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专题五 解析几何
微专题4 圆锥曲线中的证明、探索问题
一、考点透析
考点1 证明问题
1．（24-25 高三下·上海·月考）设
为坐标原点，点
，
、
为椭圆
上的点，直线
经过
的重心.
(1)求椭圆
的离心率；
(2)若点
的坐标为
求点
的坐标；
(3)
的边
、
与椭圆
分别交于
、
两点，点
在四边形
内，求证：
和
的面积相等.
2.(2025·重庆市·模拟)已知F1, F2
分别为双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，
F1关于双曲线C的一条渐近线l: y =−b
a x的对称点E在C上.
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若a=1，双曲线C的左、右顶点分别为A1, A2，过左顶点A1作实轴的垂线交渐近线l于
点T，过T作直线分别交双曲线C的左、右两支于P ,Q两点，直线A2 P , A2Q分别交l于
M , N两点.证明：四边形A1 M A2 N为平行四边形．
3.(2025·云南省怒江傈僳族自治州·模拟)已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点为
F ( √6,0)，渐近线方程为y =±
√2 x．
(1)求C的标准方程．
(2)若P为C上的一点，且P为圆x
2+ y
2= 4外一点，过P作圆x
2+ y
2= 4的两条切线l1，l2(斜
率都存在)，l1与C交于另一点M，l2与C交于另一点N，证明：
(i)l1，l2的斜率之积为定值；
(ii)存在定点A，使得M , N关于点A对称．
考点2 探索问题
1.(2025·河南省·模拟)已知过点P(3,
√2)的双曲线C的渐近线方程为x ±
√3 y =0
如图所示，
过双曲线C的右焦点F作与坐标轴都不垂直的直线l交C的右支于A，B两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点Q( 3
2 ,0)，求证：∠AQF =∠BQF；
(3)若以AB为直径的圆被直线x = 3
2
截得的劣弧为MN，则MN所对圆心角的大小是否为定
值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
2.(2025·广西壮族自治区柳州市·模拟)圆心在x轴上移动的圆经过点A(−4,0)，且与x轴，
y轴分别交于B( x ,0)，C(0, y)两个动点．
(1)求点T ( x , y)的轨迹E的方程；
(2)过点D(3,2)作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与曲线E相交于P1,Q1两点，l2与曲线E相交
于P2,Q2两点，线段P1Q1, P2Q2的中点分别为M，N．
(ⅰ)试问直线MN是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由；
(ⅱ)求▵AMN面积的最小值．
3．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线
的一条渐近线被圆
截得的弦长为
，点
的坐标为
，点P 在圆
上，线段
的垂直平分线交线段
于点Q．
(1)求动点Q 的轨迹曲线C 的方程；
(2)斜率为
的直线m 交双曲线E 于点A，B，若弦
的中点M 恰好在曲线C 上，求点M
的坐标；
(3)记双曲线E 与曲线C 在第一象限的交点为
的平分线为n，在曲线C 上是否存
在不同的点S，T，使得点关于直线n 对称？若存在，求出S，T 所在直线方程，若不存在，
请说明理由．
二、跟踪练习
1．（2025·广东·模拟预测）已知椭圆
，
为坐标原点，点
分别在直线
与
上，
是
上一点，
四点构成平行四边形
．
(1)证明
是定值，并求该值；
(2)求平行四边形
面积的最大值；
(3)一族直线
与
交于点
，证明每条弦
被定直线平分，并求
该直线的方程．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）椭圆
与圆
和圆
都外切．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设A，B 分别为椭圆E 的左右顶点，F 为椭圆的右焦点，K 为椭圆E 上动点（异于A，
B），直线
与椭圆E 交于另一点H．若直线
与
交于点P，求证：点P 在定直线l
上；
(3)在（2）的条件下，设直线
与直线l 交于Q 点，椭圆E 在点K 处的切线
与l 交于R，
①求证：
．
②求
面积取最小值时K 点的横坐标．
3．（24-25 高三下·辽宁·月考）圆幂定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，其中相交弦
定理是其中重要的内容：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.其逆定理
可作为证明四边形是四点共圆的依据.该定理不仅可以在圆中得到应用，在其他圆锥曲线中
也大有妙用.
(1)已知椭圆
，
是椭圆C 上任意两点，若直线
与坐标轴不垂直，点
H 为线段
中点，直线
(O 为坐标原点)与C 交于
两点，已知
四点共圆，
求直线
的斜率；
(2)已知抛物线B:
，过
的直线与抛物线B 交于
两点，设抛物线B 在这两点
处的切线分别为
，已知
分别与x 轴交于点
，
相交于点A，若
四点
共圆，求点A 的坐标；
(3)已知点
是x 轴上一动点，过T 的动直线l 交双曲线
右支于
，
过T 作l 的垂线分别交曲线于
(
分别在第一、二象限)，直线
(O 为坐标原
点)交双曲线于点S，求证：
四点共圆.
4.(2025·宁夏回族自治区银川市·模拟)抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称
为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物
线C：
的焦点为F，直线l：y =2过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切
线l1，l2，且l1，l2分别交x轴于点A，B，交l于点M，N．
(1)若
为阿基米德三角形，求∠MPN；
(2)证明：切线三角形PAB的外接圆过定点．
