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第03 讲 二项式定理
目录
01 常考题型过关练
题型01 二项展开式的特定项（或系数）
题型02 两个二项式之积中特定项（或系数）
题型03 三项展开式中特定项（或系数）
题型04 二项式系数最值
题型05 系数最值
题型06 二项式系数和、系数和
题型07 二项展开式中奇偶项系数和
题型08 整除、余数问题
题型09 近似计算问题
题型10 杨辉三角形问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 二项展开式的特定项（或系数）
1．二项式
的展开式中有理项的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】由二项式展开式的通项公式求出通项，然后由指数为整数得到
的取值，得出结果.
【详解】二项式
展开式的通项为
．
其中当k 的值分别为0，2，4 时，
为有理项，共有3 项．
故选：B．
2．
的展开式的第3 项为 ．
【答案】
【分析】写出二项式展开式通项，进而求第3 项即可.
【详解】
的展开式的通项为
，
，
令
，得
.
故答案为：
3．在
的展开式中，常数项为 .
【答案】20
【分析】由题意有
，令
，进而求解.
【详解】由题意有：
，令
得
，所以常数项为
.
故答案为：
.
4．已知
的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 .
【答案】54
【分析】根据展开式中第二项与第四项的二项式系数相等求出
，再根据二项式的展开式通项公式求出
常数项.
【详解】
的展开式中第二项和第四项的二项式系数分别为
和
，
所以
，根据组合数的性质可得
.
对于
，易得展开式的通项为
，
，
令
，得
，
所以常数项为
.
故答案为：54.
5．在二项式
的展开式中，求：
(1)第4 项；
(2)常数项；
(3)有理项．
【答案】(1)
(2)
(3)
，
，
，
，
【分析】（1）根据二项式展开式的通项
，即可根据
求解；
（2）根据
求解
即可代入求解；
（3）根据
的取值为整数可得，
，代入即可得解.
【详解】（1）
的展开式的通项为
．
令
，
则
．
（2）由（1）中二项式展开式的通项，令
，解得
，所以常数项为
（3）由（1）中二项式展开式的通项，当
时，
是有理项，
分别为
，
，
，
，
．
02 两个二项式之积中特定项（或系数）
6．已知
的展开式中
项的系数为
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，进而结合
展开式中的通项列方程求解即可.
【详解】由
，
而
展开式中的通项为
，
，
令
，得
；令
，得
，
则
的展开式中
项的系数为
，解得
.
故选：A.
7．
的展开式中
的系数为 .
【答案】12
【分析】
可化为
，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为
，
所以
的展开式中含
的项为
，
的展开式中
的系数为12.
故答案为：12.
8．
的展开式中
的系数为 （用数字作答）．
【答案】
【分析】应用二项式定理求
展开式通项，根据乘积形式写出含
项，即可得.
【详解】对于
，展开式通项为
，
，
所以含
项为
，
所以该项对应系数为
.
故答案为：
9．若在
关于
的展开式中，常数项为4，则
的系数是 .
【答案】
【分析】将式子转化为两个式子相加的形式，再利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
，
其中
展开式的通项为
，
令
，可得
，
所以
的常数项为
，
令
，可得
，
的
的系数为
，
令
，可得
，
的
的系数为
，
所以
的
的系数为
.
故答案为：
.
10．若二项式
的展开式中，所有
的奇数次幂项的系数和为
，则实数
．
【答案】
【分析】设
，通过赋值
和
，即可求解.
【详解】设
，
令
，
令
，
故
，
即
.
故答案为：
03 三项展开式中特定项（或系数）
11．
的展开式中
的系数为（ ）
A．75
B．135
C．180
D．195
【答案】D
【分析】利用二项式定理求解.
【详解】
，
这个展开式中从第4 项开始就不会出现
，即
只在前3 项出现，
所以
的系数为
，
故选：D.
12．
的展开式中，
的系数是（ ）
A．60
B．30
C．20
D．10
【答案】A
【分析】先对目标式合理变形，再利用二项式定理多次展开求解系数即可.
【详解】由题意得
，
由二项式定理得
的通项为
，
欲求
的系数，则令
，此时对应项为
，
后续我们再从
找到只含
的项即可，
由二项式定理得
的通项为
，
令
，解得
，此时对应项为
，
故
的系数为
，故A 正确.
