文档文本内容
4.3 三角函数的图象与性质
目录
01思维导图与题型归纳.......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图........................................................................3
知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质............................................................................3
知识点三、正弦函数的平移和伸缩变换............................................................................................3
方法技巧总结1：整体思想.................................................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................5
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................5
题型一：五点法作图............................................................................................................................9
题型二：对称性与周期求解................................................................................................................9
题型三：单调区间与最值求解..........................................................................................................13
题型四：三角函数解析式求解..........................................................................................................13
题型五：函数奇偶性判断..................................................................................................................16
题型六：三角函数图像平移伸缩......................................................................................................16
题型七：三角函数实际应用..............................................................................................................18
题型八：三角最值常用解法..............................................................................................................20
题型九：三角函数性质综合题型......................................................................................................20
05 课后拓展精练................................................................................................................................25知识点一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
（2）在余弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y=sinx y=cosx y=tanx
图象
π
定义域 R R {x|x∈R，x≠kπ+ }
2
值域 [−1，1] [−1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
π π π π
递增区间 [2kπ− ，2kπ+ ] [−π+2kπ，2kπ] (kπ− ，kπ+ )
2 2 2 2
π 3π
递减区间 [2kπ+ ，2kπ+ ] [2kπ，π+2kπ] 无
2 2
π kπ
对称中心 (kπ，0) (kπ+ ，0) ( ，0)
2 2
π
对称轴方程 x=kπ+ x=kπ 无
直线 2 直线
知识点三、正弦函数的平移和伸缩变换
函数 的图象可以通过下列两种方式得到：⃗1
y=sinx⃗图象左移ϕ y=sin(x+ϕ)横坐标缩短到原来的
倍
ω y=sin(ωx+ϕ)
1、
⃗ 纵坐标伸长为原来的A倍y=Asin(ωx+ϕ)
⃗1 ⃗ϕ
y=sinx横坐标缩短到原来的 倍y=sin(ωx)图象左移
ω ω y=sin(ωx+ϕ)
2、
⃗ 纵坐标伸长为原来的A倍y=Asin(ωx+ϕ)
关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到： ， 的图
像
定理： 则平移单位为 （注意平移方向）
方法技巧总结1：整体思想
y=sinx y=Asin(ωx+ϕ)
2π
周期 2π
ω
定义域 R R
π
π 2kπ+ −ϕ
最大值 x=2kπ+ 2
1，当 2 取得 x=
A，当 ω 取得
3π
3π 2kπ+ −ϕ
最小值 x=2kπ+ 2
-1，当 2 取得 x=
-A，当 ω 取得
[ π π ]
[ π π]
2kπ− −ϕ 2kπ+ −ϕ
单调增区间 2kπ− ,2kπ+ 2 2
2 2 ,
ω ω
[ π 3π ]
[ π 3π] 2kπ+ −ϕ 2kπ+ −ϕ
单调减区间 2kπ+ ,2kπ+ 2 2
2 2 ,
ω ω
π
π kπ+ −ϕ
对称轴 x=kπ+ 2
2 x=
ω
(kπ−ϕ )
对称中心 (kπ,0) ,0
ω1．（2026·北京·高考真题） （ ），将 向 轴正方向平移 个单位，得到的
函数图像与 图像关于 轴对称，则 的取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2026·天津·高考真题）函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·北京·高考真题）设函数 ，若 恒成立，且 在
上存在零点，则 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
4．（2025·天津·高考真题） ，在 上单调递增，且 为它
的一条对称轴， 是它的一个对称中心，当 时， 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
5．（2025·全国一卷·高考真题）已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则a的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
7．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是 的是（ ）
A． B．C． D．
8．（2024·北京·高考真题）设函数 .已知 ， ，且 的最小值为
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024·天津·高考真题）已知函数 的最小正周期为 ．则 在区间
上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ， ，当 时，曲线
与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
11．（多选题）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数 和 ，下列说法中正
确的有（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值
C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图象有相同的对称轴
12．（2026·上海·高考真题）已知三角函数 （ ， ， ， ），
若 ，当 或 时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则
__________．
13．（2026·全国一卷·高考真题）已知 （ ， ）是偶函数， 在区间
上单调递增．则 __________， __________．
14．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于原点
对称.若 ，则 的最大值为________．
15．（2023·北京·高考真题）已知命题 若 为第一象限角，且 ，则 ．能说明p为假
命题的一组 的值为 __________， _________．
16．（2026·北京·高考真题）已知函数 ， ， ． 最小正周期为 ，且 ， ．
(1)求 、 的值；
(2)求 的单调递减区间．
17．（2026·上海·高考真题）已知函数 .
