第 11 讲 三余弦定理转化几何维度
三余弦定理
在空间图形 A −BCD 中,如果有 ∠ABC =∠ABD ,则点 A 在平面 BCD
上的投影 O 在 ∠CBD 的平分线上, 且有三余弦定理
cos∠ABC =cos∠ABOcos∠CBO 可以应用.
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【例 1】已知空间内有一球, SC 为其直径且 |SC)= 4 , A ,B 为球上两点,满
足 |AB)= ❑√3 ，且 ∠ASC =∠BSC =30
∘ ，则四面体 S−ABC 的体积为_____.
【分析】因为 ∠ASC =∠BSC ,所以可用三余弦定理得到点 C 在平面
SAB 的射影位置.
因为 SC 是球的直径, ∠ASC =∠BSC =30
∘ ,故可得 SB = SA =2❑√3 .
如图,作 CH ⊥ 平面 SAB ,因为 ∠ASC =∠BSC ,可得点 H 在 ∠ASB 的
角平分线上.
在等腰 △SAB 中, SM = 3 ❑√5
2 ,
由 cos∠CSB =cos∠CSH ⋅cos∠BSH 可得 cos∠CSH =
❑√3
2
❑√15
4
= 2
❑√5 ,
所以 sin ∠CSH = 1
❑√5 ,故 CH = 4 sin ∠CSH = 4
❑√5 ,
所以 V S−ABC = 1
3 ×(
1
2 ×❑√3× 3 ❑√5
2 )× 4
❑√5 = ❑√3 .
【解答】 ❑√3
【例 2 】有 4 条长为 2 的线段和 2 条长为 a 的线段,用这 6 条线段作
为棱,构成一个三棱锥,问当 a 为何值时,可构成一个体积最大的三棱锥,最大值为
多少?
【分析】显然存在两种情况,边长为 a 的两条棱可能在同一个三角形中,也
可能不在同一个三角形中. 在求对称几何体的体积时, 分割求和是常见的方法.
由两角相等可知投影在角平分线上,然后借助三余弦定理,常可达到很好的效果.
图 1
【解答】(1)当边长为 a 的两条棱在同一个三角形中时,
如图 1,不妨设 AC = AD =a ,
V A −BCD= 1
3 S△BCD⋅h≤1
3 S△BCD⋅AB = 2❑√3
3
,
当且仅当 AB⊥ 平面 BCD 时体积有最大值,此时 a=2❑√2 .
(2)当边长为 a 的两条棱不在同一个三角形中时有以下三种解法.
解法一: (三余弦定理) 不妨设 AB =CD =a ，由题意得 ∠ABC =∠ABD ，
如图 2,作 AO⊥ 平面 BCD ,则点 O 在 ∠CBD 的平分线 BE 上，
图 2
所以 cos∠ABC =cos∠ABO⋅cos∠CBO ,
在等腰 △ABC 与等腰 △BCD 中,
cos∠ABC = a
4 ,cos∠CBO=
❑√4−a
2
4
2
，
代入可得 cos∠ABO =
a
❑√16−a
2 ， AO = ABsin∠ABO=a⋅❑√
16−2a
2
16−a
2
，
所
以
V A −BCD= 1
3 S△BCD⋅AO = 1
3 ⋅(
1
2 a
❑√16−a
2
2
)⋅(a⋅❑√
16−2a
2
16−a
2 )= 1
12 a
2❑√16−2a
2= 1
6
❑√
a
2⋅a
2⋅(8−a
2)
2
≤16
2
因为 2❑√3
3
> 16
27
❑√3 ，所以三棱锥体积的最大值为 2❑√3
3 .
图 3
解法二: 如图 3,不妨设 AB =CD =a ,取 CD 的中点 E ,连结 AE ,BE ,
易得 AE = BE =
❑√
16−a
2
4
, AB =a 且 CD⊥ 平面 ABE ,
所以 S△ABE= a
2
❑√4−a
2
2
,
所以 V A −BCD=V C −EAB+V D−EAB= 1
3 CD⋅S△ABE= 1
6 a
2❑√4−a
2
2
= 1
6
❑√
a
2⋅a
2⋅(8−a
2)
2
= 1
6
❑√
a
2⋅a
2⋅(16−2a
2)
4
≤16
27
❑√3.
因为 2❑√3
3
> 16
27
❑√3 ，所以三棱锥体积的最大值为 2❑√3
3 .
解法三: (构造长方体) 如图 4,设长方体的三边长 OA = x ,OC = y ,OD = z ,
则 {
x
2+ y
2= 4 ,
x
2+ z
2= 4 ,
y
2+ z
2=a
2,)
解得 {
x =
❑√4−a
2
2 ,
y =
❑√2a
2
,
z =
❑√2a
2
, )
图 4
所以 V ABCD=V 长方体−4⋅V OACD= 1
3 V 长方体= 1
3 ⋅a
2
2
❑√4−a
2
2 = 1
6 a
2❑√4−a
2
2
= 1
6
❑√
a
2⋅a
2⋅(8−a
2)
2
≤16 ❑√3
27
.
因为 2❑√3
3
> 16
27
❑√3 ，所以三棱锥体积的最大值为 2❑√3
3 .
评注:本题的三种方法也是处理四面体相关问题的常用方法.
【例 3】已知三棱锥 A −BCD 的体积为 1, E , F ,G 分别是 AB , AC , AD
上的点,满足 AE
BE = AF
FC = AG
GD =2,O 为平面 BCG 、平面 CDE 、平面 BDF 的
交点,求三棱锥 O−BCD 的体积.