故选：A
13．
的展开式中含
项的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】写出展开式通项，对照
，求出参数值，代入通项即可得解.
【详解】在
的展开式通项为
，
的展开式通项为
，
所以，
的展开式通项为
，
由
可得
，
故展开式中
项的系数为
．
故选：C．
14．已知
展开式中有一项是
，则
.
【答案】3367
【分析】根据多项展开式每一项的次数特征，以及生成
这一项的方法，结合组合数公式，即可求解.
【详解】因为
展开式中每一项的次数均为
，故
；
从而含有
的项为
，
所以
，故
.
故答案为：
15．
展开式中
的系数为 .
【答案】
【分析】
表示6 个因式
相乘的乘积，分类讨论因式的搭配即可得解.
【详解】
得项类型一：从6 个因式中选择1 个提供
，5 个提供2，
此时
的系数为
；
类型二：从6 个因式中选择2 个提供
，4 个提供2，
此时
的系数为
；
合并同类项，含
的项为
.
故答案为：
.
04 二项式系数最值
16．若
二项展开式中各项的二项式系数只有第6 项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A．840
B．
C．
D．210
【答案】A
【分析】利用二项式的性质得
，再利用二项展开式的通项公式，即可求解.
【详解】因为二项式系数只有第6 项最大，故
，
又二项展开式的通项公式为
，
令
，则
，
故
，
故选：A.
17．
的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意求出
，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项.
【详解】因为
，所以
，二项展开式的通项为
，
故二项展开式中，二项式系数最大的项为
.
故选：A.
18．
的展开式中，二项式系数最大的项是第四项和第五项，则
的系数为（ ）
A．35
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二项式系数的增减性确定
的值，再利用通项求出含
的项即可得出结果.
【详解】由二项式系数最大的项是第四项和第五项可知
，即可得
，
二项展开式的通项为
，
令
，解得
；
因此含
的项为
；
即
的系数为
.
故选：D
19．若在二项式
的展开式中，有且只有第4 项的二项式系数最大，则展开式中
的系数
为 ．
【答案】
【分析】根据题意确定
的值，然后写出
的展开式的通项
，令
，求解即
可.
【详解】由题意知
，则
的展开式通项为
，令
，则
，
所以展开式中
的系数为
．
故答案为：60
20．已知
的展开式二项式系数和为64．
(1)求n 的值；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项．
【答案】(1)
(2)60
(3)
【分析】（1）根据二项式系数和公式得到方程，求出答案；
（2）得到展开式通项公式，进而得到展开式中的常数项为
；
（3）二项式系数最大的项为第四项，由（2）可知
，得到答案.
【详解】（1）由题意得
，故
；
（2）
的展开式通项公式为
，
令
，解得
，
所以展开式中的常数项为
；
（3）
，展开式共有7 项，二项式系数最大的项为第四项，
由（2）可知
，
故展开式中二项式系数最大的项为
.
05 系数最值
21．在
的展开式中，系数最大的项是多少？
【答案】
【分析】假设
项的系数最大，则
，解不等式得
，即可求解.
【详解】假设
项的系数最大，因为
，所以
，
解得
，解得
．
又
，所以
，则展开式中系数最大的项为
.
22．求
的展开式中系数最大的项．
【答案】
【分析】由通项公式可知系数有正有负，则系数最大的项必然在第1，3，5，7 这四项中取得，根据系数的
性质比较
和
两项系数大小即可．
【详解】
的展开式共有8 项，其展开式通项为
，
则第
项的系数为
，易知系数最大的项必为正项，
即在第1、3、5、7 这四项中取得．
在
的括号内的两项中，后项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，
故系数最大项必在中间或偏右，故只需比较
和
两项系数大小即可．
因为
，
所以系数最大的项是第五项，故
．
23．已知
的展开式中有一项是
．
(1)求
的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)11；
(2)
，
；
(3)
.
【分析】（1）根据二项式写出展开式的通项，结合已知项列方程求参数值；
（2）由二项式性质确定二项式系数最大项，利用展开式写出对应项；
（3）由（2）项系数为
，作商法比较大小确定最大系数，即可得.
