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第25 讲 三角形面积问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共19 小题）
1．已知焦点在
轴上的椭圆
上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆
经过点
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过椭圆
的右焦点
作与
轴垂直的直线
，直线
上存在
、
两点满足
，求
面积的最小值．
（3）若与
轴不垂直的直线交椭圆
于
、
两点，交
轴于定点
，线段
的垂直
平分线交
轴于点
，且
为定值，求点
的坐标．
【解答】解：（1）设椭圆的方程为
，椭圆
上的点到两个焦点的距
离和为10，所以
，
，
又椭圆
经过点
，代入椭圆方程，求得
，
所以椭圆的方程为：
；
（2）设
，
，
，
由
，所以
，
，故
面积的最小值为9；
（3）设直线的方程为：
，则点
，
联立
，消去
得
，
，
，
所以
，
则
的中点
的坐标为
，又
，得
，
则直线
的方程为：
，
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令
，得
点的坐标为
，则
，
所以
，
当且仅当
时，比值为定值，此时点
，为
，
故
或
．
2．如图，椭圆
的离心率为
，其左焦点到椭圆上点的最远距离为
3，点
为椭圆外一点，不过原点
的直线与
相交于
，
两点，且线段
被直
线
平分．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）求
面积最大值时的直线的方程．
【解答】解：（1）由题意可知：
，
左焦点
到椭圆上点的最远距离为3，
即使
，可解得：
，
，
，
所求椭圆
的方程为：
；
（4 分）
（2）易得直线
的方程：
，
设
，
，
，
，
，
其中
，
，
在椭圆上，
，
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（6 分）
设直线
的方程为
，
代
入
椭
圆
：
，
整
理
得
：
，
根据韦达定理可知：
，
，
（8 分）
，
点
到直线的距离为：
丨
丨
丨
丨，
，
（10 分）
当
时，
取最大值，
此时直线的方程
．
（12 分）
3．如图，椭圆
的离心率为
，其左焦点到点
的距离为
，
不过原点
的直线与
相交于
、
两点，且线段
被直线
平分．
（1）求椭圆
的方程；
（2）求直线的斜率；
（3）求
面积的最大值．
【解答】解：（1 ）设椭圆的左焦点的坐标为
，则由已知可得
，且
，
解得
，
，所以
，
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所以椭圆
的方程为
；
（2）设
，
，
，
，
的中点为
，
，
则
，两式作差可得：
，
又
，且
，即
，
所以
，
故直线的斜率为
；
（3）由（2）设直线的方程为
，
则点
到直线的距离为
，
联立方程
，消去
整理可得：
，
所以
，
所以
，
所以三角形
的面积为
，
当且仅当
，即
时取等号，
此时三角形
的面积的最大值为
．
4．已知点
，椭圆
的长轴长是短轴长的2 倍，
是椭圆
的右焦点，直线
的斜率为
，
为坐标原点．
（1）求椭圆
的方程；
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（2）设过点
的动直线与椭圆
相交于
，
两点．当
的面积最大时，求
直线的方程．
【解答】解：（1）设
，由条件知
．
又
，可得
，
，
椭圆
的方程：
．
（2）依题意当
轴不合题意，故设直线
，设
，
，
，
将
代入椭圆
的方程：
．得
，
当△
，即
．
，
从而
．
又点
到直线
的距离
．
所以
的面积
设
，则
，
．
当且仅当
，
等号成立，且满足△
，
所以当
的面积最大时，的方程为：
或
．
5．已知
为抛物线
的焦点，点
在该抛物线上且位于
轴的两侧，
（其中
为坐标原点）．
（1）求证：直线
过定点；
（2）求
与
面积之和的最小值．
【解答】解：（1）设直线
的方程为：
，点
，
，
，
，由
，可得
，①，
点
，
，
，
在抛物线上可得
，
，②
由①②可得
或1（舍去），
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由
可得
根据韦达定理有
，
直线
过定点
；
（2）
点
，
位于
轴的两侧，不妨设
在
轴的上方，则
，又焦点
，
．
当且仅当
，取“
”号，
与
面积之和的最小值是3，
6．如图，已知点
是
轴左侧（不含
轴）一点，点
为抛物线
的焦点，且抛
物线
上存在不同的两点
，
．
（1）若
中点为
，且满足
