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第 2 讲 整式与因式分解 答案解析（教师版）
第一部分：知识点梳理
知识点一：代数式
1.代数式的概念
用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数
或者一个字母也是代数式．
2.代数式的值
用具体数代替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值.求代数式的值分两步:第一步,
代数;第二步,计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值.
知识点二：整式的有关概念
1．整式：单项式与多项式统称为整式．
2．单项式：含有数或字母的积的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
单项式中的数字因式叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次
数．
例如：单项式 是的系数是-5，次数是6.
3．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做
常数项．多项式中次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．多项式中单项式的个数，就是这个多项
式的项数．
4．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
5．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合
并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变．
知识点三：幂的运算
（1） am·an=am+n； (am)n=amn； (ab)n=anbn；
（2） am÷an= ；
（3） （ ） （ ）
知识点四：整式的加减运算
（1）整式的加减运算：整数的加减本质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项.
（2）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括
号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负
号，括到括号里的各项都改变符号.
知识点五：整式的乘除运算
第 1 页 共 36 页（1）单项式 单项式：
①将单项式系数相乘作为积的系数；
②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式；
③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式.
（2）单项式 多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加；
（3）多项式 多项式：(a+b) (m+n)= am+an +bm +bn.
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
（4）单项式 单项式：
单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连
同它的指数作为商的因式.
（5）多项式 单项式
①先把这个多项式的每一项除以单项式，②再把所得的商相加.
知识点六：乘法公式
（1）平方差公式：
（2）完全平方公式：
(a+b) 2 =a2 +2ab+b2 (a−b) 2 =a2 −2ab+b2
，
( 或合在一起 )
知识点七：因式分解
1．因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．
注：整式乘法与因式分解是互逆运算.
2．因式分解的基本方法：
（1）提取公因式法： .
（2）公式法：运用平方差公式： .运用完全平方公式： .
3．分解因式的一般步骤
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平
方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
以上步骤可以概括为“一提，二套，三检查”。
知识点八：十字相乘法
1、如果二次三项式 中的常数项q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是
第 2 页 共 36 页a与b的和，那么 就可以进行如下的因式分解，即
= x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2、利用十字交叉线来把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
一般地， = x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)可以用十字交叉线表示
方法的特征是：“拆两头，凑中间”
口诀：“首尾分解，交叉相乘，求和凑中，横写因式”
注意：用十字相乘法分解因式，要注意避免这两种错误：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是
否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
第二部分：考点突破
考点1代数式的相关概念
1．（2025·上海·中考真题）用代数式表示 与 差的平方，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b
的差，再将这个差整体平方，即 ．
【详解】解：A. ：这是平方差公式的结果，表示 的平方减去 的平方，而非差的平方，错误，不
符合题意；
B. ：表示先求差再平方，正确，符合题意；
C. ：仅对 平方后减去 ，未对差整体平方，错误，不符合题意；
D. ：表示 减去 的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意；
故选：B．
2．（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每
分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（ ），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为
（ ）
A． B． C． D．
第 3 页 共 36 页【答案】D
【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘
数为每个机械手的效率之和．
【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数
，
故选：D．
3．（2025·江苏扬州·中考真题）若 ，则代数式 的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．先将 变形为 ，
再将 变形为 ，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
4．（2025·江苏苏州·中考真题）若 ，则代数式 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，根据 ，得到 ，整体代入法求出代数式的值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
5．（2025·山东威海·中考真题）若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．
先将 变形为 ，然后将 变形为 ，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
第 4 页 共 36 页∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6．（2025·吉林长春·中考真题）已知 ，则代数式 的值为 ．
【答案】3
【分析】题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键．
将 化为 ，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴
，
故答案为：3．
7．（2025·四川自贡·中考真题）若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得 ，整体代入计算即可得解，
熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
8．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．
某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a
个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）．
第 5 页 共 36 页【答案】
