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专题8.5 椭圆方程
重难点题型1 椭圆的定义与标准方程
1．（2025·四川乐山·三模）与双曲线
有公共焦点，且离心率为
的椭圆方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北秦皇岛·三模）若点
在椭圆
的内部，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
椭圆的定义与标准方程
重难点题型2
椭圆方程的充要条件
重难点题型3
利用第一定义求椭圆的轨迹方程
重难点题型4
椭圆中焦点三角形的周长与面积及其它问题
重难点题型5
椭圆中的最值与范围问题
重难点题型6
求椭圆的离心率与离心率的取值范围
重难点题型7
直线与椭圆的位置关系
重难点题型8
定点与定值问题
重难点题型9
椭圆中的探索性问题
3．（2025·云南红河·三模）已知椭圆
的右焦点为
，则
的长轴长为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河北秦皇岛·二模）若方程
表示焦点在
轴上的椭圆，则椭圆短轴长的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知
是椭圆
的两个焦点，点
在
上，则
的最小值为 .
6．（2025·陕西渭南·三模）已知椭圆
的一个焦点的坐标是
，则实数
的值为 .
7．（2025·甘肃金昌·二模）已知
是椭圆
上的动点，
，且
，则
.
8．（2025·河南·模拟预测）已知
为椭圆
上一点，且直线
与
有且
仅有一个交点，则
的焦距为 .
重难点题型2 椭圆方程的充要条件
1．（2025·山东·一模）已知曲线
，则命题“
”是命题“曲线的焦点在
轴”
的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025·湖南·三模）已知曲线
，设
，q：曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则
p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件【答案】A
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线
，则“
”是“曲线
表示椭圆”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2025·湖北黄冈·二模）设
，“曲线
为椭圆”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2024·浙江台州·一模）椭圆
与椭圆
的（ ）
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
重难点题型3 利用第一定义求椭圆的轨迹方程
1．（2025·甘肃甘南·三模）如图，斜线段
与平面
所成的角为
，
为斜足，平面
上的动点
满足
，则点
的轨迹是（ ）
A．直线
B．圆
C．抛物线
D．椭圆
2．（2025·湖北·三模）已知圆
，圆
，动圆M 与圆
，圆
都相切，若动圆圆心M 的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为
，则
的值为
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
3．（2024·广东江门·二模）已知圆
内切于圆
，圆
内切于圆
，则动
圆
的圆心的轨迹方程为 .
4．（2023·上海浦东新·模拟预测）以
为圆心的动圆与圆
和圆
均相切，若点
的轨迹为椭圆，则的取值范围是 .
重难点题型4 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其它问题
1．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆
：
的焦点为
，
，椭圆
上有一点
处于第一象限，
且
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆E：
的左焦点为F，过点
分别作E 的切线
、
，切点分别为A、B，则
面积最大值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
3．（2025·甘肃·模拟预测）由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率
与椭
圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆
的离心率为
分别为
的左､右
焦点，
上一点
满足
，且
的面积为
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·湖南·二模）若椭圆
的左右焦点分别为
，
，直线l：
与椭圆交于A，B 两
点，若点P 为线段
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为
，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B 两点，
是椭圆的右焦点，则
的周长的最小值为（ ）
A．8
B．
C．10
D．
6．（2025·山东临沂·三模）已知
为坐标原点，点
为椭圆
上任意一点，
，
为圆
的两条切线，切点分别为
，
，若直线
与
轴、
轴分别交于点
、
，则
面积
的最小值为 .
7．（24-25 高三下·河南焦作·阶段练习）已知椭圆
的左顶点为A，上，下顶点分别为
B，C，右焦点为F，直线
与
交于点P，若
，则
．（S 表示面积）
8．（24-25 高三上·云南德宏·阶段练习）已知椭圆
的长轴长为4，离心率为
.若
分别是椭圆的上，下顶点，
分别为椭圆的上，下焦点，
为椭圆上任意一点，且
，
则
的面积为 .
9．（2024·辽宁丹东·二模）已知O 为坐标原点，F 为抛物线
的焦点，椭圆
，记
P 为抛物线与D 在第一象限的交点，延长PO 交D 于Q，若
，则
的面积为 ．
重难点题型5 椭圆中的最值与范围问题
1．（2024·全国·模拟预测）已知
分别是椭圆
的左、右焦点，点
是椭圆上的任意一点，
若
的最大值是
，则椭圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线
与椭圆
的焦点重合，离
心率互为倒数，设
分别为双曲线
的左，右焦点，
为右支上任意一点，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点
和
，定点
和
，若
，且
的周长恒为16，则
的最小值为 ．
4．（2025·海南·模拟预测）已知点
是圆
上一点，抛物线
的准线与
轴交于点
是抛物线在第一象限上一点，且
，则
的最小值为 ．
5．（2025·广东湛江·一模）已知椭圆
与双曲线
具有相
同的焦点
，
，点P 为椭圆A 与双曲线B 位于第一象限的交点，且
（O 为坐标原点）．设
椭圆A 与双曲线B 的离心率分别为
，
，则
的最小值为 ．
重难点题型6 求椭圆的离心率及离心率的取值范围
1．（2025·广东梅州·一模）已知A，B，F 分别是椭圆
的右顶点，上顶点和右焦点，
若过A，B，F 三点的圆恰与y 轴相切，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆C：
的焦点分别为
，
，过
的直线与C
交于P，Q 两点，若
，
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）椭圆
和双曲线
，双曲线的渐近线斜
率小于
，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆
的左、右顶点分别为
，上、下焦点分别
为
，点P 在x 轴上，若
的内切圆的圆心为
，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·湖南长沙·三模）椭圆
的离心率为 ．
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知
，
为椭圆C：
（
）的左、右焦点，点P 在y
轴上，点Q 在C 上，且
，
，则椭圆C 的离心率为 .
