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学科网（北京）股份有限公
第8 讲 破解离心率问题之椭双共焦定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共11 小题）
1．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
、
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，点
为椭圆
与双曲线
的
交点，且
，则
取最大值时
的值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，
，
由椭圆的定义得
①，
由双曲线的定义得
②，
①
②得，
，
①
②得，
，
由余弦定理可得
，
所以
③，
设
，
，
所以
，
当
即
时，
最大值为
，
此时，
．
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故选：
．
2．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，
，设椭圆与双曲线的离心
率分别为
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由椭圆与双曲线的几何性质可得，
，
则
，
所以
．
故选：
．
3．已知椭圆
与双曲线
有相同的左右焦点，分别为
、
，椭圆
的离心率为
，
双曲线
的离心率为
，且两曲线在第二象限的公共点为点
，且满足
，则
的值为
A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解：因为
，设
，
，
，
设双曲线的实半轴长为
，半个焦距
，
椭圆的长半轴长为
，半个焦距为
，
由椭圆，双曲线的定义可得
，
，
所以椭圆的离心率
，
所以双曲线的离心率
，
所以
，
故选：
．
4．已知椭圆
与双曲线
的焦点相同，离心率分别为
，
，且满足
，
，
是它们的公共焦点，
是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若
，则双曲线
的离心率为
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A．
B．
C．2
D．
【解答】解：由题意可得双曲线与椭圆的焦距相同，设焦点在
轴上，
设椭圆的方程
，
双曲线的方程为：
，
由题意可得
，
设
，
，
，
在△
中，由余弦定理
，
在双曲线中，
，
椭圆中，
，
所以
，
可得
，
因为足
，
，所以
，
可得
，
所以
，所以
，
故选：
．
5．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
、
，点
是
与
的一个公共点，△
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是一个以
为底的等腰三角形，
，
的离心率是
，则
的离心率是
A．
B．
C．
D．3
【解答】解：根据题意知
的离心率
，
又
，
，
双曲线的离心率
，
故选：
．
6．已知椭圆
与双曲线
，
有相同的
左右焦点
，
．若点
是
与
在第一象限内的交点，且
，设
与
的离心率分别为
，
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
【解答】解：设椭圆与双曲线的焦距为
，再设
，
由题意可得，
，
，
，
，
，
，
，即
．
则
．
令
，则
．
函数
在
上单调递增，
可得
（2）
．
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的取值范围是
．
故选：
．
7．已知椭圆
与双曲线
有相同的左、右焦点
、
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，两曲线的一个公共点为点
，且满足
，则
的值为
A．3
B．
C．7
D．
【解答】解：由题意可得：
．
故选：
．
8．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，
，若点
是
与
在第一象限内的交点，且
，设
与
的离心率分别
为
与
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，
，由椭圆的定义可得
，
由双曲线的定可得
，
解得
，
，
由
，可得
，
即
，
由
，
，可得
，
由
，可得
，
可得
，即
，
则
，
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可设
，则
，
由
在
递增，可得
，
．
则
，
．
故选：
．
9．已知椭圆
与双曲线
的焦点重合，若双曲线的
顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线
，
的离心率分别为
，
，则
的值为
A．1
B．
C．
D．
【解答】解：椭圆
与双曲线
的焦点重合，
可得
，即
，①
若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得
，②
由①②可得
，
，
则
．
故选：
．
10．已知椭圆
与双曲线
有相同的左、右焦点，分别为
，
，椭圆
的离心率为
，
双曲线
的离心率为
，且两曲线在第一象限的公共点
满足
，
则
的值为
A．2
B．3
C．4
D．6
【解答】解：如图，
，
，得
，
，得
．
设椭圆的长轴长为
，双曲线的实轴长为
，
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则
，即
，得
；
，即
，得
．
．
故选：
．
11．已知椭圆
与双曲线
，
有相同的
左、右焦点
，
，若点
是
与
在第一象限内的交点，且
，设
与
的离心率分别为
，
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，
，由椭圆的定义可得
，
由双曲线的定可得
，
解得
，
，
由
，可得
，
即
，
由
，
，可得
，
由
，可得
，
可得
，即
，
则
，