【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a
个布老虎增加的利润．
【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为 （元），
则售出a个布老虎增加的利润为 ．
故答案为： ．
9．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 ， ．如图，将甲纸条的 与乙纸
条的 叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．
【答案】99
【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为：
，设叠部分的长度为k，则 ， ，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k
的一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ，
设重叠部分的长度为k，则 ， ，
重叠后的总长度为： ，即 ，
代入 ， 得： ，
解得： ，
， ，
∴
，
∴故答案为：99．
第 6 页 共 36 页考点2幂与整式的运算
10．（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则
成为解题的关键．
根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意；
B． ，故该选项错误，不符合题意；
C． ，故该选项错误，不符合题意；
D． ，故该选项正确，符合题意．
故选D．
11．（2025·湖南长沙·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的运算和二次根式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：A： 与 不是同类项，无法合并，故A错误；
B： 中， 与 的字母部分不同，无法合并，故B错误；
C：根据积的乘方法则， = ，等式成立，故C正确；
D： 、 、 均非同类二次根式，无法直接相减，故D错误；
故选：C
12．（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（ ）
第 7 页 共 36 页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据
相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、 与 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
13．（2025·四川广安·中考真题）下列各式运算结果为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
逐一计算各选项的结果，即可得到答案．
【详解】A. ，故选项正确，符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：A
14．（2025·云南·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解
第 8 页 共 36 页题的关键．
运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得．
【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变． ，而非 ，故A错误．
B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ，故B正确．
C、同底数幂相除，底数不变，指数相减． ，而非 ，故C错误．
D、积的乘方等于各因式乘方的积． ，故D错误．
故选：B．
15．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方等基本法则；逐一验证各
选项的正确性即可．
【详解】解：A： ，合并同类项时，系数相加，字母部分不变， 的系数为1，故 ，
结果为 ，计算正确；
B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为 ，而非 ，计算错误；
C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ，结果应为 ，而非 ，计算错误；
D：幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘； ，结果应为 ，而非 ，计算错误；
故选：A．
16．（2025·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
第 9 页 共 36 页【分析】本题考查整式的运算相关知识，熟练掌握运算法则是解题的关键；
可根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则，对选项逐一分析：
【详解】A． 与 不是同类项，不能合并，所以 ，该选项错误，不符合题意；
B．根据幂的乘方法则 ，该选项错误，不符合题意；
C．根据完全平方公式 ，该选项错误，不符合题意；
D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘， ，该选项正确，符
合题意；
故选：D．
17．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（ ）
2a+3b=6ab
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂
乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可．
【详解】A． ，故选项A计算错误，不合题意；
B． 与 是不同类项，无法合并为 ，故选项B计算错误，不合题意；
C． ，选项运算正确，符合题意；
D． ，故选项D计算错误，不合题意；
故选C．
18．（2025·四川德阳·中考真题）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查合并同类项、去括号、整式乘法及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
分别根据合并同类项，去括号，单项式的乘除运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A： 与 的字母部分不同（ 与 ），不是同类项，无法合并，故本选项的计算错误；
第 10 页 共 36 页B： ，故本选项的计算错误；
C： ，故本选项的计算正确；
D： ，故本选项的计算错误．
故选：C．
19．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，
逐一进行计算判断即可．
【详解】A． 中的 和 不是同类项，无法合并，故错误．
B． ，正确．
C． 应展开为 ，选项漏掉 ，故错误．
D． ，选项中结果为 ，计算错误．
故选：B．
20．（2025·山东·中考真题）已知 ，则下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题
的关键．
根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答．
【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意；
B． ，故该选项正确，符合题意；
C． 与 不是同类项，无法合并为 ，故该选项错误，不符合题意；
第 11 页 共 36 页D． ，故该选项错误，不符合题意．
故选：B．
21．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的
法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．
【详解】解：A、 和 不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；
B、 ，故此选项不合题意；
C、 ，故此选项不合题意；
D、 ，故此选项符合题意．
故选：D．
22．（2025·山东烟台·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方，需逐一验证各选项的正确
性．根据合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方逐一分析判断即可．
【详解】解：选项A： ．合并同类项需满足相同次数，但 与 次数不同，无法合并，结果应为
，故A错误．
选项B： ．单项式乘法中，系数相乘（ ），变量部分指数相加（ ），结果为 ，
故B正确．
选项C： ．单项式除法中，系数相除（ ），变量部分指数相减（ ），结果
第 12 页 共 36 页为 ，但选项写为 ，符号错误，故C错误．
选项D： ．幂的乘方需对系数和变量分别乘方：系数为 ，变量为 ，结果应为 ，但
选项写为 ，系数错误，故D错误．
故选：B．
23．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查整式乘法运算、算术平方根等知识点，熟练掌握相关运算法则成为解题的关键．
