考向45坐标系与参数方程（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（老高考）（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考向 45 坐标系与参数方程 （老高考） 【2022年全国甲卷】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（ 是参数），曲线 的参 数方程为 ，（ 是参数）． （1）写出 的普通方程； （2）以坐标原点为极点， 轴正半轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标． 【答案】（1） ； （2） 与 交点为 和 ； 与 交点为 和 ． 【解析】（1）由 ： 消去参数 得 ． (2) 由 ： ，两边乘以 得， ，得 的直角坐标方程为 ． 联立 ，解得 或由 ： 消去参数 得 ． 联立 ，解得 或 综上所述， 与 交点为 和 ； 与 交点为 和 ． 【2022年全国乙卷】在直角坐标系 中，曲线 的方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 . (1) 写出 的直角坐标方程； (2) 若 与 有公共点，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由 可得， ， 即 ， ， 故 的方程为： . （2）由 ，得 ， 联立 ， ， 即 ， ，即 ，故 的范围是 . 一、极坐标的转化问题 互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的 单位长度． 互化公式为， 直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方 程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可 达到目的，但要注意变形的等价性． 二、参数方程的消参问题 1.消参的常用方法 (1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x(或y，或x，y)表示参数的式子， 把其代入参数方程中达到消参的目的． (2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常 用到一些桓等式，如sin2θ＋cos2θ＝1，sec2θ＝tan2θ＋1，2－2＝4等． 1．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ，θ)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρρcos(θ－θ)＋ρ－r2＝0. 0 0 0 0 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； (2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ； (3)当圆心位于 ，半径为a：ρ＝2asinθ. 2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ，θ)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρsin (θ－α)． 0 0 0 0 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ和θ＝π－θ； 0 0 (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；(3)直线过 且平行于极轴：ρsin θ＝b. 3．直线、圆、椭圆的参数方程： xx tcos, 0 （1）经过一定点 ，倾斜角为 的直线 的参数方程为： ( 为参数)； P 0 (x 0 ,y 0 ) α l y y 0 tsin t x  x at, 0 （2）直线参数方程的一般形式为 （ 为参数）； y  y 0 bt t x x rcos, 0 （3）圆的参数方程为 ( 为参数)； y  y rsin  θ 0 x2 y2 xacos,  1(a b 0)  （5）椭圆a2 b2 的参数方程为y bsin (θ，ρ为参数)． 1.混淆圆和直线的参数方程； 2.忽视直线参数方程是否具有几何意义； 3.因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误； 4.用极坐标求交点时，忽视极径为零的情况； 5.混淆参数方程中的角与极坐标中的角的不同几何意义； 6.参数方程与极坐标方程互化时，忽视参数的范围. 1.已知直线参数方程为 ，圆 的参数方程为 ，则圆心到直线的距离为_______ 【答案】 【解析】将参数方程转化为一般方程： 所以圆心为 ，到直线的距离为： 2.以直角坐标系的原点为极点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点 的极坐标为 ，曲线 的参数方程为 ，则曲线 上的点到点 距离的最大 值为___________ 【答案】 【解析】 ，故曲线上距离 最远的距离为 到圆心的距离加上半径， 故 3.已知在平面直角坐标系 中圆 的参数方程为： ，以 为极轴建立极坐标系，直 线极坐标方程为 ，则圆 截直线所得弦长为__________ 【答案】 【解析】圆 的方程为： ，对于直线方程 ，无法直接替换为 ， 需 构 造 再 进 行 转 换 ： 再求出弦长即可： 4.已知两曲线参数方程分别为 和 ，它们的交点坐标为_____________ 【答案】 【解析】曲线方程为 ，联立方程可解得： 或 （舍） 由 可得： 所以 ，坐标为 5.在极坐标系中，直线 与曲线 相交于 两点，且 ，则实数 的值为_____________ 【答案】 或 【 解 析 】 先 将 直 线 与 曲 线 转 化 为 直 角 坐 标 方 程 ： ， 曲 线 ， 所 以 问 题 转 化 为 直 线 与圆 相交于 ，且 ，利用圆与直线关系可求得圆心 到直线距离 即 ，解得 或 6.