(1)当 ， ，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 的最小正周期为 ，且 在 上恰好有1351个解，求 的取值范围.
18．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数 ．
(1)求 ;
(2)设函数 ，求 的值域和单调区间．
19．（2024·上海·高考真题）已知 ，
(1)设 ，求解: 的值域;
(2) 的最小正周期为 ，若在 上恰有3个零点，求 的取值范围.
20．（2023·北京·高考真题）设函数 ．(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．题型一：五点法作图
【例题1】已知函数 .
(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数 在 上的图象（要求列表），并直接写出
图象的对称中心；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，若 ， ，当
时， 恒成立，求实数 的最大值.
【例题2】已知函数 .
(1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数 的大致图象，要求：列表，描点，连线；(2)若方程 在 有两个不同的实数根，求 的取值范围.
【变式1】已知函数 ．
(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数 在 上的图像；
(2)若函数 的图象向上平移一个单位长度，得到函数 的图象，求不等式 的解集．
【变式2】已知函数 ．
(1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数 在 的图象；
(2)若 ，求 ．(3)若 ，求 的单调递减区间和对称轴．
【变式3】设 图象的一条对称轴是直线 ．
(1)求 ，并求函数 的单调增区间；
(2)用“五点作图法”画出函数 在区间 上的图象．
题型二：对称性与周期求解
【例题3】下列函数中最小正周期为 的有（ ）个
① ；② ；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例题4】已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的定义域为 且
B．函数 的值域为
C．函数 的最小正周期为D．函数 的图象关于直线 对称
【变式4】将函数 的图象向左平移 个单位，所得的图象关于 轴对称，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【变式5】设函数 ，若 恒成立，且存在 ，使得
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6】设函数 （ ），若对于任意的 ，都有 ，且
的图象在 上存在对称轴，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7】已知函数 在区间 上单调，其中 为正整数， ，且
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式8】已知函数 ，下列结论中：①函数 恒满足 ；②直线
是函数 图象的一条对称轴；③点 是函数 图象的一个对称中心；④该函数在区间
上单调递减.所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
【变式9】已知函数 ， ，若 为奇函数，则下列结论正确的是
（ ）
A． 是函数 的一个周期
B． 的图象关于直线 对称C．函数 的一个零点为
D． 在 上单调递增
【变式10】（2026·高三·湖南·阶段检测）函数 的图象关于直线 对称，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
题型三：单调区间与最值求解
【例题5】求函数 ， 的单调减区间___________．
【例题6】已知函数 的一条对称轴为 ，且函数 在 上具有单调
性， ，则 的最小值为_______．
【变式11】（2026·高三·北京·阶段检测）已知函数 ，若 ，则 的
最小值是______________.
【变式12】函数 的严格减区间为____________.
【变式13】如图所示的是函数 的部分图象， ，则函数 的单调递增
区间是___________，其图象的对称轴方程为___________．
【变式14】若函数 的单调递减区间是__________.
题型四：三角函数解析式求解
【例题7】如图是 的图象的一部分，则它的解析式为（ ）A． B．
C． D．
【例题8】已知函数 的部分图象如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式15】函数 在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式16】已知 ， ， ，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式
是（ ）A． B．
C． D．
【变式17】函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数 在区间 上单调递增
C． 的图象关于点 对称
D．若 在区间 上恰有一个最大值2和一个最小值 ，则实数 的取值范围为
【变式18】已知函数 的部分图象如图所示，满足 ， ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【变式19】（2026·高三·河南·期末）函数 的部分图象如图所示，是正三角形，其中 ， 两点为图象与 轴的交点， 为图象的最高点，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
题型五：函数奇偶性判断
【例题9】 ，且 则 ______.
【例题10】将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若函数
是奇函数，则 的最小值为________.