根据整式乘法运算、算术平方根逐项判断即可．
【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意；
B． ，故该选项正确，符合题意；
C． ，故该选项错误，不符合题意；
D． ，故该选项错误，不符合题意．
故选B．
24．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式，熟记对
应法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式对
每一项判断解答即可．
【详解】解：A． 、 不是同类项不能合并，故原计算错误，不符合题意；
B． ，故原计算错误，不符合题意；
C． ，故原计算错误，不符合题意；
第 13 页 共 36 页D． ，故原计算正确，符合题意；
故选：D．
25．（2025·重庆·中考真题）已知整式 ，其中 为自然数， ， ， ，…，
为正整数，且 ．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当 时，满足条件的所有整式M的和为 ；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对 进行分类讨论，即可求解，理解题意，
分类讨论，找出规律是解题的关键．
【详解】解：当 时， ，
当 ， 时，整式M为 ，
当 时，整式M不可能为单项式，
当 时，
， ，…， 为正整数，
整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；
当 时， ，
当 时， ，
则 中有一个可能为 ，故会有三种情况，对应的整式M为 ， ， ，
当 时， ，
则 故会有一种情况，对应的整式M为 ，
第 14 页 共 36 页当 时， ，与 ， ，…， 为正整数矛盾，故不存在，
满足条件的所有整式M的和为 ，故②错误；
多项式为二次三项式，
，
，
因为多项式为三项式，故 ，
当 时， ，
则有 两种，
， ，
两种都满足条件，
当 时， ，
则有 一种，
，
满足条件，
当 时， ，与 ， ，…， 为正整数矛盾，故不存在，
所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，
其中正确的个数是 个，
故选：C．
考点3整式的化简求值
26．（2025·浙江·中考真题）化简求值： ，其中 ．
【答案】 ，13
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键．
第 15 页 共 36 页先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
27．（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，2
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
28．（2024·内蒙古包头·中考真题）（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）解方程： ．
【答案】（1） ，7；（2）
【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，解分式方程等知识，解题的关键是：
（1）先利用完全平方公式、去括号法则化简，然后把x的值代入计算即可；
（2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．
【详解】解：（1）
，
当 时，原式 ；
（2）
去分母，得 ，
第 16 页 共 36 页解得 ，
把 代入 ，
∴ 是原方程的解．
29．（2024·青海西宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中a满足 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键．
根据整式的乘法运算和完全平方公式，展开原代数式，得到 ，由所给条件得到 ，整
体代入，即可得到结果．
【详解】解：
，
，
，
∴原式 ．
30．（2025·河南·中考真题）（1）计算： ；
（2）化简： ．
【答案】（1）0；（2）1
【分析】（1）首先计算立方根，零指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减；
（2）首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减．
【详解】解：（1）
；
（2）
第 17 页 共 36 页．
【点睛】此题考查了立方根，零指数幂和二次根式的乘法，完全平方公式，单项式乘以多项式，解题的
关键是掌握以上运算法则．
31．（2024·江苏无锡·中考真题）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关
键．
（1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可；
（2）先根据去括号法则和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
32．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计
算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
第 18 页 共 36 页33．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值：
，其中 ， ．
【答案】
【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再
把x与y的值代入计算即可求出结果．
此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：
，
当 ， 时，
原式 ．
34．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：
．
当 时，原式 ．
考点4因式分解
35．（2025·广西·中考真题）因式分解： （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解： ．
故选：A
第 19 页 共 36 页36．（2023·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式， 还可分解因式；利用十字相乘法， ．
【详解】解： ；故A不正确，不符合题意．
；故B正确，符合题意．
；故C，D不正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．
37．（2024·云南·中考真题）分解因式： （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．
将 先提取公因式，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解： ，
故选：A．
38．（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．
【详解】解：A、 ，故本选项正确，符合题意；
第 20 页 共 36 页B、 ，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 ，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、
十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
39．（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
【答案】D
【分析】设一个奇数为 ，另一个奇数为 ，且 是较大一个， 都是正整数，根据题意，
得 ，分类解答即可．
本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：设一个奇数为 ，另一个奇数为 ，且 是较大一个， 都是正整数，
根据题意，得
，
当 时， ，都能成立；
当 时，则 ，则 ，
故 ，
故 ，
故一定能被8整除，
故选：D．
40．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式： ．
第 21 页 共 36 页【答案】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，注意计算的准确性即可；
【详解】解： ，
故答案为：
41．（2025·北京·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取7，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
42．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
43．（2025·江苏苏州·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用 分解因式即可.