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可设
，则
，
由
在
递增，可得
，
．
故选：
．
二．多选题（共2 小题）
12
．
已
知
椭
圆
与双曲线
的焦点重合
，
分别为
，
的离心率
则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意椭圆
与双曲线
的焦点重合，
可得
，即
，
又
，
，则
，
由
，
则
．
故选：
．
13．已知椭圆
与双曲线
，
有公共的
焦点
，
，设
是
，
的一个交点，
与
的离心率分别是
，
，则下列结论
正确的有
A．
B．△
的面积
C．若
，则
D．若
，则
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【解答】解：由
是
，
的一个交点，所以
①，
②，
①
②
得
，
所
以
，故
正确；
设
，由椭圆焦点三角形面积公式可得
，由双曲线焦点三角形
面积公式可得
，
所以
，所以
，故
正确；
若
，则有
，①
②得
，
所以
，所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
，故
正确；
若
，可得
，
所以可得
，
所以
，所以
，故
错误；
故选：
．
三．填空题（共11 小题）
14．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
、
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，点
为椭圆
与双曲线
的
第一象限的交点，且
，则
取最大值时
的值为
．
【解答】解：设
，
，
由椭圆的定义得
①，
由双曲线的定义得
②，
①
②得，
，
①
②得，
，
由余弦定理可得
，
所以
③，
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设
，
，
所以
，
当
即
时，
最大值为
，
此时，
．
故答案为：
．
15．已知椭圆
与双曲线
有公共的焦
点
，
，设
是
，
的一个交点，
与
的离心率分别是
，
，若
，
则
的最小值为
．
【解答】解：由已知可设
，
，且
，结合椭圆与双曲线的定义可知：
，
，所以
，
，
设焦距为
，则在△
中，由余弦定理得
，两边同除以
得
，即
，当且仅当
，即
时取等号，
故所求的最小值为
．
故答案为：
．
16．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，
，
且两曲线在第一象限的交点为
，若
，且
，则双曲线
的离心率为
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．
【解答】解：令
，由椭圆的方程，可得
，
设
，
由椭圆的定义可得
，
由双曲线的定义可得
，
又
，
所以双曲线的离心率为
．
故答案为：
．
17．已知椭圆
与双曲线
的一条渐近线的交点为
，若点
的横坐标为1，则双曲线的离心率等于
．
【解答】解：当
时，代入椭圆方程：
，解得：
，假设
在第一象
限，则
，
双曲线
（的渐近线方程
，则
在直线
，则
，
双曲线的离心率
，
双曲线的离心率为：
，
故答案为：
．
18．已知椭圆
及双曲线
，均以
为右焦点且都经过点
，则椭圆
与双曲线
的离心率之比为
．
【解答】解：由题意可得，
，设都经过点
为点
，左、右焦点分别为
、
，
学科网（北京）股份有限公
则
，
，
，
，又
，
，
，
，
，
又
，
，
椭圆
与双曲线
的离心率之比为
，即
，
故答案为：
．
19．已知椭圆
与双曲线
，
有相同的
焦点
，
，若点
是
与
在第一象限内的交点，且
，设
与
的离
心率分别为
，
，则
的取值范围是
，
．
【解答】解：设
，
由椭圆的定义可得
，
由双曲线的定义可得
，
可得
，
则
，即
，
由
，可得
，
且
，
则
，
令
，即
，可得
，
可得
，
由
，可得
，
则
的取值范围是
，
．
故答案为：
，
．
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20．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点，其左，右焦点分
别为
、
，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为
，且
，则双曲线的离心
率为
．
【解答】解：如图：在椭圆中
，
，
由椭圆定义得
，
在双曲线中
，
所以双曲线实轴长为：
，实半轴长为
，
所以双曲线的离心率为
．
故答案为：
．
21．已知椭圆
与双曲线
有相同的左右焦点
，
，
为椭圆
与双曲线
在第一
象限内的一个公共点，设椭圆
与双曲线
的离心率分别为
，
，且
，若
，则椭圆
的离心率为
．
【解答】解：设椭圆
，双曲线
，依题意
，
且
，
学科网（北京）股份有限公
，则
，①由圆锥曲线定义，得
，且
，
，
．在△
中，由余弦定理，得：
，
，
则
，
，双曲线
的离心率分别为
．
且
，
则椭圆
的离心率为：
．
故答案为：
．
22．已知椭圆
与双曲线
共焦点，
、
分别为左、右焦点，
曲线
与
在第一象限交点为
，且离心率之积为1．若
，则该双
曲线的离心率为
．
【解答】解：如图，
如图，由椭圆定义，
，①
由双曲线定义，
，②
联立①②，得
，
，
在△
中，由
，
得
，即
，则
．
．
由
，得
，
则
，即
，
解得
，
双曲线的离心率大于1，
该双曲线的离心率为
．
学科网（北京）股份有限公
故答案为：
．
23．已知椭圆
与双曲线
的离心率分别为
，
，且有公共的焦点
，
，则
0
，若
为两曲线的一个交点，则
．
【解答】解：由题意可知双曲线的焦点在
轴上，故而椭圆的焦点在
轴上，
，即
．
椭圆的离心率
，双曲线的离心率
，
．
在椭圆上，
，
又
在双曲线上，
，
不妨设
，则
，
，
．
故答案为：0，3．
24．已知椭圆
与双曲线
有公共的焦点
、
，且在第一象
限交点为
，且
．若
与
的离心率分别为
、
，则
的最大值为
．
【解答】解：设
，
，则
，
，
，
，
，
，在△
中，由余弦定理可得：
，
学科网（北京）股份有限公
化为
，
由柯西不等式得
（或采用三角换元求解也行）
故答案为：
