D．4
【考点】指数式与对数式的互化；函数的单调性．
版权所有
【分析】通过对已知等式进行变形，构造出相同形式的函数，再利用函数的单调性来建立等式关系，从
而求出a+b 的值．
【解答】解：由a﹣1＝ln（4﹣a），可得ea﹣1＝4﹣a，即ea﹣1+（a﹣1）﹣3＝0，
由beb＝e3，可得b＝e3﹣b，所以lnb＝3﹣b＝3﹣elnb，即elnb+lnb﹣3＝0．
令f（x）＝ex+x﹣3，
所以函数f（x）＝ex+x﹣3 为增函数，由f（a﹣1）＝f（lnb）＝0，得a﹣1＝lnb，
又因为lnb＝3﹣b，得a﹣1＝3﹣b，所以a+b＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数单调性的应用，属于中档题．
22．历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时
间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知
lg2≈0.301，则2.51000的估算值为（ ）
A．10365
B．10379
C．10389
D．10398
【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．
版权所有
【分析】首先计算lg2.51000，再根据指对运算公式即可求解．
【解答】解：lg2.51000＝1000lg2.5＝1000（1﹣2lg2）≈1000×（1﹣0.602）＝398，
所以2.51000≈10398．
故选：D．
【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题．
23．关于x 的方程x+lgx＝3，x+10x＝3 的两根分别是α，β，则α+β＝（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】指数式与对数式的互化．
版权所有
【分析】对方程进行变形，再结合对数的运算性质，即可求解．
【解答】解：关于x 的方程x+lgx＝3，x+10x＝3 的两根分别是α，β，
则α+lgα＝3，β+10β＝3，
故lgα＝3﹣α，lg（3﹣β）＝β，
y＝lgx 在（0，+∞）上单调递增，
故{
α =3−β
3−α = β)，即α+β＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题．
24．已知ax＝2，loga6＝y，a＞0，且a≠1，则ax+y＝（ ）
A．5
B．6
C．7
D．12
【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．
版权所有
【分析】将对数式转化为指数式，结合指数运算，求解即可．
【解答】解：由loga6＝y，可得ay＝6，
又ax＝2，则ax+y＝x•ay＝12．
故选：D．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
25．把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ′℃，空气的温度是θ0℃，则tmin 后该物体的温度
θ℃满足θ =θ0+(θ′ −θ0)e
−t
4．若θ0，θ′不变，在t1min，t2min 后该物体的温度分别为θ1℃，θ2℃，且
θ1＞θ2，则下列结论正确的是（ ）
A．t1＞t2
B．t1＜t2
C．若θ′＞θ0，则t1＞t2；若θ′＜θ0，则t1＜t2
D．若θ′＞θ0，则t1＜t2；若θ′＜θ0，则t1＞t2
【考点】指数式与对数式的互化．
版权所有
【分析】根据指对数互化，结合复合函数的单调性即可求解．
【解答】解：因为θ =θ0+(θ′ −θ0)e
−t
4，θ1＞θ2，
所以t =−4 ln θ−θ0
θ′ −θ0
．
若θ′＞θ0，则f (θ)=−4 ln θ−θ0
θ′ −θ0
是减函数，所以t1＜t2．
若θ′＜θ0，则f (θ)=−4 ln θ−θ0
θ′ −θ0
是增函数，所以t1＞t2．
故选：D．
【点评】本题主要考查对数函数的单调性，属于基础题．
26．设a＞0，a≠1，已知m＝ax，n＝ay，m
y n
x =a
4
z，则xyz 的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【考点】指数式与对数式的互化．
版权所有
【分析】根据指数的运算性质化简运算得解．
【解答】解：由m＝ax，得my＝（ax）y＝axy，
又∵n＝ay，∴nx＝（ay）x＝axy，
∴mynx＝axyaxy＝a2xy，
又m
y n
x =a
4
z，则a
2 xy =a
4
z，可得2 xy = 4
z ，解得xyz＝2．
故选：C．
【点评】本题考查指数式与对数式的互化，是基础题．
