文档内容
专题 02 直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：求线面角.............................................................................................2
题型二：已知线面角求参数............................................................................10
题型三：求线面角最值（范围）.....................................................................19
三、专项训练.........................................................................................................27
一、必备秘籍
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面
内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线 是平面 的一条斜线，斜足为 ，斜线上一点 在平面 上的射影为 ，则直线 是斜
线 在平面 上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线
与平面所成角的范围为 ；
（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为 ；
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
结论：直线与平面所成角的范围为 .3、向量法
设直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则
， .
二、典型题型
题型一：求线面角
1．（22·23上·河南·模拟预测）在三棱台 中， 平面ABC， ，
．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)记 的中点为M，过M的直线分别与直线 ， 交于P，Q，求直线PQ与平面 所成角的正
弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)0【详解】（1）取AC的中点D，则AD与 平行且相等，
可得四边形 为平行四边形，则有 ，
又 ，故 ．
又 ， ， ，AC， 平面 ，故 平面 ，又因为
平面 ，故 ，
又因为 ， ， ， 平面 ，故 平面 ，
而 平面 ，故平面 平面 ；
（2）以A为原点， ， ， 所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角
坐标系 ，
则 ， ， ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则 ．
设 ， ，则 ， ，
由题意知P，M，Q三点共线，可设 ，则 ，
解得 ，故 ， ，
则 ，
故 ，
即 平面 ，故所求线面角的正弦值为0．2．（22·23上·河南·模拟预测）已知 中， ， ， ， ，将
沿 折起，使点A到点 处， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为 ， ，可得 ，
又因为 ，所以 ， 即 ，
又 ，且 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，即 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，故平面 平面 ．
（2）解：以 为坐标原点，以DE，DB所在直线为x轴、y轴，以垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间
直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， ，
在直角三角形 中， ， ，则 ，
由（1）知 平面 ，则 为平面 的法向量，且 ，
设直线CD与平面 所成角的角为 ，
则 ，
故直线CD与平面 所成角的余弦值为 ．3．（23·24·柳州·模拟预测）如图，三棱柱 的底面 是正三角形，侧面 是菱形，平
面 平面 ， 分别是棱 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
取 的中点 ，连接 ，因为 分别是棱 的中点，
则 ， ，∴四边形 为平行四边形，
所以 ，∵ 平面 ， 平面 ，
平面 ；
（2）在平面 中过点 作 于 ，连接 ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，∴ 平面 ，
由菱形 ， ，得 ， ，
因为点 为 的中点，∴ ，故以 为原点， 分别为 轴建立如图所示的空间
直角坐标系：则 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，解得 ，令 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
综上，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
4．（23·24上·南充·模拟预测）如图所示，在圆锥 中， 为圆锥的顶点， 为底面圆圆心， 是圆
的直径， 为底面圆周上一点，四边形 是矩形．
(1)若点 是 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1） 分别是 中点，连接 ，则 ，
平面 平面 ，则 平面 ，
四边形 是矩形， ，同理有 平面 ，
又 ， 平面 ，故平面 平面 ，
又 平面 ，故 平面 .
（2）解法一：
在圆锥 中， 平面 ， 平面
则平面 平面 ，平面 平面 ，作 于点 ，连接 ，
则 面 是 在平面 上的射影， 是直线 与平面 所成的角，
在直角三角形 中， ，则 ，
平面 ，则 平面 ，
在直角三角形 中， ， ，则 ，
在直角三角形 中， ，
故 ，即直线 与平面 所成角的余弦为 .
解法二：在圆锥 中， 平面 ，
在直角三角形 中， ，则 ， ，
在直角三角形 中， ，则 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
，
设 是平面 的法向量，则 ，
令 得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
.
