文档内容
几何-直线型几何-鸟头模型-3 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
鸟头模型 C 1.能够准确的理解鸟头模型的概念 少考
2.灵活应用鸟头模型解决复杂的几
何问题
知识提要
鸟头模型
概念
两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。
特征
共角三角形的面积比等于共角（相等角或者互补角）两夹边的乘积之比。
$S_{\triangle ABC}\mathbin{:}S_{\triangle ADE}=(AB\times AC)\mathbin{:}(AD\times AE)$精选例题
鸟头模型
1. 如下图所示，点 Qʹ 和 Rʹ 三等分 XʹX，Rʹ 和 Pʹ 三等分 YʹY，Qʹ 和 Pʹ 三等分 ZʹZ．
△PQR 面积是 △PʹQʹRʹ 面积的 倍．
【答案】 25
【分析】 连接 ZYʹ,XʹY ,XZʹ，根据鸟头模型，可以得到 △PʹYʹZ,△XʹYRʹ,△XQʹZʹ
都是 △PʹQʹRʹ 的 4 倍，那么可以得到平行四边形 PZPʹYʹ、XʹRʹYR、XQʹZʹQ 均为△PʹQʹRʹ 的 8 倍，图中的三个小三角形的面积都与 △PʹQʹRʹ 的面积相等，那么 △PQR
面积是 △PʹQʹRʹ 面积的 8×3+1=25(倍)．
1 1
2. 如图所示，正方形 ABCD 边长为 6 厘米，AE= AC，CF= BC．三角形 DEF 的面
3 3
积为 平方厘米．
【答案】 10
【分析】 由题意知
1 1
AE= AC、CF= BC,
3 3
可得
2
CE= AC.
3
根据”共角定理”可得，
S :S =(CF×CE):(CB×AC)=(1×2):(3×3)=2:9;
△CEF △ABC
而
S =6×6÷2=18;
△ABC
所以
S =4;
△CEF
同理得，
S :S =2:3,
△CDE △ACD
S =18÷3×2=12,
△CDE
S =6
△CDF
故
S
△≝¿=S +S -S =4+12-6=10(平方厘米).¿
△CEF △DEC △DFC1 1 1
3. 如下图所示，三角形 ABC 的面积为 1，且 AD= AB,BE= BC,CF= CA，则三角
3 4 5
形 DEF 的面积是 ．
5
【答案】
12
【分析】 先分别求出 △ADF、△BDE、△CEF 的面积，再用 △ABC 的面积减去
这三个三角形的面积即为 △≝¿ 的面积．
1 1 4
因为，AD= AB,CF= CA，所以，AF= AC，根据“鸟头定理”，
3 5 5
4 1 4 2 1 1 3 1 3
S = × S = ，同理可得，S = × ×1= ，S = × ×1= ，所以
△ADF 5 3 △ABC 15 △BDE 3 4 6 △CEF 4 5 20
S
4 1 3 5 ．
△≝¿=1- - - = ¿
15 6 20 12
4. 如图，三角形 ABC 中，延长 BA 到 D，使 DA＝AB，延长 CA 到 E，使
EA＝2AC，延长 CB 到 F，使 FB＝3BC．如果三角形 ABC 的面积是 1，那么三角
形 DEF 的面积是 ．【答案】 7
【分析】 S :S =(1×1):(3×4)=1:12，所以 S =12，
△CAB △CEF △CEF
S :S =(1×1):(1×2)=1:2，所以 S =2，
△ABC △ADE △ADE
S :S =(1×1):(2×3)=1:6，所以 S =6，
△BAC △BDF △BDF
所以
S =S -S +S -S
△≝¿¿ △CEF △ABC △ADE △BDF
=12-1+2-6
=7.
5. 如图．将三角形 ABC 的 AB 边延长 1 倍到 D，BC 边延长 2 倍到 E，CA 边延长
3 倍到 F．如果三角形 ABC 的面积等于 1，那么三角形 DEF 的面积是
．【答案】 18
【分析】 （法 1）连接 AE、CD．
S 1
因为 △ABC = ，S =1，所以 S =1．
S 1 △ABC △DBC
△DBC
同理可得其它，最后三角形 DEF 的面积 =18．
（法 2）用共角定理因为在 △ABC 和 △CFE 中，∠ACB 与 ∠FCE 互补，所以
S AC⋅BC 1×1 1
△ABC = = = .
