文档内容
专题 12 坐标系与参数方程
1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为¿(t为参数)，曲线C
1 2
的参数方程为¿(s为参数)．
(1)写出C 的普通方程；
1
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
3
2cosθ-sinθ=0，求C 与C 交点的直角坐标，及C 与C 交点的直角坐标．
3 1 3 2
【答案】(1)y2=6x-2(y≥0)；
(1 ) ( 1 )
(2)C ,C 的交点坐标为 ,1 ，(1,2)，C ,C 的交点坐标为 - ,-1 ，(-1,-2)．
3 1 2 3 2 2
【解析】
【分析】
(1)消去t，即可得到C 的普通方程；
1
(2)将曲线C ,C 的方程化成普通方程，联立求解即解出．
2 3
(1)
2+t 2+ y2
因为x= ，y=√t，所以x= ，即C 的普通方程为y2=6x-2(y≥0)．
6 6 1
(2)
2+s
因为x=- ,y=-√s，所以6x=-2- y2，即C 的普通方程为y2=-6x-2(y≤0)，
6 2
由2cosθ-sinθ=0⇒2ρcosθ-ρsinθ=0，即C 的普通方程为2x- y=0．
3
(1 )
联立¿，解得：¿或¿，即交点坐标为 ,1 ，(1,2)；
2
( 1 )
联立¿，解得：¿或¿，即交点坐标为 - ,-1 ，(-1,-2)．
2
2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为¿，(t为参数)，以坐标
原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为( π)
ρsin θ+ +m=0．
3
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
【答案】(1)√3x+ y+2m=0
19 5
(2) - ≤m≤
12 2
【解析】
【分析】
(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
(2)联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.
(1)
( π) 1 √3
因为l：ρsin θ+ +m=0，所以 ρ⋅sinθ+ ρ⋅cosθ+m=0，
3 2 2
1 √3
又因为ρ⋅sinθ= y,ρ⋅cosθ=x，所以化简为 y+ x+m=0，
2 2
整理得l的直角坐标方程：√3x+ y+2m=0
(2)
联立l与C的方程，即将x=√3cos2t，y=2sint代入
√3x+ y+2m=0中，可得3cos2t+2sint+2m=0，
所以3(1-2sin2t)+2sint+2m=0，
化简为-6sin2t+2sint+3+2m=0，
要使l与C有公共点，则2m=6sin2t-2sint-3有解，
令sint=a，则a∈[-1,1]，令f(a)=6a2-2a-3，(-1≤a≤1)，
1
对称轴为a= ，开口向上，
6
所以f(a) =f(-1)=6+2-3=5，
max
1 1 2 19
f(a) =f( )= - -3=- ，
min 6 6 6 6
19
所以- ≤2m≤5
619 5
m的取值范围为- ≤m≤ .
12 2
1．(2022·宁夏·吴忠中学三模(文))在平面直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为
(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程
为 ．
(1)求曲线 与 的直角坐标方程；
(2)已知直线l的极坐标方程为 ，直线l与曲线 ， 分别交于M，
N(均异于点O)两点，若 ，求 ．
【答案】(1)曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ，
(2)
【解析】
【分析】
(1) 的参数方程消参可求出 的直角坐标方程； 的极坐标方程同乘 ，把 ，
代入 的极坐标方程可求出 的直角坐标方程.
(2)设M、N两点的极坐标分别为 、 ，用极径的几何意义表示出 ，即
，解方程即可求出 .
(1)解： 的参数方程为 (t为参数)，把 代入 中可得，
，所以曲线 的直角坐标方程为 ，
的极坐标方程为 ，即 ，所以曲线 的直角坐标方程为
，
综上所述：曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ，
(2)
由(1)知， 的极坐标方程为 ，
设M、N两点的极坐标分别为 、 ，
则 ， ，由题意知 可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，所以 或 (舍)
所以 .
2．(2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测(理))在平面直角坐标系 中，曲线 的
参数方程为 ( 为参数)，曲线 的参数方程为 ( 为参数).已知曲线
与 ， 正半轴分别相交于 两点.
(1)写出曲线 的极坐标方程，并求出 两点的直角坐标；(2)若过原点 且与直线 垂直的直线 与曲线 交于 点，与直线 交于 点，求线段
的长度.
【答案】(1) ， 点为 ， 点为
(2)
【解析】
【分析】
(1)普通方程 ，即可得
(2)求出直线 的方程为 ，然后求出直线 的方程，然后可求出 的长度
(1)
曲线 的普通方程 ，
极坐标方程 ，∴ .
在曲线 上，当 时， 或 ，此时 或 (舍)，所以 点为 .
当 时， 或 ，此时 或 (舍)，所以 点为 .
(2)
直线 的方程为 ，极坐标方程为 ，
∴ ，
过原点 且与直线 垂直的直线 的极坐标方程为 .
与 联立，得 .
与 联立，得 .∴ .
3．(2022·江西·南昌市八一中学三模(理))在直角坐标系 中，直线 的参数方程为
( 为参数).以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的
极坐标方程为 .
