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学科网（北京）股份有限公
第20 讲 共线向量问题
一．解答题（共18 小题）
1．已知直线
，椭圆
．
（Ⅰ）若不论
取何值，直线与椭圆
恒有公共点，试求出
的取值范围及椭圆离心率
关于
的函数关系式；
（Ⅱ）当
时，直线
与椭圆
相交于
，
两点，与
轴交于点
．若
，求椭圆
的方程．
2．已知直线
与椭圆
相交于
，
两个不同的点，记直
线与
轴的交点为
．
（Ⅰ）若
，且
，求实数
的值；
（Ⅱ）若
，求
的值，及
的面积．
3．已知直线
与椭圆
相交于
、
两个不同的点，记与
轴
的交点为
．
（Ⅰ）若
，且
，求实数
的值；
（Ⅱ）若
，求
面积的最大值，及此时椭圆的方程．
4．在平面直角坐标系中，已知
，若实数
使得
为坐标原点）
（1）求
点的轨迹方程，并讨论
点的轨迹类型；
（2）当
时，若过点
的直线与（1）中
点的轨迹交于不同的两点
，
在
，
之间），试求
与
面积之比的取值范围．
5．如图，动点
到两定点
、
构成
，且
，设动点
的轨迹为
．
（Ⅰ）求轨迹
的方程；
（Ⅱ）设直线
与
轴交于点
，与轨迹
相交于点
、
，且
，求
的取值范围．
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6．如图，动点
与两定点
、
构成
，且直线
、
的斜率之积为
4，设动点
的轨迹为
．
（Ⅰ）求轨迹
的方程；
（Ⅱ）设直线
与
轴交于点
，与轨迹
相交于点
、
，且
，
求
的取值范围．
7．在平面直角坐标系
中，已知
的两个顶点
，
的坐标分别为
，
，
且
，
所在直线的斜率之积等于
，记顶点
的轨迹为曲线
．
（Ⅰ）求曲线
的方程；
（Ⅱ）设直线
与
轴相交于点
，与曲线
相交于不同的两点
，
（点
在点
和点
之间），且
，求实数
的取值范围．
8．已知抛物线
经过点
，过点
的直线与抛物线
有两个不同的交
点
，
，且直线
交
轴于
，直线
交
轴于
．
（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设
为原点，
，
，求证：
为定值．
9．如图，已知抛物线
经过点
，过点
的直线与抛物线
有两个不
同的交点
，
．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设
为原点，直线
交
轴于
，直线
交
轴于
．
，
，
求证：
为定值．
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10．已知点
在抛物线
上，过点
的直线与抛物线
有两个不同的
交点
、
，且直线
交
轴于
，直线
交
轴于
．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设
为原点，
，
，试判断
是否为定值，若是，求
值；若不是，求
的取值范围．
11．已知
，直线
，动圆
与
相外切，且与直线相切．
设动圆圆心
的轨迹为
，过点
的直线与曲线
有两个不同的交点
、
．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设
为原点，点
，直线
交
轴于
，直线
交
轴于
，
，
，求证：
为定值．
12．如图所示，在平面直角坐标系
中，设椭圆
，其中
，
过椭圆
内一点
的两条直线分别与椭圆交于点
，
和
，
，且满足
，
，其中
为正常数．当点
恰为椭圆的右顶点时，对应的
．
（1）求椭圆
的离心率；
（2）求
与
的值；
（3）当
变化时，
是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
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13．已知椭圆
的离心率为
，右焦点为
，过
作
轴的垂线交
双曲线
的两条渐近线于
，
，得到三角形
的面积为1．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设
，
，
的三个点都在椭圆
上，设
的中点为
，且
，试判断
的面积是否为定值，并说明理由．
14．双曲线
，已知
，
是双曲线
上一点，
、
分别是双曲线
的左右顶点，直线
，
的斜率之积为1．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）若双曲线
的焦距为
，直线过点
且与双曲线
交于
、
两点，若
，求直线的方程．
15．已知圆
，过点
的直线交圆
所得的弦长为
，且与
轴的交点
为双曲线
的右焦点
，
，双曲线
的离心率为
．
（1）求双曲线
的方程；
（2）过点
，
作动直线交双曲线右支于
、
两点，点
异于
，
，且在线段
上运动，并满足关系
，试证明点
恒在一条直线上．
16．点
在以
，
为焦点的双曲线
上，已知
，
，
为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）过点
作直线分别与双曲线渐近线相交于
，
两点，且
，
，求双曲线
的方程；
（Ⅲ）若过点
，
为非零常数）的直线与（2）中双曲线
相交于不同于双曲线
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顶点的两点
、
，且
为非零常数），问在
轴上是否存在定点
，使
？若存在，求出所有这种定点
的坐标；若不存在，请说明理由．
17．设直线
，双曲线
，双曲线的离心率为
，
与
交于
，
两点，直线与
轴交于点
，且
．
（1）证明：
；
（2）求双曲线
的方程；
（3）若点
是双曲线
的右焦点，
，
是双曲线上两点，且
，求
实数
的取值范围．
18．
，
是双曲线
上一点，
，
分别是双曲线
的左右顶点，直线
，
的斜率之积为
．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线
的右焦点且斜率为1 的直线交双曲线于
，
两点，
为坐标原点，
为双曲线上一点，满足
，求
的值．
