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第19 讲 利用平面向量解决平行四边形问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共16 小题）
1．在平面直角坐标系
中，已知椭圆
经过
，且离心率
，
（1）求椭圆方程．
（2）经过点
且斜率
的直线与椭圆
有两个不同的交点
和
．
①求
的取值范围．
②设椭圆与
轴正半轴、
轴正半轴的交点分别为
、
，是否存在常数
，使向量
与
共线？如果存在，求
值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由
焦点在
轴，
经过
，
故
，
又离心率
，解得：
，
椭圆方程为
；
（2）①由已知条件，直线的方程为
，
，整理得
，
直线与椭圆有两个不同的交点
和
等价于△
，
△
，解得：
．
即
的取值范围为
．
②设
，
，
，
，则
，
，
由韦达定理得：
，
又
，而
，
与
共线等价于
，
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解得
，
由①知
．矛盾，
故没有符合题意的常数
．
2．已知椭圆
的右焦点
，点
，
为椭圆的半焦距）在
轴上
若椭圆的离心率
，且
．
（1）求椭圆方程；
（2）若过
的直线交椭圆与
，
两点，且
与向量
共线（其中
为
坐标原点），求证：
．
【解答】解：（1）依题意有：
，
，
椭圆方程：
（6 分）
（2）设直线的方程为：
，
，
，
，
，
联立方程组
，整理得：
，
，
，
，
由
与向量
共线，得
，
故
．
．
（13 分）
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3．在平面直角坐标系
中，经过点
且斜率为
的直线与椭圆
有两个
不同的交点
、
，
（Ⅰ）若
；求直线的斜率
的值；
（Ⅱ）设椭圆与
轴正半轴、
轴正半轴的交点分别为
、
，是否存在常数
，使得向
量
与
共线，如果存在，求出
的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】（本小题12 分）
解：（1）
直线经过点
且斜率为
，
，
（1 分）
由
，得
，
（3 分）
由△
，得
，
（4 分）
，解得
，或
（舍
．
（6 分）
（2）设
，
，
，
，
则
（7 分）
，
，
（9 分）
与
共线等价于
，
（10 分）
由上述式子得：
（11 分）
又
，
不存在这样的常数
满足条件．
（12 分）
4．如图，设抛物线方程为
，
为直线
上任意一点，
不在
轴
上，过
引抛物线的切线，切点分别为
，
．
（Ⅰ）设线段
的中点为
；
（ⅰ）求证：
平行于
轴；
（ⅱ）已知当
点的坐标为
时，
，求此时抛物线的方程；
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（Ⅱ）是否存在点
，使得点
关于直线
的对称点
在抛物线
上，其
中，点
满足
为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点
的坐标；
若不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）（ⅰ）证明：由
题意设
，
，
，
，
，
，
．
由
得
，则
，
所以
，
．
因此直线
的方程为
，
直
线
的
方
程
为
．
所以
，①
．②
由①、②得
，
因
此
，
即
．
所以
平行于
轴．
（ⅱ）解：由（ⅰ）知，当
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时，将其代入①、②并整
理得：
，
，
所
以
，
是
方
程
的两根，
因此
，
，
又
，
所以
．
由
弦
长
公
式
的
又
，所以
或
，
因此所求抛物线方程为
或
．
（Ⅱ）解：设
，
，由题
意得
，
，
则
的
中
点
坐
标
为
，
设
直
线
的
方
程
为
，
由点
在直线
上，并注意到
点
也在直线
上，
代入得
．
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若
，
在抛物线上，则
，
因此
或
．
即
或
．
（
1
）
当
时
，
则
，此时，点
适合题意．
（2）当
，对于
，此
时
，
，
又
，
，所以
即
，矛盾．
对
于
，
因
为
，此时直线
平
行于
轴，
又
，
所以直线
与直线
不垂直，
与题设矛盾，
所以
时，不存在符合题意
得
点．
综上所述，不存在符合题意得
点．
5．已知点
，
的坐标分别是
，
，
，
，动点
满足直线
和
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的斜率之积为
，记
的轨迹为曲线
．
（1）求曲线
的方程；
（2）直线
与曲线
相交于
，
两点，若曲线
上存在点
，使得四边形
为平行四边形（其中
为坐标原点），求
的取值范围．
【解答】解：（1）
，
化简得曲线
的方程：
．
（2）设
，
，
，
联立
，得
，
，
，
△
，即
，①
若四边形
为平行四边形，则
的中点也是
的中点，
所以
点的坐标为
，
，
又点
在曲线
上得，
化简得
②
将②代入①得，
，所以
，由②得
，所以
或
，
当直线
经过
，
时，
，代入②得
，不符合题意
所以
的取值范围为
，
，
，
，
．
6．如图所示，已知圆
与直线
相切．
（Ⅰ）求
的值．
（Ⅱ）直线
与圆
相交于
，
两点，若在圆
上存在一点
，使四边形
为平行四边形，求实数
的取值范围．
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【解答】解：（Ⅰ）圆心
到直线
的距离为
，
直线
与圆
相切，
．
（Ⅱ）设
，
，
，
，联立方程组
，
消去
得
，
，
，
四边形
为平行四边形，
线段
的中点即为线段
的中点，
点的坐标为
，
，
