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第 03 讲 圆的方程
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·人大附中校考三模）若两条直线 ， 与圆 的四个交点能
构成正方形，则 （ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】由题设知： ，要使 ， ， ， 四点且构成正方形 ，
∴正方形的边长等于直线 、 的距离 ，则 ，
若圆的半径为r， ，即 ，则 ，
由正方形的性质知： ，
∴ ，即有 .
故选：B.
2．（2023·海南·校联考模拟预测）如图是清代的时钟，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显水，其内部
结构与普通机械钟表的内部结构相似，内部表盘为圆形，外部环形装饰部分宽度为5厘米，此表挂在墙上，
最高点距离地面的高度为2.35米，最低点距离地面的高度为1.95米，以子时为正向上方向，一官员去上早
朝时，看到家中时钟的指针指向寅时（指针尖的轨迹为表盘边沿）,若4个半时辰后回到家中，此时指针尖
到地面的高度约为（ ）（ ）
A．199.1cm B．201.1cm C．200.5cm D．218.9cm
【答案】C
【解析】将表盘放在直角坐标坐标系中，将表盘的中心与坐标原点重合，如图所示，
由题意知，时钟的直径为 ，即表盘的直径为 ，
又因为外部环形的装饰部分的宽度为 ，
则以 为直径的圆 的直径 ，半径为 ，
则圆 的方程为 ，因为最开始指针指向寅时，则4个半小时后，指针转到午时与末时的中间，
指针位于 点，则过点 作 的垂线，交 于点 ，
在直角 中， ，
因为一个圆周为 ，表盘被分为 份，即每小时转过 ，
又因为点 在午时与末时的中间，所以 ，则 ，
则指针到底面的高度： .
故选：C.
3．（2023·福建宁德·统考模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 为圆 上的任一点，
.若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由已知可设 ，则 ，
又 ，因为 ，
所以 ,即 ,
所以 ,其中 ，
当 时， 有最大值为 .
故选：C.
4．（2023·海南海口·校联考一模）已知直线 与圆 ： （ ）交于A，
两点，且线段 关于圆心对称，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D
【解析】圆 ： 的圆心 ，由圆心 在直线 上，可得 ，
解之得 .
故选：D
5．（2023·四川德阳·统考模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火，黄昏
饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下
某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域
为 ，若将军从点 处出发，河岸线对应的直线方程为x+y=2，并假定将军只要到达军营所
在区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】如图所示：
设点P关于直线x+y=2的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
所以 ，
则“将军饮马”问题中的最短总路程为 .
故选：C
6．（2023·甘肃酒泉·统考三模）点 在圆 上，点 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】圆 的圆心 ，半径为 ，
由于 在圆外，
．
故选：D.7．（2023·广东湛江·统考二模）若与 轴相切的圆 与直线 也相切，且圆 经过点 ，
则圆 的直径为（ ）
A．2 B．2或 C． D． 或
【答案】B
【解析】因为直线 的倾斜角为 ，
所以圆 的圆心在两切线所成角的角平分线 上．
设圆心 ，则圆 的方程为 ，
将点 的坐标代入，得 ，
整理得 ，解得 或 ；
所以圆 的直径为2或 ．
故选：B.
8．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知向量 、 和单位向量 满足 ，
，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】设 ， ，由 可得 ，
化简可得 ，即 .
设 ，则由 ，
可得 ，
故 的轨迹为以 为焦点， 的椭圆，其方程为 .
设 夹角为 ，则 ，
由圆与椭圆的性质可得， ， ， ，
故当 同向，均与 轴负同向时， 取得最大值 .故选：C.
9．（多选题）（2023·福建宁德·校考二模）已知圆 和两点 ， ．
若圆 上存在点 ，使得 ，则实数 的取值可以为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】BCD
【解析】∵ ，∴点 的轨迹是以 为直径的圆O，半径为 ，
故点P是圆O与圆C的交点，
圆心和半径分别为 ， ，
因此两圆相切或相交，即 ，
解得 ．
故选：BCD
10．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）过四点 中的三点的圆的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，点 在圆 上，故A正确；对于B，点 在圆 上，故B正确；
对于C，点 都不在圆 上，故C错误；
对于D，点 都不在圆 上，故D错误；
故选：AB.
11．（多选题）（2023·福建莆田·统考二模）已知圆 ，点 ，点M在
x轴上，则（ ）
A．B不在圆C上 B．y轴被圆C截得的弦长为3
C．A，B，C三点共线 D． 的最大值为
【答案】BCD
【解析】A选项，因为 ，故 在圆C上，A错误；
B选项， 的圆心为 ，半径为 ，圆心到 轴的距离为2，
由垂径定理，得y轴被圆C截得的弦长为 ，B正确；
C选项，因为 ，故 在圆上，
又 ，即 为半径的2倍，
因为 在圆C上，故 为直径，过圆心 ，故A，B，C三点共线，C正确；
D选项，由C知 为直径，由于圆心为 ，半径为 ，
故 轴为 的一条切线，
故 的最大值为 ，D正确.
故选：BCD.
