文档内容
重难点突破 05 求曲线的轨迹方程
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：直接法....................................................................................................................................3
题型二：定义法....................................................................................................................................4
题型三：相关点法................................................................................................................................5
题型四：交轨法....................................................................................................................................6
题型五：参数法....................................................................................................................................8
题型六：点差法....................................................................................................................................9
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹..............................................................................................10
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹......................................................................................................11
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹......................................................................................................12
题型十：利用韦达定理求轨迹方程..................................................................................................13
题型十一：四心的轨迹方程..............................................................................................................14
03 过关测试.........................................................................................................................................16一．直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含 的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为 的
方程式化简
（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检
验）．简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
二．定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点 和满足焦点标志的定点连起来判断．
熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为 的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等
等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨
迹方程．
三．相关点法求动点的轨迹方程
如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知
曲线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后把 的坐标代入已知曲线方程，
即可得到动点 的轨迹方程．
四．交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出
交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通
常选变角、变斜率等为参数．
五．参数方程法求动点的轨迹方程
动点 的运动主要是由于某个参数 的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点
的坐标，即 ，再消参.
六．点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得 ， ， ， 等关系式，由
于弦 的中点 的坐标满足 ， 且直线 的斜率为 ，由此可求得弦中点的轨迹方程．
题型一：直接法
【典例1-1】（2024·高三·河北张家口·开学考试）已知 两点坐标分别 .直线 相交于
点 ，且它们的斜率之和是3，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】已知等腰三角形 的一腰的两个端点分别是 ，则另一腰的一个
端点 的轨迹方程是（ ）
A．
B． （除去 两点）
C． （除去 两点）
D． （除去 两点）
【变式1-1】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）点 到直线 的距离比到点 的距离大2，则点
的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】在平面直角坐标系中，若定点 与动点 满足向量 在向量 上的投影为 ，
则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2024·浙江温州·一模）动点 到定点 的距离与 到定直线 ： 的距离
的比等于 ，则动点 的轨迹方程是（ ）A． B．
C． D．
题型二：定义法
【典例2-1】已知圆 ： 和圆 ： ，动圆M同时与圆 及圆 外切，则动圆
的圆心M的轨迹方程为 .
【典例2-2】已知定点 和定圆 ，动圆 和圆 外切，且经过点 ，求圆心 的轨
迹方程
【变式2-1】已知圆 ，圆 ，动圆M与圆 外切，同时与圆 内切，
则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】 已知 ， 是圆 上一动点，线段 的垂直平分线交 于点
，则动点 的轨迹方程为 .
【变式2-3】已知定点 ，圆 ，过R点的直线 交圆于M，N两点过R点作
直线 交SM于Q点，求Q点的轨迹方程；
【变式2-4】设O为坐标原点， ，点A是直线 上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线
l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为 ．
【变式2-5】（2024·山东青岛·一模）已知 ， ，设点P是圆 上的点，若动点Q满足：
， ，则Q的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-6】（2024·江苏南通·模拟预测）已知圆 的方程为 ，直线 为圆 的切线，记两点到直线 的距离分别为 ，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹方程
为（ ）
A． B． C． D．
题型三：相关点法
【典例3-1】设过点 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y
轴对称，O为坐标原点．若 ，且 ，则点P的轨迹方程是 ．
【典例3-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知面积为 的正方形 的顶点 、 分别在 轴和 轴上
滑动， 为坐标原点， ，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆E上一动点，G点是三角形
的重心，则点G的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】已知点 是椭圆 上的动点， 于点 ，若 ，则点 的轨迹方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2024·高三·重庆·期中）长为2的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑动，则点
关于点 的对称点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．题型四：交轨法
【典例4-1】已知A，B分别为椭圆 的左､右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN
与x轴垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为 .