以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的 极坐标方程为 ，它与曲线 （ 为参数）相交于两点 ，则 _________ 【答案】 【解析】先将两个方程转化为直角坐标系下的普通方程。对于 ，这种特殊的极坐标方程可以考虑数 形结合来确定直线：即 ，曲线消参后可得： 即圆心是 ，半径为 的圆，所以 ， 7.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 的极坐标方程是 ，则两曲线交点间的距离是______________ 【答案】 【解析】的方程为 联立方程可得： 代入消去 可得： 设交点 则 8.已知曲线的极坐标方程分别为 ，其中 ，则曲线 交 点的极坐标为_______ 【答案】 【解析】解法1： 或 将两个点转化为极坐标分别为 ，因为 ，所以只有 符合 条件 解法2： 代入消去 可得： 交点坐标为 9.已知在极坐标系中， 为极点，圆 的极坐标方程为 ，点 的极坐标为 ，则 的面积为___________ 【答案】【解析】解法1：将 转变为直角坐标系方程： ，所以 ，再求出 的直角坐标为 ， 则 ，因为 ，所以 ，且 ，所以 解法2：本题求出 后，发现其极坐标为 ，而 ，所以可结合图像利用极坐标的几 何含义求解，可得 ， ，所以 10.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（其中 为参数），以原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，设点 ，曲线 交于 ，求 的值. 【答案】 【解析】解法1：设 ， 解法2：（前面转化方程，联立方程同思路一）设 ， 由 得 解法3：设 ，则有 ， ，则有 代入到 中可得： 所以 是方程 的两根，整理可得：1．（2022·四川省眉山第一中学模拟预测（理））如图，曲线 是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方 程为 ．曲线 是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的 直线上，直径为1． (1)求曲线 的极坐标方程，并求曲线 和曲线 交点的极坐标； (2)以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标 系，曲线 的参数方程为 （t为参数）．若曲线 与曲线 相交于除极点外的M，N两点，求 线段MN的长度． 【答案】(1) , ；(2)2. 【解析】(1)曲线 的极坐标方程为 . 与 方程联立代入得 ， ,解得 或 , 故所求交点坐标分别为(2)因为曲线 为过原点倾斜角是 的直线，故其极坐标方程为 和 . 联立两曲线 与 的方程，解得两交点的极坐标分别为 ， 所以 . 2．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O的极坐标系中，经过点 的直线l与极轴所成角为 ， 且与极轴的交点为N． (1)当 时，求l的极坐标方程； (2)当 时，求 面积的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 【解析】(1)点 ，则 ，所以 点的直角坐标为 ， 当 时，直线 的直角坐标方程为 ，转化为极坐标方程为 . (2)在极坐标系下：经过点 的直线l与极轴所成角为 ， 在直角坐标系下：经过点 的直线 的倾斜角为 或 . 即直线 的倾斜角是 或 . 当直线 的倾斜角为 时， 直线 的方程为 ， 令 得 ， ， ，， 所以 . 当直线 的倾斜角为 时， 直线 的方程为 ， 令 得 ， ， 所以 . 综上所述， 面积的取值范围是 . 3．（2022·河南开封·三模（文））在极坐标系Ox中，已知点 ，直线l过点A，与极轴相交于点N， 且 . (1)求直线l的极坐标方程； (2)将OA绕点O按顺时针方向旋转 ，与直线l交于点B，求 的面积. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】(1)设 为直线l上除点A外的任意一点，则 ， .由点A的极坐标为 知 ， . 设直线l与极轴交于点N，由已知 . 在 中，由正弦定理得： ， 即 ，即 . 显然，点A的坐标 也是该方程的解. 所以，直线l的极坐标方程为 . (2)将OA绕点O按顺时针方向旋转 ，与直线l交于点B，则B的极坐标为 ， 代入直线l的极坐标方程得 ，即 ，即 ， 所以 . 4．（2022·全国·二模（理））直线 过点 ，倾斜角为 ． (1)以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．过 作 的垂线，垂足为 ， 求点 的极坐标 ； (2)直线 与曲线 （ 为参数）交于 、 两点，证明： 、 、 成等比数列． 【答案】(1) ；(2)证明见解析 【解析】(1)直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ，即 ， 所以，直线 与 轴交点为 ，与 轴的交点为 ，易知 ，所以， 为等腰直角三角形，且 ， 因为 ，则 为线段 的中点，即点 ， 设点 的极坐标为 ，则 ， ， 又因为点 在第四象限，则 ． (2)将曲线 的参数方程化为普通方程可得 ， 将直线 的参数方程 （ 为参数），代入曲线 的方程 ． 可得 ，则 ， 设 、 对应的参数分别为 、 ，由韦达定理可得 ， ， 所以， ， ， 所以， ，因此， 、 、 成等比数列． 5．（2022·四川省泸县第一中学模拟预测（理））在极坐标系中， 为极点，如图所示，已知 以 为直径作圆 . (1)求圆 的极坐标方程 ； (2)若 为圆 左上半圆弧 的三等分点，求 点的极坐标．【答案】(1) ；(2) . 【解析】(1)设点 为圆上任意一点，则 ， 在 中， . ∴ 圆 的极坐标方程为 . (2)圆 左上半圆弧 的三等分点对应的极角分别 ， 代入圆 的极坐标方程中， ∴ 圆 左上半圆弧 的三等分点分别为 6．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两 个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系 中，曲边三 角形 为勒洛三角形，且 ， ，以极点O为直角坐标原点，极轴 为x轴正半轴建立 平面直角坐标系 ，曲线 的参数方程为 （t为参数）． (1)求 的极坐标方程和 所在圆 的直角坐标方程； (2)已知点M的直角坐标为 ，曲线 和圆 相交于A，B两点，求 ．