【分析】本题关键是先确定点 O 的位置,进而找到三棱锥 O−BCD 与三
棱锥 A −BCD 的相应元素的比值关系,从而得到三棱锥 O−BCD 的体积.
【解答】设 ED 与 BG 交于点 M ， CG 与 DF 交于点 N ，则 CM
与 BN 的交点为 O ，延长 GO 交 BC 于点 K .
设三棱锥 A −BCD 的高为 h ,三棱锥 G−BCD 的高为 h1 ,三棱锥
O−BCD 的高为 h2 .
由 AG
GD =2 得 h1= 1
3 h ,
在 △ACD 中, GN
NC = 2
3 ,同理 GM
BM = 2
3 ,
在 △GBC 中, OK
GK = 3
7 ,所以有 h2= 3
7 h1 ,于是 h2= 1
7 h .
又因为三棱锥 A −BCD 的体积为 1,所以三棱锥 O−BCD 的体积为 1
7 .
评注:本题多次通过不同的三角形进行计算，把三维立体问题的计算转移至
二维平面中，颇具代表性.
【例 4】如图,正方体 ABCD−EFGH 的一个截面经过顶点 A ,C 及棱 EF
上的点 K , 且将正方体分成体积比为3:1 的两部分，则 EK
KF = _____.
【分析】在处理三个平面两两相交的问题时,要注意交线的特点有三种可
能:
①相交于同一直线;
②三条交线相互平行;
③三条交线相交于一点.
而求解几何体的体积, 关键是判断这个几何体的形状.
如图，延长 AK ， BF 交于点 P ，则点 P 在平面 ACK 与平面 FBC
的交线上.
又因为点 C 也在平面 ACK 与平面 FBC 的交线上,
所以 PC ⊂ 平面 FBC ,设 PC ∩FG= M ,则几何体 KFM −ABC 为棱台.
设正方体的棱长为 1,则正方体的体积为 1,结合条件可知 V 棱台KFM −ABC = 1
4 .
设 PF =h , 根据相似可得 S△KFM =(
h
h+1)
2
S△ABC , 所以
V P−KFM =(
h
h+1)
3
V P−ABC ,
所
以
V 棱台KFM −ABC =V P−ABC−V P−KFM =[1−(
h
h+1)
3
)V P−ABC = 1
6
(h+1)[1−(
h
h+1)
3
)= 3h
2+3h+1
6(h+1)
2
= 1
4 ,
化简可得 h= 1
❑√3 ，所以 KF
AB =
❑√3
❑√3+3 ，所以 EK
KF = ❑√3 .
【解答】 ❑√3
【例 5】在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1 D1 中, O 为正方体的中
心,点 E 在 B1C1 上， B1 E = 1
3 B1C1 ，点 F 在 A A1 上， A1 F = 1
4 A A1 ，
则四面体 B−EFO 的体积为( )
A. 11
144 B. 17
144 C. 11
38 D. 17
38
【分析】体积问题往往需要考虑载体, 若在长方体或正方体中, 建坐标系是
通法; 利用图形变换转换成容易计算的几何体，则可使计算量大大降低.
解法一: (利用体积转换)
如图 1,因为 O 为正方体的中心,连结 FO 并延长交 C C1 于点 G ,则由题
意可得 CG = 1
4 C C1 .
图 1
所以 V B−EFO= 1
2 V B−EFG= 1
2 V F −GBE= 1
2 ⋅1
3 ⋅1⋅S△BGE= 11
144 .
解法二: 利用坐标系,先算出点 B 到平面 EFO 的距离与 △OEF 的面积即
可.
如
图
2,
以
D
为
原
点
建
立
坐
标
系
,
则
D (0,0,0),O(
1
2 , 1
2 , 1
2),B (1,1,0), F(1,0, 3
4)
,
图 2
E(
2
3 ,1,1),
所以 ⃗OF =(
1
2 ,−1
2 , 1
4),⃗OE =(
1
6 , 1
2 , 1
2)
.
设平面 OFE 的一个法向量为 n=(x , y , z) ,
则 {⃗
OF ⋅n=0,⃗
OE⋅n=0,)
解得 n=(9,5,−8) ,
所以点 B 到平面 EFO 的距离 dB=|⃗
BF ⋅n
|n) )=
11
❑√170
.
因为 cos∠FOE =⃗OF ⋅⃗OE
|⃗OF)|⃗OE)
=−
1
3 ❑√19
,
所以 S△OEF = 1
2|⃗OE)|⃗OF)sin ∠FOE =
❑√170
48 ,
所以 V B−EFO= 1
3 ×
11
❑√170 ×
❑√170
48
= 11
144 .
【解答】A
【例 6】设三棱锥 V −ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等， P 是棱
VA 上的点(不含端点). 记直线 PB 与直线 AC 所成的角为 α ，直线 PB 与
平面 ABC 所成的角为 β ，二面角 P−AC −B 的平面角为 γ ,则( )
A. β <γ ,a<γ B. β <α , β <γ C. β <α ,γ <α D. α < β ,γ < β
【分析】本题是三种空间角的大小比较问题.
根据最小角定理，即平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线
和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角,所以有 β <α .
由题意知三棱锥 V −ABC 是正三棱锥，因此，二面角 P−AC −B 的大小
与二面角 P−AB−C 的大小相等.
如图,过点 P 作 PO⊥ 底面 ABC ,过点 P 作 PD⊥AB 于点 D ,
连结 OD ,则 ∠PDO 为二面角 P−AB−C 的平面角,所以 ∠PDO= γ ,
连结 OB ,则 ∠PBO = β ,因为 OD<OB ,所以 γ > β .
【解答】B
