文档文本内容
6.4 空间几何体的空间角与空间距离（精练题组版）
题组一 线线角向量法
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为
曲池
的几何体，该几何
“
”
体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）
､
.现有一个如图所示的曲池，它的高为
，
、
、
、
均与曲池的底面
垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和
，对应的
圆心角为
，则图中异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知圆台的上底面圆
的半径为1，下底面圆
的半径为2，点
，
分别在
上、下底面圆周上，且
，则
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·重庆·模拟预测）在
的二面角
中，
，
，
到棱的距离为，
到棱的距离
为
，
，则直线
与棱夹角的正弦值为 .
4．（2025·江苏苏州·三模）如图，正四棱锥
，
，
，
为侧棱
上的点，且
．
(1)求证：
；
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值．
5．（2025·全国·模拟预测）在平行四边形
中（图1），
，
为
的中点，将等边
沿
折起，连接
，且
（图2）．
(1)求证：
平面
；
(2)
为线段
上的动点（不含端点），
能否与平面
平行？说明理由；
(3)求直线
与平面
所成角的正弦值．
题组二 线面角向量法
1．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在四棱锥
中，底面
为梯形，
，
为等边三角形，
为
的中点，且平面
平面
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
2．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在六棱锥
中，
平面
，六边形
是边
长为3 的正六边形，
是
上靠近点
的三等分点．
(1)证明：
平面
；
(2)求线
与平面
所成角的正弦值．
3．（2024·山东威海·二模）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
为等边三角形，
，
，
，
，M 为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
4．（2025·江西新余·模拟预测）在多面体ABCDE 中，平面
平面
为等
边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，M，N 分别为AD，BE 的中点.
(1)求证：
；
(2)求直线MN 与平面ACE 所成角的正弦值.
5．（2025·全国·模拟预测）由四棱柱
截去三棱锥
后得到如图所示的几何体，四边形
是菱形，
为
与
的交点，
平面
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，求
与平面
所成角的正弦值.
题组三 二面角向量法
1．（2025·河北唐山·模拟预测）如图，在直四棱柱
中，
，
．
(1)求线段
的长；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
2．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥
中，
是以
为斜边的等腰直角三角形，底面
是等腰梯形，且
，
，
，
，
为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与
所成角的余弦值；
(3)求平面
与平面
夹角的正弦值．
3．（2025·山西·三模）如图，在三棱柱
中，所有的棱长均相等，
是
的中点，
在上底面
的投影为
的重心
．
(1)证明：
；
(2)求平面
与平面
的夹角的正弦值．
4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，已知正三棱柱
的底面边长为2，高为4，点
满足
，
．
(1)证明：
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
5．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，直三棱柱
.
(1)求证：
；
(2)若
为
中点，求二面角
的余弦值.
题组四 线线角的几何法
1．（24-25 高三下·黑龙江·阶段练习）在正四面体ABCD 中，M，N 分别是棱AB，CD 的中点，则直线AN 与
CM 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·甘肃白银·期末）若
为正方体，则异面直线
与
所成角的大小为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·四川·模拟预测）在正四棱台
中，
，其体积为
，
为
的中
点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·四川）在正方体
中，
分别为
的中点，则异面直线
与
所成角
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·山西 ）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直
角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若
都是直角圆锥
底面圆的直径，且
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·黑龙江大兴安岭地·开学考试）在长方体
中，
分别是
的中点，则异面直线
与
所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题组五 线面角的几何法
1．（2025·陕西咸阳·二模）如图，有一种
迷你
圆台形小灯饰，其下底面的直径为
“
”
，上底面的直径为
，高为
，已知点
是上底面圆周上不与直径
端点重合的一点，
是该圆台的一条母线，
为上
底面圆的圆心，当
面积最大时，
与平面
所成夹角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·广东茂名·二模）已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知正四棱台
中，上底面
与下底面
的面积之
比为
，且其内切球的半径为2，则
与面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·上海松江·二模）已知梯形
中，
，
为
上的一点且
，
，
，将
沿
翻折使得二面角
的平面角为
，连接
、
，
为棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)当
时，求直线
和平面
所成角正弦值
5．（2025·福建泉州·二模）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
为
的中点，
为
的中点.
(1)证明:
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
6．（2025·浙江嘉兴·三模）如图，在边长为2 的正三角形
中，
，
分别为
，
的中点，将
沿
翻折至
，使得
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
题组六 二面角的几何法
1．（2025·河南·模拟预测）如图，在正三棱锥
中，
，
为
的中点.
(1)求证：
；
(2)求二面角
的余弦值.
2．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在四棱柱
中，底面
和侧面
均为正方形.
(1)证明:
；
(2)若
，求二面角
的余弦值.