【详解】（1）
的展开式的通项
．
由题意
，解得
，
，
，故
的值是11．
（2）由二项式系数的性质知，
的展开式中二项式系数最大的项是第6 项
与第7 项
，其值
分别为：
，
．
（3）
的展开式的第
项的系数
，其中
．
当
时，
．
因此，当
时，
，即
；当
时，
，即
．
所以
，
，所以
最大.
故
的展开式的第7 项的系数最大，且
.
24．已知
的展开式的二项式系数之和为256．
(1)求
；
(2)若展开式中系数最大的项只有第6 项和第7 项，求
的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据二项式系数和为
求
的值.
（2）先确定
，设第
项系数最大，可得
，再根据只有第6 项和第7 项系数最大，
可求
的范围，进而确定
的值.
【详解】（1）由二项式系数之和为
，可得
．
（2）易知
，设第
项系数最大，
则
，解得
，
由于只有第6 项和第7 项系数最大，所以满足条件的
或6，
因此
，即
，故m 的值为2．
25．在
的二项展开式中，所有奇数项的二项式系数和为A，所有项的系数和为B，且
．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)
，
．
(2)
【分析】（1）应用二项式系数和性质列式计算得出
，再应用二项式系数最大的性质计算求解；
（2）应用不等式法列式求出系数最大.
【详解】（1）
，令
，得
，则
，解得
．
所以展开式中二项式系数最大的项是第3 项和第4 项．
，
．
（2）由题意知
，即
，
解得
，即
．
故所求的项是
．
26．已知
的展开式中第
项为
，且第三项和第九项的二项式系数相等.
(1)求
的值，并求二项式系数的最大值；
(2)求第四项的二项式系数与系数；
(3)
的展开式中第几项的系数最大？并求系数的最大值.
【答案】(1)
，最大值为
(2)二项式系数：
，系数：
(3)第项的系数最大，最大值为
【分析】（1）首先由第三项与第九项的二项式系数相等的条件可得：
，求出
的值，进而求解二
项式系数的最大值；
（2）直接根据二项式定理的通式进行求解即可；
（3）首先由
，得：
，进而可知
时，
，
时，
，从而确定第8 项的系数最大，进而求解出系数的最大值.
【详解】（1）记展开式的第
项为
的二项式系数为
，
因为第三项的二项式系数与第九项的二项式系数相等，
即
，故
因为10 是偶数，故二项式系数的最大值为
（2）
，故
，
所以第四项的二项式系数为
，
系数为
.
（3）因为
，故
因为
，令
，
得：
因为
是正整数，故
时，
；
时，
.
所以第8 项的系数最大，最大值为
.
06 二项式系数和、系数和
27．设
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．0
【答案】C
【分析】根据赋值法令
计算求出系数和.
【详解】因为
，令
，得出
，
令
，得出
，
则
.
故选：C.
28．
的展开式中所有有理项的二项式系数和为 .
【答案】85
【分析】写出
的二项展开式的通项公式，再由
为整数，求出有理项的二项式系数即可求
解.
【详解】
的展开式的通项公式为
，
.
所以当
为整数，即
时，二项式展开式第
项为有理项，
其对应的二项式系数分别为：
，
，
，
故所有有理项的二项式系数和为
.
故答案为：85.
29．已知二项式
，若
，则
.
【答案】
【分析】由
，利用二项式定理求解通项公式
，利用
，然后赋值进行求解结论.
【详解】由
，
则二项式通项公式
，
则
，且
,
解得
，
，
则令
，则
，
令
，则
，
故
.
故答案为：
30．已知
，
．则
．
【答案】0
【分析】利用赋值法，分别令
、令
即可得答案.
【详解】在
中，
令
可得
，
令
可得
，
所以
故答案为：0.
31．在
的展开式中，第
项为常数项．
(1)求
的值和该常数项的值；
(2)求展开式中所有项的系数之和．
【答案】(1)
，常数项的值为
(2)
【分析】（1）利用二项展开式的通项公式
，结合条件，得到
，可得
，即可求解；
（2）通过赋值，令
，即可求解.
【详解】（1）因为
的展开式的通项公式为
，
由题知
时，
，得到
，解得
，
所以常数项的值为
.
（2）由（1）知，令
，得到
，
所以展开式中所有项的系数之和为.
07 二项展开式中奇偶项系数和
32．已知
，求：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分别令
，
求解即得；
（2）由展开式的通项公式可知展开式的各项系数的正负，令
即得；
（3）两边对
求导，再令
即得到所求.
