第 13 讲 极坐标系与参数方程
1. 直线方程的参数式
参数式: {
x = x0+t cosθ ,
y = y0+t sinθ.(t)
为参数, θ 为直线的倾斜角)
2. 圆锥曲线的参数方程
椭圆: {
x =acosθ ,
y =bsinθ;) ( θ 为参数)
双曲线 {
x =a sec θ ,
y =b tanθ.(θ) 为参数)
3. 极坐标和直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点, x 轴的正半轴作为极轴,取相同的长度单位.
若 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是 (x , y) ,极坐标是 (ρ,θ) ,则它们之间
的关系如下:
{
x = ρcosθ ,
y = ρsinθ ,
ρ
2= x
2+ y
2,
tanθ = y
x .)
4. 圆锥曲线的统一极坐标方程
以圆锥曲线的焦点 (椭圆的左焦点, 双曲线的右焦点, 抛物线的焦点) 为极
点, 过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴,则圆锥曲线的统一极坐标方
程为 ρ=
ep
1−ecosθ ,θ∈[0,2π ) ,其中 e 为离心率, p 是焦点到相应准线的距
离.
5. 相交曲线系
已知曲线 C1:f (x , y)=0 ,曲线 C2: g(x , y)=0 ,那么过曲线 C1 与 C2 的公
共点的曲线方程为 f (x , y)+ λg(x , y)=0 和 g(x , y)=0 .
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【例 1 】已知正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内,该正方形的边长为 1,
且 |PA)
2+|PB)
2=|PC)
2 ，则 |PD) 的最大值为( )
A. 2+ ❑√2 B. 2❑√2
C. 1+ ❑√2 D. 前三个答案都不对
【分析】要求 |PD) 的最大值,关键要得到点 P 的轨迹,从几何角度判断轨
迹有一定的难度,不如建系用代数的方法通过轨迹方程获得点 P 的轨迹.
如图所示建立直角坐标系,则 A (0,0),B (1,0),C (1,1), D (0,1), P(x , y) .
因为 |PA)
2+|PB)
2=|PC)
2 ,
所以 x
2+ y
2+(x −1)
2+ y
2=(x −1)
2+( y −1)
2 ,
即 x
2+( y +1)
2=2 ,
即点 P 的轨迹是以 M (0,−1) 为圆心, ❑√2 为半径的圆,
因此 |PD) 的最大值为 2+ ❑√2 .
【解答】A
【例 2】在极坐标系中,曲线 C : ρ
2−6 ρcosθ−8 ρsinθ+16=0 上的点与曲线
D: ρ
2−2 ρcosθ−4 ρsinθ+ 4 =0 上的点的距离最大值是多少？
【分析】要求解曲线 C 和曲线 D 上动点之间的距离最值问题,首先将两
个曲线的极坐标方程转化为普通方程, 进而判断曲线为圆, 故只要将圆心距加两
个半径即可得到最大值.
【解答】将极坐标方程转化为普通方程.
令 {
ρcosθ = x ,
ρsinθ = y ,
ρ
2= x
2+ y
2,)
所以曲线 C :(x−3)
2+( y −4)
2=9 ,曲线 D:(x−1)
2+( y −2)
2=1 ,
则两个动点的距离最大值为圆心距加两个半径,即 4 +2❑√2 .
【例 3】已知椭圆 x
2
6 + y
2
2 =1 ，过点 F (2,0) 的直线交椭圆于 A ， B 两
点，点 C 在直线 x =3 上,若 △ABC 为正三角形,求 △ABC 的面积.
【分析】因为 △ABC 为正三角形,所以 AB 与高之比为 2:❑√3 ,利用这一
条件就可求出 AB 的斜率,进而可得 △ABC 的面积. 由于点 F (2,0) 恰为焦点,
所以亦可以利用焦半径公式求解 AB 的长度.