5．（23·24上·浙江·一模）如图，多面体 中，四边形 为正方形，平面 平面
， ， ， ， ， 与 交于点 ．
(1)若 是 中点，求证： ；
(2)求直线 和平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为四边形 为正方形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ，
连接 ，则 ，
在 中， ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ，且 ，
从而 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
又 是 中点， ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ．
（2）由（1）知， 平面 ，且 ，
以 为坐标原点，分别以 、 、 所在的直线为 、 、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则 、 、 、 ，
则 ， ， ，
由 得， ，所以 ，
所以 ， ，
设面 的法向量为 ，由 得， ，取 ，则 ，
设直线 和平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 和平面 所成角的正弦值为 ．
题型二：已知线面角求参数
1．（22·23下·抚顺·模拟预测）如图，在几何体ABCDEF中， 平面ABC， ，侧面
ABFE为正方形， ，M为AB的中点， ．
(1)证明： ；(2)若直线MF与平面DME所成角的正弦值为 ，求实数λ的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为CD⊥平面ABC， ，所以 平面ABC，
因为侧面ABFE为正方形， ，所以 平面ABC，
又 平面ABC，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 平面ABFE，所以 平面ABFE，
又 平面ABFE，所以 ，
因为 平面ABC， 平面ABC，
所以 ，
又 平面CDM，所以 平面CDM，
又 平面CDM，所以 ．
（2）由（1）可知， ，M为AB的中点，所以 ．
取 的中点为N，连接MN，则 ，
因为 平面ABC，所以 平面ABC．
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则M（0，0，0）， ， ，F（1，0，2），
所以 ， ， ，
设平面DME的法向量为 ，
由 得 ，取 ，
则 ，
设直线MF与平面DME所成角为θ，
则 ，
由题意可知， ，解得 （负值舍去），故实数λ的值为 ．
2．（22·23下·江苏·一模）在三棱柱 中，平面 平面 ，侧面 为菱形，
， ， ， 是 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)点 在线段 上（异于点 ， ）， 与平面 所成角为 ，求 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为侧面 为菱形， ， ，
所以 为边长为 的等边三角形，
作 交 于 点，则 点为 的中点，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面
，
平面 ，可得 ，
又 ， ， 平面 ，可得 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，因为侧面 为菱形，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 ；（2）由（1）知， 平面 ， ，取做 的中点 ，连接 ，
则 ，所以 平面 ，
以 为原点， 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
， ，
设 ，可得 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则
，即 ，令 ，可得 ，
可得 ，
解得 舍去，或 ，所以 .
3．（22·23下·广州·三模）如图，四棱锥 的底面为正方形， ， 平面 ，
分别是线段 的中点， 是线段 上的一点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，且 点不是线段 的中点，求三棱锥 体积.【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 ，
分别是线段 的中点， ，
底面四边形 为正方形， ，
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 .
（2）以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设 ， ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
设直线 与平面 所成角为 ，
，
解得： 或 （舍）， ，
平面 ， 平面 ， ；
， ， 平面 ， 平面 ，
到平面 的距离为 ，
.4．（22·23·厦门·模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形 为筝
形，其对角线交点为 ，将 沿 折到 的位置，形成三棱锥
．
(1)求 到平面 的距离；
(2)当 时，在棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)存在； 或
【详解】（1）因为 ，
所以 不可能为四边形 的对称轴，则 为四边形 的对称轴，
所以 垂直平分 ，所以 ．
平面 平面
所以 平面 ．
所以 到平面 的距离 ．
（2）存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
过 作 平面 ，所以 两两垂直.
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系由（1）得平面 平面 ，因为
所以 ．
设 ，
，
，
设平面 的法向量 ，
，所以
令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量 ，
设直线 与平面 所成角为 ， ，
．
所以 或 ，所以存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 或 ．
5．（22·23·万州·模拟预测）如图1所示，在四边形 中， ， 为 上一点，
， ，将四边形 沿 折起，使得 ，得到如图2所示的四棱
锥．(1)若平面 平面 ，证明： ；
(2)点 是棱 上一动点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【详解】（1）在图1中，因为 ， ， ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，故 ，
在图2中，因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ；
（2）由（1）知， ， ，
， 平面 ， 平面 ,
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
故以 为坐标原点， 分别为 轴，
在平面 内过点 作 的垂线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，
因为 ，平面AEB 平面BCE，且 ，
所以点 在平面 的射影为 中点，故 ， ，
设 ，则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
不妨令 ，则 ， ，
所以 为平面 的一个法向量．
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，
整理得 ，解得 或 （舍），
所以 为 中点，所以 .