即
，
由点
在圆
上，
，整理得
，
此时△
，
，即
或
，即
的取值范围为
，
，
．
7．在
中，
，
的坐标分别是
，点
是
的重心，
轴上一点
满足
，且
．
（Ⅰ）求
的顶点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）直线
与轨迹
相交于
，
两点，若在轨迹
上存在点
，使四边形
为平行四边形（其中
为坐标原点），求
的取值范围．
【解答】解：
设
，
点
是
的重心，
，
轴上一点
满足
，
．
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，
，
化为
即为
的顶点
的轨迹
的方程；
设
，
，
，
，联立
，化为
，
由△
，化为
，
，
．
四边形
为平行四边形，
，
，
，
，
．
点
在椭圆上，
，化为
．
代入△
，可得
，
又
，解得
或
．
的取值范围是
．
8．已知椭圆
，直线不过原点
且不平行于坐标轴，与
有两个
交点
，
，线段
的中点为
．
（1）证明：直线
的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点
，
，延长线段
与
交于点
，四边形
能否为平行四边形？
若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．
【解答】解：（1）设直线
，
，
，
，
，
，
，
，
将
代入
，得
，
则判别式△
，
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则
，则
，
，
于是直线
的斜率
，
即
，
直线
的斜率与的斜率的乘积为定值．
（2）四边形
能为平行四边形．
直线过点
，
，
由判别式△
，
即
，
，
，
即
，
即
，
则
，
不过原点且与
有两个交点的充要条件是
，
，
由（1）知
的方程为
，
设
的横坐标为
，
由
得
，即
，
将点
，
的坐标代入的方程得
，
即的方程为
，
将
，代入
，
得
解得
，
四边形
为平行四边形当且仅当线段
与线段
互相平分，即
，
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于是
，
解得
或
，
，
，
，2，
当的斜率为
或
时，四边形
能为平行四边形．
9 ．设
为椭圆
的右焦点，点
在椭圆
上，直线
与以原点为圆心、以椭圆
的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
的直线与椭圆相交于
，
两点，过点
且平行于
的直线与椭圆交于另
一点
．问是否存在直线，使得四边形
的对角线互相平分？若存在，求出的
方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由题意知
所以椭圆
的方程为
（4 分）
（2）结论：存在直线，使得四边形
的对角线互相平分．
（5 分）
理由如下：由题可知直线、
的斜率存在．
设直线的方程为
，直线
的方程为
由
消去
得
则
，
（7 分）
由
消去
得
则
，
（9 分）
若四边形
的对角线互相平分，则四边形
为平行四边形，
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，
直线的方程为
时，四边形
的对角线互相平分．
（12 分）
10．已知椭圆
的左、右顶点分别为
，
，上、下顶点分别为
，
，四边形
的面积为
，坐标原点
到直线
的距离为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过椭圆
上一点
作两条直线分别与椭圆
相交于点
，
（异于点
，试判断以
和
为对角线的四边形是否为菱形？若是，求出直线
的方程；若不是，请说明理
由．
【解答】解：（1）设直线
的方程为
，
由题意得
，解得：
，
所以椭圆
的方程为
．
（2）当直线
的斜率不存在时，若平行四边形
为菱形，
则
为左顶点或右顶点，此时直线
的方程为
．
当直线
的斜率为0 时，若四边形
为菱形，
则点
为上顶点或下顶点，此时
的方程为
，
当直线
的斜率存在时，设
，
，
，
，
联立直线方程与椭圆方程可得：
，
则△
，
所以
，
若四边形
为菱形，
则
，所以点
，
所以直线
的斜率
，
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所以
，这与
矛盾，
所以四边形
不能是菱形，
综上，四边形
能为菱形，此时直线
的方程为
或
．
11．已知椭圆
左右两个焦点分别为
，
，
为椭圆
上一
点，过
且与
轴垂直的直线与椭圆
相交所得弦长为3．抛物线
的顶点是椭圆
的
中心，焦点与椭圆
的右焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆
和抛物线
的方程；
（Ⅱ）过抛物线
上一点
（异于原点
作抛物线切线交椭圆
于
，
两点，求
面积的最大值；
（Ⅲ）过椭圆
右焦点
的直线
与椭圆相交于
，
两点，过
且平行于
的直线交
椭圆于另一点
，问是否存在直线
，使得四边形
的对角线互相平分？若存在，求
出
的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设
，令
，代入椭圆方程可得，
，
由题意可得
，
又
在椭圆上，可得
，
解得
，
，
，
可得椭圆
的方程为
；
即有抛物线的焦点为
，
可得抛物线
的方程为
；
（Ⅱ）设
，
，设抛物线切线的方程为
，
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由
两边对
求导，可得
，即为
，
可得
，即有切线的方程为
，
即为
，代入椭圆方程
，
可得
，
设
，
，
，
，
即有△
，得
，
，
，
，
原点到直线的距离为
，
则
面积
，
令
，
，可得
，
则
，
可令
，由
，可得
在
递增，
可得
，即有
，
即有当
时，
取得最大值
．
由
，解得
，
，