【解答】解法一: 设直线 l: x =my +2, A(x1, y1),B(x2, y2), AB 的中点为 E ,
联立 {
x =my +2,
x
2+3 y
2=6,)
整理可得 (m
2+3) y
2+ 4 my −2=0 ,
则 |AB)=
❑√1+m
2|y1−y2)= 2❑√6(m
2+1)
m
2+3
,
|EC)= ❑√
1+ 1
m
2 ⋅|3−xE)= ❑√
1+ 1
m
2 ×|3−
6
m
2+3)= 3(m
2+1)❑√m
2+1
(m
2+3)|m)
,
而 |AB)
|EC) = 2
❑√3
,解得 m
2=1 ,所以 S△ABC =
❑√3
4 |AB)
2=
❑√3
4 ×6= 3 ❑√3
2
,
则 △ABC 的面积为 3 ❑√3
2 .
解法二: 如图,设直线 AB 的倾斜角为 θ , AB 的中点为 E ,分别过点
A ,B , E 作直线 x =3 的垂线,垂足分别为 A1,B1, E1 ,不妨设 θ 为锐角,
由
焦
半
径
公
式
可
得
|AB)=|AF)+|BF)=
1
3
❑√6
1+ 1
3
❑√6cosθ
+
1
3
❑√6
1−1
3
❑√6cosθ
=
2❑√6
3−2cos
2θ
,
由几何条件可得
|CE)=|E E1)
sinθ =|A A1)+|B B1)
2sinθ
=
1
e|AB)
2sinθ =
3
(3−2cos
2θ)sinθ
,
所以 |AB)
|CE) = 2❑√6sinθ
3
= 2
❑√3
,可得 sinθ =
❑√2
2
,
所以 S△ABC =
❑√3
4 |AB)
2=
❑√3
4 ×6= 3 ❑√3
2 ,
所以 △ABC 的面积为 3 ❑√3
2 .
【例 4】已知一条直线与双曲线交于 A ,B 两点,与此双曲线的渐近线交于
C , D 两点, 证明: 线段 AC 与 BD 的长度相等.
【分析】以双曲线的中心为原点,以实轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐
标系,则双曲线与对应的渐近线方程可以表示为 x
2
a
2 −y
2
b
2 = λ(a>0,b>0) ,其中当
λ =1 时为双曲线,当 λ =0 时为渐近线. 要证明线段 AC 与 BD 的长度相等,由
于双曲线的对称性,只需要 AB 的中点与 CD 的中点重合即可.
【解答】解法一: 设 AB: y =kx +m ，与 x
2
a
2 −y
2
b
2 = λ(a>0,b>0) 联立可得，
(
1
a
2 −k
2
b
2)x
2−2kmx
b
2
−m
2
b
2 = λ ,
所以 x1+ x2
2
=
km
b
2
1
a
2 −k
2
b
2
,与 λ 无关,
可得 AB 的中点与 CD 的中点重合.
故线段 AC 与 BD 的长度相等,
当直线斜率 k 存在且不为零时,显然成立.
解法二: 设 A(x1, y1),B(x2, y2),C (x3, y3), D(x4, y4) ,
则有 {
x1
2
a
2 −y1
2
b
2 =1,
x2
2
a
2 −y2
2
b
2 =1,)
两式相减得, (x1−x2)(x1+ x2)
a
2
−( y1−y2)( y1+ y2)
b
2
=0 ,
同理有, (x3−x4)(x3+ x4)
a
2
−( y3−y4)( y3+ y4)
b
2
=0 .
因为 A ,B ,C , D 四点共线,当此直线斜率不存在或斜率为 0 时,由双曲线的
对称性得 AC = BD ,
当此直线斜率 k 存在且不为零时, 由 y2−y1
x2−x1
= y3−y4
x3−x4
=k 得
y1+ y2
x1+ x2
= y3+ y4
x3+ x4
= b
2
a
2k
,
即 AB 的中点与 CD 的中点在过原点的同一条直线上,所以它们重合,从而
有 AC = BD .
【例 5】已知点 (a,b) 在椭圆 x
2
4 + y
2
3 =1 上,求 2a+3b+ 4 的最大值与最
小值的和.
