文档内容
第 7 讲 行程问题四
内容概述
流水行船问题与环形问题．流水行船问题中，注意水速对实际速度的影响，初步了解
速度的相对性；环形问题中，注意相遇和追及的周期性．
典型问题
兴趣篇
1．一条船顺流行驶40千米需要2小时．水流速度为每小时2千米．这条船逆流行驶40千
米需要多少小时？
解：V =40÷2=20（千米/小时）
顺
V =V -V
船 顺 水
=20–2
=18（千米/小时）
T =40÷（18-2）=2.5（小时）
逆
2．两地相距480千米，一艘轮船在两地之间往返航行，顺流行驶一次需要16小时，逆流
返回需要20小时，该轮船在静水中的速度是多少？水流速度是多少？
解：V =480÷16=30（千米/小时）
顺
V =480÷20=24（千米/小时）
逆
V =(V +V ）÷2
船 顺 逆
=(30+24) ÷2
=27(千米/小时)
V =(V -V ）÷2
水 顺 逆
=(30-24) ÷2
=3(千米/小时)
3．A、B两港相距560千米，甲船在两港间往返一次需105小时，其中逆流航行比顺流航
行多用了35小时，乙船的静水速度是甲船静水速度的2倍，乙船在两港间往返一次需要多
少小时？
解：T +T =105
甲顺 甲逆
T -T =35
甲逆 甲顺
有：T =70（小时），T =35（小时）
甲逆 甲顺
V =560÷70=8（千米/小时），V =560÷35=16（千米/小时）
甲逆 甲顺
V =(16+8) ÷2=12（千米/小时），V =(16-8) ÷2=4（千米/小时）
甲 水
V =12×2=24（千米/小时）
乙
V =24-4=20（千米/小时），V =24+4=28（千米/小时）
乙逆 乙顺
T =560 20+560 28=48（小时）
乙
4．A、B÷两个码头÷间的水路为90千米，其中A码头在上游，B码头在下游，第一天，水速
为每小时3千米，甲、乙两船分别从A、B两码头同时起航同向而行，3小时后乙船追上甲
船，已知甲船的静水速度为每小时18千米，乙船的静水速度是多少？第二天由于涨水，水
速变为每小时5千米，甲、乙两船分别从A、B两码头同时起航相向而行，出发多长时间
后相遇？
解：易知，流水行船中的追及与相遇问题，速度差与速度和都与水速无关。所以有：
V -V =90 3=30（千米/小时）
乙 甲
V =30+18=48（千米/小时）
乙
÷
15
T =90 (18+48)= (小时)