6．（22·23下·荆门·模拟预测）在三棱柱 中，四边形 是菱形， ，平面
平面 ，平面 与平面 的交线为 .(1)证明： ；
(2)已知 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，
求 的长度；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）因为四边形 为菱形，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
（2） 上存在点 ，使 与平面 所成角的正弦值为 ，且 .
理由如下：
取 中点 ，连接 ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 为等边三角形，所以 ，
因为 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
以 为原点，以 方向分别为 轴， 轴， 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ，，
.
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
假设 上存在一点 ，使 与平面 所成角的正弦值为 ，设 ，
则 ，所以 ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，即 ，
令 ，则 ，可取 ，
又 ，
所以 ，
即 ，解得 ，此时 ；
因此 上存在点 ，使 与平面 所成角的正弦值为 ，且 .
题型三：求线面角最值（范围）
1．（22·23下·乐山·三模）在直三棱柱 中， ， ，点P满足
，其中 ，则直线AP与平面 所成角的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分别取 中点 ,则 ,即 平面 ,
连接 ,因为 ,所以 ,
分别 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ,
由已知 , , , , ,
则 ,
因为 ，
，
，
易知平面 的一个法向量是 ，
设直线AP与平面 所成角为 ，则 ，
，
所以 时， ，即 的最大值是 ．
故选：B．
2．（21·22下·山东·模拟预测）如图，C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，平面 平面
为正三角形，E，F分别是 上的动点.(1)求证： ；
(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面 与平面 的
交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，所以 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，
所以 平面 平面 .
所以
（2）由E，F分别是 的中点，连结 ，所以 ，由（1）知 ，
所以 ，所以在 中， 就是异面直线 与 所成的角.
因为异面直线 与 所成角的正切值为 ，
所以 ，即
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
所以
所以在平面 中，过点A作 的平行线即为直线l.以C为坐标原点， 所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面 的直线为z轴，建立空间直
角坐标系，设 .
因为 为正三角形所以 ，从而
由已知E，F分别是 的中点，所以
则 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以可设 ，平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
又 ，则 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的取值范围为 .
3．（20·21下·渝中·阶段练习）如图，在三棱台 中，底面 是边长为2的正三角形，侧面
为等腰梯形，且 ， 为 的中点．（1）证明： ；
（2）记二面角 的大小为 ， 时，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值
范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【详解】（1）证明：如图，作 的中点 ，连接 ， ，
在等腰梯形 中， ， 为 ， 的中点，
∴ ，
在正 中， 为 的中点，
∴ ，
∵ ， ， ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ．
（2）解：∵ 平面 ，
在平面 内作 ，以 为坐标原点，以 ， ， ，分别为 ， ， ，轴正向，如图建
立空间直角坐标系，
∵ ， ，∴ 为二面角 的平面角，即 ，
， ， ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ， ， ，则有 ，即 ，
则可取 ，又 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
4．（22·23·河南·二模）如图所示，正六棱柱 的底面边长为1，高为 ， 为线段
上的动点.
(1)求证： 平面 ；
(2)设直线 与平面 所成的角为 ，求 的取值范围.【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 ， .
在正六棱柱 中，
因为底面为正六边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，所以平面 平面 ，
因为 为线段 上的动点，所以 平面 ，
所以 平面 .
（2）取 的中点为Q，连接 ， .
因为底面边长为1，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
易得 ， ， ，所以 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
即 为平面 的一个法向量.
连接 ，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ，所以 ， ， .设 （ ），
所以 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 的取值范围是 .