【分析】因为点 (a,b) 在椭圆上,可以用参数方程将 2a+3b+ 4 转化为角
α 的三角函数最值问题，或令 z =2a+3b+ 4 转化为直线的截距问题，不过联
立方程的运算量较大.
【解答】根据题意可设 a=2cosα ,b= ❑√3sin α (其中 α 为参数),
则 2a+3b+ 4 = 4 cosα +3 ❑√3sin α + 4 = ❑√43sin (α +φ)+ 4 ,
所以 2a+3b+ 4 的最大值与最小值的和为 8 .
【例 6】已知椭圆 C :3 x
2+ y
2=27 ，过点 N (1,3) 且斜率为 k 的直线 l
交椭圆 C 于 A ， B 两点. 过点 N 作直线 l 的垂线与椭圆相交于 C ， D
两点. 试判断是否存在这样的 k ，使得 A ， B ,C , D 四点在同一个圆上? 并
说明理由.
【分析】圆锥曲线中的四点共圆,可以利用相交弦定理转化为弦长问题,即
A ,B ,C , D 四点共圆,则有 |NC)⋅|ND)=|AN )⋅|NB) ,然后通过弦长求直线的斜
率.
【解答】解法一: 设 l: y =k (x−1)+3, A(x1, y1),B(x2, y2) .
将
直
线
l
的
方
程
代
入
3 x
2+ y
2=27
并
整
理
得
(k
2+3) x
2−2k (k −3) x +(k −3)
2−27 =0 ,
所以 {
x1+ x2= 2k (k −3)
k
2+3
,
x1 x2= (k −3)
2−27
k
2+3
,)
所以 |AN )⋅|NB)=
❑√1+k
2|x1−1)⋅
❑√1+k
2|1−x2)=(1+k
2)(x1−1)(1−x2)
=(1+k
2)|x1+ x2−x1 x2−1)= 15(1+k
2)
k
2+3
,
同理将 k 用 −1
k
代替可得 |NC)⋅|ND)= 15(k
2+1)
1+3k
2
,
由 |NC)⋅|ND)=|AN )⋅|NB) 得 k
2+3=1+3k
2 ,所以 k =±1 .
解法二: (利用直线的参数方程)
设直线 l:{
x =1+t cosθ ,
y =3+t sinθ ,)
代入椭圆方程 3 x
2+ y
2=27 可得 3(1+t cosθ)
2+(3+t sinθ)
2=27 ,
即 (3cos
2θ+sin
2θ)t
2+(6cosθ+6sinθ)t −15=0 ,
所以 |AN )⋅|NB)=|t1t2)=
15
3cos
2θ+sin
2θ
=
15
2cos
2θ+1 ,
同理可得 |NC)⋅|ND)=
15
2sin
2θ+1 .
因为 |NC)⋅|ND)=|AN )⋅|NB) ,所以 tanθ =±1 ,即 k =±1 .
解法三:
由题意可得
A ,B ,C , D 四点必在曲线
(3 x
2+ y
2−27)+m( y −kx + k −3) . ( y + 1
k x−1
k −3)=0 上,
展开可得 (3−m) x
2+(1+m) y
2+m(
1
k −k)xy +m(k −3)( y + 1
k x)−m( y −kx) .
(
1
k +3)−27+m(k −3)(
1
k +3)=0,
因为上式是圆方程,所以 {
3−m=1+m,
m(
1
k −k)=0,)
解得 {
m=1,
k =±1,)
所
以
圆
方
程
为
(3 x
2+ y
2−27)+( y −x −2)( y + x −4)=2 x
2+2 y
2+2 x −6 y −19=0 .
评注: 若二次曲线 A x
2+ B y
2+ Dx + Ey + F =0( A ≠B) 上四点共圆,则其中两
点连线斜率和另两点连线斜率之和为常数 “ 0 ” ，这个也可以替代
|NC)⋅|ND)=|AN )⋅|NB) 这一条件.
