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第十八章 平行四边形
18.1.1平行四边形的性质（第1课时）
一、温故知新（导）
平行四边形是我们生活中司常见的平面图形，如小区的伸缩门，庭院的竹篱笆，市政
道路护栏等，那你知道什么叫平行四边形？平行四边形具备怎样的性质么？下面我们一起
来探究吧！这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1. 理解平行四边形定义，能够依据定义探究平行四边形的性质；
2.掌握平行四边形的对角相等，对边相等性质，能用它们解决简单的实际问题；
3.掌握两条平行线间的距离的含义.学习重难点
重点：1.理解平行四边形的概念； 2.掌握平行四边形边、角的性质.
难点：1.利用平行四边形边、角的性质解决问题. 2.两条平行线间的距离的含义.
二、自我挑战（思）
1、什么叫做平行四边形？
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
2、如图18-1-1是平行四边形，平行四边形用符号 “
▱
” 表示，平行四边形 ABCD记作
“ ▱ ABCD ” .
3、如图18-1-1，由平行四边形定义可知，AB平行于 CD 、AD平行于 BC ，除此之外，
平行四边形还有什么性质呢？它们对边大小如何？它们的角又有什么关系？（测量一下对边、对角）
猜想：对边相等；对角相等.
4、你能证明你的猜想吗？
请你运用以前所学习的知识点证明出你的猜想
（1）已知：如图18-1-2：四边形ABCD是平行四边形.
求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠A=∠C.
18-1-2
证明：连接AC，
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC，AB∥CD
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4
又 AC是△ABC和△CDA的公共边
∴ △ABC≌△CDA (ASA)
∴ AB=CD，BC=DA，∠B=∠D
又 ∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴ ∠1+∠4=∠2+∠3
即 ∠BAD=∠DCB
（2）思考：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC，AB∥CD
∴ ∠B+∠A=180°，∠B+∠C=180°
∴ ∠A=∠C
同理，∠B=∠D
5、通过以上猜想和证明，请你从边和角的角度总结归纳平行四边形的性质是：
（1）平行四边形的对边相等；
（2）平行四边形的对角相等.三、互动质疑（议、展）
1、教材中平行四边形的证明是通过添加辅助线把四边形转化 两个全等三角形，通过平
行四边形性质的证明，以后我们遇见四边形的问题，我们的解题思路是什么？ 通过作辅助
线把四边形的问题转化成三角形的问题.
2、实例：
例1 如图18-1-3，在 ▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：AE=CF.
18-1-3
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A=∠C，AD=CB，
又 ∵∠AED=∠CFB=900，
∴ △ADE≌△CBF (AAS)
∴ AE=CF.
3、由例题我们可以还可以得到什么结论？
DE=BF.
4、如图18-1-4，a，b是两条平行线，从直线a上任一点A向直线b作垂线，垂足为B, 再
过a上另一点C作CD⊥b于D，你能发现AB与CD的关系吗？它们的长可以表示什么？
AB=C D ，它们的长表示两条平行线间 a ， b 间 的距离 .
18-1-4
5、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离.
两条平行线间的距离处处相等.
6、平行线之间的距离和点到直线之间的距离有什么区别和联系？
两点之间的距离就是由该两点组成的线段的长度；点到直线的距离是过该点作到直线的垂线段的长度；两条平行线之间的距离是在其中一条线上任取一点，过该点作另一条线的垂
线段的长度；前两者所得线段都只有一条，而第三个所得线段有无数条，但它们的长度均
相等 .
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C=200°，则∠A=（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
1、解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°，
故选：D．
2、平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，则它的周长是（ ）
A．8 B．13 C．14 D．16
2、解：∵四边形..是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AB=3，BC=5，
∴它的周长是AB+BC+CD+AD=2（AB+BC）=2×（3+5）=16．
故选：D．
3、如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=∠D+40°，则∠B的度数为（ ）
A．35° B．55° C．70° D．110°
3、解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠D+40°，
∴∠D+40°+∠D=180°，
∴∠D=70°，
∴∠B=∠D=70°．
故选：C．4、已知平行四边形ABCD中，∠A比∠B小40°，那么∠C的度数是 ．
4、解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°，
又∵∠B-∠A=40°，
∴∠B=110°，∠A=70°，
∴∠C=∠A=70°．
故答案为：70°．
5、如图，在平行四边形ABCD中，AC=4cm．若△ACD的周长是12cm，则平行四边形ABCD的
周长是 ．
5、解：∵△ACD的周长是12cm，
∴AC+AD+CD=12cm，
∵AC=4cm，
∴AD+CD=8cm，
∴平行四边形ABCD的周长=2×（AD+CD）=2×8=16cm ．
故答案为：16．
6、如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，点E、F分别是BC、AD的中点． 求证：
△ABE≌△CDF；
6、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，
1 1
2 2
∴BE= BC，DF= AD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，AB CD =∠
{
= ¿
{∠B D
¿¿¿¿
∴△ABE≌△CDF（SAS）.
六、用
（一）必做题
1、如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=16，若△BCO的周长为14，则AD
的长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
1、解：∵四边形ABCD是平行四边形，
1 1
2 2
∴AO=CO= AC，BO=DO= BD，
∵AC+BD=16，
∴BO+CO=8，
∵△BCO的周长为14，
∴BC=6=AD，
故选：D．
2、已知直线a∥b∥c ，a与b的距离是2cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是
cm.
2、解：如图，若直线 c在直线b的上方，因为直线 a∥b∥c ，所以a与c的距离=3－
2=1；
如图，若直线c在直线b的下方，因为直线 a∥b∥c ，所以a与c的距离=3＋2=5；故答案为：1或5；
3、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：AE=CF．
3、证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在△ABE和△CDF中，
{∠AEB＝∠DFC
∠ABE＝∠CDF，
AB＝CD
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF
（二）选做题
4、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的角平分线BE与CE相交于点
E，且点E恰好落在AD上．
（1）求证：∠BEC=90°；
（2）若AB=2，求平行四边形ABCD的周长．4、（1）证明：∵BE、CE 分别平分∠ABC 和∠BCD，
1 1
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠BCD，
2 2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
1 1
∴∠EBC+∠ECB= ∠ABC+ ∠BCD=90°，
2 2
∴∠BEC=90°．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=2，
∴∠EBC=∠AEB，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE=2，
同理可证 DE=DC=2，
∴AD=DE+AE=4，
∴C =2×（4+2）=12．
平行四边形ABCD
5、如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交
BD于点F．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABC=70°，求∠AMB的度数．
5、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD
∴∠ABE=∠CDF，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠ABC=70°，
∴∠BAD=110°，
∵AM平分∠BAD，
1 1
2 2
∴∠DAM= ∠BAD= ×110°=55°
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠DAM=55°．
