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第22 讲 轨迹方程
一．选择题（共5 小题）
1．过点
斜率为正的直线交椭圆
于
，
两点．
，
是椭圆上相异的
两点，满足
，
分别平分
，
，则
外接圆半径的最小值为
A．
B．
C．
D．
2．方程
表示
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
3．若动圆过定点
且和定圆
外切，则动圆圆心
的轨迹为
A．双曲线
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线一支
4．已知圆
和圆
，动圆
同时与圆
及圆
相外切，
则动圆圆心
的轨迹方程为
A．
B．
C．
D．
5．已知
是抛物线
的焦点，
是该抛物线上的动点，则线段
中点轨迹方程是
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共7 小题）
6．两定点的坐标分别为
，
，动点满足条件
，动点
的轨
迹方程是 ．
7．设圆
的圆心为
，
是圆内一定点，
为圆周上任一点，线段
的垂直平分线与
的连线交于点
，则
的轨迹方程为
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8．已知点
，
，圆
，点
是圆上一动点，
的垂直平分
线与
交于
点，则点
的轨迹方程为 ．
9．已知圆
，圆
，动圆
与圆
外切并且与圆
内切，
圆心
的轨迹为曲线
，则
的方程为 ．
10．方程
所表示的曲线是
．
11．若动点
到定点
的距离是它到直线
的距离的
倍，则动点
的轨迹
方程是 ．
12．在平面直角坐标系
中，直线
与椭圆
交于两点
、
，且
、
，
、
分别为椭圆的左、右顶点，则直线
与
的交点
所在的曲线方程为 ．
三．解答题（共28 小题）
13．已知点
，
，动点
满足直线
与
的斜率之积为
，记
的轨迹为曲线
，求
的方程，并说明
是什么曲线．
14．已知坐标平面上点
与两个定点
，
的距离之比等于5．
（1）求点
的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为
，线段
，点
为
上一点，点
，求
的中点
的
轨迹方程．
15．设圆
的圆心为
，直线过点
且与
轴不重合，交圆
于
，
两点，过
作
的平行线交
于点
，求点
的轨迹方程．
16．已知圆
，圆
，动圆
与圆
外切并且与圆
内
切，圆心
的轨迹为曲线
．
（1）求曲线
的方程；
（2）过点
作圆
的两条切线，切点分别为
，
，求直线
被曲线
截得的弦
的中点坐标．
17．已知圆
，圆
，动圆
与圆
外切并且与圆
内
切，圆心
的轨迹为曲线
．
（1）求
的方程；
（2）若直线
与曲线
相切，求
的值．
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18．已知圆
，圆
，动圆
与圆
外切并且与圆
内
切，圆心
的轨迹为曲线
．求
的方程．
19．已知圆
的方程为
，定点
，求过定点
且和圆
外切的动圆
圆心
的轨迹方程．
20．已知两圆
，
．动圆
与两圆都相切，求动圆圆
心
的轨迹方程．
21．在三角形
中，
，
的内切圆与
相切于点
，
，
求顶点
的轨迹方程．
22．直角三角形
的直角顶点
为动点，
，
，
，作
于
，
动点
满足
，当动点
运动时，点
的轨迹为曲线
，
（1）求曲线
的轨迹方程；
（2）求曲线
的轨迹方程；
（3）设直线
与曲线
交于
、
两点，坐标原点
到直线
的距离为
，求
的
最大值．
23．动点
到点
的距离与它到直线
的距离相等，求动点
的轨迹方程．
24．若动圆
与圆
外切，又与直线
相切，求动圆圆心的轨迹方
程．
25．设
为坐标原点，动点
在椭圆
上，过
作
轴的垂线，垂足为
，
点
满足
．求点
的轨迹方程．
26 ．在平面直角坐标系
中，点
，
为动点，
，
分别为椭圆
的左、右焦点．已知△
为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线
与椭圆相交于
，
两点，
是直线
上的点，满足
，
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求点
的轨迹方程．
27．设
，点
的坐标为
，点
在抛物线
上运动，点
满足，
经
过点
与
轴垂直的直线交抛物线于点
，点
满足
，求点
的轨迹方程．
28．已知抛物线
的焦点为
，平行于
轴的两条直线
，
分别交
于
，
两点，交
的准线于
，
两点．
（Ⅰ）若
在线段
上，
是
的中点，证明
；
（Ⅱ）若
的面积是
的面积的两倍，求
中点的轨迹方程．
29．已知点
，
，动点
满足
为
和
的等差中项．
（1）求动点
的轨迹
的方程；
（2）过
作直线
交
于
，
两点，求
的中点
的轨迹方程．
30．已知点
，圆
，过点
的动直线与圆
交于
，
两点，线
段
的中点为
，
为坐标原点．求
的轨迹方程．
31．在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
为参数，
．
（1）求曲线
的直角坐标方程；
（2）已知直线的参数方程为
为参数，
，点
，并且直线与曲
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线
交于
，
两点，求
．
32 ．如图，椭圆
，
，
为常数），动圆
，
．点
，
分别为
的左，右顶点，
与
相交于
，
，
，
四点．
（Ⅰ）求直线
与直线
交点
的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆
与
相交
，
，
，
四点，其中
，
．若
矩形
与矩形
的面积相等，证明：
为定值．
33．已知
是抛物线
的顶点，
、
是
上的两个动点，且
．
（1）试判断直线
是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；
（2）设点
是
的外接圆圆心，求点
的轨迹方程．
34．已知椭圆
与抛物线
有公共的焦点，且抛物线的准
线被椭圆截得的弦长为3．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过椭圆
的右焦点作一条斜率为
的直线交椭圆于
，
两点，交
轴于点
，
为弦
的中点，过点
作直线
的垂线交
于点
，问是否存在一定点
，使得
的长度为定值？若存在，则求出点
，若不存在，请说明理由．
35．已知椭圆
的离心率为
，椭圆
的下顶点和上顶点分别为
，
，且
，过点
且斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）当
时，求
的面积；
（Ⅲ）求证：直线
与直线
的交点
的纵坐标为定值．
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36．已知椭圆
的离心率为
，直线
被椭圆截得的线段长为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设过椭圆
的右焦点
与坐标轴不垂直的直线交
于点
，
，交
轴于点
，
为线段
的中点，
且
为垂足．问：是否存在定点
，使得
的长为定值？
若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
37 ．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
．点
在
上，
，△
的周长为
，面积为
．
（1）求
的方程．
（2）设
的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与
交于
，
两点，记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，则____．（从以下①②③三个问题中任选一个填
到横线上并给出解答）．
①求直线
和
交点的轨迹方程；
②是否存在实常数
，使得
恒成立；
③过点
作关于
轴的对称点
，连结
，
得到直线
，试探究：直线
是否恒过定点．
38 ．已知抛物线
，直线
交于抛物线
于
、
两点，
．
（1）求抛物线
的方程．
（2）互相垂直的直线
、
分别切抛物线
于
、
两点，试求两切线交点的轨迹方程．
39．已知椭圆
的离心率为
，其中一个顶点是双曲线
的
焦点．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过点
的直线与椭圆
相交于不同的两点
，
，过点
，
分别作椭圆的
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两条切线，求其交点的轨迹方程．
40．
为一定点，
是
轴上的一动点，
轴上的点
满足
，若点
满足
，求：
（1）点
的轨迹曲线
的方程；
（2）曲线
的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹．