【变式20】已知函数 ，将曲线 向左平移 个单位长度后，所得图象关于
原点对称，则 的最小值为_______.
【变式21】已知 为奇函数，其中 ，则 __________.
【变式22】（2026·广东深圳·一模）若 是偶函数，则有序实数对
可以是__________.（写出你认为正确的一组数即可）.
【变式23】已知 为奇函数，则当正数 取最小值时，函数 的图象的
对称轴方程是______．
【变式24】将函数 的图像向左平移 个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，
则m的最小值为______．题型六：三角函数图像平移伸缩
【例题11】（2026·四川眉山·二模）为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象上
所有的点（ ）
A．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
B．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度
C．先将横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度
D．先将横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
【例题12】将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来
的 ，纵坐标伸长到原来的 倍，得到函数 的图象，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式25】（2026·高三·河北·阶段检测）已知函数 的一个零点是 ，为了得到
的图象，需要将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【变式26】如图是函数 在区间 上的图象．为了得到这个函数
的图象，只要将 的图象上所有的点（ ）A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【变式27】将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4
倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则 的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【变式28】要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
B．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
题型七：三角函数实际应用
【例题13】一个在竖直平面内的水上游乐转轮半径为 ，转轮中心 距离水面 ，已知转轮按逆时针方
向转动，每120秒转一圈.当转轮上 点到达最高点时开始计时，当 秒时，点 离水面的高度为
（ ）A． B． C． D．
【例题14】一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为 米/秒，列车
车轮半径为 米，当 秒时，车轮上的点 恰好与铁轨表面接触（即 位于最低点）．设经过时间
秒，点 到铁轨表面的高度为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式29】我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做
成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并
拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的
图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移 （纵坐标）随时间 （横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根
长为 的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移 （单位：cm）与时间
（单位：s）的函数关系是 ，其中 ， ，则估计线的长度应当是（精确到
0.1cm）（ ）
A．3.6cm B．3.9cm C．4.0cm D．4.5cm
【变式30】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图
1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车
水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现
时（图3中点 ）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且
，下列结论不正确的是（ ）A． B．
C． D．当点P运动 秒时，距水面的高度为 米
【变式31】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 秒时相对于平衡位置的高度 厘米由关系式
确定，其中 ， ， ，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高
点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．当 时，若小球有且只有三次到达最高点，则
C． 秒与 秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2
D．小球在 秒时位于平衡位置
【变式32】如图，单位圆与射线 在第二象限交于点 ，一动点在圆 上以点 为起始点，沿逆时
针方向运动，每2秒转一圈．则该动点纵坐标 关于运动时间 的函数解析式是（ ）A． B．
C． D．
题型八：三角最值常用解法
【例题15】函数 的最大值与最小值之和为___________．
【例题16】（2026·高三·北京·开学考试）若函数 的最小值为 ，则常数 的一个
取值为______．
【变式33】已知实数 满足 ，则 的最大值和最小值之和为__________.
【变式34】若函数 ，则 的最大值为______， 的单调递减区间为
______．
【变式35】已知 ，满足 ，则 的最大值为__________.
【变式36】函数 的最大值与最小值之差为_______.
【变式37】已知 ，且满足等式 ，则 的最小值为______．
【变式38】函数 的值域为______________.
【变式39】如图，扇形的半径为1，且 ，点 在弧 上运动，若 ，则 的
最小值是______．
【变式40】（2026·山西忻州·模拟预测）已知实数x，y满足 ，则 的最大值为
__________．
【变式41】函数 的值域为______.题型九：三角函数性质综合题型
【例题17】已知函数 （ ）的图像关于点 对称．
(1)求 的值和 在区间 上的值域；
(2)若 ，函数 在区间 上单调递增，求 的值；
(3)设 ，若对任意的 ， ，都有 ，求实数a的取
值范围．
【例题18】已知函数 ．
(1)求函数 的周期、单调增区间、对称中心；
(2)当 时，求函数 的值域；
(3)当 时，方程 有3个不同的实数根，求实数 的取值范围．
【变式42】设函数 .
(1)求函数 在 上的最大值；
(2)若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围；
(3)若方程 在 上有四个不相等的实数根，求 的取值范围.