3（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，多面体
中，四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
在底面
的射影为
的中点
．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的平面角的余弦值．
4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在多面体
中，
四点共面，四边形
为平行四边
形，
，
，且
．
(1)若平面
与平面
的交线为，证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角．
5．（2025·江苏苏州·三模）如图，已知四棱锥
中，四边形
为直角梯形，
，
，平面
平面
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的正弦值的取值范围．
题组七 空间距离
1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为
的正方体
中，
，
分别为棱
，
的中
点，
为棱
上的一点，且
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·全国·模拟预测）已知正方体
的棱长为3，点
在
上运动，点
在棱
上运
动，
上有一点
满足
，且
，则动点
到平面
距离的最小值为 ．
3．（2025·天津南开·模拟预测）如图，在三棱柱
中，
平面
，且
，
，
，
分别
为
，
，
，
的中点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
4．（2025·天津滨海新·三模）如图，在多面体ABCDGEF 中，四边形ABCD 为直角梯形，且满足
，
，
，
，
平面ABCD．
(1)证明：
平面CDE；
(2)求平面CDE 与平面ABE 夹角的余弦值；
(3)求点G 到直线AB 的距离．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四棱锥
，
平面
，底面
是矩形，
，
，
，
分别是
与
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
6．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
，
分别为
，
的中点．
(1)若平面
与直线
交于点
，求
的值；
(2)若平面
和平面
所成角的余弦值为
，求点
到平面
的距离．
题组八 动点问题
1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知
平面
，
，
是等腰直角三角形，其中
，且
．
(1)设线段
中点为
，证明：
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离等于
，如果存在，求
的长．
2．（23-24 湖南·期中）如图，直四棱柱
的底面是菱形，
，且直线
与平
面
所成角为
．
(1)求直四棱柱
的高；
(2)在棱
上是否能找到一点
，使得平面
与平面
的夹角为
？若能，求出
的值；若不
能，说明理由．
3．（2024·北京）如图，在多面体
中，平面
平面
⊥
.四边形
为正方形，四边形
为梯形，且
.
(1)求证：
⊥
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)线段BD 上是否存在点M，使得直线
平面
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
4．（24-25 高二上·陕西汉中·期末）图1 是边长为
的正方形
，将
沿
折起得到如图2 所示的
三棱锥
，且
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)棱
上是否存在一点
，使得平面
与平面
的夹角的余弦值为
，存在，指出点
的位置；若
不存在，请说明理由.
5．（24-25 高三上·四川·期中）如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，
且
，侧面
是正三角形，侧面
底面
，E 为
中点，作
交
于
F．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值；
(3)在平面
内是否存在点Q．使得
，若存在，求动点Q 的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
题组九 空间几何体外接球
1．（24-25 河南平顶山·期末）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
，M，N，E 分别为BC，AC，PC 的中点.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，
，三棱锥
的外接球为球O.
（
）证明：
ⅰ
A，B，C，O 四点共面；
（
）求直线
ⅱ
PO 与平面
所成角的正弦值.
2．（2025 高三下·全国·专题练习）如图所示的四棱锥
中，
平面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)
，
，
，
，
在同一个球面上，设该球面的球心为
．证明：
在平
面
上；
3．（24-25 高三下·广东深圳·阶段练习）如图所示，斜三棱柱
中，
为AB 的中点，
为
的
中点，平面
平面
．
(1)求证：直线
平面
；
(2)若三角形
是等边三角形且边长为2，侧棱
，且异面直线
与
互相垂直，求异面直线
与
所成角正切值；
(3)若
，
，
，若三棱柱
有内切球，求三棱柱
的体
积．
4．（25-26 高三上·安徽·开学考试）在矩形ABCD 中，
，E 为AD 的中点，将点D 沿着CE 翻折到
点P，形成四棱锥P－ABCD，其中二面角P－EC－D 大小为
．
(1)证明：
；
(2)当
时，求直线PB 与平面PEC 所成角的正弦值；
(3)求四面体PABC 的外接球表面积的取值范围．
5．（25-26 高三上·安徽·开学考试）三棱锥
中，
，
，
．点P 在底面
上的射影E 是线段
上靠近点A 的四等分点．
(1)求
与平面
所成角的正弦值；
(2)求三棱锥
外接球表面积；
(3)设
靠近
的四等分点为F，D 是平面
内的动点，且C，D 在直线
的两侧，满足
．
试探究是否存在点D 使得平面
平面
？若存在，请求出
的长度；若不存在，请说明理由．
6．（24-25 高三上·河南开封·阶段练习）如图，四棱锥
中，
底面
，
，
，
.
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
；
(3)当
，
时，四棱锥
的外接球表面积与（2）中四棱锥
的外接球表面积
相等么？若相等，请求出四棱锥
的外接球表面积；若不相等，请说明理由.