，
的中点均在
上，证明：
垂直于
轴；
（2）若点
，
在该抛物线上且位于
轴的两侧，
为坐标原点），且
与
的面积分别为
和
，求
最小值．
【解答】解：（1）证明：设
，
，
，
，
，
，
因为直线
，
的中点在抛物线上，
所以
，
为方程
的两个根，
即
，的两个不同的实数根，
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所以
，
所以
垂直于
轴．
（2）根据题意可得
，
，
设
，
，
，
，则
，
，
所以
，则
或
，
因为
，
位于
轴的两侧，所以
，
设直线
的方程为
，
联立
，得
，
所以
，则
，
所以直线过定点
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
故
的最小值为6．
7．如图，已知点
是
轴左侧（不含
轴）一点，抛物线
上存在不同的两点
，
满足
，
的中点均在
上．
（Ⅰ）设
中点为
，证明：
垂直于
轴；
（Ⅱ）若
是半椭圆
上的动点，求
面积的取值范围．
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【解答】解：（Ⅰ）证明：可设
，
，
，
，
，
中点为
的坐标为
，
，
抛物线
上存在不同的两点
，
满足
，
的中点均在
上，
可得
，
，
化简可得
，
为关于
的方程
的两根，
可得
，
，
可得
，
则
垂直于
轴；
（另解：设
，
的中点分别为
，
，
交
于
，
为
的中位线，
，又
为
的中点，
为
的中点，
设
，
，
由
，
，
，
解得
，所以
垂直于
轴）
（Ⅱ）若
是半椭圆
上的动点，
可得
，
，
，
由（Ⅰ）可得
，
，
由
垂直于
轴，可得
面积为
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，
可令
，
可得
时，取得最大值
；
时，取得最小值2，
即
，
则
在
递增，可得
，
，
面积的取值范围为
，
．
8．已知椭圆
，
，
为左、右焦点，直线过
交椭圆于
，
两点．
（1）若直线垂直于
轴，求
；
（2）当
时，
在
轴上方时，求
、
的坐标；
（3）若直线
交
轴于
，直线
交
轴于
，是否存在直线，使得
，
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）依题意，
，当
轴时，则
，
，得
；
（2）设
，
，
，
，
又
在椭圆上，满足
，即
，
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，解得
，即
．
直线
，
联立
，解得
，
；
（3）设
，
，
，
，
，
，
直线
，
则
，
．
联立
，得
．
则
，
．
由直线
的方程：
，得
纵坐标
；
由直线
的方程：
，得
的纵坐标
．
若
，即
，
，
，
，
代入根与系数的关系，得
，解得
．
存在直线
或
满足题意．
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9．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过右焦点
且斜率为1
的直线交椭圆于
，
两点，
为弦
的中点，且
的斜率为
．
（1）求椭圆
的离心率的值；
（2）若
，为过椭圆
的右焦点
的任意直线，且直线交椭圆
于点
，
，
求△
内切圆面积的最大值．
【解答】解：（1）设点
的坐标为
，
，点
的坐标为
，
，则线段
的中点
为
，
直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
所以，直线
和直线
的斜率之积为
，
由于点
、
在椭圆
上，则有
，
上述两式相减得
，化简得
，所以，
，
因此，椭圆的离心率为
；
（2）由（1）知，
，由于
，得
，由于
，得
，所以，
，
，
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所以，椭圆
的标准方程为
，
△
的周长为
，
椭圆
的右焦点为
，设直线的方程为
，设点
，
、
，
，
将直线的方程代入椭圆
的方程并化简得
，
△
，
由韦达定理可得
，
，
△
的
面
积
为
令
，则
，所以，
，
由于函数
在区间
，
上单调递增，
所以，当
时，△
的面积取到最大值
，
设△
的内切圆的半径为
，则
，所以，
，
当△
的面积取到最大值时，其内切圆的半径
取到最大值
，
因此，△
内切圆面积的最大值为
．
10．已知椭圆
的左、右焦点分别是
和
，离心率为
，以
在
椭圆
上，且△
的面积的最大值为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）直线过椭圆
右焦点
，交该椭圆于
、
两点，
中点为
，射线
交椭圆
于
，记