27．已知正数x，y，z，满足3x＝4y＝6z，则下列说法不正确的是（ ）
A．1
x + 1
2 y = 1
z
B．x＞y＞z
C．1
x + 1
z ＜2
y
D．3x＜4y＜6z
【考点】指数式与对数式的互化；函数的单调性与函数图象的特征．
版权所有
【分析】令3x＝4y＝6z＝t＞1，则x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t，对于A，直接代入利用对数的运算性质
计算判断，对于B，结合对数函数的单调性分析判断，对于C，利用作差法分析判断，对于D，对3x，
4y，6z 化简变形，结合幂的运算性质及不等式的性质分析判断．
【解答】解：令3x＝4y＝6z＝t＞1，则x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t，
对于A，1
x + 1
2 y =
1
lo g3t +
1
2lo g4t =lo gt 3+ 1
2 lo gt 4 =lo gt 3+lo gt 2=lo gt 6= 1
z ，所以A 正确，
对于B，因为y＝logtx（t＞1）在（0，+∞）上递增，且1＜3＜4＜6，
所以logt1＜logt3＜logt4＜logt6，即0＜
1
lo g3t ＜
1
lo g4t ＜
1
lo g6t ，
即0＜1
x ＜1
y ＜1
z ，所以x＞y＞z，所以B 正确，
对于C，因为1
x + 1
z −2
y =
1
lo g3t +
1
lo g6t −
2
lo g4t
＝logt3+logt6﹣2logt4
=lo gt 3×6
16 =lo gt 9
8
＞logt1＝0（t＞1），
所以1
x + 1
z ＞2
y ，所以C 错误，
对于D，3 x =3lo g3t =lo g
3
1
3 t ，4 y = 4lo g4t =lo g
4
1
4 t ，6 z =6lo g6t =lo g
6
1
6 t，
因为(3
1
3 )
12＞(4
1
4 )
12＞(6
1
6 )
12＞1，所以3
1
3 ＞4
1
4 ＞6
1
6 ＞1，
所以ln3
1
3 ＞ln 4
1
4 ＞ln 6
1
6 ＞0，所以
1
ln3
1
3
＜
1
ln 4
1
4
＜
1
ln 6
1
6 ，
因为t＞1，所以lnt＞0，所以
lnt
ln3
1
3
＜lnt
ln 4
1
4
＜lnt
ln 6
1
6 ，
所以lo g
3
1
3t ＜lo g
4
1
4 t ＜lo g
6
1
6 t，所以3x＜4y＜6z，所以D 正确．
故选：C．
【点评】本题考查对数式、指数式互化公式、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
28．如图，假定两点P，Q 以相同的初速度运动．点Q 沿直线CD 做匀速运动，CQ＝x；点P 沿线段AB
（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB＝y）．令P 与Q 同时分
别从A，C 出发，那么，定义x 为y 的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x 与y 的对应关系就是
y =10
7( 1
e )
x
10
7，其中e 为自然对数的底．当点P 从线段AB 的三等分点移动到中点时，经过的时间为（
）
A．ln2
B．ln3
C．ln 3
2
D．ln 4
3
【考点】指数式与对数式的互化．
版权所有
【分析】易知，它们的初速度相等，故Q 点的速度为107，然后可以根据y =10
7( 1
e )
x
10
7，求出P 在中点、
1
3分点时的x，则Q 点移动的距离可求，结合速度，时间可求．
【解答】解：由题意，P 点初始速度107即为Q 点的速度．
当P 在靠近A 点的三等分点时：2
3 ×10
7=10
7( 1
e )
x
10
7，解得：x=10
7ln 3
2，
当P 在二等分点时：1
2 ×10
7=10
7( 1
e )
x
10
7，解得：x＝107ln2，
所以经过的时间为：[10
7(ln2−ln 3
2 )]÷10
7= ln 4
3 ．
故选：D．
【点评】本题考查对数的计算和指数式和对数式的互化，要注意对题意的准确理解．属于基础题．
29．嫦娥六号是中国计划进行的一次月球采样返回任务．假设嫦娥六号在接近月球表面时，需要进行一系
列的减速操作，其减速过程可以近似地看作是一个指数衰减过程，其速度v（t）（单位：米/秒）随时
间t（单位：秒）的变化关系可以表示为：v(t )= v0⋅e
−λt，其中v0是初始速度，λ 是一个减速过程相关
的常数．已知嫦娥六号在t＝0 时的初始速度为v0＝1000m/s，经过t＝10s 后，速度变为v（10）＝
500m/s．若嫦娥六号需要在t＝Ts 时将速度减至月球表面的安全着陆速度v（T）＝1m/s，则T＝
（ ）
