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专练 23 平面向量的概念及其线性运算
授课提示：对应学生用书47页
[基础强化]
一、选择题
1．给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则
AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的
充要条件是|a|＝|b|，且a∥b.其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
答案：A
解析：当|a|＝|b|时，a与b的方向不确定，故①不正确；对于②，∵A，B，C，D是不
共线的点为大前提，AB＝DC ABCD为平行四边形，故②正确；③显然正确；对于④由于
当|a|＝|b|且a∥b时a与b的方向可能相反，此时a≠b，故|a|＝|b|且a∥b是a＝b的必要不
⇔
充分条件，故④不正确．
2．设非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．|a|＝|b| B．a∥b
C．|a|>|b| D．a⊥b
答案：D
解析：由|a＋b|＝|a－b|的几何意义可知，以 a、b为邻边的平行四边形为矩形，故
a⊥b.
3．[2022·新高考Ⅰ卷，3]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝
n，则CB＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
答案：B
解析：因为BD＝2DA，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3(CD－CA)＝－2CA＋
3CD＝－2m＋3n.故选B.
4．在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝( )
A．AB＋AD B．AB＋AD
C．AB＋AD D．AB＋AD
答案：B
解析：∵M为BC的中点，
∴AM＝(AC＋AB)
＝(AD＋DC)＋AB，
又AB＝－2CD，∴DC＝AB，
∴AM＝＋AB＝AB＋AD.
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CO＝λ(AB＋AD)，则实数λ＝
( )
A．－ B．
C．2 D．－2答案：A
解析：由平行四边形法则可知，
AC＝AB＋AD，
又O为AC与BD的交点，
∴AC＝－2CO，
∴CO＝－(AB＋AD)，∴λ＝－.
6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC
＝( )
A．2OA－OB
B．－OA＋2OB
C．OA＋OB
D．－OA＋OB
答案：A
解析：∵2AC＋CB＝0，∴2(OC－OA)＋(OB－OC)＝0，得OC＝2OA－OB，故选A.
7．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD
的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
答案：C
解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，∴AD∥BC且|AD|＝2|BC|，
∴四边形ABCD为梯形．
8．已知平面内一点P及△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的位置关系是
( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC内部
答案：C
解析：∵PA＋PB＋PC＝AB＝PB－PA，
∴PC＝－2PA，∴点P在线段AC上．
9．[2024·河北省六校联考]已知点O是△ABC内一点，且满足OA＋2OB＋mOC＝0，
＝，则实数m的值为( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
答案：D
解析：由OA＋2OB＝－mOC得，OA＋OB＝－OC，如图，设－OC＝OD，则OA＋OB
＝OD，∴A，B，D三点共线，∴OC与OD反向共线，m>0，∴＝，∴＝＝，∴＝＝＝，解得
m＝4.故选D.
二、填空题
10．已知不共线向量a，b，AB＝ta－b(t∈R)，AC＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，
则实数t＝________．
答案：－
解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使得AB＝kAC，所以ta－b＝k(2a＋3b)＝2ka＋3kb，即(t－2k)a＝(3k＋1)b，因为a，b不共线，所以t－2k＝0，3k＋1＝0，解得
k＝－，t＝－.
11．在△OAB中，点C满足AC＝－4CB，OC＝xOA＋yOB，则y－x＝________．
答案：
解析：根据向量加法的三角形法则得到OC＝OB＋BC＝OB＋AC＝OB＋(OC－OA)，化
简得到OC＝－OA＋OB，所以x＝－，y＝，则y－x＝＋＝.
12.
如图所示，已知AB＝2BC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则c＝________(用a，b表示).
答案：b－a
解析：∵AB＝2BC，∴OB－OA＝2(OC－OB).
∴OC＝OB－OA，
即c＝b－a.
[能力提升]
13．已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足3PA＋5PB＋2PC＝0，已知△ABC的
面积为6，则△PAC的面积为( )
A． B．4 C．3 D．
答案：C
解析：∵3PA＋5PB＋2PC＝0，
∴3(PA＋PB)＋2(PB＋PC)＝0，
取AB的中点D，BC的中点E，连接PD，PE，则PA＋PB＝2PD，PB＋PC＝2PE，
∴3PD＋2PE＝0，
∴D、P、E三点共线，∴P到AC的距离为B到AC的距离h的一半，
∵S ＝AC·h＝6，
△ABC
∴S ＝AC×＝×6＝3.
△PAC
14．(多选)[2024·湖南省四校摸底调研联考]在△ABC中，D，E，F分别是边BC，
CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则( )
A．EF＝CA－BC
B．BE＝－AB＋BC
C．AD＋BE＝FC
D．GA＋GB＋GC＝0
答案：BCD
解析：如图，因为点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，所以EF＝CB＝－BC，
故A不正确；BE＝BC＋CE＝BC＋CA＝BC＋(CB＋BA)＝BC－BC－AB＝－AB＋BC，故B
正确；FC＝AC－AF＝AD＋DC＋FA＝AD＋BC＋FA＝AD＋FE＋FA＝AD＋FB＋BE＋FA＝
AD＋BE，故C正确；由题意知，点G为△ABC的重心，所以AG＋BG＋CG＝AD＋BE＋CF
＝×(AB＋AC)＋×(BA＋BC)＋×(CB＋CA)＝0，即GA＋GB＋GC＝0，故D正确．故选BCD.
15．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出
下列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.其中正确命题
的序号为________．答案：②③④
解析：∵BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC＝－a－b，故①不正确；对于②，BE＝BC＋
CA＝a＋b，故②正确；对于③，CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；对于④，
AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确，故正确的有②③④.
16．在△ABC中，AN＝AC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为
________．
答案：
解析：∵N，P，B三点共线，
∴AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN，
∴m＋＝1，∴m＝.