相遇 11
÷5．一条小河流过A、B、C三镇，其中A、B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度
为每小时11千米；B、C两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时3.5千米．已
知A、C两镇水路相距45千米，水流速度为每小时1.5千米．某人从A镇上船顺流而下到
B镇，吃午饭用去1小时，接着乘木船又顺流而下到C镇，共用了7小时．请问：A、B两
镇间的距离是多少于米？
解：因为吃饭用了一小时，所以实际的行船时间为7-1=6小时。
假设：汽船行了x小时，那么木船行了（6-x）小时。
又V =11+1.5=12.5（千米/小时），V =3.5+1.5=5（千米/小时）
汽顺 木顺
所以有：12.5x+5 （6-x）=45，解得：x=2
12.5 2=25（千米）
×
6．甲、乙两人×骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行，这条公路长 2400米，
甲骑一圈需要10分钟．如果第一次相遇时甲骑了1440米，请问：乙骑一圈需要多少分钟？
再过多久他们第二次相遇？
解：V =2400 10=240（米/分）
甲
T =1440 240=6（分）
相遇
÷
V =（2400-1440） 6=160（米/分）
乙
÷
T =2400 160=15（分）
乙
÷
第二次相遇还是需要6分钟。
÷
7．甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步．甲以每分钟300米的速度从起点跑出．1分
钟后，乙从起点同向跑出．又过了5分钟，甲追上乙．请问：乙每分钟跑多少米？如果他
们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第二次追上乙？
解：易知，1分钟后，甲又距离起点只剩下100米了
V =100 5=20（米/分）
差
V =300-20=280（米/分）
乙
÷
第二次追上时，要追一圈，400米。由于速度差不变，所以追的时间也变成4倍，也就是
5 4=20分钟。
8×．甲、乙两人在环形跑道上训练，他们从同一地点同时出发，背向而行．两人相遇后立即
调头，继续前进，一开始甲的速度是每分钟160米，乙的速度是每分钟120米，调头后甲
的速度提高了一半，乙的速度提高了三分之一．若跑道长 500米，甲、乙两人第一次相遇
地点与第二次相遇地点相距多远？（环形路线上两点的距离指沿跑道的最短距离）
1
解：V =V （1+ ）=160 1.5=240（米/分）
甲1 甲 2
1 1
V =V （1 × + ）=120 1 × =160（米/分）
乙1 乙 3 3
T=500 （ ×240+160）=1.25× （分）
1.25 160=200（米）
÷
9．如×图7-1，四边形ABCD是一个边长为100米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，
甲沿逆时针方向每分钟行75米，乙沿顺时针方向每分钟行45米．请问：两人第一次在CD
边（不包括C、D两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？10 10
解：相遇一次的时间T=100 4 （75+45）= 分钟，这时乙跑了45 米，所以乙
3 3
每跑 米就相遇一次。乙从 顺时针跑的，这样他们相遇的地点依次为：
× ÷ × =150
所以是在第七次相遇。
150 A F,D,E,C,H,B,G.
10．如图7-2，学校操场的400米跑道中套着300米小跑道，大跑道与小跑道有200米路程
相重，甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针
方向跑，两人同时从两跑道的交点A处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多
少米？
甲 乙 甲 乙
A A
乙 乙
B
甲 甲
解：根据题意可知，甲、乙只可能在 右侧的半跑道上相遇．易知小跑道上 左侧的
路程为100米,右侧的路程为200米,大跑道上 的左、右两侧的路程均是200米．我们
将甲、乙的行程状况分析清楚．当甲第一次到达 点时,乙还没有到达 点,所以第一次相
遇一定在逆时针的 某处．而当乙第一次到达 点时，所需时间为 秒,此时
甲跑了 米,在离 点 米处．乙跑出小跑道到达 点需要
秒,则甲又跑了 米,在 点左边 米处．所
以当甲再次到达 处时,乙还未到 处,那么甲必定能在 点右边某处与乙第二次相遇．从
乙再次到达 处开始计算,还需 秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共
跑了 秒．所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了 米．拓展篇
1．甲河是乙河的支流，甲河水速为每小时3千米，乙河水速为每小时2千米．一艘船沿甲
河顺水7小时后到达乙河，共航行133千米．这艘船在乙河逆水航行84千米，需要花多少
小时？
解：V =133 7=19（千米/小时）
甲顺