7．（2025·江西萍乡·三模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点M 在C 上，
记
的外心为A，内切圆半径为r，若
，且
，则C 的离心率为 .
8．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知椭圆
的左右焦点分别为
、
，圆
与抛物线
的准线相切，抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，且
为抛
物线
与椭圆
的一个交点，若
的面积为
，则椭圆的离心率为 ．
重难点题型7 直线与椭圆的位置关系
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，点
在椭圆上，
直线
与
交于
两点．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
，
①证明：
；
②若直线
经过原点，与椭圆
交于
两点，且
，求四边形
面积的取值范围．
2．（2025·广东佛山·三模）设椭圆
的左、右焦点分别为
．已知
在
椭圆
上，且
的面积为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)如图，过点
的直线与椭圆
交于另一点
与
轴交于点
，若
，求
的
面积．
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知
为椭圆
上一点，
的离心率为
．
(1)求
的方程；
(2)已知
，若过点
的直线交
于另一点
，且
．
（ⅰ）若
在第一象限，求直线
的斜率；
（ⅱ）求的方程．
4．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆
：
（
）的短轴长为
，过左焦点
作
两条互相垂直的直线，
，分别交椭圆
于
，
和
，
四点．设
，
的中点分别为
，
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线
是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．
重难点题型8 定点与定值问题
1．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，依次连接
的四个顶
点构成的四边形的面积为
．
(1)求
的方程；
(2)已知
为
的左顶点，不过点
的直线与
交于
两点，直线
的斜率分别为
，
，
，
若
，证明：过定点．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆
，圆
.若动圆
与圆
外切，且
与圆
内切，设动圆圆心
的轨迹为
.不过原点O 的动直线与曲线
交于
两点，平面上一点
满足
，连接
交
于点
（点
在线段
上且不与端点重合），若
.
(1)求轨迹
的方程；
(2)试问：直线OA，OB 的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
(3)试问：四边形
的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
3．（2025·安徽六安·模拟预测）已知椭圆
，四点
，
，
，
中恰有三点在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点
且斜率不为0 的直线与椭圆C 相交于
两点.
（i）若
为原点，求
面积的最大值；
（ii）点
，设点
是线段
上异于
的一点，直线
的斜率分别为
，且
，
求
的值.
4．（2025·天津·二模）椭圆
（
），过原点的直线与椭圆交于
两点，点
为椭
圆的上顶点，若
的最大值为8，
面积的最大值为12．
(1)求椭圆的方程；
(2)
是椭圆
上异于
（
不在坐标轴上）的任意两点，且直线
相交于点
，直线
相交于点
，直线
斜率均存在．求证：直线
的斜率与直线
的斜率乘积为定
值．
5．（2025·重庆·三模）已知椭圆
的离心率
，其上、下顶点分别为
，
右焦点为
，斜率为
的直线交
于不同的两点
、
.当过点
且
时，
.
(1)求
的方程；
(2)当直线
、
的斜率都存在时，若
，求证:直线过定点；
(3)在（2）的条件下，当
的面积取得最大值时，求
的值.
6．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，若
是
上一动点，
的周长
.
(1)求
的离心率.
(2)如图，若过原点
可向圆
作两条切线，设切点分别为
、
，其中点
在第二象
限，点
在第一象限，直线
、
的斜率分别记为
、
，且
为定值.
（i）求
的方程；
（ii）建立
与
之间的恒等关系.
重难点题型9 椭圆中的探索性问题
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）动点
与定点
的距离和
到定直线
的距离
之比是常数
，记动点
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)设点
，过点
直线与
交于，
两点，若弦
中点的纵坐标为
，求直线
的斜率；
(3)设
是曲线
上的一动点，由原点
向圆
引两条切线，分别交曲线
于点
，
，若直线
，
的斜率均存在，并分别记为
，
，试问
是否为定值？若是，求出该值；
若不是，请说明理由．
2．（2025·湖北武汉·三模）已知圆
，圆
，动圆
与圆
外切并与圆
内切，圆心
的轨迹为曲线
；将曲线
上每一点的纵坐标伸长为原来的
倍（横坐标不变），得到
曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)若
为曲线
上一动点且在第一象限内，直线
分别交曲线
与
两点，连
接
交
轴与
点．
（ⅰ）若
，求直线
的方程；
（ⅱ）曲线
上是否存在定点使得
三点的横坐标按一定顺序成等比数列？若存在，请求出满足
条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·天津北辰·三模）已知椭圆
的中心为点
，短轴长为
，且左焦点
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若点
是椭圆的左､右顶点，且过点
作直线交椭圆于
（异于
）两点，过
做垂直于
长轴的直线与直线
交于点
，与直线
交于点
，设
的面积为
的面积为
，求
是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由.
4．（2025·湖北·模拟预测）已知点
，
分别是椭圆
的左、右焦点，
，
椭圆
的离心率为
.
(1)求椭圆
的标准方程.
(2)若
是椭圆上的一个动点，点
经过第
次变动（各次变动之间相互独立）后落在
的位置（
异于椭圆
的左、右顶点，且
时，允许
），点
是
的内心（即内切圆的圆
心），满足
，其中
，
为坐标原点.
①证明：
；
②若
，且对任意
都有
的面积为
，求对任意
都有
的概
率.
