文档内容
第 9 讲 比较与估算
内容概述
与小数和分数相关的比较问题，涉及多个数之间的比较，以及算式之间的比较．需要
进行估算的计算问题，例如求近似值或求整数部分等，估算的关键是进行恰当的放缩．
典型问题
兴趣篇
1 ． 分 别 比 较 下 面 每 组 中 两 个 数 的 大 小 ：
答案：
分析：分数与小数互化。
2．有8个数， 是其中的6个，如果按从小到大的顺
序排列，第4个数是 ，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？
答案：第4个数是 ．
分析： ＝ ， ＝ ， ≈0.5106， ＝0.52，
显然有0.5106＜ ＜ ＜0.52＜ ＜ ，即 ＜ ＜ ＜ ＜
＜ ，8个数从小到大排列第4个是 ，所以有□＜□＜ ＜ ＜ ＜
＜ ＜ ．(“□”表示未知的那2个数)
所以，这8个数从大到小排列第4个数是 ．
3．在不等式 的方框中填入一个自然数，使得不等式成立．
答案：7.
分析：由投球法易得出，□可以填7.
4．在大于 且小于 的最简真分数中，分子不超过3的共有多少个？
答案：12个。
分析：分子为1时，分母可取6、5、4共三个；
分子为2时，分母可取9、11、13共三个；
分子为3时，分母可取13、14、16、17、19、20共六个；所以共12个。
5． 请将A、B、C、D、E
按从小到大的顺序排列起来．
答案：C＜B＜A＜D＜E.
分析：通分相加后，分子都为40.分母越大，分数越小。
6．下面的4个算式中，哪个算式的结果最大？
答案：4个算式中，③最大．
分析： ＝2+ ， ＝2+ ， ＝2+
， ＝2+ ．
于是只用比较 ， ， ， 的大小．
因为 ＞ ， ＞ ，所以 ＞ ，即③＞④，
又因为 ＝ + ，而 ＜ ， ＜ ，所以 ＜ ，即③＞
①，
而 ＝ + ，而 ＜ ， ＜ ，所以 ＜ ，即③＞②．
所以4个算式中，③最大．
7．计算 结果保留三位小数．
答案：0.546.
分析：法一：直接计算，结果保留三位小数；法二：循环小数化分数计算。
8．某次考试中，13名同学的平均分四舍五入到十分位后等于85.4，且每名同学的得分都
是整数，请问：这13名同学的总分是多少？计算平均分时四舍五入到百分位等于多少？
答案：总分是1110. 平均分四舍五入到百分位为85.38分。
分析：平均数的范围是在 85.35~85.45 之间的数。这 13 个同学的总分最小为
13×85.35=1109.55分，最大为13×85.45=1110.85分，每个同学的得分是整数，那么总
分也一定是个整数，所以这13个同学的总分为1110分，则他们的平均分四舍五入到百分
位为85.38分。
9．求下述算式计算结果的整数部分：
答案：517.
分析：（1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13）×385=1/2×385+1/3×385+1/5×385+1/7×385+1/13×385=1/2×385+1/3×385+77+55+35+1/13
×385
=167+385×（1/2+1/3+1/13）=167+385×71/78
385×71/78≈385×0.9103=350.4655
167+385×71/78=167+350.4655=517.4655
计算结果的整数部分是517。
10．算式 的计算结果的整数部分是多少？
答案：67.
分析：整数部分为66，分数部分通过放缩可得
11 11
即１ 1.1
在1和1.1之间。所以计算结果的整数部分为67.
拓展篇
1 ． 分 别 比 较 下 面 每 组 中 两 个 数 的 大 小 ：
答案：
分析：分数化小数。
2．现有7个数，其中5个是 如果将这7个数按照从小到大
排列，第三个数是 ．请问：位于中间的数是多少？
答案：
分析：分数化小数。已知的五个数中， 最小，所以从小到大的前两个数未知，第四个
数为 。
3．在下面9个分数算式中：
第几个算式的结果最小？这个结果等于多少？
答案：第④个算式结果最小。分析：①－②＝ － ＝ ＞0，即①＞②；
②－③＝ － ＝ ＞0，即②＞③；
③－④＝ － ＝ ＞0，即③＞④；
④－⑤＝ － ＝ ＜0，即④＜⑤；
⑤－⑥，⑥－⑦，⑦－⑧，⑧－⑨所得的差依次为 ， ，
均小于0，所以⑤＜⑥，⑥＜⑦，⑦＜⑧，⑧＜⑨，那么这些中最小的为④，
有④为 ＝ ．
4．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数．
答案： 最接近0.618．
分析：我们将分母为1～9的分数中最接近0.618的分数列出为： ， ， ， ， ， ，
， ， ，将它们化成小数与0.618作差，依次为0.392，0.118，0.049，0.018，0.049，
0.047，0.007，0.049．在计算其中的循环小数时小数点后保留三位数字．
又0.007最小，也就是说 最接近0.618．
即在所有分母为10的真分数中， 最接近0.618．
5．在不等式 的方框中填入一个自然数，使得不等号成立，一共有多少
种不同的填法？
答案：4种。
分析：通分子。方框可取98、99、100、101.共四种。6． 这30个数的整数部分之和是
多少？
答案：49.