(1)求 和 的直角坐标方程；
(2)设点 的直角坐标为 ， 为 上的动点，求 中点 的轨迹的极坐标方程.
【答案】(1)直线 的普通方程为 ，曲线 的普通方程为 ；
(2)
【解析】
【分析】
(1)消去参数 ，即可得到直线 的普通方程，再由两角和的正弦公式及 ，将曲
线 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设 ，即可表示 点坐标，再根据点 在曲线 上，代入 的方程，即可得到点
的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；
(1)解：因为直线 的参数方程为 ( 为参数)，
所以直线 的普通方程为 ，
因为曲线 的极坐标方程为 ，即 ，
即 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
即曲线 的普通方程为 ；
(2)
解：设 ，则 ，
因为点 在曲线 上，所以 ，
即 ，所以 中点 的轨迹方程为 ，即
4．(2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测(理))在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方
程为 ( 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
曲线 的极坐标方程为 .
(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；(2)设点 ，直线 与曲线 的交点为 ， ，求 的值.
【答案】(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
(1)直接消去参数，将直线 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线 的极坐标方程
转化为直角坐标方程
(2)将直线的参数方程代入曲线 的普通方程，得到 ，得到
，化简 ，代入韦达定理，
即可得到答案
(1)
直线 的参数方程为 ( 为参数)，
消去参数 可得 的普通方程为 .
曲线 的极坐标方程为 ，即 ，
根据 ，可得 .
∴曲线 的直角坐标方程为
(2)在直线 的参数方程 ( 为参数)中，设点 ， 对应的参数分别为 ， ，
将直线 的参数方程 ( 为参数)，代入 ，得 ，
∴ ， .
∴
5．(2022·安徽淮南·二模(文))在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为
(其中 为参数， )，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相
同的单位长度建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
(1)求曲线C的极坐标方程与直线 的直角坐标方程；
(2)设直线 与曲线C交于点O，A，直线 与曲线C交于点O，B，求 面积的最大值．
【答案】(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
(1)依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决；
(2)先求得 面积的表达式，再对其求最大值即可.
(1)曲线C的直角坐标方程为 ，展开得 ，
则曲线C的极坐标方程为 ．
直线 的直角坐标方程为
(2)
由(1)可知 ，
设直线 的极坐标方程为 ，
根据条件知要使 面积取最大值，则 ，则 ，
于是
，
所以当 即 时， 的面积取最大值，最大值为 ．
6．(2022·内蒙古呼和浩特·二模(理))在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
( 为参数)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
两坐标系取相同单位长度，直线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
(2)求曲线 上的点到直线 距离的最小值.
【答案】(1) ， ；
(2) .【解析】
【分析】
(1)消去曲线C的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线 的直角
坐标方程作答.
(2)设出曲线C上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答.
(1)
由 ( 为参数)，消去参数得 ，
所以曲线 的普通方程为 ，
把 代入直线 的极坐标方程 得： ，
所以直线 的直角坐标方程为 .
(2)
由(1)知，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，
设 为曲线 上一点， 到直线 的距离为 ，
则 ，其中锐角 由 确
定，
因此，当 时， 取到最小值 ，
所以曲线 上的点到直线 距离的最小值为 .
7．(2022·甘肃·武威第六中学模拟预测(文))在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐
标方程为 ．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程：
(2)若直线与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
(1)消去参数t可得曲线C的方程，利用公式法转化得到直线l的直角坐标方程；
(2)利用直线l的参数方程中t的几何意义求解.
(1)
∵ (t为参数)，∴ ，所以 ，
所以曲线C的方程为
又∵ ， ，∴
所以直线l的直角坐标方程为 ；
(2)
∵ 在直线l上，∴直线l的参数方程为 (t为参数)设A，B对应的参数分别为 与
将直线l的参数方程代入到 得 ．
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
所以 ．
8．(2022·全国·赣州市第三中学模拟预测(理))在平面直角坐标系 中，曲线 满足参数方
程 ( 为参数且 ).以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
点 为曲线 上一动点，且极坐标为 .
(1)求曲线 的直角坐标方程；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1) 或
(2)
【解析】
【分析】
(1)消去参数t可得普通方程，由 ，得到 ，即可求出曲线 的直角坐标方程；(2)先判断出 利用三角函数出 的范围.
(1)
由 消去t可得： .
由于 ，则 ，即 .
因此曲线 的直角坐标方程为 或
(2)
曲线 为上半圆，点 在 上，因此 ，
由三角函数的性质知，在 上，
因此
9．(2022·黑龙江·哈尔滨三中三模(理))在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的
极坐标方程为 .
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为 ，求 .
【答案】(1) ；
(2) ﹒
【解析】
【分析】(1)将 、 、 代入圆C的极坐标方程即可求其直角坐标方程；
(2)将直线l的参数方程化为标准形式，代入圆C的直角坐标方程得到关于参数t的二次方程，
根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出 ．
(1)
∵ ，∴ ，
即 ；
(2)
直线l参数方程的标准形式为 (t为参数)，
代入圆C直角坐标方程整理得 ，
设方程的两根为 、 ，则A、B对应参数 、 ，
则 ，
∴ ．
10．(2022·河南·模拟预测(理))在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 (m
为参数)，直线l的参数方程为 ，(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线l与 交于点P，Q，与
交于点S，T，与x轴交于点R.