【详解】（1）令
，得
．令
，得
，
所以
．
（2）令
，得
，
所以，
（3）
两边对
求导，
得
，
再令
，得
．
33．已知
，
(1)求
；
(2)求
；
(3)求
．
【答案】(1)
；
(2)
;
(3)
.
【分析】（1）分别令
，令
求解；
（2）根据展开式的通项得到偶数项的系数为负数，令
求解.
（3）两边同时求导再代入
即可.
【详解】（1）令
，得
，
令
，得
，
所以
．
（2）因为展开式的通项为
(
且
)，
所以当
为奇数时，项的系数为负数．
所以
，
令
，得
，
．
（3）对
两边同时求导，
可得
，
令
，可得
．
34．在
的展开式中，求：
(1)求常数项及此项的二项式系数．
(2)求系数绝对值最大的项．
(3)求展开式中第奇数项的系数之和．
【答案】(1)常数项为
，其二项式系数为
(2)
(3)
【分析】（1）根据二项展开式的通项公式计算可得结果；
（2）设第
项的系数绝对值最大，列不等式组计算可得结果；
（3）根据
展开式中第奇数项的系数和等于
展开式中第奇数项系数和计算可得结果.
【详解】（1）由题意得，
展开式的通项为
，
令
，可得
，
所以展开式中的常数项为
，其二项式系数为
．
（2）设第
项的系数绝对值最大， 则
，
即
，解得
，
因为
，所以
，故系数绝对值最大的项为
．
（3）因为
，
所以
展开式中第奇数项的系数和等于
展开式中第奇数项系数和，
设
，
令
，得
，
两式相加得，
，
所以展开式中第奇数项的系数之和为
.
35．已知
.求：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）利用赋值法，即可求得答案；
（3）对二项式两边求导，再赋值即可求得答案.
【详解】（1）令
，得
.①
令
，得
，②
由①-②，得
，
.
（2）
，
时，
，
时，
，
，
令
，得
.
（3）因为
，
两边分别求导，得
，
令
，得
.
36．设
，求下面各式的值．
(1)求
；
(2)求
；
(3)求
．
【答案】(1)-4050
(2)
(3)
【分析】（1）由二项式定理即可求解；
（2）由赋值法即可求解；
（3）先求导，然后结合赋值法即可求解.
【详解】（1）
；
（2）令
，
则
，
两式相减得，
；
（3）因为
，
两边分别求导，得2025
，
令
，得
．
37．若
，其中
.
(1)求
的值；
(2)求
.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，列式即可求得.
（2）利用赋值法，令
代入计算即可求得.
【详解】（1）因为
展开式的通项为
，
所以
，解得
.
（2）因为
，令
，得
，
令
，得
，
所以
.
38．已知
，求：
(1)
的值；
(2)
的值；
(3)
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】（1）
可得
的值；
（2）
可得答案；
（3）分别令
、
，求出
、
的值可得答案．
【详解】（1）令
，则
；
（2）令
，则
，
又因为
，所以
；
（3）因为
，
令
，得
①，
令
，得
②，
两式相加得
，所以
，
两式相减得
，所以
，
所以
．
08 整除、余数问题
39．若
，则
被8 整除的余数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】令
得
，令
得
，两式相减即可得
，即
利用二项式定理即可求解.
【详解】令
得
，令
得
，
两式相减得
，
所以
，因为
，
，因为
能被8 整除，
所以
被8 整除的余数为4.
故选：C.
40．第14 届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下
方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是
，正是会议计划召开的年份，那么八进制数
换算成十进制数，则换
算后这个数的末位数字是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】C
【分析】根据题意，由进位制的换算方法代入计算，再由二项式展开式代入计算，即可得到结果.
【详解】由进位制的换算方法可知，八进制
换算成十进制得：
，
因为
是10 的倍数，
所以，换算后这个数的末位数字即为
的末尾数字，
由
可得，末尾数字为5.