V =19-3=16（千米/小时）
船
÷
V =16-2=14（千米/小时）
乙逆
所以T =84 14=6（小时）
乙
÷
2．一艘飞艇，顺风6小时行驶了900公里；在同样的风速下，逆风行驶600公里，也用了
6小时．那么在无风的时候，这艘飞艇行驶1000公里要用多少小时？
解：V =900 6=150（公里/小时）
顺
V =600 6=100（公里/小时）
逆
÷
所以，V =（150+100） 2=125（公里/小时）
艇
÷
T=1000 25=8（小时）
÷
3．甲、÷乙1两船分别从A港出发逆流而上驶向180千米外的B港，静水中甲船每小时航行
15千米，乙船每小时航行12千米，水流速度是每小时3千米．乙船出发后两小时，甲船才
出发，当甲船追上乙船的时候，甲已离开A港多少千米？若甲船到达廖港之后立即返回，
则甲、乙两船相遇地点离刚才甲船追上乙船的地点多少千米？
解：V =15-3=12（千米/小时），V =12-3=9（千米/小时）
甲逆 乙逆
所以，S =9 2=18（千米）
差
T =18 （12-9）=6（小时）
追
×
这时候，甲已经行了6 12=72千米。甲又走了(180-72) 12=9小时到达B港，这时，乙离
港还有÷ 180-9 （2+6+9）=27千米。他们还要27 （ ） 小时才能相遇，所以追上
后，又过来 小×时才相遇的，这时离追上的地点相÷距 千米。
× ÷ 15+12 =1
4．轮船从A9城+1行=驶10到B城需要3天，而从B城回到A城需要9×410天=．90请问：在A城放出一
个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？
解：轮船顺流用 天，逆流用 天，说明轮船在静水中行 天，等于水流 天，
所以船在静水中的速度是水流速度的 倍．所以轮船顺流行 天的路程等于水流
天的路程，所以木筏从 城漂到 城需要 天．
5．一艘游艇装满油，能够航行180个小时．已知游艇在静水中的速度为每小时24千米，
水速为每小时4千米，现在要求这艘游艇开出之后沿原路回港，而且中途没有油料补给．
请问：这艘游艇最多能够开出多远？
解：V =24+4=28（千米/小时）
顺
V =24-4=20（千米/小时
逆
V ：V =28:20=7:5，由于来回路程相等，所以T ：T =5:7,所以T =180 （5+7）
顺 逆 顺 逆 顺
5=75小时，这样它最远可以开出75 28=2100千米。
÷
× ×
6．某人在河里游泳，逆流而上．他在A处丢失一只水壶，向前又游了20分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到．假定此人在静水中的游泳速度为
每分钟60米，求水流速度．
解：此人丢失水壶后继续逆流而上 分钟，水壶则顺流而下，两者速度和 此人的逆水速
度 水速 此人的静水速度 水速 水速 此人的静水速度，此人与水壶的距离 两者速
度和 时间．此人发现水壶丢失后返回，与水壶一同顺流而下．两者速度差等于此人的静
水速度，故等于丢失水壶后至返回追寻前的两者速度和，而追及距离即此人发现水壶丢失
时与水壶的距离，所以追及时间等于丢失水壶后至发现丢失并返回追寻的这一段时间，即
分钟．这样水壶一共漂了20+20=40分钟，水流的速度等于2000 40=50米/分。
÷
7．黑、白两只小猫在周长为300米的湖边赛跑，黑猫的速度为每秒5米，白猫的速度为每
秒7米，若两只小猫同时从同一地点出发，背向而行．多少秒后两只小猫第一次相遇？如
果它们继续不停跑下去，2分钟内一共相遇多少次？
解：在环形跑道上面，若两猫从同一地点出发，每合走一圈就会相遇一次，所以他们第一
次相遇的时间为300 （5+7）=25秒。由于每次相遇后，要再次相遇依然是合走一圈，所
以，以后没25秒它们就会相遇一次，又 2 ，这样相遇了4次。
÷
8．在400米长的环形跑道上，甲、乙两人×分6别0÷从25A=、4⋯B2两0地同时出发，同向而行．4分钟
后，甲第一次追上乙，又经过10分钟甲第二次追上乙．已知甲的速度是每秒3米，那么乙
的速度是多少？A、B两地相距多少米？
解：由于甲第一次追上乙后又经过 10 分钟甲第二次追上乙，所以10 分钟内甲比乙多跑
一圈 400 米，这样每分钟甲比乙多跑 400÷10 = 40 米，每秒钟甲比乙多跑 40÷60 = 2/3
米；又甲的速度是每秒 3 米，所以乙的速度是每秒 3-2/3 = 7/3 米；
由出发 4 分钟后甲第一次追上乙，A、B两地相距 40×4 = 160 米。
9．有一个周长40米的圆形水池．甲沿着水池边散步，每秒钟走1米；乙沿着水池边跑步，
每秒跑3.5米．甲、乙两人从同一地点同时出发，同向而行，当乙第8次追上甲时，他还需
要跑多少米才能回到出发点？
解：两人同一地点出发时，乙比甲每多走一圈，乙就追上甲一次。这样，当乙第 8次追上
甲时，乙已经比甲多跑了40 8=320米了。所以他们用时为320 (3.5-1)=128秒，这样甲就
走了128 1=128米，也就是3圈多8米，那么他们还差40-8=32米回到出发点。
× ÷
10．甲、×乙两人在一条圆形跑道上锻炼，他们分别从跑道某条直径的两端同时出发，相向
而行，当乙走了100米时，他们第一次相遇．相遇后两人继续前进，在甲走完一周前60米
处第二次相遇，求这条圆形跑道的周长．