12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆C的方程为 ，若直线
上存在一点M，使过点M所作的圆的两条切线相互垂直，则点M的纵坐标为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】AC【解析】 化为标准方程为： ，圆心 ，半径为 ，
因为过点M所作的圆的两条切线相互垂直，
所以点M、圆心以及两个切点构成正方形， ，
因为M在直线 上，所以可设 ，
则 ，解得： 或 ，所以 或 ，
故点M的纵坐标为1或 .
故选：AC.
13．（多选题）（2023·江苏·统考模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ，
的距离之比为定值 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系 中，
， ，点 满足 ．设点 的轨迹为 ，则（ ）．
A．轨迹 的方程为
B．在 轴上存在异于 ， 的两点 ， ，使得
C．当 ， ， 三点不共线时，射线 是 的角平分线
D．在 上存在点 ，使得
【答案】BC
【解析】对于A，在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 ，
设 ，则 ，化简得 ，
即 ，所以A错误；
对于B，假设在 轴上存在异于 ， 的两点 ， ，使得 ，
设 ， ，则 ，
化简得 ，
由轨迹 的方程为 ，可得 ， ，
解得 ， 或 ， （舍去），所以B正确；
对于C，当 ， ， 三点不共线时， ，可得射线 是 的角平分线，所以C正确；
对于D，若在 上存在点 ，使得 ，可设 ，
则 ，化简得 ，
与 联立，方程组无解，故不存在点 ，所以D错误．
故选：BC．
14．（多选题）（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知点M，N在圆O： 上运动，点
，且 ，Q为线段M，N的中点，则（ ）
A．过点P有且只有一条直线与圆O相切
B．
C．点Q在直线 上运动
D． 的最大值为
【答案】BD
【解析】由 ，故 在圆 外，故过点P有两条直线与圆O相切，A错；
由 为线段 的中点， 为圆 的弦，故 ，B对；
由 ，又 都在圆上，
所以 ，即 ，而 ， ，
所以 ，即点 在直线 上，C错；
由 ，当 最小时， 最大，
而 最小值为 到 的距离为 ，此时Q在圆的内部，
所以 ，D对.
故选：BD15．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）请写出一个与 轴和直线 都相切的圆的方程： ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】与 轴和直线 都相切的圆的圆心在直线 （除原点外）上，
则圆心为 ，半径 ，因此所求圆的方程为 ，
所以所求圆的一个方程为 .
故答案为：
16．（2023·上海·模拟预测）已知 的面积为 ，求 ；
【答案】
【解析】因为 ，可配方得 ，
又 的面积为 ，
所以 表示一个以 为圆心的圆，其半径满足 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
17．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知抛物线 的顶点为 ，与坐标轴交
于 三点，则过四点 中的三点的一个圆的标准方程为 .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】令 ，则 ，
解得 ，不妨设 ；
令 0，得 ，则 ；抛物线的顶点 的坐标为 .
设所求圆的方程为 .当圆过 三点时， ,
所以圆的方程为 .
当圆过 三点时， ,
所以圆的方程为 .
当圆过 三点时， ,
所以圆的程为 .
当圆过 三点时， ,
当圆过 三点方程为 .
故答案为： （答案不唯一）
18．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）圆心在直线 上，且与直线
相切的一个圆的方程为 .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】因为直线 与直线 平行，
设圆心坐标为 ，因为圆心到直线 的距离等于圆的半径r，
所以 ，取 ，则圆的方程为 .
故答案为： （答案不唯一）
19．（2023·浙江·校联考模拟预测）写出两个与直线 相切和圆 外切的圆的圆心坐
标 ．
【答案】 （答案不唯一，只要圆心坐标为 满足 即可）
【解析】设圆心坐标为 ，
圆 化为 ，其圆心为 ，半径为1，由题意得， ，即 ，
故圆心 到 的距离和到直线 的距离相等，
所以圆心的轨迹是以 为焦点的抛物线，故 ，只要满足该式即可，
故答案可以为 .
故答案为： .（答案不唯一，只要圆心坐标为 满足 即可）
20．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知实数 ，满足 ， ，
，则 的最小值是 ．
【答案】 /
【解析】依题意，方程 、 分别表示以原点 为圆心，2、3为半径的圆，
令 ，即点 分别在 、 上，如图，
显然 ， ，即有 ，
，取线段 中点 ，连接 ，则 ，
因此点 在以原点为圆心， 为半径的圆上，
而 ，
即 表示点 到直线 的距离和的 倍，
过 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ，过 作 垂直于直线 于点 ，
于是 ， ，
，原点 到直线 的距离 ，
显然 ，当且仅当点 共线，且点 在线段 上时取等号，所以 .
故答案为：
21．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知圆心为 的圆经过点 和
，且圆心在直线 上，求：
(1)求圆心为 的圆的标准方程；
(2)设点 在圆 上，点 在直线 上，求 的最小值；
(3)若过点 的直线被圆 所截得弦长为 ，求该直线的方程．
【解析】（1）设圆的标准方程为 ，因为圆经过 和点 ，且圆心在直线
上，
所以 解得：
所以圆的标准方程为 .