S FC⋅CE 4×2 8
△FCE
又 S =1，所以 S =8．
△ABC △FCE
同理可得 S =6，S =3．
△ADF △BDE
所以
S =S +S +S +S
△≝¿¿ △ABC △FCE △ADF △BDE
=1+8+6+3
=18.6. 如图，将四边形 ABCD 的四条边 AB、CB、CD、AD 分别延长两倍至点 E、F、G、
H，若四边形 ABCD 的面积为 5，则四边形 EFGH 的面积是 ．
【答案】 60
【分析】 连接 AC、BD．
由于
BE=2AB,BF=2BC,
于是
S =4S ,
△BEF △ABC
同理S =4S ,
△HDG △ADC
于是
S +S =4S +4S =4S ,
△BEF △HDG △ABC △ADC ABCD
再由于
AE=3AB,AH=3AD,
于是
S =9S ,
△AEH △ABD
同理
S =9S ,
△CFG △CBD
于是
S +S =9S +9S =9S ,
△AEH △CFG △ABD △CBD ABCD
那么
S =S +S +S +S -S
EFGH △BEF △HDG △AEH △CFG ABCD
¿ =12S
ABCD
¿ ¿
1 1
7. 正方形 ABCD 边长为 6 厘米，AE= AC,CF= BC．三角形 DEF 的面积为
3 3
平方厘米．
【答案】 10
【分析】 正方形的面积为 6×6=36(平方厘米)，那么根据鸟头模型可以得出
1 1 1
S = ×S = × ×36=6(平方厘米),
△ADE 3 △ACD 3 21 1 1
S = ×S = × ×36=6(平方厘米),
△CDF 3 △BCD 3 2
1 2
S =S -S =18-18× × =14(平方厘米),
ABFE △ABC △CEF 3 3
阴影部分面积为 36-6-6-14=10(平方厘米)．
8. 如图，在 △ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 E、F 是边 BC 的三等分点，若
△ABC 的面积为 1，那么四边形 CDMF 的面积是 ．
7
【答案】
30
【分析】 由于点 D 是边 AC 的中点，点 E、F 是边 BC 的三等分点，如果能求
出 BN、NM、MD 三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四
边形 CDMF 的面积．
连接 CM、CN．
根据燕尾模型，
S :S =BF:CF=2:1,
△ABM △ACM
S =2S ,
△ACM △ADM
S =2S =4S ,
△ABM △ACM △ADM
那么 BM=4DM，即
4
BM= BD.
5那么
BM BF 4 2 1 4
S = × ×S = × × = ,
△BMF BD BC △BCD 5 3 2 15
1 ４ 7
S = - = .
四边形CDMF 2 15 30
另解：得出 S =2S =4S 后，可得
△ABM △ACM △ADM
1 1 1 1
S = S = × = ,
△ADM 5 △ABD 5 2 10
则
1 1 7
S =S -S = - = .
四边形CDMF △ACF △ADM 3 10 30
9. 如图，P 为四边形 ABCD 内部的点，AB:BC:DA=3:1:2，∠DAB=∠CBA=60°．
图中所有三角形的面积都是整数．如果三角形 PAD 和 三角形 PBC 的面积分别为 20 和
17，那么四边形 ABCD 的面积最大是 ．
【答案】 147
【分析】 延长 AD，BC 交于点 Q，连接 PQ．∠DAB=∠CBA=60°，所以三角形 ABQ 为正三角形．
由于
AB:BC:DA=3:1:2,
所以 PCQD 的面积为
20÷2+17×2=44;
而三角形 QCD 面积占 QAB 面积 的
1 2 2
× = ,
3 3 9
ABCD 面积是 QCD 面积的
2 2 7
(1- )÷ = .
9 9 2
注意到 ABCD 中各三角形面积均为整数，所以 QAB 面积为 9 的倍数．QCD 面积是 2
的倍数，所以 QCD 面积最大为 42，ABCD 面积最大为
7
42× =147.
2
10. 如图，AD=DB，AE=EF=FC，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，△ABC 的面积是
平方厘米．
【答案】 30 平方厘米【分析】 S =S ，
△ADE △≝¿¿
S :S =(AD×AE):(AB×AC)
△ADE △ABC
¿ =1:6,
所以
S =5×6=30(平方厘米).