【典例4-2】已知椭圆C： 的离心率为 ，且经过 ，经过定点
斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
【变式4-1】设 是椭圆 与x轴的两个交点， 是椭圆上垂直于 的弦的端点，则直线
与 交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点 ， ， 和动点 满足 是 ，
的等差中项．
(1)求 点的轨迹方程；
(2)设 点的轨迹为曲线 按向量 平移后得到曲线 ，曲线 上不同的两点M，N的连线交
轴于点 ，如果 （ 为坐标原点）为锐角，求实数 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如果 时，曲线 在点 和 处的切线的交点为 ，求证： 在一条定直线上．【变式4-3】已知椭圆 经过点 ，且离心率为 .直线 与 交于
两点，连结 .
(1)求 面积的最大值；
(2)设直线 分别与 轴交于点 ，线段 的中点为 ，求直线 与直线 的交点 的轨迹方
程.
【变式4-4】抛物线 的对称轴为 轴，定点为坐标系原点，焦点 为直线 与坐标轴的交点．
(1)求 的方程；
(2)已知 ，过点 的直线交 与 两点，又点 在线段 上（异于端点），且
，求点 的轨迹方程．
【变式4-5】已知矩形 中， 分别是矩形四条边的中点，以矩形中心
为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线 上的动
点 满足 .求直线 与直线 交点 的轨迹方程.
【变式4-6】（2024·高三·湖北·期末）已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，且双曲线 的上焦点到一条渐近线的距离等于2.
(1)已知 为 上任意一点，求 的最小值；
(2)已知动直线 与曲线 有且仅有一个交点 ，过点 且与 垂直的直线 与两坐标轴
分别交于 .设点 .
（i）求点 的轨迹方程；
（ii）若对于一般情形，曲线 方程为 ，动直线 方程为 ，请直接写出点
的轨迹方程.
【变式4-7】（2024·吉林·模拟预测）已知双曲线 的左､右顶点分别为
，动直线 过点 ，当直线 与双曲线 有且仅有一个公共点时，点B到直线 的距
离为
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)当直线 与双曲线 交于异于 的两点 时，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .
（i）是否存在实数 ，使得 成立，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
（ii）求直线 和 交点 的轨迹方程.
题型五：参数法
【典例5-1】方程 (t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是 (结果化为普通
方程)
【典例5-2】已知 是坐标原点，点 满足 ，且 ，则点 的轨
迹方程为（ ）
A． B． C． D．【变式5-1】已知 ， ，当 时，线段 的中点轨迹方程为 ．
【变式5-2】已知O为坐标原点， ，A是 上的动点，连接OA，线段OA
交 于点B，过A作x轴的垂线交x轴于点C，过B作AC的垂线交AC于点D，则点D的轨迹方程为
．
【变式5-3】已知在 中，AB＝8，以AB的中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设 ， ，若 ，则点P的
轨迹方程为 ．
题型六：点差法
【典例6-1】已知椭圆 ，一组平行直线的斜率是 ，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得
的线段的中点轨迹方程是 ．
【典例6-2】已知椭圆 ．
(1)过椭圆的左焦点 引椭圆的割线，求截得的弦的中点 的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点 的轨迹方程；
(3)求过点 且被 平分的弦所在直线的方程．
【变式6-1】我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中
， ， .如图，点 、 、 分别是相应椭圆的焦点， 、 和 、 分别是“果
圆”与x轴、y轴的交点.(1)若 是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
(2)当 时，求 的取值范围；
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，求斜率为0的平行弦中点的轨迹方程.
