文档内容
专题 3-1 平行四边形（考题猜想，构造平行四边形解题的六种应用类型）
类型1：证两线段相等
【例题1】（2023春•滨海县期中）如图，在平行四边形 中， ， 是对角线 上两个点，且
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）由（1）中全等三角形的对应角相等推知： ，则 ；然后根据等腰
的性质和三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明： 四边形 为平行四边形，
， ，
，
又 ，在 与 中
，
；
（2）由（1）知， ，则 ．
．
，
．
．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
【变式1】（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在平行四边形 中， 分别是边
上的点，且 ，直线 分别与 的延长线交于点 ，连接 .
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质与判定即可求解；
（2）利用平行四边形的性质，借助全等三角形即可求证．
【详解】（1）证明：∵在平行四边形 中，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）证明：∵在平行四边形 中，
∴ ， ，
∴ ，∵在平行四边形 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．掌握相关结论进行几何推
导是解题关键
【变式2】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，在 中，O为 的中点，连接 并延长，交
的延长线于点E．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决问题的关键是正确找出全等三角
形．
由平行四边形的性质得到 ， ，再证明 即可解决问题．
【详解】∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ O为 的中点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【变式3】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图，在 中， 平分 ，交 于点E，交
的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等：
（1）根据 中 ，可得 ，根据角平分线的定义可得 ，等量代换
后得出 ，最后根据等边对等角即可证明 ；
（2）过点D作 交 的延长线与点H，利用（1）中结论和平行四边形对角相等可得
，再利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出 ，利用三角形面积公式即可
求解．
【详解】（1）证明： 中， ，
，
平分 ，
，
，
；
（2）解：如图，过点D作 交 的延长线与点H，
中， ，
，
， ，
，
，
，
由（1）知 ，
类型2：证两线段互相平分
【例题2】（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图， ， 分别是四边形 的边 ， 的中点，
， 是 ， 的中点．求证： 和 互相平分．【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形判定及性质．根据题意连接 、 、 、 ，即可判定四边形
是平行四边形，继而得到本题答案．
【详解】解：证明：连接 、 、 、 ，
， 是四边形 的边 的中点， 是 的中点．
， ，
∴ ， ，
同理 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
四边形 是平行四边形，
和 互相平分．
【变式1】（20-21八年级下·上海长宁·期末）如图，BD、AC是四边形ABCD的对角线，点E、F、G、H
分别是线段AD、DB、BC、AC上的中点．
(1)求证：线段EG、FH互相平分；
(2)四边形ABCD满足什么条件时，EG⊥FH？证明你得到的结论．
【答案】(1)见解析
(2)当AB＝CD时，EG⊥FH，证明见解析
【分析】（1）连接EF、GF、GH、HE，根据三角形中位线定理得到EF∥AB，EF= AB，GH∥AB，GH=
AB，证明四边形EFGH为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
（2）根据菱形的判定定理得到平行四边形EFGH是菱形，根据菱形的性质定理证明即可．
【详解】（1）证明：连接EF、GF、GH、HE，∵点E、F分别是线段AD、DB的中点，
∴EF∥AB，EF= AB，
∵点G、H分别是线段BC、AC的中点，
∴GH∥AB，GH= AB，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴线段EG、FH互相平分；
（2）解：当AB=CD时，EG⊥FH，
理由如下：∵点G、F分别是线段BC、BD的中点，
∴GF= CD，
∵AB=CD，
∴EF=GF，
∴平行四边形EFGH是菱形，
∴EG⊥FH．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握菱形的对
角线互相垂直是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在 中，对角线 ， 交于点O，
，E，F，H分别是 ， ， 的中点， 交 于点G．
(1)求证：线段 与线段 互相平分；
(2)若 ，求 的长度；(3)求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)6
(3)
【分析】（1）连接 ， ，由平行四边形的性质可得 ， ，由中位线定理可知
， ， ，可得 ， ，可知四边形 是平行四边形，即可
证明结论；
（2）由（1）知 ， ，得 ，由平行四边形性质结合 ，得 ，
根据等腰三角形的性质可知 ，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得 ，进而可得
；
（3）由（1）（2）可知 ， ，设 ， ，利用平行四边形的性质表示出
， ，得等式整理可知 ，即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ， ， 分别是 ， ， 的中点，即 为 的中位线，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴线段 与线段 互相平分；
（2）解：由（1）知 ， ，
∴ ，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
又∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）由（1）（2）可知 ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
设 ， ，则 ，
，
则 ， ，