第 22 页 共 36 页【详解】解： ，
故答案为：
44．（2025·山西·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键；由平方差公式分
解即可．
【详解】解： ；
故答案为： ．
45．（2025·湖南·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式a进行分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
46．（2018·广西钦州·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解；先提取公因式2，再用平方差公式分解即可．
【详解】解： ；
故答案为： ．
47．（2015·宁夏·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．先提公因式 ，再利用平方差公式
分解因式即可．
第 23 页 共 36 页【详解】解： ，
故答案为： ．
48．（2024·江苏常州·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查的是公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解本题的关键．
利用完全平方公式分解．
【详解】解： ．
故答案为： ．
49．（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ．
【答案】 /
【分析】本题考查因式分解，直接利用完全平方公式进行因式分解即可．熟练掌握因式分解的方法，是
解题的关键．
【详解】解： ；
故答案为： ．
50．（2025·吉林·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
用提公因式的方法分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
51．（2022·湖北恩施·中考真题）因式分解： _______．
【答案】
第 24 页 共 36 页【分析】本题考查了提公因式法及公式法因式分解，先提取公因式 ，再根据平方差公式进行二次分解即
可，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
52．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴
故答案为： ．
53．（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】此题主要考查了提公因式法以及公式法进行分解因式，正确找出公因式是解题关键．
首先找出公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
54．（2025·山东东营·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，
即可作答．
【详解】解： ，
故答案为： ．
第 25 页 共 36 页考点5规律探究题
55．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（
）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，
并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可
【详解】解：∵ ，
，
，
∴第5个数为 ，
第6个数为 ，
第7个数为 ，
故选：D．
56．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序
数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数： ，进行第1次构
造，得到新的一列数： ，第2次构造后，得到一列数： ，…，第n次构造后得到一列数：
，记 ．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（ ）
A． B． 为偶数 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先求出 的值，以及对应的k值，可得规律
，此时 ，据此可判断A、C、D；再证明 是偶数即可判断B．
【详解】解：由题意得 ，此时 ，
，此时 ，
第 26 页 共 36 页第3次构造后得到的一列数为 ，
∴ ，此时 ，故A正确，不符合题意；
同理可得 ，此时 ，
……，
以此类推可知， ，此时 ，故D错误，符合题意
∴ ， ，故C正确，不符合题意；
∵ 是偶数，
∴ 是偶数，
∴ 是偶数，
∴ 是偶数，
∴ 是偶数，
以此类推， 也是偶数，
∴ 为偶数，故B正确，不符合题意；
故选：D．
57．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数 ．在平面直角坐标系
中，将点 中的 ， 分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中 ， 均为
正整数）．例如，点 经过第 次运算得到点 ．经过第 次运算得到点 ，经过第 次运算得
到点 ，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点 经过第 次运算后得到点是
（ ）
第 27 页 共 36 页A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点 每次运算后的结果，
发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果．
【详解】解：初始点： （第0次运算）．
第1次： 横坐标 为偶数， ； 纵坐标 为奇数， ； 得到点 ．
第2次： 横坐标 为奇数， ； 纵坐标 为偶数， ； 得到点 ．
第3次： 横坐标 为偶数， ； 纵坐标 为偶数， ； 得到点 ，与初始点相
同，
即三次一循环，
，
∴第 次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即 ．
故选：A．
58．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个
圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是