故当
时，
的面积取得最大值
；
（Ⅲ）可设直线
，代入椭圆
，
可得
，
设
，
，
，
，可得
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，
，
直线
，代入椭圆
，
可得
，
设
，
，可得
，
，
假设四边形
的对角线互相平分，可得四边形
为平行四边形，
与
的中点重合．
即有
，即为
，
即有
，
则有
，
，
即为
，
解得
．
故存在直线
，方程为
．
12．设
，
分别为椭圆
的左、右焦点，点
在椭圆
上，且
点
和
关于点
对称．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过右焦点
的直线与椭圆相交于
，
两点，过点
且平行于
的直线与椭圆交
于另一点
，问是否存在直线，使得四边形
的对角线互相平分？若存在，求出的
方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）
点
和
关于点
对称，
，
椭圆
的焦点为
，
，
由椭圆定义，得
，
从而
，
，
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故椭圆
的方程为
；
（2）结论：存在直线，使得四边形
的对角线互相平分．
理由如下：
由题可知直线、直线
的斜率存在，
设直线的方程为
、直线
的方程为
，
由
消去
，
得
，
根据题意可知△
，设
，
，
，
，
由韦达定理可知
，
，
由
消去
，
得
，
由△
，可知
，设
，
，又
，
则
，
，
若四边形
的对角线互相平分，则有
与
的中点重合，
所以
，即
，
故
，
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所以
，
解得
，
从而直线方程为
时，四边形
的对角线互相平分．
13．设
，
分别为椭圆
的左，右焦点，点
在椭圆
上，且
点
和
关于点
对称．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）过右焦点
的直线与椭圆相交于
，
两点，过点
且平行于
的直线与椭圆
交于另一点
，问是否存在直线，使得四边形
的对角线互相平分？若存在，求出
的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）
点
和
关于点
对称，
，
，
，
，
，
，
椭圆方程为：
；
（Ⅱ）
结论：存在直线，使得四边形
的对角线互相平分．
理由如下：
如图，设
，
，
三点的横坐标分别为
，
，
，
直线
的方程为：
，
的方程为：
，
由
方程与椭圆方程联立消去
，
得
，
得
，
，
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由
方程与椭圆方程联立消去
，
得
，
得
，
，
四边形
的对角线互相平分，
，
的中点重合，
，
，
平方可得，
，
，
，
解得
，
故直线为
时，四边形
对角线互相平分．
14．在平面直角坐标系
中，椭圆
的左、右焦点分别为
，
，已知点
和
都在椭圆
上，其中为椭圆
的离心率．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设直线
与椭圆
相交于
，
两点，若在椭圆
上存在点
，使四边
形
为平行四边形，求
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）
点
和
都在椭圆
上，其中为椭圆
的离心率，
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，
，
，
，解得
，
，
椭圆
的方程为
．
（Ⅱ）设
，
，
，
，
，
，
四边形
为平行四边形，
线段
的中点即为线段
的中点，
即
，
，
点
在椭圆上，
，
，
化简，得
，①
由
，得
，
由△
，得
，②
又
，
代入①式，得
，
化简，得
，
代入②式，得
，
又
，
，或
．
的取值范围为
，
，
．
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15．已知椭圆
的右焦点为
，上顶点为
，短轴长为2，
为原点，
直线
与椭圆
的另一个交点为
，且
的面积是
的面积的3 倍．
（1）求椭圆
的方程；
（2）如图，直线
与椭圆
相交于
，
两点，若在椭圆
上存在点
，使
为平行四边形，求
的取值范围．
【解答】解：（1）短轴长为2，可得
，
即有
，设
，
，
，
的面积是
的面积的3 倍，
即为
，
可得
，由直线
经过
，
可得
，即
，
，代入椭圆方程可得，
，即为
，即有
，
则椭圆方程为
；
（2）设
，
，
，
，
由
为平行四边形，可得
，
，
在椭圆
上，可得
，
即为
，
化为
，①
由
可得
，
由△
，即为
，②
学科网（北京）股份有限公
，代入①可得
，
化为
，代入②可得
，
又
，解得
或
．
则
的取值范围是
，
，
．
16．椭圆
左、右焦点分别为
，
，过点
的直线交椭圆
于
，
两点．当直线
轴时，
．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆
上存在点
，使得四边形
是平行四边形，求此时直线的斜
率．
【解答】解：（Ⅰ）方法一：因为过
，且
，
设
，不妨设
为第一象限点，则
．
则
，所以
，所以
，则
，
所以
，
所以
所以
，
所以
；
方法二：因为
，所以
，
因此
，所以
，
所以
；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设椭圆
，
，
，
，
，
线段
的中点
，
，由题意可以判断直线的斜率存在，设
，
联立方程组
，消去
，整理得
，
学科网（北京）股份有限公
所以
，因此
，则
①
因为四边形
是平行四边形，所以
是
的中点，所以
，
，
又因为
在椭圆上，所以
②
①代入②，得
，
整理得
，解得
或
（舍去），所以
所以直线的斜率为
．
