文档文本内容
第03 讲 二项式定理
目录
01 考情解码・命题预警........................................................................................................................................ 2
02 体系构建·思维可视............................................................................................................................................ 3
03 核心突破·靶向攻坚............................................................................................................................................ 3
知能解码......................................................................................................................................................3
知识点1 二项式定理 ........................................................................................................................... 3
知识点2 二项式系数的性质 .............................................................................................................4
知识点3 各二项式系数.........................................................................................................................4
题型破译......................................................................................................................................................4
题型1 二项展开式的特定项（或系数）
.................................................................................4
【方法技巧】二项展开式通项公式
题型2 两个二项式之积中特定项（或系数）
........................................................................6
题型3 三项展开式中特定项（或系数）........................................................................................6
【方法技巧】三项展开式系数
题型4 二项式系数最值.........................................................................................................................7
题型5 系数最值
...............................................................................................................................7
【方法技巧】项的系数最值方法
题型6 二项式系数和、系数和
...................................................................................................9
【方法技巧】二项式系数和、系数和
题型7 二项展开式中奇偶项系数和
.......................................................................................10
【方法技巧】二项展开式中奇偶项系数和
题型8 整除、余数问题
............................................................................................................12
题型9 近似计算问题
...................................................................................................................13
题型10 杨辉三角形问题...................................................................................................................14
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................................ 16
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................................ 16
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）二项式定理
（2）二项式系数的性
质
单选题
多选题
填空题
解答题
2025 年上海卷第
4 题，4 分
2025 年北京卷第
12 题，5 分
2025 年天津卷第
11 题，5 分
2024 年上海卷第6 题，
4 分
2024 年北京卷第4 题，
5 分
2024 年甲卷（理）第13
题，5 分
2024 年天津卷第11
题，5 分
2023 年上海卷第10 题，5
分
2023 年天津卷第11 题，5
分
考情分析：
(1)今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主,以考查基本运算和基本方法为主,难度中等偏下,与教材相当.
(2)本节内容在高考中的比重可能会持续降低,但仍然是备考的重要内容.
复习目标：
（1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．
（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识点1 二项式定理
（1）二项式定理
一般地，对于每个
（
），
的展开式中
共有
个，将它们合并同类
项，就可以得到二项展开式： （
）.这个公式叫做二项式定理.
（2）二项展开式
公式中：(a+b)n=Cn
0anb0+Cn
1an−1b1+Cn
2an−2b2+⋯+Cn
r an−r br+⋯+Cn
na0bn，
等号右边的
多项式叫做
的二项展开式.
（3）二项式系数与项的系数
二项展开式中各项的 (
),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,
包含符号等.
（4）二项展开式的通项
二项展开式中的
(
)叫做二项展开式的通项,用
表示,即通项为展开式的第
项: .通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核
心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等
方面有着广泛的应用.
自主检测已知
的展开式共有9 项，则
的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
知识点2 二项式系数的性质
自主检测
的展开式中二项式系数的最大值为 .（用数字作答）
知识点3 各二项式系数
（1）
展开式的各二项式系数和：
（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
自主检测二项式
的展开式中各项的系数和为 ．
题型1 二项展开式的特定项（或系数）
例1-1 已知二项式
.
(1)求展开式的第4 项；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中的常数项.
例1-2 已知
，则二项式
的展开式中含
项的系数为 .
方法技巧
二项展开式
项
式
通
公
二项展开式中的
(
)叫做二项展开式的通项,用
表示,即通项为展开式的第
项:
.
【变式训练1-1】二项式
展开式中的第3 项为 ．
【变式训练1-2】已知在
的展开式中，第4 项的二项式系数与第3 项的二项式系数的比
值为2．
(1)求
的值；
(2)求展开式中含
的项．
【变式训练1-3】已知
的展开式中的所有二项式系数之和为64.
(1)求
；
(2)求常数项；
(3)求展开式的中间项.
题型2 两个二项式之积中特定项（或系数）
例2-1
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．25
C．
D．50
例2-2 在
的展开式中，
的系数为 ．
【变式训练2-1】
的展开式中
的系数是（ ）
A．10
B．5
C．
D．
【变式训练2-2】
的展开式中
的系数为 .