△ABC
11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，AF=2CF，三角形 AFE（图中阴
影部分）的面积为 8 平方厘米．平行四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米？
【答案】 48 平方厘米
S :S =(AE×AF):(AB×AC)
【分析】 △AEF △ABC
¿ =1:3,
S =3S =3×8=24,S =2×24=48(平方厘米)．
△ABC △AEF 四边形ABCD
12. 已知 △CEF 的面积为 9 平方厘米，BE=CE,AD=2BD，CF=3AF，求 △≝¿ 的面
积．【答案】 7 平方厘米．
【分析】
S :S =(CE×CF):(CB×CA)
△CEF △ABC
¿ =3:8
¿ ¿
所以三角形 ABC 的面积为 24 平方厘米
S :S =(BD×BE):(BA×BC)
△BDE △ABC
¿ =1:6
¿ ¿
S :S =(AD×AF):(AB×AC)
△ADF △ABC
¿ =1:6
¿ ¿
所以
S
△≝¿=24-4-4-9=7(平方厘米).¿
13. 如图，把三角形 DEF 的各边向外延长 1 倍后得到三角形 ABC，三角形 ABC 的面积为
1．三角形 DEF 的面积是多少？
1
【答案】
7
【分析】 令三角形DEF为 1 份，则根据共角模型，有：
S EF×DF 1
△≝¿ = = .¿
S CF×FA 2
△AFC
所以三角形 AFC 的面积为 2 份，同理，三角形 ABD 的面积为 2 份，三角形 BEF 的面
1
积为 2 份．则三角形 ABC 的面积为 7 份，对应面积为 1，所以 S = ．
三角形DEF 714. 如图，三角形 ABC 的面积为 3，其中 AB:BE＝2:5，BC:CD＝3:2，三角形 BDE
的面积是多少？
【答案】 12.5
【分析】 BC:BD=3:(3+2)=3:5，S :S =(2×3):(5×5)=6:25，
△ABC △BDE
25 25
S = S = ×3=12.5．
△ABC 6 △BDE 6
15. 已知，AC:AE＝5:1，BC:CD＝4:1，BA:BF＝6:1，那么，△≝¿ 的面积是
△ABC 的几分之几？61
【答案】
120
S AE×AF 1×5 1
【分析】 △AEF = = = ，
S AC×AB 5×6 6
△ABC
S BD×BF 3×1 1
△BDF = = = ，
S BC×BA 4×6 8
△ABC
S CD×CE 1×4 1
△CDE = = = ，
S CB×CA 4×5 5
△ABC
S S -S -S -S
△≝¿ ¿= △ABC △AEF △BDF △CDE
S S
△ABC △ABC
1 1 1
=1- - -
6 8 5
61
= .
120
16. 如下图所示，在三角形 ABC 中，已知 BC=6BD、AC=5EC、DG=GH=HE、
AF=FG．请问三角形 FGH 与三角形 ABC 的面积比为何？
1
【答案】
9
【分析】 根据鸟头模型，
5
S = S ,
△ADC 6 △ABC4
S = S ,
△AED 5 △ADC
2
S = S ,
△AGE 3 △AED
1 1
S = × ×S ,
△GHF 2 2 △AGE
最后可以得出
5 4 2 1 1 1
S = × × × × ×S = S .
△GHF 6 5 3 2 2 △ABC 9 △ABC
1 1 1
17. 如图，已知 AE= AC，CD= BC，BF= AB，试求 $\dfrac{\text{三角形$ DEF $的
3 4 5
面积}}{\text{三角形$ ABC $的面积}}$ 的值？
5
【答案】
12
S AE×AF 1×4 4
【分析】 △AEF = = = ，
S AC×AB 3×5 15
△ABC
S BD×BF 1×3 3 S CD×CE 1×2 1
△BDF = = = ， △CDE = = = ，
S BC×BA 5×4 20 S CB×CA 4×3 6
△ABC △ABC
所以
S S -S -S -S
△≝¿ ¿= △ABC △AEF △BDF △CDE
S S
△ABC △ABC
4 3 1
=1- - -
15 20 6
5
= .
12
18. 如图，把三角形 DEF 的各边向外延长 2 倍后得到三角形 ABC，三角形 ABC 的面积为
1. 三角形 DEF 的面积是多少？1
【答案】
19
【分析】 令三角形 DEF 为 1 份，则根据共角模型，有：
S EF×DF 1
△≝¿ = = .¿
S CF×FA 6
△AFC
所以三角形 AFC 的面积为 6 份，同理，三角形 ABD 的面积为 6 份，三角形BEF的面
积为 6 份．则三角形 ABC 的面积为 1+6+6+6=19 份，对应面积为 1，所以
1
S = ．
三角形DEF 19
19. 如图，四边形 EFGH 的面积是 75 平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，
HD=DA，求四边形 ABCD 的面积．
【答案】 15 平方米．【分析】
连接 BD，由鸟头知：
S BC⋅DC 1×1 1
△BCD= = =
S FC⋅CG 2×1 2
△FCG
S AD⋅AB 1×1 1
△ABD = = = ,
S AH⋅AE 2×1 2
△AEH
所以
S +S =2S
△FCG △AEH 四边形ABCD
连接 AC，同理可得：
S +S =2S ,
△BEF △DHG 四边形ABCD
S =5S
四边形EFGH 四边形ABCD
又因为四边形 EFGH 的面积是 75 平方米所以四边形 ABCD 的面积是
75÷5=15(平方米).