5．（22·23·海口·模拟预测）如图，四棱锥 中， ， ，平面 平面 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ， ， 与平面 所成的角为 ，求 的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：过点A作 于 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
由 ， ，可知 ，
而 ， 平面
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）法1：由（1）知 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ， ，所以 ，
由 平面ABCD，所以 平面 ．
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ，设 ，
平面 的一个法向量为 ， ，
，所以 ， ，即 ，
得 令 ，得 ，
，所以 ，
显然，当 时， 取最小值，
综上，当 时， 的最大值为 ．
法2：设点 到平面 的距离为 ，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以点A到平面 的距离也为 ，
由（1）， 平面 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
由（1）， 平面 ，所以 ，
由 ，在四边形 中，当 时， 取最小值，
此时四边形 显然为矩形， ，所以 的最大值为 ．
三、专项训练
一、单选题
1．（22·23下·乐山·三模）在直三棱柱 中， ， ，点P满足
，其中 ，则直线AP与平面 所成角的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】分别取 中点 ,则 ,即 平面 ,
连接 ,因为 ,所以 ,
分别 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ,
由已知 , , , , ,
则 ,
因为 ，
，
，
易知平面 的一个法向量是 ，
设直线AP与平面 所成角为 ，则 ，
，
所以 时， ，即 的最大值是 ．
故选：B．
2．（23·24上·亳州·阶段练习）将边长为1的正方形 及其内部绕 旋转一周形成圆柱，如图，
长为 ， 长为 ，其中 与C在平面 的同侧，则直线 与平面 所成的角的正弦
值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意， ， ，
如图所示，建立空间直角坐标系．
则 ，
∴
平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
∴ ．
故选：D．
3．（23·24上·泰安·阶段练习）三棱柱 的侧棱与底面垂直， ， ，N
是BC的中点，点P在 上，且满足 ，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】如图，以AB，AC， 分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，
平面ABC的一个法向量为 ，
设直线PN与平面ABC所成的角为 ，
，
当 时， ，此时角 最大．
故选：D．
4．（22·23上·江西·阶段练习）如图，在长方体 中， ， ， 为线段
上的动点，当直线 与平面 所成角的正弦值取最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，
设
则
设平面 的法向量为
则 即 令 则
设直线 与平面 所成角为 ，
则
当 时， 最大，
故选:D.
二、填空题
5．（22·23上·厦门·期末）正方体 中，E为线段 的中点，则直线 与平面 所成
角的正弦值为 ．
【答案】
【详解】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图，设正方体的棱长为2，则 ;；
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，
令 ，则 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
故答案为： .
6．（23·24上·济宁·阶段练习）已知正方体 的棱长为1，H为棱 上的动点，若 平
面 ，则直线CD与平面 所成角的正弦值的取值范围为
【答案】
【详解】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 .
则 、 ，设点 ，其中 .
则 ， ，
因为 平面 ，所以 为平面 的一个法向量，设直线 与平面 所成的角为 ，
，
.
所以，直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 .
故答案为： .
7．（21·22·全国·单元测试）如图所示，在正方体 中，AB＝3，M是侧面 内的动
点，满足 ，若AM与平面 所成的角 ，则 的最大值为 .
【答案】
【详解】解：如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，则 ，
因为 平面 ，
所以 即为AM与平面 所成角，即 ，
则 ，
所以当 时， 取得最大值 .故答案为： .
8．（22·23上·宁波·阶段练习）已知圆柱 中，点 在圆 上， ， ，点 、 在圆
上，且满足 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
【答案】
【详解】取 中点 ，则 ， 以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴建立如下图所示的
空间直角坐标系，
则 、 、 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，则 ，
设 ，直线 的方向向量为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，即直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
故答案为： .
9．（21·22下·绵阳·期末）在正方体 中，点Р在侧面 (包括边界)上运动，满足
记直线 与平面 所成角为 ，则 的取值范围是
【答案】
【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 ，
由题可设 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴点 在 上，
又 ， ，平面 的一个法向量可取 ，
∴
，
又 ，
∴ ， ，即 的取值范围是 .
故答案为： .
三、解答题
10．（21·22下·山东·模拟预测）如图，C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，平面 平面
为正三角形，E，F分别是 上的动点.