（2）因为圆 到直线 的距离为
，
所以直线与圆相离，
所以 的最小值为 .
（3）当斜率存在时，由条件可知，圆心 到直线 的距离为
根据点到直线的距离公式得： ，解得 .
当斜率不存在时，直线方程为 ，符合截圆所得的弦长为8
所以直线方程为 或 .
22．（2023·福建三明·校联考模拟预测）已知圆 ，直线 .
（1）若直线 被圆 截得的弦长为 ，求 的方程；
（2）若直线 与圆交于 两点，求 的中点 的轨迹方程.
【解析】（1） 可化为 ，
则圆心 ，半径 ，
∵ 被圆 截得的弦长为 ，则圆心 到直线 的距离为 ，∴点 到直线 的距离 ，
解得 ，此时直线 的方程为 ；
（2）设 ，直线 过定点 ，
由题意可知， ，
∴ ，即 ，
化简可得， ，即 ，
经检验， 与 ，圆心距为 ，
可知两圆内含，则 上的所有点都在圆的内部，
所以 中点 的轨迹方程为 .
1．（2019•上海）以 ， ， ， 为圆心的两圆均过 ，与 轴正半轴分别交于 ， ，
且满足 ，则点 的轨迹是
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
同理可得 ，
又因为 ，
所以 ，
则 ，
即 ，
则 ，
设 ，则 为直线，故选： ．
2．（2016•北京）圆 的圆心到直线 的距离为
A．1 B．2 C． D．
【答案】
【解析】 圆 的圆心为 ，
圆 的圆心到直线 的距离为：
．
故选： ．
3．（2023•上海）已知圆 的面积为 ，则 ．
【答案】 ．
【解析】圆 化为标准方程为： ，
圆的面积为 ， 圆的半径为1，
，
．
故答案为： ．
4．（2022•甲卷）设点 在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为
．
【答案】 ．
【解析】由点 在直线 上，可设 ，
由于点 和 均在 上， 圆的半径为 ，
求得 ，可得半径为 ，圆心 ，
故 的方程为 ，
故答案为： ．
5．（2022•乙卷）过四点 ， ， ， 中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】
【解析】设过点 ， ， 的圆的方程为 ，
即 ，解得 ， ， ，
所以过点 ， ， 圆的方程为 ．同理可得，过点 ， ， 圆的方程为 ．
过点 ， ， 圆的方程为 ．
过点 ， ， 圆的方程为 ．
故 答 案 为 ： （ 或 或 或
．
6．（2021•上海）若 ，求圆心坐标为 ．
【答案】
【解析】由 ，可得圆的标准方程为 ，
所以圆心坐标为 ．
故答案为： ．
7．（2018•天津）在平面直角坐标系中，经过三点 ， ， 的圆的方程为 ．
【答案】
【解析】【方法一】根据题意画出图形如图所示，
结合图形知经过三点 ， ， 的圆，
其圆心为 ，半径为1，
则该圆的方程为 ．
【方法二】设该圆的方程为 ，
则 ，
解得 ， ；
所求圆的方程为 ．
故答案为： （或 ．8．（2017•天津）设抛物线 的焦点为 ，准线为 ．已知点 在 上，以 为圆心的圆与 轴的正
半轴相切于点 ．若 ，则圆的方程为 ．
【答案】
【解析】设抛物线 的焦点为 ，准线 ， 点 在 上，以 为圆心的圆与 轴的正半
轴相切于点 ，
， ， ，
， ，如图所示：
，圆的半径为 ，故要求的圆的标准方程为 ，
故答案为： ．
9．（2016•浙江）已知 ，方程 表示圆，则圆心坐标是
．
【答案】
【解析】 方程 表示圆，
，解得 或 ．
当 时，方程化为 ，
配方得 ，所得圆的圆心坐标为 ，半径为5；
当 时，方程化为 ，
此时 ，方程不表示圆，
故答案为： ．
10．（2016•天津）已知圆 的圆心在 轴正半轴上，点 在圆 上，且圆心到直线 的距离为 ，则圆 的方程为 ．
【答案】
【解析】由题意设圆的方程为 ，
由点 在圆上，且圆心到直线 的距离为 ，
得 ，解得 ， ．
圆 的方程为： ．
故答案为： ．
11．（2019•新课标Ⅰ）已知点 ， 关于坐标原点 对称， ， 过点 ， 且与直线
相切．
（1）若 在直线 上，求 的半径；
（2）是否存在定点 ，使得当 运动时， 为定值？并说明理由．
【解析】 过点 ， 且 在直线 上，
点 在线段 的中垂线 上，
设 的方程为： ，则
圆心 到直线 的距离 ，
又 ， 在 中，
，
即 ①
又 与 相切， ②
由①②解得 或 ，
的半径为2或6；
（2） 线段 为 的一条弦 是弦 的中点， 圆心 在线段 的中垂线上，
设点 的坐标为 ，则 ，
与直线 相切， ，
，，
的轨迹是以 为焦点 为准线的抛物线，
，
当 为定值时，则点 与点 重合，即 的坐标为 ，
存在定点 使得当 运动时， 为定值．