1 1 1
20. 如图，△ABC 的面积是 36，并且 AE= AC，CD= BC，BF= AB，试求 △≝¿
3 4 5
的面积．【答案】 15
【分析】 详解：由鸟头模型可得，
4 1 48
S =36× × = ,
△AEF 5 3 5
1 3 27
S =36× × = ,
△BED 5 4 5
1 2
S =36× × =6,
△CDE 4 3
S
48 27
△≝¿=36- - -6=15.¿
5 5
21. 分别延长四边形 ABCD 的四个边，使得 AB=BAʹ,BC=CBʹ,CD=DCʹ,DA=ADʹ（如
下图所示）．如果四边形 ABCD 的面积是 1 平方厘米，请问四边形 AʹBʹCʹDʹ 的面积为多
少平方厘米？【答案】 5
【分析】 连接 BD，根据鸟头模型，可得
S =1×2×S =2S ,
△AAʹDʹ △ABD △ABD
S =1×2×S =2S ,
△CCʹBʹ △BCD △BCD
那么可得
S +S =2S
△AAʹDʹ △CCʹBʹ 四边形ABCD
连接 AC，同理可得：
S +S =2S
△DDʹCʹ △BBʹAʹ 四边形ABCD
所以整个图形的面积是
2+2+1=5(平方厘米).
22. 如图，平行四边形 ABCD，BE＝AB，CF＝2CB，GD＝3DC，HA＝4AD，平行
四边形 ABCD 的面积是 2，求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比．【答案】 1:18
【分析】 连接 AC，根据共角定理：S BA×BC 1×1 1
△ABC = = = ,
S BE×BF 1×3 3
△FBE
又因为 S =1，所以，S =3，
△ABC △FBE
同理可得：S =8, 连接 BD，S =15,S =8．
△GCF △DHG △AEH所以
S =S +S +S +S
EFGH △AEH △CFG △DHG △BEF
¿ =36,
S :S =2:36=1:18．
ABCD EFGH
23. 如图，三角形 ABC 面积为 1，延长 BA 至 D，使得 DA=AB；延长 CA 至 E，使
得 EA=2AC；延长 CB 至 F，使得 FB=3BC，求三角形 DEF 的面积？【答案】 7
【分析】
S AD×AE
△ADE= =2,
S AB×AC
△ABC
S CE×CF
△CEF = =3×4=12,
S CA×CB
△ABC
S DB×BF
△DBF = =2×3=6,
S BA×CB
△ABC
S =S +S -S -S
△≝¿¿ △ADE △CEF △DBF △ABC
=2+12-6-1
=7.
1 1
24. 三角形 ABC 中，BD 的长度是的 AB 的 ，AE 的长度是 AC 的 ．三角形 AED
4 3
的面积是 8，那么三角形 ABC 的面积是多少？
【答案】 32
(3 1)
【分析】 简答：8÷ × =32．
4 3
25. 如图在 △ABC 中，D 在 BA 的延长线上，E 在 AC 上，且 AB:AD＝5:2，
AE:EC＝3:2，S△ADE＝12 平方厘米，求 △ABC 的面积．【答案】 50 平方厘米
S :S =(AD×AE):(AB×AC)
【分析】 △ADE △ABC
¿ =6:25,
因为 S =12(平方厘米)，
△ADE
所以 S =12÷6×25=50(平方厘米)．
△ABC
26. 如图，在三角形 ABC 中，AD 的长度是 BD 的 3 倍，AC 的长度是 EC 的 3 倍．
三角形 AED 的面积是 10，那么三角形 ABC 的面积是多少？
【答案】 203 2
【分析】 详解：AD 是 AB 的 ，AE 是 AC 的 ，根据鸟头模型，有 △ADE
4 3
3 2 1
的面积是 △ABC 面积的 × = ．那么 △ABC 的面积是 20．
4 3 2
1 1 1 S
27. 如图，已知 AE= AC，CD= BC，BF= AB，那么 △≝¿ ¿ 等于多少？
5 4 6 S
△ABC
61
【答案】
120
【分析】 设 S =1，则根据 悬空=整体-空白,
△ABC
S
△≝¿=S -S -S -S ¿
△ABC △AEF △BDF △DEC
现在分别去求 S 、S 、S ，由鸟头定理知道：
△AEF △BDF △DEC
(AF AE) (5 1) 1
S = × S = × S = S
△AEF AB AC △ABC 6 5 △ABC 6 △ABC
同理：
(BF BD) 1 3 1
S = × S = × S = S
△BDF AB BC △ABC 6 4 △ABC 8 △ABC
(EC DC) 4 1 1
S = × S = × S = S
△DEC AC BC △ABC 5 4 △ABC 5 △ABC
所以：
S
△≝¿=(1- 1 - 1 - 1)S = 61 S ,¿
6 8 5 △ABC 120 △ABC
S 61
△≝¿ = .¿
S 120
△ABC1
28. 如图，在三角形 ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且 BE= AB，已
3
知四边形 ACDE 的面积是 35，求三角形 ABC 的面积．
【答案】 42
S :S =(BD×BE):(BC×BA)
【分析】 △BDE △ABC
¿ =1:6,
1 1 5
则 S = S ，S =S - S = S ，
△BDE 6 △ABC 四边形ACDE △ABC 6 △ABC 6 △ABC
5
所以：S =35÷ =42．
△ABC 6
29. 边长为 8 厘米和 12 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少
平方厘米？【答案】 16.2
【分析】 给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为 ABCD，小正方形为
MNDE，EB 分别交 AC,AD 于 O,H 两点，
AO:OC=AB:EC=12:20=3:5,
AH:BC=AO:OC=3:5,
所以
AO:AC=3:8,
AH:AD=3:5,
S :S =9:40.