∴ ，整理得： ，即： ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，三角形中位线，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三
角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【变式3】（23-24八年级下·江西赣州·期中）【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形
的中位线．
下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，
在 中，点 分别是 边的中点．求证： ，且 ．方法二：
方法一：
证明：如图3，取 中点 ，连接 并延长到点
证明：如图2，延长 到点 ，使 ，
，使 ，连接 ．
连接 ．
【回顾证法】
（1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程．
【实践应用】
（2）如图4，B、C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了 间的距
离：先在池塘外选一点 ，连接 ，然后测出 的中点 、 ，并测出 的长度为12米，则
两点间的距离______米．
【深入探究】
（3）如图5， 是 的中位线， 是 边上的中线． 与 是否互相平分？请证明你的结论．
【答案】（1）方法一：见解析；方法二：见解析；（2）24；（3） 与 互相平分，见解析
【分析】本题考查了三角形中位线定理的证明和应用，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质，正确作辅助线是解题关键．
（1）方法一：先证明四边形 是平行四边形，再证明四边形 是平行四边形，即可证明结论；
方法二：证明 ，进而可证四边形 、 是平行四边形，即可证明结论；
（2）根据三角形中位线定理即可求解；
（3）连接 、 ，根据三角形中位线定理，证明四边形 、 是平行四边形，进而证明四边
形 是平行四边形，即可证明结论．【详解】（1）证明：方法一：延长 到点 ，使 ，连接 ．
点 分别是 边的中点，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
即 ，且 ；
方法二：取 中点 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ．
点 分别是 边的中点，
， ，
又 ，
，
， ， ，
，
点 是 中点，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
点 分别是 边的中点，
，四边形 是平行四边形，
， ，
即 ，且 ；
（2） 、 是 的中点， 米，
米，
即 两点间的距离24米，
故答案为：24；
（3） 与 互相平分，证明如下：
如图，连接 、 ，
是 的中位线，
， ， ， ，
是 边上的中线，
，
，
四边形 、 是平行四边形，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
与 互相平分
类型3：证两线段平行
【例题3】（2023·四川南充·中考真题）如图，在 中，点 ， 在对角线 上， ．
求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证
，最后证明 即可求出答案．
（2）根据三角形全等证明角度相等，再利用邻补角定义推出 即可证明两直线平行．
【详解】（1）证明： 四边形 为平行四边形，
， ， ，
．
， ，
．
．
．
（2）证明：由（1）得 ，
．
， ，
．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，邻补角定义，三角形全等，平行线的判定，解题的关键在于熟练
掌握平行四边形的性质．
【变式1】（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，四边形 是平行四边形，点E，F
是对角线 上的点， ．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出 ， ，进而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出 ，进而得出四边形 是平行四边形，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：由（1）得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与
判定条件是解题的关键
【变式2】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ，点P为边 上的一点，
，且 ，点C关于直线 的对称点为D，连接 ，又 的 边上的高为 ：
(1)求 的大小；
(2)判断直线 是否平行？并说明理由；
(3)证明： ．【答案】(1)
(2)平行，见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据点C关于直线 的对称点为D，即可得到 ，进而得出
，即可；
（2）取 中点E，连接 ，则 为等边三角形， 为等腰三角形，，进而得到 ．再
根据 的 边上的高为 ，即可求解；
（3）过点A作 的垂线，垂足分别为G、F．根据角平分线的性质定理以及逆定理可得 ，
从而得到 ，再由 ，即可求证．
【详解】（1）解：∵ ，
，
∵点C关于直线 的对称点为D，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ．理由：
∵ ，
，
如图，取 中点E，连接 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ 为等腰三角形，
，∴ ，即 ．
又∵ 的 边上的高为 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，过点A作 的垂线，垂足分别为G、F．
∵ ，即点A在 的平分线上，
∴ ．
∵ ，
即点A在 的平分线上，
∴ ，
，
∴点A在 的平分线上．
又∵ ，
，
∴ ，
，
∴在 中， ，，
．
【点睛】此题考查了角平分线的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，
熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
【变式3】（22-23八年级下·山西忻州·期中）如图，正方形 中，E，F，G分别是 上的
中点，连结 ，连结CG分别交 于点M，N， 交 于点H．(1)求证： ；
(2)当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动到点N处，若 ，设 ．
①求 的长；
②当 时，用含代数式表示四边形 的面积；
③在P，Q整个运动过程中，当P，Q与四边形 的两个顶点构成平行四边形时，求t的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；② ；③t的值为 或 或
【分析】（1）证明四边形 是平行四边形，进而结论得证；
（2）①由正方形 ，E，F分别是 上的中点，可得 ， ， ，
证明 ，则 ， ，由勾股定理得， ，由
，计算求解即可；②由勾股定理得， ，则 ，证明