【答案】(1) ； ；(2)3 【解析】（1）因为 ， ，所以 的极坐标方程： ， 因为点P的直角坐标是 ， 所以 所在圆的直角坐标方程为 ． （注： 的极坐标方程不标明 的取值范围或写错扣1分） （2）设A，B对应的参数分别为 ， 将 代入 得： 所以 因为 ，由t的几何意义得： 7．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知椭圆 ，和一条过定点 且不与 轴重合的直 线 相交于 两点，线段 的中点为点 ， (1)求点 的轨迹方程； (2)射线 交椭圆于点 ， 为直线 上一点，且 为 的等比中项，过点 作圆 的两条切线，切点为 ，求 面积的最小值 . 【答案】(1) .(2) .【解析】（1）由题意，可设直线l： .不妨设 ，则 ， 消去x可得： ，其中 ， ， . 设线段 的中点为点 ，所以 ， . 即 （m为参数）. 消去m得： . 所以点 的轨迹方程为： . （2）以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系． 由点 的轨迹方程为： 化为极坐标方程为 ，即 . 椭圆 化为极坐标方程为 ，即 . 可设射线 的极坐标方程为： . 因为射线 交椭圆于点 ， 为直线 上一点，所以 ， . 因为 为 的等比中项，所以 ，即 ，解得： . 所以F点的轨迹的极坐标方程为 或 ，化为直角坐标方程为 或 . 如图示：连接DM、DN，则 .连接MN交DF于K，则 .设 . 若点F在直线 上时，由对称性可知，当F位于F 时， 最大，此时由 ， ， 1 可得： . 若点F在直线 上时，由对称性可知，当F位于F 时， 最大，此时由 ， ， 2 可得： ，所以 . 在直角三角形DNF中，由 ，可得： . 在直角三角形KNF中， ， . 所以 . 记 ，则 . 因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减. 要求 面积的最小值，只需 最大. 若点F在直线 上时， F位于F 时， 最大.此时 . 1若点F在直线 上时， F位于F 时， 最大，有 .此时 . 2 综上所述： 面积的最小值为 . 8．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））在极坐标系下，设点 为曲线 ： 在极轴 上方的 一点，且 ，以极点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系 ． (1)求曲线 的参数方程； (2)以 为直角顶点， 为一条直角边作等腰直角三角形 在 的右下方 ，求点 轨迹的极坐标方 程． 【答案】(1) ， 其中 为参数 ；(2) ， 【解析】（1）曲线 ： ， ， ， ， 在直角坐标系中，曲线 是以 为圆心， 为半径的圆， 曲线 的参数方程为 ， 其中 为参数 ； （2）设 为 ，则 ，且 ， 设 为 ，则根据题意可得： ， ，又 ，且 ， ， ，， ， 点 轨迹的极坐标方程为 ， ．  1t2 x ，   1t2  4t  y   1t2 1.（2019全国I理22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点 2cos 3sin110 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 【解析】（1）因为 ，且 ，所以C的直角坐标方程为 . 的直角坐标方程为 . （2）由（1）可设C的参数方程为 （ 为参数， ）. C上的点到 的距离为 . 当 时， 取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 . 2．（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，( 为参数)，直线 的参 数方程为 ( 为参数)．(1)若 ，求 与 的交点坐标； (2)若 上的点到 距离的最大值为 ，求 ． 【解析】（1）曲线 的普通方程为 ． 当 时，直线 的普通方程为 ． 由 解得 或 ． 从而 与 的交点坐标为 ， ． （2）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离为 ． 当 时， 的最大值为 ．由题设得 ，所以 ； 当 时， 的最大值为 ．由题设得 ，所以 ． 综上， 或 ． 3．【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系 中，已知直线 的参考方程为 （ 为参 数），曲线 的参数方程为 （ 为参数）．设 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的最 小值． 【解析】直线 的普通方程为 ． 因为点 在曲线 上，设 ， 从而点 到直线 的的距离 ， 当 时， ． 因此当点 的坐标为 时，曲线 上点 到直线 的距离取到最小值 ．4．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线 的极坐标方程为 ． (1) 为曲线 上的动点，点 在线段 上，且满足 ，求点 的轨迹 的直角 坐标方程； (2)设点 的极坐标为 ，点 在曲线 上，求 面积的最大值． 【解析】（1）设 的极坐标为 ， 的极坐标为 ． 由椭圆知 ， ． 由 得 的极坐标方程 ． 因此 的直角坐标方程为 ． （2）设点 的极坐标为 ．由题设知 ， ，于是 面积 ． 当 时， 取得最大值 ． 所以 面积的最大值为 ． 5. 在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为1． （1）写出 的一个参数方程; （2）过点 作 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切 线的极坐标方程． 