的面积为
，
的面积为
，若
，求直线的方程．
【解答】解：（1 ）依题意，显然当
在短轴端点时，△
的面积最大为
，
即
，又由离心率为
，
，
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解得
，
，
，
所以椭圆
的方程为
．
（2）因为
，
所以
，
所以
，所以
，
当
斜率不存在时，
，不合题意，
当
斜率存在时，设直线方程为
，
设点
，
，
，
，
则
，两式作差得：
，
即
，
故直线
的方程为：
，
联立
，解得
，
联立
，解得
，
因为
，所以
，
即
，解得：
，
所以直线
的方程为
．
11．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，离心率
，点
在椭圆
上，直线过
交椭圆于
，
两点．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）当
时，点
在
轴上方时，求点
，
的坐标；
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（3）若直线
交
轴于点
，直线
交
轴于点
，是否存在直线，使得
与
的面积满足
，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知，
，
，又
，
联立方程组可解得：
，
，
所以椭圆
的方程为
．
（2）设
，依题意，
，
，因为
，所以
，
即
，
又
在椭圆上，满足
，即
，
，
解得
，即
，
直线
，
联立方程组
，解得
．
（3 ）存在直线
或
，使得
与
的面积满足
，
设
，
，
，
，
，
，
直线
（斜率不存在时不满足题意），
则
，
．
联立方程组
，整理得
．
则
，
．
由直线
的方程：
，得
纵坐标
．
由直线
的方程：
，得
纵坐标
，
由
，得
．
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所以
，
所以
，
，
代入根与系数的关系式，得
，解得
．
存在直线
或
满足题意．
12．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
，椭圆离心
率
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）直线过椭圆的右焦点
，交椭圆于
，
两点，若△
的面积为
，求直线
的方程．
【解答】解：（1）可得
，
，
，
椭圆
的方程为：
．
（2）
，该直线的方程设为
，
联立
可得
．
设
，
，
，
，则
，
．
△
的面积
．
解得
．
直线的方程为
．
13．已知椭圆
的离心率为
，其左、右焦点分别为
，
，点
，
是坐标平面内一点，且
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
且斜率为
的动直线交椭圆于
、
两点，问：在
轴上是否存在定
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点
，使以
为直径的圆恒过这个点？若存在，求出
的坐标和
面积的最大
值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设
，
，
由
，即为
，
，
，
即有
，又
，
解得
，又
，则
，
，
因此所求椭圆的方程为：
；
（2）动直线的方程为
，
由
，得
，
设
，
，
，
，
则
，
，
假设在
轴上存在定点
，满足题设，则
，
，
，
，
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，
由假设得对于任意的
，
恒成立，
即
，解得
．
因此，在
轴上存在定点
，使得以
为直径的圆恒过这个点，
点
的坐标为
这时，点
到
的距离
，
，
，
设
则
得
，
，
，
，
所以
，
当且仅当
时，上式等号成立．因此，
面积的最大值是
．
14．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
，过椭圆右
焦点的直线交椭圆于
，
两点，△
的周长为8，
为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求
面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）因为过椭圆右焦点的直线交椭圆于
，
两点，△
的周长
为8，
则由椭圆的定义可得
，所以
，
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又
，所以
，则
，
故椭圆的方程为
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）值，
，
则可设直线