△AHO △ADC
因为
1
S = ×122=72,
△ADC 2
所以
9 9
S = S = ×72=16.2.
△AHO 40 △ADC 40
30. 如图，三角形 ABC 中，AB 是 AD 的 5 倍，AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形
ADE 的面积等于 1，那么三角形 ABC 的面积是多少？【答案】 15
【分析】 S :S =(1×1):(5×3)=1:15，S =15S =15×1=15．
△ADE △ABC △ABC △ADE
31. 如图所示，正方形 ABCD 边长为 8 厘米，E 是 AD 的中点，F 是 CE 的中点，G
是 BF 的中点，三角形 ABG 的面积是多少平方厘米？
【答案】 12
1
【分析】 连接 AF、EG．因为 S = ×82=16，根据“当两个三角形有一个角
△CDE 4
相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，S =8，
△AEFS =8，再根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个
△EFG
角的两边长度的乘积比”，得到 S =16，S =32，S =24，所以
△BFC ABFE △ABF
S =12(平方厘米).
△ABG
32. 如图，AD:DB=1:4，AE:EC=1:5，如果 △ABC 的面积是 120，那么 △ADE 的面
积是多少？
【答案】 4
【分析】 简答：由已知条件得
AD:AB=1:5,
AE:AC=1:6,
利用“共角三角形”性质得三角形 AED 的面积是
1 1
120× × =4.
5 633. 如图，三角形 ABC 被分成了甲、乙两部分 BD=DC=4,BE=3,AE=6，乙部分面积是
甲部分面积的几倍？
【答案】 5
【分析】 BD:BC=4:(4+4)=1:2,BE:BA=3:(3+6)=1:3，
1
S :S =(1×1):(3×2)=1:6，S = S ，
△BDE △ABC △BDE 6 △ABC
1 5 1 5
S =S - S = S ，S :S = : =1:5．
四边形ACDE △ABC 6 △ABC 6 △ABC △BDE 四边形ACDE 6 6
34. 如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D，使 BD=AB；延长 BC 至 E，
使 CE=2BC；延长 CA 至 F，使 AF=3AC，求三角形 DEF 的面积．【答案】 18
S AD×AF 2×3
【分析】 △ADF = = =6，
S AB×AC 1×1
△ABC
S BD×BE 1×3
△BDE = = =3，
S AB×BC 1×1
△ABC
S CE×CF 2×4
△CEF = = =8．
S BC×AC 1×1
△ABC
所以
S S S S S
△≝¿ ¿= △ADF + △BDE+ △CEF + △ABC
S S S S S
△ABC △ABC △ABC △ABC △ABC
=6+3+8+1
=18,
S ．
△≝¿=18S =18¿
△ABC
35. 如图，三角形 ABC 的面积为 3 平方厘米，其中 AB:BE=2:5，BC:CD=3:2，三角
形 BDE 的面积是多少？【答案】 12.5 平方厘米．
【分析】 由于 ∠ABC+∠DBE=180∘，所以可以用共角定理，设 AB=2 份，
BC=3 份，则 BE=5 份，BD=3+2=5 份，由共角定理
S :S =(AB×BC):(BE×BD)
△ABC △BDE
¿ =6:25,
设 S =6 份，恰好是 3 平方厘米，所以 1 份是 0.5 平方厘米，25 份就是
△ABC
25×0.5=12.5(平方厘米),
三角形 BDE 的面积是 12.5 平方厘米．
36. 如图，已知长方形的面积是 16，BE=3BD，CE=CF．请问：三角形 BEC 的面积是多
少？
【答案】 3
【分析】 详解：连结 DF，根据鸟头模型，可知 △BCE 面积是 △≝¿ 面积的
3 1 3
× = .
4 2 8
那么 △BCE 的面积是
1 3
16× × =3.
