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第 1 讲 坐标系与参数方程
[考情分析] 本节内容在高考中主要考查极坐标、参数方程与普通方程的相互转化，以及直
线与曲线的位置关系等，中等难度．
考点一 极坐标方程
核心提炼
直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单
位．如图，设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
则或
例1 (2022·西安模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系．曲线C 的方程为x2＋(y－1)2＝1，曲线C 的极坐标方程为ρsin＝2.
1 2
(1)求曲线C 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
1 2
(2)曲线C ：θ＝α分别交曲线C 和曲线C 于点A，B，求的最大值及相应α的值．
3 2 1
解 (1)曲线C 的方程为x2＋y2＝2y，
1
由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
得C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，
1
由曲线C 的极坐标方程为ρsin＝2，
2
得曲线C 的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
2
(2)由曲线 C 的极坐标方程为ρsin＝2，
2
令θ＝α，
则|OA|＝，又因为|OB|＝2sin α，
∴＝sin α(sin α＋cos α)＝sin2 α＋sin αcos α＝(1－cos 2α＋sin 2α)＝sin＋.
∵0<α<，∴－<2α－<，
∴当2α－＝，即α＝时，
取得最大值.
易错提醒 在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等
价性．
跟踪演练1 (2022·安阳模拟)在直角坐标系xOy中，⊙C 的圆心为C (1,1)，半径为.以坐标
1 1
原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
2
(1)求⊙C 的极坐标方程，并判断⊙C ，⊙C 的位置关系；
1 1 2
(2)求经过曲线C ，C 交点的直线的斜率．
1 2
解 (1)由题意，⊙C 的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2－2x－2y＝0，
1
故⊙C 的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即ρ＝2cos θ＋2sin θ，又⊙C 的极坐标方程
1 2
为ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，即(x－)2＋y2＝2.因为|C C |＝＝，⊙C 与⊙C 半径相等，半
1 2 1 2
径和为2，且0<|C C |＝<＝2<2，故⊙C ，⊙C 相交．
1 2 1 2
故⊙C 的极坐标方程ρ＝2cos θ＋2sin θ，⊙C ，⊙C 相交．
1 1 2
(2)由(1)得，⊙C ：ρ＝2cos θ＋2sin θ，⊙C ：ρ＝2cos θ均经过极点且相交，联立
1 2
有2cos θ＋2sin θ＝2cos θ，显然cos θ≠0，故2＋2tan θ＝2，即tan θ＝－1，即经过曲线
C ，C 交点的直线的斜率为－1.
1 2
考点二 参数方程
核心提炼
常见曲线的参数方程
(1)圆
以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程为
(α为参数)
当圆心在(0,0)时，方程为(α为参数)
(2)椭圆
椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)
椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)
(3)直线
经过点M(x，y)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)
0 0 0
例2 (2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(t为参数)，曲线C 的参
1 2
数方程为(s为参数)．
(1)写出C 的普通方程；
1
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos θ－
3sin θ＝0，求C 与C 交点的直角坐标，及C 与C 交点的直角坐标．
3 1 3 2
解 (1)由y＝，得t＝y2(y≥0)，代入x＝，
可得x＝，即y2＝6x－2(y≥0)，
所以曲线C 的普通方程为y2＝6x－2(y≥0)．
1
(2)曲线C 的极坐标方程可化为
3
2ρcos θ－ρsin θ＝0，
所以普通方程为y＝2x.
由y＝－，得s＝y2(y≤0)，
代入x＝－，
可得x＝－，即y2＝－6x－2(y≤0)．
由
得或
所以C 与C 交点的直角坐标为，(1,2)．
3 1
由
得或
所以C 与C 交点的直角坐标为
3 2
，(－1，－2)．
规律方法 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的
消参方法有代入消参法、加减消参法、平方和(差)消参法、乘法消参法、混合消参法等．把
曲线C的普通方程F(x，y)＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前
后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
跟踪演练2 (2022·海东模拟)在直角坐标系xOy中，已知曲线C 的参数方程为(t为参数)．
1
曲线C 的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
2
(1)求曲线C ，C 的极坐标方程；
1 2
(2)若曲线C ，C 的交点为A，B，已知P(，－1)，求|PA|·|PB|.
1 2
解 (1)曲线C ：(t为参数)，消去参数t得x＋y＝0，
1
化成极坐标方程得ρcos θ＋ρsin θ＝0，化简极坐标方程为ρsin＝0.
曲线C ：(θ为参数)，
2
消去参数θ得x2＋y2＝16，
化成极坐标方程为ρ＝4.
(2)由已知得P在曲线C 上，将曲线C 化为标准参数方程(t为参数)，代入C 的直角坐标方
1 1 2
程x2＋y2＝16，
得2＋2＝16，
即t2－4t－12＝0，即A，B所对应的参数分别为t，t，所以|PA|·|PB|＝|t||t|＝|tt|＝12.
1 2 1 2 12考点三 极坐标与参数方程的综合应用
核心提炼
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，
主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
例3 (2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为
极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin＋m＝0.
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
解 (1)直线l的极坐标方程为
ρsin＋m＝0，
即ρsin θ＋ρcos θ＋2m＝0，
根据
得l的直角坐标方程为x＋y＋2m＝0.
