文档内容
第 8 讲 直线形计算二
内容概述
进一步学习直线形面积公式酌运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转 T
七；初步学习添加辅助线酌分析方法．
典型问题
兴趣篇
1．如图8-1，四边形ABCD是直角梯形，其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC= 15
（厘米），且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，阴影三角形DEF的
面积是多少平方厘米？
解析：四边形ABCD的面积是（12+15）×8÷2=108（平方厘米），108÷3=36（平方厘米）。
CF=36×2÷8=9(厘米)，FB=15-9=6(厘米)，AE=36×2÷12=6（厘米），EB=8-6=2（厘米）。
阴影三角形DEF的面积是 36-2×6÷2=30（平方厘米）
2．一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图8-2所示（单位：平方
米），剩下一块的面积应该是多少平方米？
解析：40×15÷30=20（平方米）
3．如图8-3，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍，三角形DEC的面积
是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？
解析：三角形ADC的面积是3×3=9（平方厘米），三角形ABC的面积是3×9=27（平方厘
米）
4．如图8-4，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍，三角形ABC的面积为
36平方厘水．三角形BDE的面积是多少平方厘米？
解析：三角形BAE的面积是36÷3×2=24（平方厘米），三角形BDE的面积24÷3×2=16（平
方厘米）
5．如图8-5所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近日点的四
等分点，三角形AED的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF的面积是多少平方厘米？
解析：（1）三角形AED的面积是20×3=60（平方厘米）
（2）三角形DEC的面积是20+60=80（平方厘米），三角形DEC的面积是平行四边形DECF的面积的一半，也是平行四边形ABCD的面积的一半，所以平行四边形DECF的面
积是80×2=160（平方厘米）
6．如图8-6，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8．三角形BOC
的面积为多少？
解析：根据一半模型可知，三角形AOD的面积和三角形BOC的面积是平行四边形ABCD
的面积的一半，所以三角形BOC的面积是36÷2-8=10
7．如图8-7，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F
是CD上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是多少平方厘米？
解析：链接BD，可知三角形ABD的面积和三角形BDC都是96÷2=48（平方厘米），三角
形ABE的面积是48× =32（平方厘米）。同理可知三角形BFC的面积是48× =12（平方
厘米）。链接AC，根据鸟头定理可知48× × =24（平方厘米），阴影部分的面积是96-
24-32-12=28（平方厘米）.
8．如图8-8，将一个长为18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三
角形的5倍．三角形ABE的边BE的长是多少？
解析：链接AC，而且梯形的面积是三角形的5倍，所以可知三角形ACE的面积是三角
ABE的2倍且CE=2BE。BE=18÷3=6
9．如图8-9，把一个正方形的相邻两边分别增加3和5厘米，结果面积增加了71平方厘米
（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？
解析：3×5=15（平方厘米），71-15=56（平方厘米）。把剩余的两个长方形的长相同，
56÷（3+5）=7（厘米）。原正方形的面积是7×7=49（平方厘米）10．如图8-10，四边形ABCD内有一点D，D点到四条边的垂线都是4厘米，四边形的周
长是36厘米，四边形的面积是多少平方厘米？
解析：链接 AO、DO、BO、CO 得到四个高相同的三角形。假设这个三角形的底是
AB=a,AD=d
,CD=c,BC=b, 且 a+b+c+d=36 ， 那 么 四 个 三 角 形 的 面 积 就 是
4×a÷2+4×b÷2+4×c÷2+4×d÷2=4÷2×(a+b+c+d)=2×36=72（平方厘米）。
拓展篇
1．如图8-11，有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20平