(1)求证： ；
(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面 与平面 的
交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，所以 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，
所以 平面 平面 .
所以
（2）由E，F分别是 的中点，连结 ，所以 ，由（1）知 ，
所以 ，所以在 中， 就是异面直线 与 所成的角.
因为异面直线 与 所成角的正切值为 ，
所以 ，即
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
所以所以在平面 中，过点A作 的平行线即为直线l.
以C为坐标原点， 所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面 的直线为z轴，建立空间直
角坐标系，设 .
因为 为正三角形所以 ，从而
由已知E，F分别是 的中点，所以
则 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以可设 ，平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
又 ，则 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的取值范围为 .
11．（20·21下·渝中·阶段练习）如图，在三棱台 中，底面 是边长为2的正三角形，侧
面 为等腰梯形，且 ， 为 的中点．（1）证明： ；
（2）记二面角 的大小为 ， 时，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值
范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【详解】（1）证明：如图，作 的中点 ，连接 ， ，
在等腰梯形 中， ， 为 ， 的中点，
∴ ，
在正 中， 为 的中点，
∴ ，
∵ ， ， ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ．
（2）解：∵ 平面 ，
在平面 内作 ，以 为坐标原点，以 ， ， ，分别为 ， ， ，轴正向，如图建
立空间直角坐标系，
∵ ， ，∴ 为二面角 的平面角，即 ，
， ， ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ， ， ，则有 ，即 ，
则可取 ，又 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
12．（22·23·河南·二模）如图所示，正六棱柱 的底面边长为1，高为 ， 为线段
上的动点.
(1)求证： 平面 ；
(2)设直线 与平面 所成的角为 ，求 的取值范围.【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 ， .
在正六棱柱 中，
因为底面为正六边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，所以平面 平面 ，
因为 为线段 上的动点，所以 平面 ，
所以 平面 .
（2）取 的中点为Q，连接 ， .
因为底面边长为1，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
易得 ， ， ，所以 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
即 为平面 的一个法向量.
连接 ，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ，所以 ， ， .设 （ ），
所以 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 的取值范围是 .
13．（22·23·海口·模拟预测）如图，四棱锥 中， ， ，平面 平面 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ， ， 与平面 所成的角为 ，求 的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：过点A作 于 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
由 ， ，可知 ，
而 ， 平面
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）法1：由（1）知 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ， ，所以 ，
由 平面ABCD，所以 平面 ．
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ，设 ，
平面 的一个法向量为 ， ，
，所以 ， ，即 ，
得 令 ，得 ，
，所以 ，
显然，当 时， 取最小值，
综上，当 时， 的最大值为 ．
法2：设点 到平面 的距离为 ，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以点A到平面 的距离也为 ，
由（1）， 平面 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
由（1）， 平面 ，所以 ，
由 ，在四边形 中，当 时， 取最小值，
此时四边形 显然为矩形， ，所以 的最大值为 ．
14．（23·24上·沈阳·阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，且
M是 的中点， ， .
(1)求证： 平面 ；(2)求 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【详解】（1）∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，又四边形 是矩形，则 ，
∵ ， 、 平面 ，
∴ 平面 ， 平面PAD，
∴ ，
又M是PD的中点， ，则 ，
而 ， 、 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由题易知： 两两互相垂直，
以A为空间坐标系的原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，故 ，
设平面MBC法向量为 ，则 ，
即 ，令 ， ，则 ，即 ，
而 ，则 ，
设MA与平面MBC所成角为 ，则 ，
所以 .
15．（23·24上·东莞·阶段练习）如图1，梯形 中， ，过 分别作 ，垂
足分别为 ，已知 ，将梯形 沿 折起，得空间几何体，如图2．
(1)在图2中，若 ，证明： 平面 ．
(2)在图2中，若 ，在线段 上求一点 ，使 与平面 所成角的正弦值最大，并
求出这个最大值．
【答案】(1)证明见详解
(2)点 与点 重合；
【详解】（1）由已知四边形 是正方形，且边长为 ，
在图2中， ,
又 ， ,
平面 , 平面 ,
则 平面 ,
又 平面 ,所以 ,
又 , ,
平面 , 平面 ,
所以 平面 .
