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第2 讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式
一．选择题（共5 小题）
1．已知点
是双曲线
上的动点，
，
为该双曲线的左右焦点，
为坐标原
点，则
的最大值为
A．
B．2
C．
D．
2．已知双曲线
的右支上的点
，
满足
，
分
别是双曲线的左右焦点），则
为双曲线
的半焦距）的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．已知点
是双曲线
上的动点，
，
分别是其左、右焦点，
为坐标原点，若
的最大值是
，则此双曲线的离心率是
A．
B．
C．
D．2
4．已知
为抛物线
的焦点，过
作两条互相垂直的直线
，
，直线
与
交
于
，
两点，直线
与
交于
，
两点，则当
取得最小值时，四边形
的面积为
A．32
B．16
C．24
D．8
5．过椭圆
的右焦点
作两条相互垂直的直线分别交椭圆于
，
，
，
四
点，则
的值为
A．
B．
C．1
D．
二．填空题（共3 小题）
6．已知
是椭圆
上的动点，
，
分别是其左右焦点，
是坐标原点，则
的取值范围是 ．
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7．已知
为抛物线
的焦点，过
作两条互相垂直的直线
，
，直线
与
交
于
、
两点，直线
与
交于
、
两点，则
的值为 ．
8．已知
为抛物线
的焦点，过
作两条互相垂直的直线
，
，直线
与
交
于
、
两点，直线
与
交于
、
两点，则
的最小值为 ．
三．解答题（共6 小题）
9．已知斜率为的直线与椭圆
交于
，
两点，线段
的中点
为
，
．
（1）证明：
；
（2）设
为
的右焦点，
为
上一点，且
．证明：
，
，
成等差数列，并求该数列的公差．
10．已知斜率为
的直线与椭圆
交于
、
两点，线段
的中点为
，
．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）设
为
的右焦点，
为
上的一点，且
，证明：
，
，
成等差数列．
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11．已知
、
是椭圆
的左、右焦点，且离心率
，点
为椭圆
上的一个动点，△
的内切圆面积的最大值为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若
，
，
，
是椭圆上不重合的四个点，满足向量
与
共线，
与
共线，且
，求
的取值范围．
12．已知椭圆
经过点
，且椭圆的离心率
，过椭圆的右
焦点
作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点
、
及
、
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：
为定值；
（Ⅲ）求
的最小值．
13．已知椭圆
的长轴长为4，离心率为
，一动圆
过椭圆
右
焦点
，且与直线
相切．
（1）求椭圆
的方程及动圆圆心轨迹
的方程；
（2）过
作两条互相垂直的直线，分别交椭圆
于
，
两点，交曲线
于
，
两
点，求四边形
面积的最小值．
14．平面直角坐标系
中，已知
为椭圆
的右焦点，且
，过
作
两条互相垂直的直线交椭圆分别于
、
与
、
．以
为极点，
轴正半轴为极轴建立
极坐标系．
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（Ⅰ）求椭圆的极坐标方程与
的代数表达式；
（Ⅱ）求
的取值范围．