【变式6-2】已知：椭圆 ，求：
（1）以 为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
【典例7-1】已知点 是正四面体 内的动点， 是棱 的中点，且点 到棱 和棱 的距离相
等，则点 的轨迹被平面 所截得的图形为（ ）
A．线段 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【典例7-2】（2024·广东梅州·一模）如图，正四棱柱 中， ，点 是面
上的动点，若点 到点 的距离是点 到直线 的距离的2倍，则动点 的轨迹是（ ）的一部
分
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【变式7-1】已知直线 平面 ，直线 平面 ，且 ．若P是平面 上一动点，且点P到直线
m、n的距离相等，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【变式7-2】在长方体 中，点 在矩形 内（包含边线）运动，在运动过程中，始终保持到顶点 的距离与到对角线 所在直线距离相等，则点 的轨迹是（ ）
A．线段 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
【变式7-3】已知线段AB与平面 所成的角为 ，点B为斜足，在平面 上的动点P满足 ，
则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一部分
【变式7-4】已知正方体 的棱长为 ，点 是平面 内的动点，若点P到直线 的
距离与到直线 的距离相等，则点 的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
【典例8-1】已知 为虚数单位，且 ，复数 满足 ，则复数 对应点的轨迹方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【典例8-2】（2024·全国·模拟预测）已知 为虚数单位，且 ，复数 满足 ，则复数 对
应点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】设非零复数 是复平面上一定点， 为复平面上的动点，其轨迹方程 ， 为复平
面上另一个动点满足 ，则 在复平面上的轨迹形状是（ ）
A．双曲线 B．圆 C．一条直线 D．抛物线
【变式8-2】（2024·陕西咸阳·三模）设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则点 的
轨迹方程为（ ）A． B．
C． D．
【变式8-3】设复数 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点 的轨迹方
程为 .
【变式8-4】设复数z满足 ，则复数z所对应的点Z在复平面上的轨迹方程为 ．
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
【典例9-1】已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足
， ，则 的轨迹一定通过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【典例9-2】O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足 ，
，则P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
【变式9-1】在 中，设 ，那么动点 的轨迹必通过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【变式9-2】（2024·江苏·高三统考期末） 中， 为 边上的高且 ，动点 满足
，则点 的轨迹一定过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【变式9-3】已知 ， ，且满足 ，则点 的轨迹方程为 ．
【变式9-4】（2024·湖北咸宁·模拟预测）已知 是平面向量， ，若非零向量 满足
，向量 满足 ，则 的轨迹方程为 ； 的最小值为 .
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
【典例10-1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为
和 ，M是椭圆C上一点，且 面积的最大值为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；(2)记O为坐标原点，当点M与椭圆C的顶点不重合时，过点M分别作直线OM，MF，其中直线MF不过
坐标原点，且不与坐标轴平行，直线OM，MF与椭圆C交于异于点M的E，F两点，直线 与直线
相交于点D，直线OD与直线MF相交于点N，求点N的轨迹方程．
【典例10-2】过点 的直线与抛物线 相交于两点P，Q，求以OP，OQ为邻边的平行四边形
的第四个顶点M的轨迹方程.
【变式10-1】已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆 上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A
在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为 ，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
【变式10-2】（2024·江苏南通·二模）已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点，
则线段 中点 的轨迹方程为 .
【变式10-3】已知抛物线 ，焦点为F
(1)若点P为C上一点，且 ，求点P的横坐标.
(2)若斜率为2的直线 与抛物线交于不同的两点A，B，线段 中点为M，求点M的轨迹方程．
【变式10-4】已知 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上且位于 轴的两侧， （其中
为坐标原点）.直线 在绕着定点转动的过程中，求弦 中点 的轨迹方程.【变式10-5】过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 、 两点，则线段 的中点的轨迹方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，直
线 与抛物线 交于 两点，过点 作抛物线 的切线 ，若 交于点 ，则点
的轨迹方程为 .
题型十一：四心的轨迹方程
【典例11-1】设点M、N分别是不等边 的重心与外心，已知 、 ，且 ．则动
点C的轨迹E ；
【典例11-2】点M为椭圆 上一点， 为椭圆的两个焦点，则 的内心轨迹方程为
.
【变式11-1】已知椭圆C： （ ， ）过点 ，且离心率为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l： 与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上．
【变式11-2】在平面直角坐标系 中，已知双曲线 经过点 ，点 与点 关于原点
对称， 为 上一动点，且 异于 两点.