（精确到小数点后一位，参考数值：lg2≈0.301）
A．99.7
B．99.8
C．99.3
D．96.3
【考点】指数式与对数式的互化．
版权所有
【分析】由题意可得e
−10 λ= 1
2，可求得λ= ln2
10 ，又
1
1000 =e
−λT，代入计算可求得T．
【解答】解：由v(t )= v0⋅e
−λt，根据题意可得v（10）＝1000•e﹣10λ，
又v（10）＝500，所以e
−10 λ= 1
2，
两边取以e 为底的对数，可得−10 λ = ln 1
2 =−ln 2，
所以λ= ln2
10 ，由v（T）＝1m/s，所以1＝1000•e﹣λT，所以
1
1000 =e
−λT，
所以两边取以e 为底的对数，得ln
1
1000 =−λT，
所以T = ln1000
ln 2
10
= 30ln10
ln 2
=
30 lg10
lge
lg2
lge
=
30
0.301 =99.7．
故选：A．
【点评】本题考查了指数与对数函数模型应用问题，是基础题．
（多选）30．若实数a，b 满足2a＝3b＝6，则（ ）
A．1
a + 1
b =1
B．logab＞logba
C．a＞b
D．aa＞ab＞bb
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．
版权所有
【分析】利用指数式与对数式的互化结合对数运算的性质，指数函数的单调性、幂函数数的单调性进行
求解即可．
【解答】解：对于A，因为2a＝3b＝6，所以b＝log36，a＝log26，1
a + 1
b =lo g62+lo g63=1，A 正确；
对于B，C，由已知得，a＝log26＞b＝log36＞1，所以logba＞1＞logab，B 错误，C 正确；
对于D，因为a＞b＞1，f（x）＝ax单调递增，所以f（a）＝aa＞f（b）＝ab，
又g（x）＝xb在（0，+∞）上单调递增，所以g（a）＝ab＞g（b）＝bb，故aa＞ab＞bb，D 正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查对数运算的性质、指数式与对数式互化，属于中档题．
（多选）31．若6a＝2，6b＝3，则下列判断正确的是（ ）
A．a+b＝1
B．a
2+b
2＜1
2
C．ab＜1
4
D．a＞1
3
【考点】指数式与对数式的互化．
版权所有
【分析】结合指数幂的运算法则，基本不等式的公式，配方法，对数函数的单调性，即可求解．
【解答】解：6a＝2，6b＝3，
则6a•6b＝6a+b＝6，即a+b＝1，故A 正确；
a2+b2＝a2+（1﹣a）2=2(a−1
2 )
2+ 1
2 ＞1
2（a= 1
2不成立，等号无法取得），故B 错误；
ab＜(a+b)
2
4
= 1
4 ，故C 正确；
6a＝2，
则a＝log62，
又2＞6
1
3，
故a=lo g62＞lo g66
1
3 = 1
3
，故D 正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
32．若正实数m，n，t 满足5m＝7n＝t，且1
m + 1
n =2，则t＝ ❑√35 ．
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．
版权所有
【分析】先把指数式化为对数式，求出m，n，再结合对数的运算性质求解．
【解答】解：因为正实数m，n，t 满足5m＝7n＝t，
所以m＝log5t，n＝log7t，
所以1
m + 1
n =
1
lo g5t +
1
lo g7t =logt5+logt7＝logt35＝2，
所以t2＝35，
又因为t＞0，
所以t= ❑√35．
故答案为：❑√35．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．
33．已知a＞0 且a≠1，若loga2＝m，loga3＝n，则am+n＝
6
．
【考点】指数式与对数式的互化；有理数指数幂及根式化简运算求值．
版权所有
【分析】先把对数式化为指数式，再指数幂的运算性质求解．
【解答】解：因为loga2＝m，loga3＝n，
所以am＝2，an＝3，
所以am+n＝aman＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
34．放射性物质原子核数的衰变规律是：N = N 0⋅( 1
2 )
t
T ，其中N0指初始时刻的原子核数，t 为衰变时间，
T 为半衰期，N 为衰变后剩余的原子核数．已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T1、T2（单位：
天），若两种物质的初始原子核数相同，512 天后发现甲的原子核数是乙的原子核数的4 倍，则
1
T 2
−1
T 1
= 1
256 ．
【考点】指数式与对数式的互化．