【变式43】已知向量 ， ，函数 .(1)求函数 的解析式和图象的对称中心；
(2)若函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，且关于x的方程
在 上有3个不同的解，求实数 的取值范围.
【变式44】对于分别定义在 ， 上的函数 ， 以及实数 ，若任取 ，存在 ，使
得 ，则称函数 与 具有关系 .其中 称为 的像.
(1)若 ， ； ， ，判断 与 是否具有关系 ，
并说明理由；
(2)若 ， ； ， ，且 与 具有关系
，求 的像；
(3)若 ， ； ， ，且 与 具有关系
，求实数 的取值范围.
【变式45】定义：非零向量 的“特征三角函数”为 ，向量 称为函数
的“特征向量”.
(1)若 ，求 的“特征向量” 的坐标；
(2)设向量 的“特征三角函数”为 ，若关于x的方程 在 上有两个不同的实
根，求k的取值范围；
(3)设向量 的“特征三角函数”为 ，若函数 的最小值不小于 ，求a的取
值范围.【变式46】（2026·高三·湖北·开学考试）已知函数 .
(1)求 的最小正周期;
(2)若 ，求出 的单调递减区间.
【变式47】（2026·高三·北京·阶段检测）已知函数 ，且 ．
(1)求a的值；
(2)求函数 的最小正周期及单调递增区间；
(3)若对于任意的 ，总有 ，直接写出m的最大值．1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，则 在区间
上的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2026·云南曲靖·二模）若曲线 的一个对称中心为 ，则 不可能是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．12
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数 图象相邻的两个对称中心间的距离
为 ，若 ，则函数 图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
4．记函数 的最小正周期为T，若 ，且 的图像关于点
中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
5．已知函数 的图象关于直线 对称，若将函数 的图像向左或向右平移
个单位长度后，得到函数 的图象关于 轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·海南儋州·二模）若函数 图象的一条对称轴为 ，函数图
象上到直线 距离最小的一个对称中心为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数 ，对任意的 满足且 恒成立，若 在 上单调递增，则当 时， 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·湖北武汉·三模）为了得到函数 的图象，只需把函数 图象上的（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位
9．（多选题）（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B． 的图象可由曲线 向左平移 个单位长度得到
C． 的图象关于直线 对称
D． 在 上的值域为
10．（多选题）（2026·云南·三模）将函数 的图象向左平移 个单位得到函数
的图象，若 的图象与 的图象关于 轴对称，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C． 是 的一条对称轴
D．对任意的 ，都存在 ，使得
11．（多选题）（2026·河南·二模）将函数 图象向左平移 个单位长度后得到
一偶函数图象，则当 取最小值时，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 为奇函数
C．函数 在区间 单调递增
D．函数 的图象在 处的切线斜率为1
12．（2026·江苏无锡·三模）将函数 的图象向左平移 个单位，得到的图象关
于 轴对称，则 _______．
13．（2026·北京海淀·三模）已知函数 ，则 的最大值为______，将函数
图象向右平移 个单位 得到函数 ，若对任意 ，都有 成立，则常数
的最小值为______．
14．（2026·北京丰台·二模）已知函数 的部分图象如图所示，则
___________；若将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，请写出 的图象的
一条对称轴方程：___________.
15．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数 ， 图象的相邻对称轴之间的距离为 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 个单位
得 的图象，若关于 的方程 在 上只有一个解，求实数 的取值范围．
16．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数 ，将曲线 向左平移 个单位
长度，得到曲线 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，锐角 满足 ， 的面积为 ，
求 的最小值．
17．已知函数 ，且 的图像过点 .
(1)求 的值及函数 的最小正周期；
(2)将 的图像向右平移 个单位，得到函数 的图像，已知 ，求 的
值.
18．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数 的最小正周期为 ， .
(1)求 和 ；(2)若将 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象，求 在 的最小值.
19．（2026·江苏扬州·三模）某同学用“五点法”画函数 在某一个周期
内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
(1)求函数 的解析式；
(2)将 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，且其图象关于 轴
对称，求 在 上的解集．
20．（2026·辽宁锦州·二模）某同学用“五点法”画函数 在某一周期内
的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象.当 时，求函数 的值域；(3)设函数 的图象与直线 在区间 上的两个交点的横坐标分别为 、 ，求
.