【变式训练2-3】
的展开式中，
的系数与常数项之差为（ ）
A．20
B．19
C．
D．
题型3 三项展开式中特定项（或系数）
例3-1 在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．90
B．60
C．30
D．20
例3-2 若
，则
等于（ ）．
A．400
B．425
C．625
D．800
例3-31 已知在
展开式中含
的项的系数为51，则正实数a 的值为 ．
方法技巧
三项展开式系数
三项式
的展开式：
若令
，便得到三项式
展开式通项公式：
，
其中
叫三项式系数．
【变式训练3-1】在
的展开式中，
的系数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】若
的展开式中的常数项为31，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
题型4 二项式系数最值
例4-1 已知
的展开式中，前三项的二项式系数和为56.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
例4-2 若
的展开式中只有第6 项的二项式系数最大，则
（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【变式训练4-1】在
的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则二项式系数最大的项的系数
为 ．
【变式训练4-2】在
的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中
的系数是
．
题型5 系数最值
例5-1 在
的二项展开式中系数最大的项的系数是 （结果用数字表示）
例5-2 在
（n 为正整数）的展开式中，
(1)若
，求展开式中无理项的个数；
(2)若
，求展开式中系数最大的项
方法技巧
项的系数最值
有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关
系，则转化为解不等式组：
，注意：系数比较大小．
【变式训练5-1】在
的展开式中.
(1)求二项式系数最大的项；
(2)求系数最大的项.
【变式训练5-2】已知
的展开式中，第3 项与第5 项的二项式系数相等，
(1)求
；
(2)求展开式的常数项；
(3)求展开式中系数最大的项．
【变式训练5-3】已知在
的展开式中，只有第6 项的二项式系数最大．
(1)求
；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项．
题型6 二项式系数和、系数和
例6-1 在二项式
的展开式中，所有项的系数和为4096，则此二项式展开式中二项式系数之和是
.
例6-2 已知二项式
的展开式中，各项二项式系数之和为64.
(1)求
的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中所有项的系数和；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
方法技巧
二项式系数和、系数和
二项展开式二项式系数和：
；奇数项与偶数项二项式系数和相等：
．
系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：
（
是系
数），令
得系数和：
．
【变式训练6-1】设
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．3
D．
【变式训练6-2】已知
的展开式的各二项式系数的和为64，则展开式中常数项为（ ）
A．
B．
C．60
D．30
【变式训练6-3】已知
，则
.
题型7 二项展开式中奇偶项系数和
例7-1 若
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
例7-2 设
，求：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
方法技巧
二项展开式中奇偶项系数和
，令
得系数和：
①；
令
得奇数项系数和减去偶数项系数和：
②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．
【变式训练7-1】若
，求：
(1)求
的值；
(2)
；
(3)
.
【变式训练7-2】已知
.
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【变式训练7-3】设
.
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值；
题型8 整除、余数问题
例8-1
设
为正整数
，若
和
被
除得的余数相同，则称
和
对
同余，记为
，已知
，则
的值可以是（ ）
A．2020
B．2013
C．2022
D．2021
例8-2 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设
为整数，若
和
被
除得的余数相同，则称
和
对模
同余，记为
．若
，则
的值可以是 ．
【变式训练8-1】中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设
为整数，
若
和
同时除以
所得的余数相同，则称
和
对模
同余，记为
若
，
，
，则
（ ）
A．2021
B．2022
C．2023
D．2025
【变式训练8-2】《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的中国剩余定理对同余除法进行
“
”
了深入的研究.设
均为整数，若
和
被
除得的余数相同，则称
和
对模
同余，记为
，如8 和14 被3 除得的余数都是2，则记
.若
，且
，则
的值可以是（ ）
A．2021
B．2023
C．2025
D．2027
【变式训练8-3】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设
为整
数，若
和
被
除得的余数相同，则称
和
对模
同余，记为
.若
，
，则
的值可以是（ ）
A．2020
B．2021
C．2022
D．2025
题型9 近似计算问题
例9-1
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实
数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数
，
，当
比较小的时候，取广义二项式定理
展开式的前两项可得：
，并且
的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算
的近似值，可以这样操作：
．用这样的方法，估
计
的近似值约为（ ）
A．2.015
B．2.023
C．2.031
D．2.083
例9-2
（精确到0.01）
【变式训练9-1】某银行大额存款的年利率为
，小张于2024 年初存入大额存款10 万元，按照复利计算
8 年后他能得到的本利和约为（ ）（单位：万元，结果保留一位小数）
A．12.6
B．12.7
C．12.8
D．12.9
【变式训练9-2】二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿提出
•
.二项式定理可以推广到任意实数
次幂，即广义二项式定理：对于任意实数
，
当
比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：
，并且
的值越小，所得
结果就越接近真实数据.用这个方法计算
的近似值，可以这样操作：
.用这样的方法，估计
的近似值约为 .