版权所有
【分析】由题意得M0×( 1
2 )
512
T 1 =4M0×( 1
2 )
512
T 2 ，由此能求出结果．
【解答】解：由题意得M0×( 1
2 )
512
T 1 =4M0×( 1
2 )
512
T 2 ，
∴512
T 1
= 512
T 2
−2，
∴1
T 2
−1
T 1
= 2
512 = 1
256．
故答案为：1
256．
【点评】本题考查指数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
五．对数的运算性质（共5 小题）
35．已知a＞1，且loga8×loga2＝1﹣loga4，则a＝（ ）
A．2 或8
B．1
2或8
C．8
D．64
【考点】对数的运算性质．
版权所有
【分析】根据对数的运算性质化简计算即可求解．
【解答】解：因为loga8×loga2＝1﹣loga4，
又lo ga8×lo ga2=lo ga2
3×lo ga2=3(lo ga2)
2，
1−lo ga4 =1−lo ga2
2=1−2lo ga2，
令t＝loga2＞0，
所以3t2＝1﹣2t，解得t = 1
3或t＝﹣1（不符合题意舍去），
所以lo ga2= 1
3，解得a＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．
36．已知a＝lg2，b＝lg3，则lg12 可以表示为（ ）
A．a2b
B．2ab
C．a+2b
D．2a+b
【考点】对数的运算性质．
版权所有
【分析】结合对数运算性质即可得解．
【解答】解：因为a＝lg2，b＝lg3，
所以lg12＝lg（3×4）＝lg3+lg4＝lg3+lg22＝lg3+2lg2＝2a+b．
故选：D．
【点评】本题主要考查对数运算，属于基础题．
37．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述．视星等m 是在地球上看到的星体亮度
等级，视星等受恒星距离影响．绝对星等M 是假设把恒星放在距离地球10 秒差距（10 秒差距≈32.6 光
年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度．视星等m 和绝对星等M 满足m−M =5lg( d
10 )，
其中d 是与地球的距离，单位为秒差距．若恒星A 距离地球约32.6 光年，恒星B 距离地球约326 光年，
恒星A，B 的视星等满足mB﹣mA＝4，则（ ）
A．MB＝MA+4
B．MB＝MA+6
C．MA＝MB+1
D．MA＝MB+6
【考点】对数的运算性质．
版权所有
【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．
【解答】解：由题意可知，{
mA−M A =5lg( 32.6
10 )
mB−M B=5lg( 326
10 ))
，mB﹣mA＝4，
则4﹣（MB﹣MA）＝5，解得MA＝MB+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
38．若2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，则x，y 的关系是（ ）
A．x＝y
B．x＝2y
C．x＝4y
D．x＝y 或x＝4y
【考点】对数的运算性质．
版权所有
【分析】由已知结合对数的运算性质可得x，y 的关系式，然后结合对数真数大于0 的条件可求．
【解答】解：因为2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，
所以lg（x﹣2y）2＝lgx+lgy＝lgxy，x＞0，y＞0，x﹣2y＞0，
所以（x﹣2y）2＝xy，
整理得，x2﹣5xy+4y2＝0，
解得，x＝4y 或x＝y（舍），
故选：C．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质的应用，解题中不要漏掉对数真数大于0 的条件，属于基础题．
39．（1）❑√(3−π )
2+8
1
3 +( 8
27 )
−2
3 −0．5
2+(❑√3−1)
0；
（2）(lo g43+lo g83)(lo g32+lo g92)+lo g3
4√27−2
lo g25．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式．
版权所有
【分析】（1）结合指数幂的运算性质即可求解；
（2）结合对数的运算性质即可求解．
【解答】解：（1）❑√(3−π )
2+8
1
3 +( 8
27 )
−2
3 −0．5
2+(❑√3−1)
0=(π −3)+2+ 9
4 −1
4 +1= π +2，
（2）原式=[( 1
2 + 1
3 )lo g23]×[(1+ 1
2 )lo g32]+ 3
