文档内容
第 03 讲 圆的方程
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：求圆多种方程的形式............................................................................................................2
题型二：直线系方程和圆系方程........................................................................................................2
题型三：与圆有关的轨迹问题............................................................................................................2
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件................................................................3
题型五：点与圆的位置关系判断........................................................................................................3
题型六：数形结合思想的应用............................................................................................................4
题型七：与圆有关的对称问题............................................................................................................4
题型八：圆过定点问题........................................................................................................................5
02 重难创新练......................................................................................................................................5
03 真题实战练......................................................................................................................................7题型一：求圆多种方程的形式
1．（2024·陕西榆林·二模）圆心在x轴的正半轴上，半径为8，且与直线 相切的圆的方程为
．
2．（2024·全国·模拟预测）与直线 相切于点 的圆的方程为 ．（写出一个即可）
3．（2024·北京西城·二模）已知圆 经过点 和 ，且与直线 相切，则圆 的方程为 ．
4．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知 ，则 外接圆的方程
为（ ）
A． B． C． D．
题型二：直线系方程和圆系方程
5．圆心在直线 上，且经过两圆 和 的交点的圆的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
6．过圆 与 的交点，且圆心在直线 上的圆的方程是
．
7．过两圆 与 的交点和点 的圆的方程是 .
题型三：与圆有关的轨迹问题
8．（2024·湖南长沙·一模）已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 两点， 是
的中点，则 点的轨迹方程为 .
9．长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB的中点P的轨迹方程为 ．
10．已知等腰三角形 的底边 对应的顶点是 ，底边的一个端点是 ，则底边另一个端点
的轨迹方程是11．由圆 外一点 引圆的割线交圆于 两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
12．已知 的斜边为 ，且 .求：
(1)直角顶点 的轨迹方程；
(2)直角边 的中点 的轨迹方程.
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
13．（2024·高三·福建龙岩·期中）“方程 表示的图形是圆”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2024·广东广州·三模）设甲：实数 ；乙：方程 是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．已知“ ”是“ ”表示圆的必要不充分条件，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
题型五：点与圆的位置关系判断
16．若点 在圆O： 外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）若点 在圆 的外部，则a的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
18．若点 在圆 的内部，则a的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
19．（多选题）（2024·广西·模拟预测）若点 在圆 的外部，则 的取值
可能为（ ）
A． B．1 C．4 D．7
题型六：数形结合思想的应用
20．若直线 ： 与曲线 ： 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是
.
21．直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2024·吉林白山·统考二模）若过点 且斜率为k的直线l与曲线 有且只有一个交点，
则实数k的值不可能是( )
A． B． C． D．2
题型七：与圆有关的对称问题
23．若曲线 上相异两点P、Q关于直线 对称，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．已知圆 ： 与圆 ： 关于直线 对称，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
25．已知圆 关于直线 对称，则实数 （ ）
A． B．1 C． D．3
26．圆 与圆N关于直线 对称，则圆 的方程为（ ）A． B．
C． D．
题型八：圆过定点问题
27．对任意实数 ，圆 恒过定点，则定点坐标为 ．
28．点 是直线 上任意一点， 是坐标原点，则以 为直径的圆经过定点（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
29．已知二次函数 的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为
，则圆 经过定点的坐标为 （其坐标与 无关）
1．（2024·广东珠海·一模）已知点 ， ，点 是圆 上任意一点，则 面
积的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
2．（2024·山东济南·三模）圆 上的点到直线 的距离的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
3．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点 在圆 上运动，点 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西商洛·三模）已知 是圆 上任意一点，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．5．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通
径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆 的一条直
径与拋物线 的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
6．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知 ， ， ，点P是圆 上的一点，
则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·山西晋中·模拟预测）已知直线l： 与圆 ： ，下列说法正确的是
（ ）
A．所有圆 均不经过点 B．若 关于l对称，则
C．若l与 相交于AB且 ，则 D．存在与x轴和y轴均相切的圆
8．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知拋物线 ，其焦点 到准线的距离为2，过焦点
且斜率大于0的直线 交拋物线于 两点，以 为直径的圆 与准线相切于点 ，则圆 的标
准方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知复数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹方程为
10．（多选题）（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗
尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为
常数 （ ，且 ），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系 中，已知
，点M满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 面积的最大值为12 B． 的最大值为72C．若 ，则 的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分
11．（多选题）（2024·贵州遵义·二模）已知平面内曲线 ： ，下列结论正确的是
（ ）
A．曲线 关于原点对称
B．曲线 所围成图形的面积为
C．曲线 上任意两点同距离的最大值为
D．若直线 与曲线 交于不同的四点，则
12．（2024·陕西榆林·三模）在 中， ，则 面积的最大值为 .
13．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点 关于直线 的对称点在圆 内，则
实数 的取值范围是 ．
14．（2024·上海·模拟预测）平面点集 所构成区域的面积为
.
15．（2024·湖南邵阳·三模）写出满足“点 在圆 外部”的一个 的值：
．
16．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设 ， 是半径为3的球体 表面上两定点，且 ，球体 表
面上动点 满足 ，则点 的轨迹长度为 .
1．（2023年高考全国乙卷数学真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域 内随机
取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2007年普通高等学校招生考试数学试题（福建卷））以双曲线 的右焦点为圆心，且与其右
准线相切的圆的方程是（ ）A． B．
C． D．
3．（2004年普通高等学校招生考试数学试题（全国卷III））圆 过点 的切线方程是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2001年普通高等学校招生考试数学试题（全国卷））过点 ， ，且圆心在直线
上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2006年普通高等学校招生考试数学试题（重庆卷））以点 为圆心且与直线 相切
的圆的方程是
A． B．
C． D．
6．（2004年普通高等学校招生考试数学试题（全国卷IV））已知圆 的半径为2，圆心在 轴的正半轴上，
直线 与圆 相切，则圆 的方程为
A． B．
C． D．
7．（2004 年普通高等学校招生考试数学试题（北京卷））圆 的圆心坐标是 ，
如果直线 与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是 ．
8．（2004年普通高等学校招生考试数学试题（上海卷））圆心在直线 上的圆 与 轴交于
， 两点，则圆 的一般方程为 .
9．（2019年浙江省高考数学试卷）已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 .若直线 与圆相
切于点 ，则 ， .