，则 ，由点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动
到点N处，可得 ，即 ，解得 ，由 ，求得
，根据 ，计算求解即可；③当P，Q，N，H，构成平
行四边形时，由题意知， ，即 ，计算求解即可；如图，连接 ，则四边形
是矩形， ，当P，Q，M，H，构成平行四边形时，由题意知，
，即 ，计算求解即可；当P，E， M，Q，构成平行四边形时，由题意知，
，即 ，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵正方形 ，E，G分别是 上的中点，∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
（2）①解：∵正方形 ，E，F分别是 上的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的长为 ；
②解：由勾股定理得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动到点N处，
∴ ，即 ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；③解：当P，Q，N，H，构成平行四边形时，
由题意知， ，即 ，解得， ；
如图，连接 ，则四边形 是矩形，
∴ ，
当P，Q，M，H，构成平行四边形时，
由题意知， ，即 ，解得， ；
当P，E， M，Q，构成平行四边形时，
由题意知， ，即 ，解得， ；
综上所述，t的值为 或 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，全等三角
形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用
类型4：证线段的和差关系
【例题4】（20-21八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角
线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．
【答案】（1） ；（2）见详解．
【分析】（1）由题意，先证明△BDE是等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理，即可求出答案；
（2）在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，然后根据全等三角形的判定和性质，得到AM=BF，即
可得到答案．
【详解】解：（1）如图，点B、G、D在同一直线上，
∵DG、BG分别是∠ADE与∠CBF的角平分线，且∠CBF＝90°，
∴∠CBD=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=45°，
∴∠BDE=∠ADB=45°，
∴∠BED= ，
∴三角形BDE是等腰直角三角形， ，
在平行四边形ABCD中，则BD=DG，
∴线段EG是等腰直角三角形BDE的中线，
∴EG⊥BD，
∵ ，
∴ ，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得
；
（2）如图，在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，
在△DMG和△DEG中，有
，
∴△DMG≌△DEG，∴∠DMG=∠DEG=∠BCD，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠DMG=∠BAD，
∴MG∥AB，
∴∠BAF=∠AGM，
∵AG＝AB，
∴∠AGB=∠ABG，
∵∠ABG=∠ABF+∠FBG，∠AGB=∠GBC+∠BCG，
又∵∠FBG=∠GBC，
∴∠ABF=∠BCG，
∵AD∥BC，
∴∠BCG=∠MAG=∠ABF，
在△AMG和△BFA中，有
∴ ，
∴△AMG≌△BFA，
∴AM=BF，
∴AD=AM+MD=BF+DE．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题
的关键是熟练掌握所学的知识，解题的关键是正确的作出辅助线，构造全等三角形进行证明．
【变式1】（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形 中， 于点 ，
点 在 上， 交 于点 ，连接 ．
(1)若 ，求 的长度；
(2)求证： ；
(3)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据勾股定理得出 ，进而利用平行四边形的性质解答即可；（2）延长 交 于 ，根据平行四边形的性质得到 ，根据平行线的性质得到 ，
推出 ，则可证明 ；
（3）根据全等三角形的性质得到 ，于是得到结论．
【详解】（1）解： ，
，
， ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
；
（2）证明：如图，延长 交 于 ，
四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
（3）证明： ，，
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股
定理，证明 是解题的关键
【变式2】（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知 为平行四边形．
(1)如图1，若 于M， 于N，求证： ；
(2)如图2，若 为两条对角线，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
（1）证明 ，即可得出结论；
（2）过点A作 于 ，过点 作 于 ，利用勾股定理进行证明即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 于 ， 于 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点A作 于 ，过点 作 于 ，则： ，
由（1）可知： ，
在 和 中，根据勾股定理得：
， ，，
在 和 中，根据勾股定理得：
， ，
，
∵ ，
∴
【变式3】（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在 中， ， D，E分别为
上两动点， ．
(1)如图1，若 于H交 于K，求证： ；
(2)如图2，若 交 于F， ， ，求证： ；
(3)如图3，若 ，将 绕点E顺时针旋转 得 ，N为 中点，当 取得最小值时，
请直接写出 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）先证明 ，然后推导 ，根据在同一个三角形中等角对等边得到
；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，则 ，可以证明
，然后证明 ，即可得到 ，然后设 ，
，则根据 即可得到结论；
（3）过点 作 于 ，过点 作 延长线于 ，连接 ，连接 交 于 ，过点
作 交 于 ， 证明 ，故当 三点共线时, 的值最小(两
点之间，线段最短) ，此时 取得最小值，算出此时 和 的长，最后根据 ,
代入计算即可.