4 −5=−3．
【点评】本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．
六．对数运算求值（共6 小题）
40 ．2023 年，深度求索（DeepSeek ）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为
1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek 的算力每年增长50%．截止至
2025 年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek 的算力预计在
哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699）
A．2026 年
B．2027 年
C．2028 年
D．2029 年
【考点】对数运算求值．
版权所有
【分析】利用归纳可知，从2025 年起，到第n （n∈N* ）年，DeepSeek 的算力提升至
2250×1.5nPetaFLOPS，解不等式2250×( 3
2 )
n
＞7500，即可得出结论．
【解答】解：根据技术规划，DeepSeek 的算力每年增长50%，
截止至2025 年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率，
由题意可知，截止至2025 年，DeepSeek 的算力已提升至2250PetaFLOPS，
到2026 年，其算力提升至2250×1.5PetaFLOPS，
到2027 年，其算力提升至2250×1.52PetaFLOPS，
，
⋯
以此类推可知，
从2025 年起，到第n（n∈N*）年，DeepSeek 的算力提升至2250×1.5nPetaFLOPS，
由2250×( 3
2 )
n
＞7500，可得( 3
2 )
n
＞10
3 ，
∴n＞lo g3
2
10
3 =
lg 10
3
lg 3
2
= 1−lg3
lg3−lg2 ≈
1−0.477
0.477−0.301 ≈2.972，
∴DeepSeek 的算力预计在2028 年首次突破7500PetaFLOPS．
故选：C．
【点评】本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
41．已知a＞b＞1，若lo gab+lo gba= 10
3 ，ab＝ba，则ab＝（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【考点】对数运算求值．
版权所有
【分析】设t＝logba 并由条件求出t 的范围，代入lo gab+lo gba= 10
3 化简后求出t 的值，得到a 与b 的
关系式代入ab＝ba化简后列出方程，求出a，b 的值，进而求解．
【解答】解：设t＝logba，由a＞b＞1 得t＞1，已知等式转化为：t + 1
t = 10
3 ，
即3t2﹣10t+3＝0，解得：t＝3 或t = 1
3（舍去）．
所以logba＝3，即a＝b3，又因为ab＝ba，所以b3b＝ba，则a＝3b＝b3，
解得：b= ❑√3，a=3 ❑√3，所以ab＝9．
故选：D．
【点评】本题考查对数运算，属于基础题．
42．化简（log62）2+log62•log63+2log63−6
lo g62的值为（ ）
A．﹣log62
B．﹣log63
C．log63
D．﹣1
【考点】对数运算求值．
版权所有
【分析】由已知结合对数运算性质进行化简即可求解．
【解答】解：（log62）2+log62•log63+2log63−6
lo g62
＝（log62）2+log62•（1﹣log62）+2（1﹣log62）﹣2
＝（log62）2+log62﹣（log62）2+2﹣2log62﹣2
＝﹣log62．
故选：A．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
43．若logam＝2，b3＝m，则logm（ab）＝（ ）
A．1
6
B．1
5
C．5
6
D．6
5
【考点】对数运算求值；指数式与对数式的互化．
版权所有
【分析】先根据指数式和对数式互换得出logbm＝3；再根据对数的运算法则及换底公式可求解．
【解答】解：由b3＝m 可得：logbm＝3，
则logm（ab）＝logma+logmb=
1
lo gam +
1
lo gbm = 1
2 + 1
3 = 5
6 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．
44．已知a=lo g52，2
b=3，则log215＝（ ）
A．1
a +b
B．1
b +a
C．b
a
D．a
b
【考点】对数运算求值．
版权所有
【分析】先利用对数的换底公式得1