（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
【答案】C
【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色
圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入 计算即可．
解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律．
【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第 28 页 共 36 页第④个图案中有16个黑色圆点，
则第 个图案中有 个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是 个，
故选：C．
59．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解
，可得 ，再进一步探究即可；
【详解】解：∵12个相似的直角三角形，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
，
，
第 29 页 共 36 页∴ ，
故选C
60．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1
个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674
个图中三角形的个数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前
几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形
中三角形的个数．
【详解】解：第1个图案有4个三角形，即 ，
第2个图案有7个三角形，即 ，
第3个图案有10个三角形，即 ，
…，
按此规律摆下去，第n个图案有 个三角形，
则第674个图案中三角形的个数为： （个）．
故选：B．
61．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设
计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……
则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
【答案】21
【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据
第 30 页 共 36 页第1个图案中矩形的个数： ；第2个图案中矩形的个数： ；第3个图案中矩形的个数：
；…第n个图案中矩形的个数： ，算出第10个图案中矩形个数即可．
【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数： ；
第2个图案中矩形的个数： ；
第3个图案中矩形的个数： ；
…
第n个图案中矩形的个数： ，
∴则第10个图案中矩形的个数为： ，
故答案为：21．
62．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为斜边
作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ， 按照此
规律继续下去，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根
据面积的变化找出变化规律“ ”是解题的关键．根据题意求出面积标记为 的正方形的边
长，得到 ，同理求出 ，得到规律，根据规律解答．
【详解】解：如图，
第 31 页 共 36 页∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的 倍，
∵正方形 的边长为2，
，
∴面积标记为 的正方形边长为 ，
则 ，
面积标记为 的正方形边长为 ，
则 ，
面积标记为 的正方形的边长为 ，
则 ，
……，
第 32 页 共 36 页，
则 的值为： ，
故答案为： ．
63．（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“ ”组成的一组有规律的图案，其中第1个图
案用了2个“ ”，第2个图案用了6个“ ”，第3个图案用了12个“ ”，第4个图案用了20个“
”，……，依照此规律，第n个图案中“ ”的个数为 （用含n的代数式表示）．
【答案】
【分析】
本题考查了图形类规律，根据图形规律求得第n个图案中“ ”的个数为 ，解题的关键是明确题意，
发现题目中 个数的变化规律．
【详解】
解：∵第1个图案用了 个“ ”，
第2个图案用了 个“ ”，
第3个图案用了 个“ ”，
第4个图案用了 个“ ”，
……，
∴第n个图案中“ ”的个数为 ，
故答案为： ．
64．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点 为反比例函数 图象上的点，其
横坐标依次为 ．过点 作x轴的垂线，垂足分别为点 ；过点
第 33 页 共 36 页作 于点 ，过点 作 于点 ，…，过点 作 于点 ．记
的面积为 的面积为 的面积为 ．
(1)当 时，点 的坐标为______， ______， ______，
______（用含n的代数式表示）；
(2)当 时， ______（用含n的代数式表示）．
【答案】(1) ； ； ；
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索：
（1）先求出 ，进而得到 ，再求出 ，
，则 ，同理可得 ， ， ，再根据三角形面积计算公
式求出 的面积，然后找到规律求解即可；
（2）仿照（1）表示出 的面积，然后找到规律求解即可．
【详解】（1）解：当 时，反比例函数解析式为 ，
在 中，当 时， ；当 时， ；当 时， ，
第 34 页 共 36 页∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
同理可得 ， ， ，
∴ ， ，
，
∴ ， ，
……
以此类推可得， ；
故答案为： ； ； ； ；
（2）解：当 时，反比例函数解析式为 ，
在 中，当 时， ；当 时， ；当 时， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
第 35 页 共 36 页∵ ，
∴ ，
同理可得 ， ， ，
∴ ， ，
，
以此类推可得，
．
第 36 页 共 36 页
