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专题五 解析几何
第5 讲 定点、定值和探索性问题
【探究真题.明确方向】
1.(2020·新高考Ⅰ卷，T22)已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√2
2 ，且过点A(2，1).
(1)求C 的方程；
(2)点M，N 在C 上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D 为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.
2.(2023·新高考Ⅱ卷，T21)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(-2❑√5，0)，离心率为❑√5.
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为A1，A2，过点(-4，0)的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线
MA1与NA2交于点P.证明：点P 在定直线上.
【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，主要以解答题的形式进行考查.分值约为
15~17 分.
【考向预测】一是要熟练掌握圆锥曲线的定义与方程，这是定义法求解轨迹方程的基础；二是定值、定点
的证明与探究，考查数学运算、直观想象、数学建模等核心素养.
考点一 定点(线)问题
【典例】1 (2025·西安模拟)已知点A(-2，0)，B(2，0)，P 是平面内一动点，PQ⊥AB，垂足Q 位于线
段AB 上且不与点A，B 重合，4|PQ|2=3|AQ|·|QB|.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)过点D(1，0)且与曲线C 相交的两条线段分别为EF 和MN，EF⊥MN(直线EF，MN 的斜率均存在，
且点E，F，M，N 都在曲线C 上)，若G，H 分别是EF 和MN 的中点，求证：直线GH 过定点.
【考法归纳】
(1)直线过定点问题，一般先设出直线的方程：y=kx+b，然后利用题中条件得出k，b 的关系，进而确定定
点.
(2)圆过定点问题的常见类型是以AB 为直径的圆过定点P，常把问题转化为PA⊥PB，也可以转化为⃗PA·⃗
PB=0.
【变式训练】1 (2025·榆林模拟)已知焦距为2❑√3且焦点在x 轴上的椭圆E 经过点A(2，1).直线l：
y=kx+m 不过点A.若l 与E 相交于M，N 两点，且以MN 为直径的圆过点A.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)求证：点(k，m)在定直线上.
考点二 定值问题
【典例】2 (2025·济宁模拟)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的离心率为
❑√7
2 ，且点A(4，3)在双曲线
C 上.
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 交C 于P，Q 两点，∠PAQ 的平分线与x 轴垂直，求证：l 的倾斜角为定值.
【变式训练】2 (2025·合肥模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点(
1
2 ，❑√3)和(
❑√3
2 ，1)是中
心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆E 上的两点.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若P 为椭圆E 上任意一点，以点P 为圆心，OP 为半径的圆与圆C：x2+(y+❑√3)2=5 的公共弦为MN.证
明：△CMN 的面积为定值，并求出该定值.
考点三 探究性问题
【典例】3 (2025·福州模拟)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F 的直线l1交C 于A，B 两点
(点A 在第一象限)，当l1垂直于x 轴时，|AB|=4.
(1)求C 的方程；
(2)过点F 且与l1垂直的直线l2交C 于D，E 两点(点D 在第一象限)，直线x=1 与直线AD 和BE 分别交于
P，Q 两点.
①当l1的斜率为4
3 时，求|PQ|；
②是否存在以PQ 为直径的圆与y 轴相切？若存在，求l1，l2的方程；若不存在，请说明理由.
【变式训练】3 (2025·宝鸡模拟)已知双曲线C 过点P(❑√3，1)且一条渐近线方程为x+y=0.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若过点M(1，0)的直线l 与双曲线C 相交于A，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点N，使直线NA 与
直线NB 关于x 轴对称，若存在，求出定点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
【限时训练】（限时：30 分钟）
1.(17 分)(2025·石家庄模拟)已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)经过A(-2，0)，B(2，0)两点，其左、右焦点分别
为F1，F2，且焦距为有理数，点M 为椭圆C 上异于A，B 的动点，△MF1F2面积的最大值为❑√3.
(1)求椭圆C 的标准方程；(7 分)
(2)若直线AM 与BM 分别交直线x=10 于P，Q 两点，证明：直线AP 和AQ 的斜率之积为定值.(10 分)
2.(17 分)(2025·南京模拟)已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过点P(-1，1)的直线l 与C 交于A，B 两点.
(1)若|PF|是|AF|和|BF|的等比中项，求直线l 的方程；(8 分)
(2)若D 是C 上一点，且直线AD 的斜率为2，证明：直线BD 经过定点.(9 分)
【拓展训练】(共17 分)
3.(17 分)(2025·贵州模拟)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为D，E，右焦点为F，点P
是双曲线C 上异于D，E 的一点，且直线PD，PE 的斜率之积为1
3.
(1)求双曲线C 的渐近线方程；(4 分)
(2)若PF 垂直于x 轴，且|PF|=
❑√3
3 ，直线l 与双曲线C 相切，直线l 与直线PF 相交于点Q，与直线x=3
2相交
于点R，证明|QF |
| RF | 为定值，并求此定值；(6 分)
(注：过双曲线C 上一点(u，v)且与双曲线C 相切的直线方程为ux
a
2 −vy
b
2 =1)
(3)在(2)的条件下，已知直线n 与双曲线C 交于点M，N(异于点D)，若以MN 为直径的圆经过点D，且
DG⊥MN 于点G，证明：存在定点H，使得|GH|为定值.(7 分)