（精确到小数点后两位数）
【变式训练9-3】
的计算结果精确到0.001 的近似值是 .
题型10 杨辉三角形问题
例10-1（多选）杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项展开式中的各项系数在三角形
“
”
数表中的一种几何排列规律，如图所示，下列说法正确的（ ）
A．第8 行的第8 个数是8
B．第2026 行中，第1014 个数最大
C．第10 行中，第5 个数与第6 个数之比为
D．第
行所有数字的平方和为
例10-2（多选）杨辉三角是中国南宋数学家杨辉在
“
”
1261 年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，
比欧洲早393 年．如图所示，在杨辉三角中，除每行两边的数都是
“
”
1 外，其余每个数都是其肩上的两
“
”
个数之和，例如第4 行的6 为第3 行中两个3 的和．则下列命题中正确的是（ ）
A．第6 行中，有两个相等的最大数
B．
C．第
行所有数之和为
D．在第3 行以后，还会出现全为奇数的行
【变式训练10-1】（多选）我国南宋数学家杨辉在1261 年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉
三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是（
）
A．第6 行从左到右第4 个数是20
B．第2022 行的第1011 个数最大
C．210 在杨辉三角中共出现了6 次
D．记第
行的第个数为
，则
【变式训练10-2】（多选）将
（
，1，2，
）按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以
…
形成杨辉三角（图
“
”
1），将杨辉三角中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到谢尔宾斯基
“
”
“
三角形（图
”
2），则（ ）
A．在杨辉三角中，第
“
”
n 行的所有数字之和为
B．在杨辉三角中，记第
“
”
行的第
个数为
，则
C．在谢尔宾斯基三角形中，第
“
”
（
，2，
）行全行都为黑色圆
…
D．在谢尔宾斯基三角形中，第
“
”
126 行的黑色圆比白色圆多一个
【变式训练10-3】（多选）杨辉三角最早在中国南宋数学家杨辉
“
”
1261 年所著的《详解九章算法》一书中
出现，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优
美的规律．如图，下列说法正确的是（ ）
A．杨辉三角中第
行的数字个数是偶数
B．当
为质数时，第
行除首尾外的所有数都能被
整除
C．第
行所有数的平方和等于第2n 行最中间的数
D．第
行的数字交替加减后的和
恒为1
1．（2024·北京·高考真题）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·上海·高考真题）在二项式
的展开式中，
的系数为 ．
3．（2025·北京·高考真题）已知
，则
；
．
4．（2023·天津·高考真题）在
的展开式中，
的系数为 ．
5．（2023·上海·高考真题）已知
，若存在
{0，1，2，
，
…
100}使得
，则k 的最大值为 .
1．（1）求
的展开式中按x 的升幂排列的第3 项；
（2）求
的展开式的常数项；
（3）已知
的展开式中第9 项、第10 项、第11 项的二项式系数成等差数列，求n；
（4）求
的展开式中
的系数；
（5）求
的展开式中
的系数．
2．用二项式定理证明
能被8 整除．（提示：
．）
3．已知
的展开式中第4 项与第8 项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.
4．用二项式定理证明：
（1）
能被
整除；
（2）
能被1000 整除.
5．求下列各式的二项展开式中指定各项的系数.
（1）
的含
的项；
（2）
的常数项.