（2）在图2中，
平面 , 平面 ,
则 平面 ，
在梯形 中，过点 作 ,交 于点 连接 ,
由题意得 又 ,根据勾股定理可得 ,
则
过 作 交 于点 ,
可知 两两垂直，
以 为坐标原点，以 分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
取 ，得
设 ，则 ，
设 与平面 所成角为 ，
则
故当 ，即 时，点 与点 重合时， 有最大值，
且此时最大值为 .
16．（23·24上·河东·期中）如图，在四棱线 中，底面 为矩形， 平面
，点 是棱 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)设 的中点为 ，点 在棱 上（异于点 ），且 ，求直线 与平面 所成角的正
弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）连接 ，设 和 交点为 ，连接 ，因为底面 为矩形，
所以 为 中点，又点 是棱 的中点，所以 为 中位线， ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）由题可知， 平面 ，所以 ，又底面 为矩形，
所以 ，故 互相垂直，以 方向为 轴， 方向为 轴，
方向为 轴建立 空间直角坐标系，设 ，
，易得 ，故 ，
又
，故 ，化简得 ，即 ，故 ，
所以 ，
，所以 ，
，设平面 的法向量为 ，
由 得 ，令 得 ，
设直线 与平面 所成角的正弦值为 ， 与 夹角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
17．（23·24上·广东·阶段练习）已知正方形 的边长为4（图1）， 、 分别为 、 的中点，
以 为棱将正方形 折成如图所示的二面角，且 ，点 是线段 上的动点（图2）．(1)若 为 的中点， 为 的中点（图3），证明：直线 平面 ；
(2)是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ；若存在，求此时 点到平面 的距离，
若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 是靠近 或 的四等分点，此时 点到平面 的距离为 .
【详解】（1）若 是 中点，连接 交 于 ， 为 的中点，又 为矩形，易知 是
中点，
由 ，则 是平行四边形，又 为 的中点，
所以 为中位线，即 ，
由 面 ， 面 ，故直线 平面 ；
（2）若 为 中点，作 面 ，构建空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，
所以 ， ， ，
令 是面 一个法向量，则 ，
若 ，则 ，
所以 ，则 ，
当 ，则 ， ，故 ；
当 ，则 ， ，故 ；综上， 是靠近 或 的四等分点，此时 点到平面 的距离为 .
18．（23·24上·西青·阶段练习）四棱柱 中， 底面
， 为 的中点．
(1)求证： ；
(2)求面 与面 夹角的余弦值
(3)设点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：以 为原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，建立空间直角坐标系，
为 中点，
，
，
．
（2）设平面 的法向量 ，
．取 ，得 ．
设平面 的法向量 ，
，
．
取 ，得 ．
设面 与面 所成角为 ．
则 ．
面 与面 所成角的余弦值为 ．
（3）设点 ，
点 在线段 上，
，
，
，
直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
平面 的法向量 ，
，
解得 ，或 （舍），
．
线段 的长为 ．
19．（23·24上·温州·阶段练习）已知几何体 ，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE
均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上．(1)求证： ；
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为 ？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【详解】（1）因为四边形 、 、 均为正方形，则 两两互相垂直，
以 为坐标原点， 为 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ，设 ，
可得 ， ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）知： ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ， ，可得 ，
假设存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
可得 ，解得： ，
又因为 在棱 上，则 ，所以 ，
故当点 在棱 上，且 时，直线 与平面 所成的角为 .20．（23·24上·湖南·阶段练习）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
.
(1)求证： ；
(2)若 ， 是线段 上的一点，若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的
长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，如图所示，
因为 ， 是 的中点，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， ，且 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）解：设 的中点为 ，则 ，又 ，所以 ，
以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，如图所
示，则 ， ， ， ，
设 ，则 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，解得 ， ，所以 ，
又由 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以点 为 的中点，因为 ，
所以 .