(1)求 的离心率；
(2)若△ 的重心为 ，点 ，求 的最小值；
(3)若△ 的垂心为 ，求动点 的轨迹方程.【变式11-3】求解下列问题：
(1)如图，动圆 ： ， 与椭圆 ： 相交于A，B，C，D四点，点 ， 分别为
的左、右顶点．求直线 与直线 的交点M的轨迹方程．
(2)已知 ， 分别为椭圆C： 的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，求 的重心G的轨
迹方程．
【变式11-4】已知 的顶点A是定点，边 在定直线 上滑动， ， 边上的高为3，求
的外心 的轨迹方程．
【变式11-5】（2024·河北石家庄·一模）已知坐标原点为 ，双曲线 的焦点到其
渐近线的距离为 ，离心率为 .
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设过双曲线上动点 的直线 分别交双曲线的两条渐近线于 ， 两点，求
的外心 的轨迹方程.1．已知两定点 ，动点 满足 ，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．在圆 上任意取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足．当点 在圆 上运动
时，线段 的中点 的轨迹方程是（当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合）（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ，若动点 满足直线 与直线 的斜率之积为 ，则动点 的轨迹方程为
（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆 ，直线l过点 .线段AB的端点B在圆 上运动，则线段AB的中点M的轨迹
方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点P是圆 上的动点，作 轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．6．当点 在椭圆 上运动时，连接点 与定点 ，则 的中点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在圆 上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线
段PD的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知两圆 ，动圆 与圆 外切，且和圆 内切，则动圆 的圆心
的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·江西景德镇·三模）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的
设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中国选
手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助滑道
可以看成一个线段 和一段圆弧 组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧 所在圆的方程为
，若某运动员在起跳点 以倾斜角为 且与圆 相切的直线方向起跳，起跳后的
飞行轨迹是一个对称轴在 轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）A． B．
C． D．
10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆 方程为 ，过平面内的点 作椭圆 的两条互相垂
直的切线，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线 与直线 有唯一的公共点 ，
过点 且与 垂直的直线分别交 轴、 轴于 两点．当点 运动时，点 的轨迹方程
是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知圆 ，圆 ，已知 为两圆外的
动点，过点 分别作两圆的割线 和 ，总有 ，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
13．设过点 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，
O为坐标原点，若 且 ，则点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．14．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点 是正方体 面A B C D 内的动点，且点 到棱
1 1 1 1
和面 的距离相等，则点 的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
15．（2024·北京延庆·一模）已知在正方体 中， ， 是正方形 内的动点，
，则满足条件的点 构成的图形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
16．已知圆柱的轴截面 是边长为2的正方形， 为正方形 对角线的交点，动点 在圆柱下底
面内（包括圆周）．若直线 与直线 所成的角为 ，则点 形成的轨迹为（ ）
A．椭圆的一部分 B．抛物线的一部分 C．双曲线的一部分 D．圆的一部分
17．在四棱柱 中，已知侧棱 底面 ， 为底面 上的动点．当 的
面积为定值 时，点 在底面 上的运动轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
18．已知圆C ：（x＋3）2＋y2＝1和圆C ：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C 及圆C 相外切，则动圆
1 2 1 2
圆心M的轨迹方程为 .
19．已知定点 和曲线 上的动点 ，则线段 的中点 的轨迹方程为 ．
20．设 为椭圆 的左焦点，M是椭圆上任意一点，P是线段 的中点，则动点P的轨迹的
方程为 ．
21．设O为坐标原点， ，点A是直线 上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A
作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为 ．
22．（2024·广东·一模）如图，在矩形 中， 分别是矩形四条边的中点，点
在直线 上，点 在直线 上， ，直线 与直线 相交于点 ，则点
的轨迹方程为 .23．已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹
方程是 ．