2 837. 如图，长方形 ABCD 的面积是 1，M 是 AD 边的中点，N 在 AB 边上，且
2AN=BN．那么，阴影部分的面积是多少？
5
【答案】
12
1 1
【分析】 S = ，S :S =(AM×AN):(AB×AD)=1:6，S = ，
△ABD 2 △AMN △ABD △AMN 12
1 1 5
所以阴影部分的面积为 S = - = ．
阴 2 12 12
1
38. 如图，在 △ABC 中，延长 AB 至 D，使 BD=AB，延长 BC 至 E，使 CE= BC，
2
F 是 AC 的中点，若 △ABC 的面积是 2，则 △≝¿ 的面积是多少？
【答案】 3.5
【分析】 因为在 △ABC 和 △CFE 中，∠ACB 与 ∠FCE 互补，所以
S AC⋅BC 2×2 4
△ABC = = = .
S FC⋅CE 1×1 1
△FCE又因为 S =2，所以 S =0.5．同理可得 S =2，S =3．
△ABC △FCE △ADF △BDE
所以
S =S +S +S -S
△≝¿¿ △ABC △CEF △DEB △ADF
=2+0.5+3-2
=3.5.
39. 如图在 △ABC 中，D 在 BA 的延长线上，E 在 AC 上，且 AB:BD=5:7，
AE:EC=3:2，S =36 平方厘米，求 △ABC 的面积．
△ADE
【答案】 150 平方厘米
S :S =(AD×AE):(AB×AC)
【分析】 △ADE △ABC
¿ =6:25,
因为 S =36(平方厘米)，
△ADE
所以 S =36÷6×25=150(平方厘米)．
△ABC
40. 已知 △≝¿ 的面积为 7 平方厘米，BE＝CE，AD＝2BD，CF＝3AF，求 △ABC
的面积．【答案】 24 平方厘米
S BD×BE 1×1 1
【分析】 △BDE = = = ，
S BA×BC 3×2 6
△ABC
S CE×CF 1×3 3
△CEF = = = ，
S CB×CA 2×4 8
△ABC
S AD×AF 2×1 1
△ADF = = = ，
S AB×AC 3×4 6
△ABC
S S -S -S -S
△≝¿ ¿= △ABC △BDE △CEF △ADF
S S
△ABC △ABC
1 3 1
=1- - -
6 8 6
7
= ,
24
又 △≝¿ 的面积为 7 平方厘米，所以
7
S =7÷ =24(平方厘米).
△ABC 24
41. 鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位．三百回合大战后，两人不分胜负．突
然，菜鸟向对手发出一枚飞镖．说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽
身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“嘡”的一声，飞镖被劈成了两半．如下图所示，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为 5．被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小
的那部分残片占到整体面积的几分之几？
107
【答案】
300
【分析】 对图形进行分割，分割过程如下：
即所给我我们的图形共有 12 个小正三角形组成，令每一个小正三角形的面积为 1，则根据
共角模型有：
S BD×BE 11×13 143
三角形BDE= = = .
S AB×AC 15×15 225
三角形BAC
所以四边形 ACDE 的面积为：( 143) 82
1- ×9= .
225 25
所以较小的残片的面积为：
82 107
+1= .
25 25
所以较小残片占整个面积的：
107
25 107
= .
12 300
42. 如图，在梯形 ABCD 中，三角形 ABE 的面积为 4.6 平方厘米，BE=EF=FD，求三
角形 ABF、CDF、ABD、ACD 的面积．
【答案】 9.2 平方厘米；9.2 平方厘米；13.8 平方厘米；13.8 平方厘米．
【分析】
S :S =(AB×FB):(AB×EB)=2,
△ABF △ABE
所以
S =2×S =9.2(平方厘米);
△ABF △ABE
因为 △ABD 和 △ACD 同底等高，所以
S =S ,
△ABD △ACD
因而
S =S -S
△CDF △ACD △AFD
¿ =S
△ABF
¿ ¿
S :S =(AB×DB):(AB×EB)=3,
△ABD △ABE
所以
S =3×S =13.8;
△ABD △ABE
所以
S =S =13.8(平方厘米).