故选：C
41．各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进
制数均可转换为十进制数，如八进制数
转换为十进制数的算法为
．若将八进制数
转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】换算后由等比数列求和得
，改写成
，利用二项式定理展开即可求解．
【详解】
因为
是
的倍数，
所以换算后这个数的末位数字即为
的末位数字，
由
，末位数字为3，
故选：A．
42．定义：两个正整数
，
，若它们除以正整数
所得的余数相等，则称
，
对模
同余，记作
，比如：
．已知
，满足
，则
可以是（ ）
A．23
B．21
C．19
D．17
【答案】B
【分析】利用二项式定理可以看出
，进一步写成
，再利用二项式定理展开，进而求得n
被10 除所得余数，然后即可做出判定.
【详解】由二项式定理可得
,等号右边除了第一项1 外，其余各项都是10 的倍数，∴n 被10 除所得余数
为1，在选项中，只有21 倍10 除所得余数为1，
故选：B.
【点睛】本题考查二项式定理在求余数中的应用，关键是灵活使用二项式定理进行变形.
43．中国古代历法是中国劳动人民智慧的结晶，《尚书·尧典》记载“期三百有六旬有六日，以闰月定四时
成岁”，指出闰年有366 天.元代郭守敬创造了中国古代最精密的历法——《授时历》，规定一年为
365.2425 天，和现行公历格里高利历是一样的，但比它早了300 多年.现行公历闰年是如下确定的:①能被
4 整除，但不能被100 整除;②能被400 整除，满足以上两个条件之一的年份均为闰年，则公元
年，距
上一个闰年的年数为 .
【答案】5
【分析】借助二项式的展开式计算可得
能整除
、
，不能整除
，故公元
年不是闰年，
而
能整除
，但不能整除
，故公元
年是闰年.
【详解】
，
则
能整除
，即能整除
，
，
则
能整除
，
又
，
故
不能整除
，
故公元
年不是闰年，
则
能整除
，但不能整除
，故公元
年是闰年，
则公元
年，距上一个闰年的年数为.
故答案为：.
09 近似计算问题
44．
的小数点后第三位数字为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用二项展开式
可得出该小数的前四位数，即可得解.
【详解】因为
，
因此，
的小数点后第三位数字为
.
故选：A.
45．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广
义二项式定理：对于任意实数
，当
比较小
的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：
，并且
的值越小，所得结果就越接近
真实数据.用这个方法计算
的近似值，可以这样操作：
.用这样的方法，估计
的近似值约为 .（精
确到小数点后两位数）
【答案】3.07
【分析】变形
，然后根据题中的方法计算即可.
【详解】
.
故答案为：3.07
46．
的近似值（精确到
）为 ．
【答案】
．
【分析】
，按二项式定理展开，按照近似要求求解.
【详解】由二项式定理，
.
故答案为：1.13.
47．求下列各数的近似值（精确到0.001）：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)1.008
(2)0.990
【分析】（1）（2）根据二项式定理展开式的性质，即可求解近似值.
【详解】（1）由二项式定理展开式得
由于精确到0.001，所以
（2）由二项式定理展开式得
，
由于精确到0.001，所以
10 杨辉三角形问题
48．将三项式展开，得到下列等式：
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0 行
为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3 个数（不足3 个数时，缺少的数以0 计）之和，第k 行
共有2k+1 个数．则关于x 的多项式式
的展开式中，
项的系数（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接利用广义杨辉三角和数据的组合的应用求出结果．
【详解】根据广义杨辉三角的定义：
；
故
；
关于
的多项式
的展开式中
项的系数为
．
故选：D．
49．如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1 外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，
例如第4 行的6 为第3 行中两个3 的和．记“杨辉三角”第
行的第个数为
，则
．
【答案】
【分析】根据题意可知
，则
=
，结合二项式定理可得答案.
【详解】由题意知，
，则
当
时，
=
当
时，
，也符合上式．
综上，
．
故答案为：
50．如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观
察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 .
【答案】
【分析】结合杨辉三角的性质及组合数的性质计算即可得.
【详解】第三行的第三位数字是
，第四行的第三位数字是
，
第五行的第三位数字是
，
，第十五行的第三位数字是
，
由
，
则
.
故答案为：
.
51．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，
10，
记这个数列前n 项和为
，则
.
【答案】111
【分析】由“杨辉三角”的性质，得
，前半部分用等差数列求
和，后半部分用组合数的性质可得结果
，再由
即可得解.
【详解】由“杨辉三角”的性质，得
，
所以
.