a =lo g25，b＝log23，最后利用对数的运算法则即可求解．
【解答】解：a=lo g52，2
b=3，
∴a＝log52= lo g22
lo g25 =
1
lo g25，
∴1
a =lo g25，b＝log23，
∴lo g215=lo g23+lo g25=b+ 1
a．
故选：A．
【点评】本题考查对数的运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
45．若a＞1，b＞1，且log3a•log3b＝4，则ab 的最小值为
81
．
【考点】对数运算求值．
版权所有
【分析】利用基本不等式及对数的运算法则，最后借助对数函数的单调性即可求解．
【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴log3a＞0，log3b＞0，且log3a•log3b＝4，
∴lo g3a+lo g3b≥2❑√lo g3a⋅lo g3b=2❑√4 = 4，
当且仅当log3a＝log3b 即a＝b 时等号成立，
又log3a+log3b＝log3ab，∴lo g3ab≥4 =lo g33
4，
∴ab≥34＝81，则ab 的最小值为81．
故答案为：81．
【点评】本题考查了对数的运算性质，基本不等式求最值的方法，是基础题．
一、单选题
1．已知
，若
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知
，
且
，
，
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，
，则
（ ）
A．
B．
课后针对训练
C．
D．
4．若对数式
有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．18
6．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要时间
（单位：小时），
其中k 为常数，在此条件下，已知训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加20
小时；当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加（单位：小时）
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
7．已知
，将
表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由
近似描述，其中
为
标准大气压强，k 为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m 两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．
下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（ ）
季节
春季
夏季
秋季
冬季
（参考数据：
，
）
A．春季
B．夏季
C．秋季
D．冬季
10．按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内二氧化碳最高容许浓度不高于
．经测定，刚下课
时，教室内含有
的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为
，且
随时间（单位：
）的变化规律可以用函数
描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要
的时间的最小整数值为（ ）
参考数据：
．
A．1
B．3
C．7
D．8
二、多选题
11．下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．设
，则下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
14．
.
15．
．
16．
，则用
和
表示
的结果为
四、解答题
17．（1）已知
，试用
表示
；
（2）已知
，求
的值．
18．求解下列问题：
(1)在①
，②
中任选一个求值；
(2)已知
，
，试用a，b 表示
．
19．计算：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
20．（1）计算：
；
（2）已知
，
，求
的值；
（3）已知
，求
的值
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
B
C
B
C
D
D
题号
11
12
13
答案
ACD
BCD
AD
1．D
【分析】利用对数运算，结合因式分解，通过分析可得
，然后再利用基本不等式可求得最小值.