△ACD △ABD43. 如图，三角形 ABC 中，AB 是 AD 的 6 倍，EC 是 AE 的 3 倍，如果三角形
ADE 的面积等于 1，那么三角形 ABC 的面积是多少？
【答案】 24
【分析】 S :S =(1×1):(6×4)=1:24，S =24S =24×1=24．
△ADE △ABC △ABC △ADE
44. 把四边形 ABCD 的各边都延长 2 倍，得到一个新的四边形 EFGH．如果 ABCD 的面
积是 5 平方厘米，则 EFGH 的面积是多少？【答案】 65 平方厘米
【分析】连接 BD，由共角定理知：
S AB×AD 1×1 1
△ABD = = = ,
S AE×AH 2×3 6
△AEH
S BC×CD 1×1 1
△BCD= = = ,
S CF×CG 3×2 6
△CFG
S +S =6S ,
△AEH △CFG ABCD
同理连接 AC，可得：
S +S =6S ,
△BEF △DGH ABCD
所以 S =(6+6+1)S =13×5=65cm2 ．
EFGH ABCD
45. 如图，把四边形 ABCD 的各边都延长 1 倍，得到一个新四边形 EFGH．如果 ABCD
的面积是 5 平方厘米，则 EFGH 的面积是多少平方厘米？
【答案】 25 平方厘米
【分析】 连接 BD，有 △ABD 中 ∠EAD+∠BAD=180∘，又夹成两角的边 EA、
EA×AH
AH、AB、AD 的乘积比， =2，所以 S =2S ．
AB×AD △EAH △EAD
类似的，还可得 S =2S ，有
△FCG △BCD
S +S =2(S +S )=10,
△EAH △FCG △ABD △BCD
同理可证：
S +S =2(S +S )=10,
△EBF △DHG △ABD △BCD
所以四边形 EFGH 的面积是 10+10+5=25(立方厘米)．46. 下图中的三角形 ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，
BD=DC=4,BE=3,AE=6．求甲部分面积占乙部分面积的几分之几．
1
【答案】
5
BE 3 1 BD 4 1
【分析】 = = , = = ，根据鸟头模型，甲部分占整个图形面积的
BA 3+6 3 BC 4+4 2
1 1 1 1
× = ，那么甲部分占乙部分的 ．
3 2 6 5
47. 如图，在 △ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且 AD:AB＝2:5，
AE:AC＝4:7，S ＝16 平方厘米，求 △ABC 的面积．
△ADE【答案】 70 平方厘米
S :S =(AD×AE):(AB×AC)
【分析】 △ADE △ABC
¿ =8:35,
因为 S =16(平方厘米)，
△ADE
所以 S =16÷8×35=70(平方厘米)．
△ABC
48. 长方形 ABCD 的面积为 36 平方厘米，E、F、G 为各边中点，H 为 AD 边上任意一
点，问阴影部分面积是多少？
【答案】 13.5 平方厘米
【分析】 解法一：寻找可利用的条件，连接 BH、HC，如下图：可得：
1 1 1
S = S 、S = S 、S = S ,
△EHB 2 △AHB △FHB 2 △CHB △DHG 2 △DHC
而
S =S +S +S =36(平方厘米).
ABCD △AHB △CHB △CHD
即
1
S +S +S = (S +S +S )
△EHB △BHF △DHG 2 △AHB △CHB △CHD
¿ =18.
而
S +S +S =S +S
△EHB △BHF △DHG 阴影 △EBF
1
S = ×BE×BF
△EBF 2
1
¿ = ×36
8
¿ ¿
所以阴影部分的面积是：
S =18-S =18-4.5=13.5(平方厘米).
阴影 △EBF
解法二：特殊点法．找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，
那么图形就可变成下图：
这样阴影部分的面积就是 △≝¿ 的面积，根据鸟头定理，则有：S 7 =S -S -S -S
阴影 ABCD △AED △BEF △CFD
¿ =13.5
49. 如图所示，已知平行四边形 ABCD 的面积是 1，E、F 是 AB、AD 的中点，BF 交
EC 于 M，求 △BMG 的面积．
1
【答案】
30
【分析】 解法一：由题意可得，E、F 是 AB、AD 的中点，得 EF∥BD，而
FD:BC=FH:HC=1:2,
EB:CD=BG:GD=1:2.
所以
CH:CF=GH:EF=2:3,
并得 G、H 是 BD 的三等分点，可得 BG=GH，所以
BG:EF=BM:MF=2:3,
所以
2
BM= BF,
5
1 1 1 1
S = S = × S = ;
△BFD 2 △ABD 2 2 平行四边形ABCD 4
又因为
1
BG= BD,
3
所以
1 2 1 2 1 1
S = × ×S = × × = .
△BMG 3 5 △BFD 3 5 4 30
解法二：延长 CE 交 DA 于 I，如下图，可得，
AI:BC=AE:EB=1:1,
从而可以确定 M 的点的位置，
BM:MF=BC:IF=2:3,
2
BM= BF,
5
1
BG= BD
3
可得
2 1 2 1 1 1
S = × S = × × S = .