【解析】（1）由题意， 的普通方程为 ， 所以 的参数方程为 ，（ 为参数） （2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为 ，即 ， 由圆心到直线的距离等于1可得 ， 解得 ，所以切线方程为 或 ， 将 ， 代入化简得或 6．（2014新课标Ⅱ）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C的极坐标方程为 ， ． （Ⅰ）求C的参数方程； （Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程， 确定D的坐标． 【解析】（I）C的普通方程为 ． 可得C的参数方程为 （t为参数， ） （Ⅱ）设D .由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。 因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同， ． 故D的直角坐标为 ，即 ． 7.（2020•全国3卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数且t≠1），C与 坐标轴交于A、B两点． （1）求 ； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程． 【解析】（1）令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 . 令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 . ； （2）由（1）可知 ， 则直线 的方程为 ，即 . 由 可得，直线 的极坐标方程为 . 8．（2016年全国II）在直角坐标系 中，圆C的方程为 ． （I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（II）直线l的参数方程是 （t为参数），l与C交于A、B两点， ，求l的斜率． 【解析】（Ⅰ）整理圆的方程得 ， 由 可知圆 的极坐标方程为 ． (Ⅱ)记直线的斜率为 ，则直线的方程为 ， 由垂径定理及点到直线距离公式知： ， 即 ，整理得 ，则 ． 9．(2018全国卷Ⅱ)在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数 方程为 （ 为参数）． (1)求 和 的直角坐标方程； (2)若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率． 【解析】(1)曲线 的直角坐标方程为 ． 当 时， 的直角坐标方程为 ， 当 时， 的直角坐标方程为 ． (2)将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程 ．① 因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以①有两个解，设为 ， ，则 ． 又由①得 ，故 ，于是直线 的斜率 ． 10．（2015新课标Ⅰ）在直角坐标系 中，直线 ： ，圆 ： ，以坐标 原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求 ， 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ,设 与 的交点为 , ,求 的面积． 【解析】（Ⅰ）因为 ，∴ 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ． （Ⅱ）将 代入 ，得 ， 解得 = ， = ，|MN|= － = ， 因为 的半径为1，则 的面积 = ． 11．（2016年全国I）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数，a＞0）． 在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： ． （I）说明 是哪种曲线，并将 的方程化为极坐标方程； （II）直线 的极坐标方程为 ，其中 满足 ，若曲线 与 的公共点都在 上， 求a． xacost  【解析】(1) y1asint （t均为参数）∴ x2 y12 a2 ① ∴ C 1为以 0，1 为圆心，a为半径的圆．方程为 x2  y2 2y1a2 0 x2  y2 2，ysin 2 2sin1a2 0 C ∵ ∴ 即为 1的极坐标方程 C ：4cos (2) 2  2 4cos 2 x2  y2，cosx 两边同乘 得  x2  y2 4x x22  y2 4 即 ② C y2x C C C 3：化为普通方程为 ，由题意： 1和 2的公共方程所在直线即为 3 4x2y1a2 0 C ①—②得： ，即为 3 ∴1a2 0，∴a1 12．（2015 新课标Ⅱ）在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数， ≠0）其中 ，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： ， ： ． （Ⅰ）求 与 交点的直角坐标； （Ⅱ）若 与 相交于点A， 与 相交于点B，求 的最大值． 【 解 析 】 （ Ⅰ ） 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 ， 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为．联立 解得 或 所以 与 交点的直角坐标为 和 ． （Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，其中 ． 因此 得到极坐标为 ， 的极坐标为 ． 所以 ， 当 时， 取得最大值，最大值为 ． 13.（2020·新课标Ⅰ）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）当 时， 是什么曲线？ （2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标． 