【详解】（1）证明： ， ，，
在 和 中，
，
，
，
又 ， 于 交 于 ，
， ，
，
；
（2）证明：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
， ，
，
，
∴ ，
，
，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
，
设 ， ，则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
（3）如图，过点 作 于 ，过点 作 延长线于 ，连接 ，连接 交 于 ，
过点 作 交 于 ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
又 ，
，
，
，
，
为 中点， 为 中点，
，
，
为 中点， ，
∴ ，
是 的中点，是 的中位线，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
，
如图，当 、 、 三点共线时， 的值最小（两点之间，线段最短），
此时 取得最小值，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
， ，
， ，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、平行四边形的判定与性质、
三角形中位线定理等知识，构造辅助线、数形结合画出图象分析和计算是解题的关键
类型5：求线段的取值范围
【例题5】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）在 中， ， ， ，点N是
边上一点．点M为 边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为 ， 的中点，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查了三角形的中位线性质、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握三角形的中位线性质，将求
的最小值转化为求 的最小值是解答的关键．先根据勾股定理求出 ，再根据点D、E分别为 ，
的中点，得出 为 的中位线，则 ，最后用等面积法，求出当 时的 的
长度，即可求出 的最小值，再根据 ，即可得出答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ，
∵点D、E分别为 ， 的中点，
∴ ，
∴当 最小时， 取最小值，
当 时， 取最小值，如图：
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
即 的最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故选：D．
【变式1】（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中， ， 为 轴上一动点，
连接 并延长至点 ，使 ，取 轴负半轴上一点 ，使得 ，以 ， 为边作
．
（ ）点 的坐标为 ．
（ ）设点 坐标为 ，则点 的坐标为 （用含 的代数式表示），连接 ，则 长度的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】（ ）由点的坐标得到 的长，再根据 即可求解；
（ ）过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，过点 作 轴的平行线交 于点 ，易证明
，得到 ， ，即可求得点 的坐标；由四边形 为平行四边
形可证明到 ，得到 ， ，根据 点始终在平行于 轴的直线上运动，
并且这条直线与 轴的距离为 ，即可得到 的取值范围；
本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，判断出点 始终在平行于
轴的直线上运动是解题的关键．
【详解】（ ）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ；
（ ）如图，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，过点 作 轴的平行线交 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ；
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ,
∴ ，∴ ，
∵ ， 轴，
∴ 点始终在平行于 轴的直线上运动，并且这条直线与 轴的距离为 ，
∴点 到这条直线的距离为 ，
∴ 长度的取值范围为 ，
故答案为：
【变式2】（20-21八年级下·江苏南京·期中）如图，在等边三角形 中， ，P为 上一点（与
点A、C不重合），连接 ，以 、 为邻边作平行四边形 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由平行四边形的性质可得： ， ，当点P与点C重合时，此时OP有最大值，
当 时，此时OP有最小值，即可求解．
【详解】如图，设AB与PD交于点O，连接OC，
∵四边形ADBP是平行四边形
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴
∴
当点P与点C重合时，此时OP有最大值
∴DP的最大值为
当 时，此时OP有最小值
∵∴
∴DP的最小值为
∵P为 AC 上一点（与点A、C不重合）
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、垂线段最短等知识点，灵活运用这些性
质是解决问题的关键
【变式3】（21-22八年级下·广东佛山·期中）如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点O，
点E，F在 上，点G，H在 上，且 ， ．
(1)若 ，则 的取值范围为_____________；
(2)若 ，求 的度数；
(3)试判断 与 的位置关系与数量关系，并说明理由．
【答案】(1)1＜AD＜9
(2)∠ABC＝65°；