解：第一次相遇时，两人合走半圈，这时乙走了100米；再到第二次相遇时，两人又合走
了1圈，这时乙应该又走了200米。而总的路程是两人合走了1圈半，其中甲是一圈少60
米，那么乙就走了半圈多60米，所以半圈的长度为300-60=240米，那么一圈的长度就是
240 2=480米
×
11．如图7-3，甲、乙两辆汽车在周长为360米的圆形道上行驶，甲车每分钟行驶20米．
它们分别从相距90米的A、B两点同时出发，背向而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改
变方向，当乙车到达B点时，甲车经过B点后恰好又回到A点，此时甲车立即调头前进，乙车经过B点继续行驶，请问：再过多少分钟甲车与乙车再次相遇？
解：右图中C表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从B到C又返回B时，甲恰好转一圈回
到A，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此 C点距B点180－90＝90（米）．
甲从A到C用了180÷20＝9（分），所以乙每分行驶90÷9＝10（米）．甲、乙第二次相
遇，即分别同时从A，B出发相向而行相遇需要90÷（20＋10）＝3（分）．
12．如图7-4，一个正方形房屋的边长为10米，甲、乙两人分别从房屋的两个墙角同时出
发，沿顺时针方向前进．甲每秒行5米，乙每秒行3米．问：出发后经过多长时间甲第一
次看见乙？
解：怎么才算是第一次甲看见乙，其实是当甲刚好拐过某个角时，这时候乙跟他的距离不
大于10米就可以了。又甲走一条边的时间为10 5=2秒，这个时间内甲比乙多走了2 （5-
3）=4米，也就是说甲每走过一条边时，甲和乙的路程差要减少 4米。现在甲在乙后面20
米，所以当甲走过三条边时，甲乙之间的路程差÷就只有20-4 3=8米了，这时肯定就看×见乙
了。这时已经过了2 秒。
×
×3=6
超越篇
1．甲、乙两艘游船顺水航行的速度均是每小时7千米，逆水航行的速度均是每小时5千米．
现在甲、乙两船从某地同时出发，甲先逆流而上再顺流而下，乙先顺流而下再逆流而上，1
小时后它们都回到了出发点．请问：在这1小时内有多少分钟两船的行进方向相同？
解：V :V =7:5，由于对于一艘船来说，往返路程一样，所以T ：T =5:7。这样T
顺 逆 顺 逆 顺
=60 （5+7） 5=25分钟，T =35分钟。这样，当乙第25分钟掉头开始，到甲第35分钟
逆
掉头的这10分钟内，他两都是逆流行驶的。
÷ ×
2．甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时相向而行，甲船顺流而下，乙船逆流而上．
相遇时，甲、乙两船的航程是相等的，相遇后两船继续前进．甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来的路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行 1000米，如果从两
船第一次相遇到第二次相遇间隔1小时20分，那么河水的流速为每小时多少千米？
解：第一次相遇时两船航程相等，所以两船速度相等，即 ，得
；第一次相遇后两船继续前行，速度仍然相等，所以会同时到达 、 两地，
且所用时间与从出发到第一次相遇所用时间相同，所行的路程也相等；从两船开始返航到
第二次相遇，甲、乙两船又共行驶了 、 单程，由于两船的速度和不变，所以所用的时
间与从出发到第一次相遇所用时间相同，故与从第一次相遇到各自到达 、 两地所用的
时间也相同，所用的时间为： (小时)①；返回时两船速度差为：
②，故 ，得 (千米/时)
3．一条河上有甲、乙两个码头，甲码头在乙码头的上游 50千米处，一艘客船和一艘货船
分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相同，客船出发时有一物品从
船上落入水中，10分钟后此物品距客船5千米，客船在行驶20千米后掉头追赶此物品，追
上时恰好和货船相遇，求水流的速度．
解：5÷1/6=30(千米/小时)，所以两处的静水速度均为每小时 30 千米。 50÷30=5/3(小
时)，所以货船与物品相遇需要5/3小时，即两船经过5/3小时候相遇。 由于两船静水速
度相同，所以客船行驶 20 千米后两船仍相距 50 千米。 50÷(30+30)=5/6(小时)，所以
客船调头后经过5/6小时两船相遇。 30-20÷(5/3-5/6)=6(千米/小时)，所以水流的速度
是每小时 6 千米。
4．在一条圆形跑道上，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，反向而行．6分钟后两人
相遇，再过4分钟甲到达B点，又过8分钟两人再次相遇，甲、乙两人绕跑道环行一周各
需要多少分钟？
解：由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）
从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，
所以甲环行一周需 12＋8＝20（分），乙需 20÷4×6＝30（分）.