(1)写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)若 ，求直线l的倾斜角.
【答案】(1) ，
(2) 或 或
【解析】
【分析】
(1)消参求得曲线 的普通方程为 .由 同乘 得到 的直角坐标方程.
(2)l过定点 .将直线l的参数方程代入 ，整理得 ，
利用参数的几何含义化简求解.
(1)
曲线 的普通方程为 .由 得 .所以 的直角坐标方程为
，即 .
(2)
不妨设 ，则 .易知 是l过的定点.将直线l的参数方程代入
，整理得 ，设P，Q对应的参数分别为 ， ，则
.将直线l的参数方程代入 ，得，
设S，T对应的参数分别为 ， ，则 .由
得 ，得 或 ，所以直线l的倾斜角为 或 或 .
11．(2022·河南洛阳·三模(理))在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参
数)，直线 的参数方程为 ( 为参数)，设 与 的交点为 ，当 变化时， 的
轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 的极坐标方程为
，射线 ： 与 ， 分别交于A，B两点，求线段AB的长.
【答案】(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
(1)消去参数得到直线 、 的普通方程，联立两方程消去 ，即可得到 的轨迹；
(2)首先将 的方程化为极坐标方程，再将 代入两极坐标方程即可求出 ，，即可得解；
(1)
解：因为直线 的参数方程为 ( 为参数)，
消去参数 得直线 的普通方程为 ①，
直线 的参数方程为 ( 为参数)，
消去参数 得直线 的普通方程为 ②，
设 ，由①②联立得 ，消去 得
即曲线 的普通方程为 ， ；
(2)
解：设 ， ，
由 得曲线 的极坐标方程为 ( ， )，
代入 得 ，
将 代入 得 ，
所以 ，
即线段 的长度为 ；
12．(2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测(理))在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，将曲线 经过伸缩变换 得到曲线 .以坐标原点为
极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 的极坐标方程；
(2)已知射线 与曲线 交于 、 两点，若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)求出曲线 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换
关系可得出曲线 的极坐标方程；
(2)设 、 ，则 、 为方程 的两根，由已知可得
，结合韦达定理可求得 的值，利用同角三角函数的基本关系可求得 的值.
(1)
解：由题可得 的参数方程为 ( 为参数)，
则 的直角方程为 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，
所以曲线 的极坐标方程为 .
(2)
解：设 、 ，则 、 为方程 的两根，，
则 ①， ②，
因为 ，所以 ③，
由①②③解得 ，则 ， ，此时 ，合乎题意.
故 .
13．(2022·贵州遵义·三模(文))在极点为O的极坐标系中，经过点 的直线l与极轴所
成角为 ，且与极轴的交点为N．
(1)当 时，求l的极坐标方程；
(2)当 时，求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)先求得 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.
(2)对直线 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得 面积的取值范围.
(1)
点 ，则 ，
所以 点的直角坐标为 ，
当 时，直线 的直角坐标方程为 ，转化为极坐标方程为 .
(2)
在极坐标系下：经过点 的直线l与极轴所成角为 ，
在直角坐标系下：经过点 的直线 的倾斜角为 或 .
即直线 的倾斜角是 或 .
当直线 的倾斜角为 时，
直线 的方程为 ，
令 得 ，
， ，
，
所以
.
当直线 的倾斜角为 时，
直线 的方程为 ，
令 得 ，
，
所以
.综上所述， 面积的取值范围是 .
14．(2022·江西·上饶市第一中学二模(文))在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的普通方程为： ，曲线 的参数
方程是 ( 为参数)，点 .
(1)求曲线 和 的极坐标方程；
(2)设射线 分别与曲线 和 相交于A，B两点，求 的面积.
【答案】(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
(1)由公式法求极坐标方程
(2)联立方程后分别求出A，B坐标，及 到直线 距离后求面积
(1)
曲线 的直角坐标方程为： ，
将 代入上式并化简，
得曲线 的极坐标方程为： .
曲线 的普通方程是： ，
将 代入上式并化简，得曲线 的极坐标方程为： .
(2)
设 ，
则 ，
，所以 ，
所以 .
又 到直线 的距离为：
所以 .
15．(2022·全国·模拟预测(文))在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ( 为
参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若点M，N分别为曲线C和直线l上的动点，求 的最小值.
【答案】(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用 消去参数 ，可得曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l的直角坐标方程，
(2)设曲线C上任意一点 到直线l的距离为d，然后利用点到直线的距
离公式表示出 ，再根据三角函数的性质可求出其最小值
(1)
由曲线C的参数方程为 ( 为参数)可知 ，
故曲线C的直角坐标方程为 .由直线l的极坐标方程为 ，
结合 ， 可知l的直角坐标方程为 .
(2)
的最小值即为曲线C上任意一点到直线l距离的最小值.
设曲线C上任意一点 到直线l的距离为d，
则 ，
故 的最小值为 .