故答案为：
52．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多
性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5 阶杨辉三角．
若第
行中从左到右第3 个数与第5 个数的比为
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】根据杨辉三角数字规律得到
，再由组合数公式计算可得.
【详解】依题意可知第
行的数从左到右分别为
，
所以
，即
，得
，解得
或
（舍去），
所以
的值为
.
故答案为：
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为
81，则其展开式中
的系数是（ ）
A．4
B．8
C．32
D．64
【答案】C
【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求
，再根据二项式定理运算求解即可.
【详解】由题意，展开式中二项式系数之和为16，则
，即
，
即二项式为
，因为
的展开式中各项系数之和为81，
令
可得，
，解得
，
此时二项式为
，其展开式的通项公式为
，
，
令
，得
，所以展开式中
的系数是
.
故选：C.
2．（2025·江西新余·模拟预测）已知
，则二项式
的展开式中含
项
的系数为 .
【答案】
【分析】逆用二项式定理化简已知求得
，然后求出二项式
展开式的通项，由
得
，代入求解即可.
【详解】由题意知，
，所以
，
则二项式
的通项
，
令
，解得
，所以含
项的系数为
.
故答案为：
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设
，则
.
【答案】
【分析】由
并写出展开式通项公式，结合已知求对应项的系数即可.
【详解】由
，则展开式通项为
且
，
当
，则
，故
.
故答案为：
4．（2025·湖南娄底·模拟预测）若
的展开式中
的系数为231，则
.
【答案】2
【分析】求出
展开式的通项公式，令
的次幂为
求出
，然后利用系数列方程即可求解.
【详解】
的展开式的通项
，
.
令
，解得
，则
，解得
.
故答案为：2.
5．（2025·河南·三模）已知
，则
的值为 ．
【答案】255
【分析】通过赋值
，可得
，再由
求出
项的系数
即可.
【详解】由
，
令
，可得
，
又
，
上式二项展开的通项为：
．令
，可得
．
∴
．
故答案为:255.
6．（2024·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家教育家，杨辉三角是杨辉的一
､
项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1 为杨辉三角
的部分内容，图2 为杨辉三角的改写形式
(1)求图2 中第10 行的各数之和；
(2)从图2 第2 行开始，取每一行的第3 个数一直取到第15 行的第3 个数，求取出的所有数之和；
(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为
？若存在，试求出这三个数；若不
存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)560
(3)存在，
【分析】（1）根据二项式系数的性质求和即可；
（2）根据组合数的性质化简求值即可；
（3）假设存在，根据条件建立方程组求解，即可得解.
【详解】（1）第10 行的各数之和为：
.
（2）杨辉三角中第2 行到第15 行各行第3 个数之和为：
.
（3）存在，理由如下：
设在第
行存在连续三项
，其中
且
且
，
有
且
，化简得
且
，
即
，解得
，
所以
，
故这三个数依次是
.
1．（2025·天津·高考真题）在
的展开式中，
项的系数为 ．
【答案】
【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.
【详解】
展开式的通项公式为
，
当
时，
，
即
展开式中
的系数为
.
故答案为：
2．（2024·上海·高考真题）在
的二项展开式中，若各项系数和为32，则
项的系数为 ．
【答案】10
【分析】根据给定条件，求出幂指数
，再利用二项式定理求出指定项的系数.
【详解】则二项式
的展开式各项系数和为32，得
，解得
，
所以
的展开式
项的系数为
.
故答案为：10
3．（2024·全国甲卷·高考真题）
的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【答案】5
【分析】先设展开式中第
项系数最大，则根据通项公式有
，进而求出即可求
解.
【详解】由题展开式通项公式为
，
且
，
设展开式中第
项系数最大，则
，
，即
，又
，故
，
所以展开式中系数最大的项是第9 项，且该项系数为
.
故答案为：5.
4．（2024·天津·高考真题）在
的展开式中，常数项为 ．
【答案】20
【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.
【详解】因为
的展开式的通项为
，
令
，可得
，
所以常数项为
.
故答案为：20.
5．（2022·天津·高考真题）在
的展开式中，常数项是 .
【答案】15
【分析】利用二项式展开式的通项特征，即可求解.
【详解】由题意
的展开式的通项为
，
令
即
，则
，所以
的展开式中的常数项为
.
故答案为：
.