方米．其余4个长方形的面积分别是多少平方米？
解析：第一行的长方形面积16×4÷8=8（平方米）；
第二行的长方形面积16×12÷8=24（平方米）；
第二行的长方形面积左边第一个长方形8×20÷16=10（平方米）；
第二行的长方形面积右边第一个长方形20×24÷16=30（平方米）。
2．图8-12中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD是AE的3倍，三
角形ABE的面积是多少平方厘米？
3．如图8-13，在四边形ABCD中，已知CD=3DF，AE=3ED，而且三角形BFC的面积为6
平方厘米，四边形BEDF的面积为7平方厘米．大四边形ABCD的面积是多少？
解析：连接BD，可得到两个三角形ABD和三角形BDC。根据CD=3DF,AE=3ED可知三角
形FBD的面积6÷2=3（平方厘米），三角形EDB的面积是7-3=4（平方厘米），三角形
AEB的面积是3×4=12（平方厘米）。大四边形ABCD的面积是6+7+12=25（平方厘米）。
4．如图8-14，把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面积
为1．三角形DEF的面积是多少？
解析：连接AE、BF、CD,不难看出图中小三角形的面积都相等，所以三角新的DEF的面
积是1÷7=
5．如图8-15，E是AB边上靠近A点的三等分点，梯形ABCD的面积是三角形AEC面积
的5倍．请问：梯形的下底长是上底长的几倍？
解析：因为E是AB边上靠近A点的三等分点，所以三角形BEC的面积相当于ACE的面积的2倍。又因为梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的5倍，那么三角形ACD的面积
也是三角形ACE的倍，所以三角形CBA的面积是三角形ACD的面积的3÷2=1.5倍，所以
下底是上底的1.5倍。
6．如图8-16，一个长方形被分成4个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，
黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形的
面积是多少平方厘米？
解析：根据一半模型可知蓝色三角形面积是21
+10-9=22（平方厘米）
7．图8-17中，正方形ABCD的面积为1．把每条边都3等分，然后将这8个等分点与正方
形内部的某一点P相连接，形成4个阴影的四边形和4个空白的三角形，阴影部分的总面
积是多少？
解析：根据一半模型，可推得上下和左右两个空白三角形的面积都是是正方形面积的
，
由此易知道阴影的面积是1- - = 。
8．如图8-18，在梯形ABCD中，E是AB的中点．已知梯形ABCD的面积为35平方厘米，
三角形ABD的面积为13平方厘米．三角形BCE的面积为多少平方厘米？
解析：连接AC，三角形ABC的面积和三角形BCD的面积相等，并且都是35-13=22（平
方厘米）；又因为E是AB中点所以三角形BCE的面积是22÷2=11（平方厘米）。
9．在图8-19中，正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6和4．三角形ACG和三角形BDF的面积分别是多少？
解析：此题是典型的蝴蝶定理的应用，图一连接AE，可知得到梯形AECG，根据地蝴蝶定
理可知阴影三角形ACG的面积和三角形CEG的面积相同4×4÷2=8；同理图2连接EF，可
知道三角形BDF的面积是6×6÷2=18.
10．图8-20是由边长分别为10厘米、12厘米、8厘米的正方形构成，有一条与AB边平行
的直线EF将此图形分成面积相等的两部分，那么BF的长度为多少厘米？
解析：解设BF为X厘米
（10+12+8）（12-X）-(12-8)(8-X)=(10+12+8)X-10[X-(12-10)]
解得 X=5.8
11．(1)如8-21中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米，结果面积
增加了50平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？
(2)如8-21中右图所示，把一个正方形的相邻两边分别减少3厘米和5厘米，结果面积减少
了65平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？
解析：
（1） ，50-8=42（平方厘米），42÷6=7（厘米）
7×7=49（平方厘米）
（2）3×5=（平方厘米）
65+15=80（平方厘米）
80÷8=10（厘米）
10×10=100（平方厘米）
12.如图8-22，直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF，E点恰好在AB边上，直角边AC长
20厘米，BC长12厘米．正方形的边长为多少厘米？
解析：方法一：延长BC到G，使AC=CG;三角形ABC的面积就等于三角形GEB。三角形ABC的面积=20×12÷2×2÷（20+12）=7.5（厘米）