【解析】（1）当 时，曲线 的参数方程为 为参数）， 两式平方相加得 ， 所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆； （2）当 时，曲线 的参数方程为 为参数）， 所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数）， 两式相加得曲线 方程为 ， 得 ，平方得 ， 曲线 的极坐标方程为 ， 曲线 直角坐标方程为 ，联立 方程 ， 整理得 ，解得 或 （舍去）， ， 公共点的直角坐标为 . 14.（2019全国III理22）如图，在极坐标系Ox中， ， ， ， ，弧 ， ， 所在圆的圆心分别是 ， ， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 . （1）分别写出 ， ， 的极坐标方程； （2）曲线 由 ， ， 构成，若点 在M上，且 ，求P的极坐标. 【解析】（1）由题设可得，弧 所在圆的极坐标方程分别为 ， ， . 所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 . （2）设 ，由题设及（1）知 若 ，则 ，解得 ； 若 ，则 ，解得 或 ； 若 ，则 ，解得 . 综上，P的极坐标为 或 或 或 .15．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参数 方程为 （ 为参数）．设 与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为曲线 ． (1)写出 的普通方程； (2)以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ： ， 为 与 的交点，求 的极径． 【解析】（1）消去参数 得 的普通方程 ； 消去参数 得 的普通方程 ． 设 ，由题设得 ，消去 得 ． 所以 的普通方程为 （2） 的极坐标方程为 联立 得 ． 故 ，从而 代入 得 ，所以交点 的极径为 ． x45cost  y 55sint t x 16．（2013新课标Ⅰ）已知曲线 的参数方程为 ( 为参数），以坐标原点为极点， 轴的 2sin 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 。 （Ⅰ）把 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求 与 交点的极坐标（ ， ）． x45cost  y 55sint t (x4)2 (y5)2 25 【解析】将 消去参数 ，化为普通方程 ，xcos  C x2  y2 8x10y160 y sin x2  y2 8x10y160 即 1： ，将 代入 得， 2 8cos10sin160 ， C 2 8cos10sin160 ∴ 1的极坐标方程为 ； C x2  y2 2y 0 （Ⅱ） 2的普通方程为 ， x2  y2 8x10y160 x1 x0    x2  y2 2y 0 y 1 y 2 由 解得 或 ，   2, (2, ) C C 4 2 ∴ 1与 2的交点的极坐标分别为( )， ． 17.【2021年甲卷】 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ． （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出Р的轨迹 的参数方 程，并判断C与 是否有公共点． 【解析】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ， 将 代入可得 ，即 ， 即曲线C的直角坐标方程为 ； （2）设 ，设 ， ， 则 ，即 ， 故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数） 曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2， 则圆心距为 ， ， 两圆内含， 故曲线C与 没有公共点.18.（2020·新课标Ⅱ）已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ： （θ为参数），C ： 1 2 1 2 （t为参数）. （1）将C ，C 的参数方程化为普通方程； 1 2 （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C ，C 的交点为P，求圆心在极轴上，且经过 1 2 极点和P的圆的极坐标方程. 【解析】（1）由 得 的普通方程为： ； 由 得： ，两式作差可得 的普通方程为： . （2）由 得： ，即 ； 设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ， 则 ，解得： ， 所求圆的半径 ， 所求圆的直角坐标方程为： ，即 ， 所求圆的极坐标方程为 . 19.（2019全国II理22）在极坐标系中，O为极点，点 在曲线 上，直线 l过点 且与 垂直，垂足为P. （1）当 时，求 及l的极坐标方程； （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 【解析】（1）因为 在C上，当 时， . 由已知得 .设 为l上除P的任意一点.在 中 ， 经检验，点 在曲线 上. 所以，l的极坐标方程为 . （2）设 ，在 中， 即 . 因为P在线段OM上，且 ，故 的取值范围是 . 所以，P点轨迹的极坐标方程为 . 20．(2018全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 ，（ 为参数），过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点． (1)求 的取值范围； (2)求 中点 的轨迹的参数方程． 【解析】(1) 的直角坐标方程为 ． 当 时， 与 交于两点． 当 时，记 ，则 的方程为 ． 与 交于两点当且仅当 ，解得 或 ，即 或 ． 综上， 的取值范围是 ． (2) 的参数方程为 为参数， ． 设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ，则 ， 且 ， 满足 ． 于是 ， ．又点 的坐标 满足所以点 的轨迹的参数方程是 为参数， ．