△BMG 5 3 △BDF 5 3 4 平行四边形ABCD 30
50. 如图所示，在长方形 ABCD 中，DE=CE，CF=2BF，如果长方形 ABCD 的面积为
18，那么 阴影部分的面积是多少？
【答案】 6
【分析】 简答：由于长方形 ABCD 的面积为 18，可知三角形 BCD 的面积为 9，
三角形 CEF 的面积为三角形 BCD 的面积的1 2 1
× = ,
2 3 3
那么阴影部分的面积是
( 1)
9× 1- =6.
3
51. 如图，△ABC 中，AD:AB＝2:3，AE:AC＝4:5，求：△AED 的面积是 △ABC 面
积的几分之几？
8
【答案】
15
S :S =(AD×AE):(AB×AC)
【分析】 △ADE △ABC
¿ =8:15,
8
所以 △AED 的面积是 △ABC 面积的 ．
15
52. 如图，长方形 ABCD 的面积是 48，BE:CE=3:5，DF:CF=1:2．三角形 CFE 面积
是多少？【答案】 10
1 5 2
【分析】 简答：48× × × =10．
2 8 3
53. 如图所示，∠A=∠B=60∘，且 AB=24，BD=16，AC=8，而且三角形 CDE 的面积
等于四边形 ABEC 的面积．请问：DE 的长度是多少？
【答案】 14
【分析】 如下图所示，延长 AC 和 BD 交于点 F．由于 ∠A=∠B=60∘，因此 △ABF 为等边三角形，则
AF=BF=AB=24.
而 BD=16，AC=8，由此可得 CF=16，DF=8，所以 △CDF 是 △ABF 的
16×8 2
= .
24×24 9
又知 △CDE 的面积等于四边形 ABEC 的面积，△CDE 的面积是 △ABF 的
( 2) 1 7
1- × = ,
9 2 18
则
2 7
DF:DE= : =4:7,
9 18
因此 DE=14．
54. 如图所示，在直角三角形 ABC 中，AC 的长 3 厘米，CB 的长 4 厘米，AB 的长 5
厘米，有一只小虫从 C 点出发，沿 CB 以 1 厘米/秒的速度向 B 爬行；另一只小虫从 B
点出发，沿 BA 以 1 厘米/秒的速度向 A 爬行．请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置
D、E 与 B 组成的三角形 DBE 是等腰三角形？（请写出所有答案）
20 32
【答案】 2 秒、 秒或 秒．
13 13
【分析】 设经过了 x 秒，则 BE=x 厘米，CD=x 厘米，两只小虫所在的位置 D、
E 与 B 组成的三角形 DBE 是等腰三角形的情况有三种：
（1）以 B 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 BD=BE（如图 1）．这个最好算，
BD=4-x，BE=x，故 x=4-x，解得 x=2；（2）以 E 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 ED=EB，如图 2，从 E 向 BD 作垂线，
BE BF x BF 4
垂足为 F，在金字塔 BEFAC 种， = ，即 = ，所以 BF= x．利用
BA BC 5 4 5
4 4 20
CD+DF+FB=4 列出方程 x+ x+ x=4，解得 x= ；（或者利用 △BEF 和 △BAC
5 5 13
BE 5 x 5 4
相似，得 = ，即 = ，所以 BF= x）
BF 4 BF 4 5
（3）以 D 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 ED=DB，如图 3，从 D 向 AB 作垂线，
BF 4 BF 4 4
垂足为 F，利用 △BFD 和 △BCA 相似得 = ，即 = ，所以 BF= (4-x)．
BD 5 4-x 5 5
4 32
利用 BE=2BF 列出方程 x= (4-x)×2，解得 x= ．
5 13
20 32
综上，经过 2 秒或 秒或 秒后，两只小虫所在的位置 D、E 与 B 组成的三角形
13 13
DBE 是等腰三角形．
55. 长方形 ABCD 的面积为 36cm2，E、F、G 为各边中点，H 为 AD 边上任意一点，
问阴影部分面积是多少？【答案】 13.5
【分析】 解法一：寻找可利用的条件，连接 BH、HC，如下图：
1 1 1
可得：S = S 、S = S 、S = S ，而
△EHB 2 △AHB △FHB 2 △CHB △DHG 2 △DHC
S =S +S +S =36．
ABCD △AHB △CHB △CHD
即
1
S +S +S = (S +S +S )
△EHB △BHF △DHG 2 △AHB △CHB △CHD
¿ =18;
而 S +S +S =S +S ，
△EHB △BHF △DHG 阴影 △EBF
1
S = ×BE×BF
△EBF 2
1
¿ = ×36
8
¿ ¿
所以阴影部分的面积是：S =18-S =18-4.5=13.5．
阴影 △EBF
解法二：特殊点法．找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，
那么图形就可变成下图：这样阴影部分的面积就是 △≝¿ 的面积，根据鸟头定理，则有：
S =S -S -S -S
阴影 ABCD △AED △BEF △CFD
¿ =13.5.