【详解】由题意得：
，
所以
或
，即
或
，
因为
，所以
，
即
，
取等号条件为
，此时
，
故选: D
2．A
【分析】先根据指数式对数式互化求出
，再根据换底公式转化
，再根据
求解
即可.
【详解】由
，得
，即
，
所以
，所以
.
故选：A.
3．C
【分析】先根据指数式和对数式互换得出
；再根据对数的运算法则及换底公式可求解.
【详解】由
可得：
.
则
.
故选：C
4．B
【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】要使对数式
有意义，需
，解得
且
，
所以，实数的取值范围是
.
故选：B.
5．B
【分析】根据条件，利用指对数的互化，即可求解.
【详解】因为
，得到
，所以
，
故答案为：.B
6．C
【分析】由条件列方程求
，再求对应条件下的时间增加量即可.
【详解】由题意得
，
所以
，所以
，
所以当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，
训练时间增加为
（小时）.
故选：C.
7．B
【分析】由根式与有理数指数幂的关系及指数幂的运算性质化简，即可得.
【详解】由于
，则
；
故选：B
8．C
【分析】首先根据已知条件将
用
表示出来，然后根据对数函数、指数函数、二次函数的单调性判断
的范围即可进行比较.
【详解】由题意可求得，
.
因为
，所以根据对数函数、指数函数、二次函数的单调性可知，
，
，
，
所以
.
故选：C.
9．D
【分析】根据已知函数模型结合指对数转化计算求解判断即可.
【详解】由题意，
，所以
，所以
，
，
，
所以
，为冬季，
故选：D．
10．D
【分析】由
得
，再由
，求解即可.
【详解】当
时，
，解得
，所以
，
令
，即
，
即
，
所以
，故所需时间的最小整数值为8．
故选：D
11．ACD
【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性进行大小比较即可，对于D，可以用作商法，再对无
理数放缩进行大小比较即可.
【详解】利用
是单调递增函数，可得
，故A 正确；
利用指数函数的单调性可知：
，
利用幂函数的单调性可知：
，所以
，故B 错误；
利用指数函数单调性可知：
，
利用对数函数单调性可知：
，所以
，故C 正确；
利用作商法
，
因为
，所以
，
即
，所以
，故D 正确；
故选：ACD
12．BCD
【分析】应用指对数互化、对数运算法则、换底公式及对数函数的性质分别判断各个选项即可.
【详解】对于A，
，所以
，故A 不正确；
对于B，由
，
得
，
，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 正确.
故选：BCD.
13．AD
【分析】根据指数幂运算法则即可判断．
【详解】对A，
，故A 正确；
对B，
，故B 错误；
对C，
，故C 错误；
对D，方法一（由内向外化）
．
方法二（由外向内化）
．故D 正确.
故选:AD.
14．3
【分析】利用换底公式结合对数的运算性质求解即可.
【详解】由换底公式得
.
故答案为：3.
15．
/
【分析】利用指对数的运算性质和换底公式，即可求解.
【详解】因为
，
故答案为：
.
16．
【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解.
【详解】由
，得
，而
，
所以
.
故答案为：
17．（1）
；（2）
【分析】（1）由对数的运算性质结合换底公式计算即可；
（2）先根据所给条件求得
的值，再代入计算即可.
【详解】（1）
；
（2）
即
，
，即
．
，即
，
或
．
符合题意，
舍去，
．
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可；
（2）结合换底公式及对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）选①，原式
．
选②，原式
．
（2）因为
，
所以
．
19．(1)
(2)8
(3)-3
【分析】（1）（2）（3）根据指对幂运算法则逐一求解即可.
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）
.
20．（1）
；（2）
；（3）
.
【分析】（1）由根式与指数关系及有理数指数幂的运算性质化简求值；
（2）将目标式化为
，再代入求值；
（3）由已知及指数幂运算得
、
，代入目标式求值.
【详解】（1）原式
；
（2）由
，
，
则
；
（3）由于
，则
，
所以
，
，
所以
.