(2)曲线C的参数方程为
(t为参数)，
将sin t＝代入x＝cos 2t
＝(1－2sin2t)，
得曲线C的普通方程为
y2＝－x＋2(－2≤y≤2)．
联立直线l与曲线C的方程，
得(－2≤y≤2)，
消去x并整理得
3y2－2y－6－4m＝0(－2≤y≤2)．
方法一 若直线l与曲线C有公共点，
则Δ＝(－2)2－4×3×(－6－4m)≥0，
且3×(－2)2－2×(－2)－6－4m≥0，
所以－≤m≤，
即m的取值范围为.
方法二 所以4m＝3y2－2y－6(－2≤y≤2)，
因为3y2－2y－6＝3－6
＝32－，
所以当－2≤y≤2时，
－≤3y2－2y－6≤10，
即－≤4m≤10，则－≤m≤，
即m的取值范围为.
规律方法 解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点
(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方
程，这样思路可能更加清晰．
(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．
(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．
跟踪演练3 (2022·张掖模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为
1
(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程
2
为ρsin＝.
(1)求曲线C 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
1 2
(2)在极坐标系中，射线α＝(ρ≥0)与曲线C 交于点A，射线α＝(ρ≥0)与曲线C 交于点B，
1 2
求△AOB的面积．
解 (1)由题意得
∴＋y2＝1(y≥0)，
∴ρ2cos2β＋3ρ2sin2β－3＝0，即ρ2＋2ρ2sin2β－3＝0.
化简为ρ2(2－cos 2β)－3＝0，β∈[0，π]，
∴曲线C 的极坐标方程为ρ2(2－cos 2β)－3＝0，β∈[0，π]；
1
由ρsin＝得ρ＝，
∴y＋x－＝0，即3y＋x－6＝0，
∴曲线C 的直角坐标方程为3y＋x－6＝0.
2
(2)由得ρ＝，∴A，
由 得ρ＝，∴B，
S ＝ρ ·ρ sin＝×××sin ＝.
△AOB A B
专题强化练
1．(2022·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点M(－1,0)，且其倾斜角α
＝，曲线C的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标
系．
(1)求直线l的参数方程和曲线C的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求＋的值．
解 (1)由题意得直线l的参数方程是(t为参数)，即(t为参数)，
由曲线C的参数方程知，x2＝sin2φ＋4sin φcos φ＋4cos2φ，y2＝4sin2φ－4sin φcos φ＋cos2φ，得x2＋y2＝5，
即曲线C的普通方程是x2＋y2＝5，
又x2＋y2＝ρ2，
故曲线C的极坐标方程是ρ＝.
(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入x2＋y2＝5，
整理得t2－t－4＝0，设A，B两点对应的参数分别为t，t，
1 2
则t＋t＝1，tt＝－4<0，则t，t 为一正一负，
1 2 12 1 2
所以＋＝＋＝＝＝.
2．(2022·绵阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＋
1＝0.
(1)求点M的直角坐标和直线l的直角坐标方程；
(2)若N为曲线C上的动点，求MN的中点P到直线l的距离的最小值及此时点P的极坐标．
解 (1)由x＝2cos ＝0，y＝2sin ＝－2，得点M的直角坐标为(0，－2)，
ρcos＋1＝0化简得ρcos θ－ρsin θ＋1＝0，即x－y＋1＝0，故直线l的直角坐标方程为x－y
＋1＝0.
(2)设N(2＋2cos α，－2＋2sin α)，则P(1＋cos α，－2＋sin α)，
所以MN的中点P到直线l的距离d＝＝，
当cos＝－1，即α＝＋2kπ，k∈Z时，
d ＝，
min
此时cos α＝－，sin α＝，所以P(0，－1)，
由ρ＝＝1，θ＝，可知P点的极坐标为，
所以MN的中点P到直线l的距离的最小值为，此时点P的极坐标为.
3．(2022·西安模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)．以坐标原点为极
点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝8.
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；
(2)过原点O引一条射线，分别交曲线C和直线l于A，B两点，射线上另有一点M满足|OA|2
＝|OM|·|OB|，求点M的轨迹方程．
解 (1)由题意知曲线C的参数方程可化为＋y2＝(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，
∴曲线C的直角坐标方程为＋＝1，
由ρcos＝8得ρcos θ＋ρsin θ＝16，
∴x＋y－16＝0，即直线l的直角坐标方程为x＋y－16＝0.
(2)设M(ρ，θ)，A(ρ，θ)，B(ρ，θ)，
1 2
则＋＝1，ρcos θ＋ρsin θ＝16，
2 2即
由|OA|2＝|OM||OB|得ρ＝ρρ ，即＝，
2
∴＋＝，即＋＝，
∵ρ≠0，∴M的轨迹方程为2x2＋8y2－x－y＝0(去掉(0,0))．
4．(2022·成都模拟)在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，在
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋
8.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝4，求直线l的倾斜角．
解 (1)因为直线l的参数方程为(t为参数)，
当α＝时，直线l的普通方程为x＝2.
当α≠时，直线l的普通方程为y－＝tan α(x－2)．
因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，
又因为ρ2＝2ρcos θ＋8，所以x2＋y2＝2x＋8.
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程并整理，
得t2＋(2sin α＋2cos α)t－5＝0.
因为Δ＝(2sin α＋2cos α)2＋20>0，可设该方程的两个根为t，t，
1 2
则t＋t＝－(2sin α＋2cos α)，tt＝－5.
1 2 12
所以|AB|＝|t－t|＝＝＝4.
1 2
整理得(sin α＋cos α)2＝3，故2sin＝±.
因为0≤α<π，所以α＋＝或α＋＝，
解得α＝或α＝，
综上所述，直线l的倾斜角为或.