5．有一条长度为4200米的环形车道，甲车从A点出发35秒后，乙车从A点反向出发，两
车在B点第一次迎面相遇，如果乙车出发的时候变换方向，即出发的时候和甲车保持同向，
那么乙车将行驶完一圈之前追上甲车，并且追上甲车的地点恰好还在 B点．乙车追上甲车
之后立刻折返，甲车继续前进，那么两车会在距离A点300米的地方迎面相遇．求乙车的
速度．
解：两次甲车都是从A点到B点，所花时间相同，因此乙车两次的行程相等。而乙车
第一次从A点到B点的方向与第二次的方向相反，也就是两次合起来走了全程，这样可知乙车从A点到B点恰好是全程的一半，即为2100米。可见，行半圈所用时间，甲
车比乙车多用35秒，也就是同样行一圈，甲车比乙车多用70秒时间
而从乙车追上甲车后反向行驶，到两车最后一次相遇，乙车行了2100＋300＝2400米，
甲车行了2100－300＝1800米，可见甲乙两车的速度比为1800∶2400＝3∶4。当路
程相同时，甲乙两车的时间跟速度成反比，也就是等于4∶3，我们可以把甲车行一圈
的时间看成4份，那么乙行一圈的时间就是3份。这样4份比3份多70秒。也就是乙
行一圈的时间为70 3=210秒，所以乙的速度为4200 210=20米/秒。
× ÷
6．如图7-5，8时10分，甲、乙两人分别从相距60米的A、B两地出发，按顺时针方向沿
长方形ABCD的边走向D点，甲、乙两人的速度相同．甲8时20分到D点后，丙、丁两
人立即从D点出发．丙由D向A走去，8时24分与乙在E点相遇；丁由D向C走去，8时
30分在F点被乙追上．丙、丁两人的速度也相同．问：三角形BEF的面积是多少平方米？
解：如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置．
先分析甲的情况，甲10分钟，行走了AD的路程；再看乙的情况，乙的速度等于
甲的速度，
乙14分钟行走了60+AE的路程，乙20分钟走了60+AD+DF的路程．
所以乙10分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF的路程．
有 ，有
然后分析丙的情况,丙4分钟,行了走ED的路程,再看丁的情况,
丁的速度等于丙的速度,丁10分钟行走了DF的距离．
有 ，即5ED＝2DF．
联立 ，解得
于是,得到如下的位置关系：7．A地位于河流的上游，B地位于河流的下游．每天早上，甲船从A地、乙船从B地同时
出发相向而行，从12月1号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原来的
1.5倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了1千米．由于天气原因，今天（12月6号）
的水速变为平时的2倍．试问：今天两船的相遇地点与12月2号相比，将变化多少千米？
解：设原来的水速为a，船的静水速度为b，这样两船的实际速度分别为a+b，b-a，相遇点
a+b a+b
应该在AB全程的 = 的位置。换了发动机后，相遇点应该在 AB全程的
a+b+b-a 2b
a+1.5b a+1.5b a+b
= 的位置，两个相遇点之间的距离就相当于全程的 -
a+1.5b+1.5b-a 3b 2b
a+1.5b 0.5a a
= ， 所 以 =6 ， 水 速 变 成 两 倍 后 ， 相 遇 点 应 该 在 AB 全 程 的
3b 3b b
2a+1.5b 2a+1.5b a 6
= 位置，与12月2号相比变化了- = =2千米。
2a+1.5b+1.5b-2a 3b 3b 3
8．有甲、乙两名选手在一条河中进行划船比赛．如图 7-6，赛道是在河中央的长方形
ABCD，其中，AD=100米，AB= 80米．已知水流从左到右，速度为每秒l米．甲、乙两
名选手从A处同时出发，甲沿A→B→C→D→A的方向划行，乙沿A→D→C→B→A的方
向划行，若已知甲船在静水中的速度比乙船在静水中的速度每秒快1米（注：两船在AB
1
4
和CD上的划行速度视为静水速度），且两人第一次相遇在图中CD的P处，且CP=
CD．问：在比赛开始5分钟内两人一共相遇多少次？
解：因为甲比乙快1米/秒，而乙行AD为顺水，所以乙行AD与甲行AB、CP时的速度相
1
同；由题意知，AB+CP=80+80 AD，所以乙行AD的时间与甲行AB、CP的时
4
间相同。 由此可推知，甲行×BC=与10乙0=行PD的时间相同；由题意知，BC=100，
3
DP=80 ，所以甲、乙路程比为100∶60=5:3，则速度比为3∶5。 因甲行BC为
4
顺水，而×乙=行60DP为静水，故速度差应为2米/秒。 由上可知，乙的静水速度为3米/秒，
则甲的静水速度为4米/秒。
1
所以，甲行一圈的时间为：80×2 3+100÷（3+1）+100 （3-1）=125 秒。
3
1
÷ ÷
同理求得乙行一圈的时间为80×2÷4+100÷（4+1）+100÷（4-1）=93 秒；
3
又5分钟等于300秒，这样甲可以行两圈多，乙可以行3圈多，甲，乙多出来的部分不够
在凑一圈，所以两人共走了5圈多，即相遇5次。