的方程为：
，
代入椭圆方程可得：
，
设
，
，
，
，则
，
，
所以
，
原点到直线
的距离为
，
所以三角形
的面积为
，令
，
所以
，当
时，函数
单调递增，
所以当
时，
，
故三角形
的面积的最大值为
．
15．已知抛物线
上有一点
到焦点
的距离为
．
（Ⅰ）求
及
的值；
（Ⅱ）如图，设直线
与抛物线交于两点
，
，
，
，且
，
过弦
的中点
作垂直于
轴的直线与抛物线交于点
，连接
，
．试判断
的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由．
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【解答】解：
由抛物线
，可得焦点
，
抛物线上的点
到焦点
的距离为
．
，
．
，
把
代入抛物线方程，解得
．
联立
，得：
，△
，即
，
，
．
，
，
，
，
的面积
．
16．已知点
是抛物线
上的动点，点
到抛物线准线与到点
，
的距离之和的最小值为
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）如图，设直线
与抛物线
交于两点
，
，
，
且
，
过弦
的中点
作垂直于
轴的直线与抛物线
交于点
，求
的面积．
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【解答】解：（1）
点
到抛物线准线与到点
，
的距离之和的最小值为
，
点
到抛物线的焦点与到点
，
的距离之和的最小值为
，
，
，
抛物线
的方程为
；
（2 ）联立直线
与抛物线
得：
，△
，即
，
，
．
，
，
，
，
，
，
的面积
．
17．如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率是
，曲线
是抛物线
在椭圆
内的一部分，抛物线
的焦点
在椭圆
上．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
是
上的动点，且位于第一象限，
在点
处的切线与
交于不同的两点
，
，线段
的中点为
，直线
与过
且垂直于
轴的直线交于点
．
（ⅰ）求证：点
在定直线上；
（ⅱ）直线与
轴交于点
，记
的面积为
，
的面积为
，求
的最大
值及取得最大值时点
的坐标．
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【解答】解：（1）抛物线
的焦点
，因为
在椭圆
上，
所以
，
又因为离心率
，
所以可得
，
所以椭圆的方程为：
；
（2）
设
，
，
因为
，所以
，
在
点的切线的方程
，即
，
设
，
，
，
，
，
联立
，整理可得：
，
由△
，得
且
，
，
因此
，将其代入
，得
，
所以
，所以直线
的方程为
，
联立方程
，解得点
的纵坐标为
，
所以点
在定直线
上；
由
知直线的方程为
，
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令
，得
，所以
，
又
，
，
，
，
所以
，
，
，设
，
则
，
当
，即
时，
取到最大值
，
此时
，满足
式，
所以点
的坐标为
，
．
18．已知
，椭圆
的离心率
，
是椭圆
的右焦点，直
线
的斜率为
，
为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点
的动直线与椭圆
相交于
，
两点，当
的面积最大时，求直线
的方程．
【解答】解：（1）设
，
由条件知
，得
，
又
，
所以
，
，
故
的方程
；
（2）依题意当
轴不合题意，
故设直线
，设
，
，
，
，
将
代入
，得
，
学科网（北京）股份有限公司
当△
，可得
，即
或
，
，
，
从而
，
又点
到直线
的距离
，
所以
的面积
，
设
，则
，
，
当且仅当
，
等号成立，且满足△
，
所以当
的面积最大时，
的方程为：
或
．
19．椭圆
的离心率为
，其右焦点到椭圆
外一点
的距离
为
，不过原点
的直线与椭圆
相交于
，
两点，且线段
的长度为2．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）求
面积
的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆右焦点为
，则由题意得
得
或
（舍去），
所以椭圆方程为
．
（Ⅱ）因为线段
的长等于椭圆短轴的长，要使三点
、
、
能构成三角形，直线
不过原点
，则弦
与
垂直，故可设直线
程为
，
学科网（北京）股份有限公司
由
消去
，并整理，得
，
设
，
，
，
，又△
，
所以
，
，
因为
，所以
，即
，
所以
，即
，
因为
，所以
．
又点
到直线
的距离
，因为
，
所以
，
所以
，即
的最大值为