(3)EH FG，EH＝FG，理由见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质求出OA、OD，利用三角形三边关系确定AD的范围；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，可知∠ABC＝∠ADC，求出∠ADC即可；
（3）证明OE＝OF，OG＝OH，得出四边形EHFG是平行四边形，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝ AC＝4，OD＝ BD＝5，
∴5－4＜AD＜5＋4，即1＜AD＜9，
故答案为：1＜AD＜9；
（2）解：∵CA＝AD，∠CAD＝50°，
∴∠ADC＝∠ACD＝ ×（180°−50°）＝65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝65°；
（3）解：EH FG，EH＝FG，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，BG＝DH，
∴OE＝OF，OG＝OH，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∴EH FG，EH＝FG．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
类型6：解决面积问题
【例题6】（21-22八年级下·陕西西安·阶段练习）如图， 是 的边 上的点， 是 中点，连
接 并延长交 于点 ，连接 与 相交于点 ，若 ，则阴影部分的面积
为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
【答案】B
【分析】连接 ，如图，先根据平行四边形的性质得到 ， ，再证明 得
到 ，则可判定四边形 为平行四边形，根据平行四边形的性质得到 ，
接着证明四边形 为平行四边形，所以 ，然后计算 得到阴影部分的面
积．
【详解】解：连接 ，如图，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
是 中点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
，，
即 ，
，
四边形 为平行四边形，
，
阴影部分的面积 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形
的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分
【变式1】（22-23八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在矩形 中，点 分别是 的中
点，连接 和 ，分别取 、 的中点 ，连接 ，若 ， ，则
图中阴影部分图形的面积和为 ．
【答案】
【分析】由矩形的性质可得 ， ，由点 分别是 的中点可得
， ，从而可得四边形 是平行四边形，由点 分别是
的中点可得 ， ， ，进行计算即可得到阴影部
分的面积．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
点 分别是 的中点， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
点 分别是 的中点，
， ， ，， ， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、根据三角形的中线求面积，熟练掌握以
上知识点是解题的关键
【变式2】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形 中， ， ，E
是 的中点，佳佳用无刻度直尺进行如下操作： 连接 ； 连接 ，交 于点F； 连接 ，
交 于点P； 作射线 ，交 于点H．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)四边形 是平行四边形，理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形三线合一，三角形面积的计算，关键是看出三角形的
重心和平行四边形对角线分成的四个三角形面积相等．
（1）先证明 再根据 即可得出结论；
（2）利用三角形中线交于一点和等腰三角形三线合一；（3）将四边形 分割成 、 、 ，分别求出面积．
【详解】（1）解：四边形 是平行四边形，理由如下：
，E为 的中点，
．
，
四边形 是平行四边形；
（2）证明：由（1）知四边形 是平行四边形，
F为 中点，
是 的中线，
是 的中线，
是 的中线，
，
；
（3）解： E是 的中点，F为 中点，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
【变式3】（22-23八年级下·北京密云·期中）已知：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，
的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段 且使 ，连接 ；
(2)线段 的长为__________， 的长为 __________，点A到线段 的距离为__________；
(3) 为 __________三角形，四边形 的面积为 __________．
【答案】(1)见解析(2) ， ，2
(3)直角，10
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定和性质：
（1）利用网格特点画出 即可；
（2）利用勾股定理计算 的长，利用勾股定理的逆定理证明 为直角三角形，利用面积法求
点A到线段 的距离；
（3）利用勾股定理的逆定理证明 为直角三角形，利用平行四边形面积公式计算四边形 的面
积．
【详解】（1）解：如图，
（2）解： ， ，
四边形 是平行四边形，
由格点知 ， ，
，
，即 ，
是直角三角形，
设点A到线段 的距离为h，则 ，
，
即点A到线段 的距离为2，
故答案为： ， ，2；
（3）解： ，即 ，
是直角三角形，
由（2）知四边形 是平行四边形，点A到线段 的距离 ，
四边形 的面积为： ，
故答案为：直角，10