分析：关键是判断从哪个数开始整数部分是2,
因为2-1.65=0.35,我们就知 ,
故先看 , = ,这说明“分界点”是 ,所以前 11个
数整数部分是1,后19个数整数部分为2,其和为 .
7．算式 计算结果的整数部分是多少？
答案：1.
分析：我们可以先算出这10个分数的值 ，然后用所得的结果去除1，所
得的商的整数部分即为所求．
现在问题在于如何在我们所需的精度内简单的求出 的值．
因为 ＜ ＝ ；
而 ＞ ＝ ；
即 在 ～ ，那么它的倒数在 ～ 之间，显然所求的数的整
数部分为1．
评注：本题中的放(扩大)缩(缩小)幅度不易确定，我们可多次尝试修正使得放缩的结
果满足要求．
8．算式 计算结果的整数部分是多少？
答案：3.
分析：
＝3＜4
计算结果整数部分为3.
9．(1)算式33.333×33.333计算结果的整数部分是多少？
(2)算式333.33×333.33计算结果的整数部分是多少？
答案：（1）1111 （2）111108.
分析：
33.3332≈ ＝ ≈1111.1
333.33*333.33=333.33*3*111.11=999.99*111.11=1000*111.11-0.01*111.11=111110-
1.1111=111108.8889因此，整数部分是111108。
10．将两个小数四舍五入到个位后，所得到的数值分别是7和9．这两个小数乘积的整数
部分共有多少种可能的取值？
答案：17种
分析：从55到71
6.5×8.5=55.25
7.5×9.5=71.25
所以55.25<=两个小数乘积<71.25。
11．有一道题目要求17个自然数的平均数，结果保留两位小数．冬冬的计算结果是 11.
28，老师说这个数百分位上的数字错了，其他数位上的数都正确，请问：正确答案是多少？
答案：11.24或11.29.
分析：只有百分位错，即平均数介于11.2和11.3之间。
11.2×17=190.4
11.3×17=192.1
故17个数的和只能是191或192
191/17=11.24
192/17=11.29
故答案为11.24或11.29
12．有一个算式 算式左边的方框各代表一个一位数，右边的
结果为四舍五入到千分位后的近似值．方框中填入的三个数字分别为几？
答案：三个数字分别为3，5，8.
分析：1/2=0.5 1/3=0.333… 1/4=0.25 1/5=0.2 1/6=0.1666… 1/7=0.142857…
1/8=0.125 不难看出0.658=0.333+0.2+0.125
超越篇1．算式 计算结果的整数部分是多少？
答案：0.
分析：对于两个不相等的正数a,b，容易知道(a+b)^2>4ab，于是(a+b)/ab>4/(a+b),
即1/a+1/b>4/(a+b).
从而1/10+1/11+...+1/29
=(1/10+1/29)+(1/11+1/28)+...+(1/19+1/20)
>4/39+4/39+...+4/39=40/39
另一方面1/10+1/11+...+1/29 < 20/10=2,
记1/(1/10+1/11+1/12+1/13+...+1/28+1/29)=A,于是有：
1/2 < A < 39/40
因此A的整数部分为0，即为所求。
2．算式5. 285714×4.9×3. 857142计算结果的整数部分是多少？
答案：99.
分析：约化分数后分别为 通分计算。
、 、 ，
3．在算式 中，方框里填的都是整数，且不等式成立．这个式子左边最大是
多少？并说明理由．
答案：
分析：先看左边第二项分子是4所以分母大于等于5，所以4/5是最大的；4/5+1/（）<1
所以（）中分母应该大于5应该填6
即 1/6+4/5<1
左边最大是29/30.
4．两个小数相乘，乘积四舍五入以后是22.5这两个数都只有一位小数，且整数部分都是
4．请问：这两个数的乘积四舍五入前是多少？
答案：22.54.
分析：四舍五入是22.5，两个数都有一位小数，就是说明四舍五入前是：22.46-22.54之
间
个位数都是4，一位小数最大的是4.9
22.46/4.9=4.58
22.54/4.9=4.6，即最小的都要为4.6
就是在4.6到4.9之间的数
22.46开平方约为：4.739
22.54开平方约为：4.747
两个数的平均数应该为4.743附近
4.6*4.9=22.54约为22.55．老师在黑板上从1开始写了若干个连续自然数：l，2，3，…，后来擦掉其中的一个数，
计算剩下数的平均数保留两位小数后是12.52老师擦掉的数是多少？
答案：12.
分析：此题应围绕平均数为 12.5 展开讨论：
1+2+3+ ... ... + 23 + 24 = 300
300/24 = 12.5
因为，12.52 > 12.5 ，所以擦掉的数应小于 13，
当从求和式中擦掉 12 后，
平均数 = (300 - 12) / 23 ≈ 12.52
所以，擦掉的那个数是 12 。
6．某天中午，3个老师买盒饭吃．如果买4盒分着吃可以让大家都吃饱，而且还有剩余．
此时又来了一位老师，结果发现再多买一盒还不够大家吃．后来又来了若干位老师，结果
再多买几盒盒饭后，不多不少刚好够大家吃．如果每个老师的饭量都一样，那么后来至少
再来了多少位老师？
答案：3位。
分析：设每个老师食量是x个饭盒。则
3x<4,
4x>5.
联立有
5/4
