文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D B A C C D B A A B B
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14．1 15． 16．①③④
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.【答案】(1)有 以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关
(2)分布列见解析，
【详解】（1）依题意得 列联表：
倾向“坐标系与参数方 倾向“不等式选
合计
程” 讲”
男
15 25 40
生
女
20 10 30
生
合
35 35 70
计
所以 ，（4分）
所以有 以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关．（6分）（2）在倾向“坐标系与参数方程”的学生中，女生与男生的人数的比值为 ，所以在倾向“坐
标系与参数方程”的学生抽取的7人中男生有3人．
所以 的取值为 ，
则 ．（9分）
故 的分布列为：
0 1 2 3
所以 ．（12分）
18.【答案】(1) (2)
【详解】（1）由 ， ，
当 时， ，
两式相减得 ，即 ，
所以数列 为等比数列，公比为 .（3分）
选①，由 ， ， 成等差数列，
可得 ，即 ，
解得 ，所以 .（6分）
选②，由 ， ， 成等比数列，
得 ，即 ，解得 ，所以 .（6分）
选③，由 ，得 ，
所以 .（6分）
（2）当 为奇数时， ，
记前 项和 中的奇数项之和为 ，
则 .（9分）
当 为偶数时， ，
记前 项和 中的偶数项之和为 ，
则 ，
故 .（12分）
19.【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，四边形 是平行四边形，所以四边形 是菱形，所以 ．（2分）
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ．（5分）
（2）解：以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
如图所示，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，可得 ， ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，可得 ， ，
所以 ，（9分）设二面角 的大小为 ，
因为 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 ．（12分）
20.【答案】(1) (2)是定值，理由见解析
【详解】（1）由题意得 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 .（3分）
（2）
设 ，联立直线和椭圆方程可得： ，
消去 可得： ，所以
，
即 ，则 ，（6分）， ，
把韦达定理代入可得： ，
整理得 ，（9分）
又 ，
而 点到直线 的距离 ，
所以 ，
把 代入，则 ，可得 是定值1．（12分）
21.【答案】(1) (2) ．
【详解】（1）由 ，
则 ，
所以 ，即切线斜率为 ，
又 ，则切点为 .
切线方程为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．（3分）
（2）根据题意得， ，则 ．
由0为 的极小值点，可知 ．
设 ，
则 ．（5分）
（ⅰ）当 时， ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以0是 的极小值点，符合题意．（7分）
（ⅱ）当 时，设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增， ，
，
所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ， 单调递减，即 单调递减；
当 时， ， 单调递增，即 单调递增.又 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以0是 的极小值点，符合题意．（9分）
（ⅲ）当 时， ，且 在 上单调递增，
所以当 时， ， 单调递减，即 单调递减；
当 时， ， 单调递增，即 单调递增.
又 ，所以 ， 单调递增，不符合题意．
（ⅳ）当 时， ， 在 上单调递增， ，
所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ， 单调递减，又 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以0是 的极大值点，不符合题意．
综上， 的取值范围是 ．（12分）
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22.【答案】(1) ； (2)【详解】（1）因为曲线 的参数方程为 （t为参数），
则 ， ，
两式相减，得 的普通方程为： ；
曲线 的参数方程为 （ 为参数），
所以 的普通方程为： .（5分）
（2）因为 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，
所以射线 与曲线 交于A ，（7分）
而 的普通方程 ，可化为 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，
所以射线 与曲线 交于B ，
又点 ，所以 ，
则 ．（10分）选修4-5：不等式选讲
23.【答案】(1) ；(2)1
【详解】（1）由已知不等式 为 ，
时，不等式为 ， ，所以 ；
时，不等式为 ， ，不成立；
时，不等式为 ， ，所以 ，
综上，不等式的解集为 ；（5分）
（2） ，即 的最小值是 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
所以所求最小值为1. （10分）