方法二：连接CE,显然三角形CEB的面积与三角ACE的面积的和等于三角形ABC的面积，
即20×12÷2=120（平方厘米）；
解：设正方形的的边长是X厘米。
20X÷2+12X÷2=120
解得 X=7.5
超越篇
1．如图8-23，三角形ABC的每边长都是96厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的
四个三角形．请求出CE和CF的长度之和．
解析：根据题意显然3AD=CD,2BE=EC,DF=FC。又因为三角形ABC的每边长都是96厘米，
所以EC=96÷3×2=64（厘米）；CF=96÷4×3÷2=36（厘米）；CF+EC=36+64=100（厘米）。
2．如图8 -24，把四边形ABCD的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFGH.如果ABCD
的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米？
解析：连接 AC、CH、AF，易知三角形 AEF、AFB和三角形 ABC面积相等，三角形
ACD、CHD和三角形CHG面积也相等，所以三角形FBE与三角形DHG的面积和是四边
形ABCD的面积的2倍。同理，连接BD、ED、BG，也可知三角形AEH与三角形FCG的
面积和也是四边形ABCD的面积的2倍。所以EFGH的面积是5×5=25（平方厘米）。
3．图8-25中ABCD是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：厘米）．过，点的线段
IM将五边形EFGHI分成面积相等的两部分．线段BM的长度是多少厘米？
解析:正方形ABCD的面积是是（3+5）×（3+5）=64（平方厘米）；五边形EFGHI的面积
等于正方形的面积减去四个角上的三角形的总结，即64-（2×5÷2+3×4÷2+2×4÷2+1×6÷2）
=46（平方厘米）；根据题意易知道四边形EIMF的面积是46÷2=23（平方厘米），梯形
AIMB面积是23+2×5÷2+1×6÷2=31（平方厘米），BM=31×2÷（2+6）-5=2.75（厘米）。4．如图8 -26，在钝角三角形ABC中，M为AB边的中点，MD、EC都垂直于BC边．若
三角形BDE的面积是3平方厘米，则三角形ABC的面积是多少？
解析：连接CM，根据梯形蝴蝶定理不难知道三角形EDM的面积等于三角形CMD的面积，
所以三角形EDB的面积也就等于三角形CMB的面积，也就是3平方厘米。又因M是AB
的中点，所以三角形ABC的面积=3×2=6（平方厘米）。
5．在图8 -27中，大正方形面积比小正方形面积大40平方厘米，大正方形面积是多少平方
厘米？
解析：解：设小正方形边长为X厘米。
（20-X）2-X2=40
X=9
大正方形的面积是（20-9）2=121（平方厘米）
6．如图8-28，直角三角形ABC的三边长分别为AC= 30（分米），AB=18（分米），BC=
24（分米），ED垂直于AC，且ED= 95（厘米）．问正方形BFEG的边长是多少厘米？
解析：连接BE、AE、CE，ED=95厘米=9.5分米根据题意列方程
解：设正方形BFEG的边长为X分米。
18X÷2+24X÷2+30×9.5÷2=18×24÷2
解得 X=35
7．菜鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位，三百回合大战后，两人不分胜负．
突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖，说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“瞠”的一声，飞镖被劈成了两
半，如图8-29，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为5．被大虾劈开的刀口如虚线所示，
那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几？
解析：连通三角形ABC，根据鸟头定理可知S = S = S ,如图不
BEF ABC ABC
难看出S = S ；所以S = S = S ；S =
ABC 正六边形 BEF 正六边形 正六边形 较小残片
=
S 。
正六边形
A
F
B C
E
8．如图8-30，将三个边长为l的正方形组合在一起，中间的正方形的两个顶点恰好是另外
两个正方形的中心．请问：图中阴影部分的面积是多少？
解析:连接BD、AD，延长右边正方形的对角线得到延长部分DE，这样得到梯形BCDE。根据
蝴蝶定理可得到三角形COE的面积等于三角形BOD的面积；如图不难看出三角形BOD的面
积是中间小长方形的面积的四分之一。同理，图中与三角形 COE完全相同的其它三角形的
面积也都是小长方形的面积的四分之一，所以这四个三角形面积和就是小长方形的面积。
根据题意可知正方形ACDE的面积是1，很显然中图中阴影的面积就是正方形 ACDE的面积
的一半，即为1÷2=0.5
C
B 0 E
A D
G H
