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第23 讲 定点问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共1 小题）
1．已知圆
，点
为直线
上一动点，过点
向圆
引两条切线
、
，
、
为切点，则直线
经过定点
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
是直线
的任一点，所以设
，
因为圆
的两条切线
、
，切点分别为
、
，
所以
，
，
则点
、
在以
为直径的圆上，即
是圆
和圆
的公共弦，
则圆心
的坐标是
，
，且半径的平方是
，
所以圆
的方程是
，①
又
，②，
②
①得，
，即公共弦
所在的直线方程是：
，
即
，
由
得
，
，
所以直线
恒过定点
，
，
故选：
．
二．解答题（共18 小题）
2．已知圆
的圆心坐标为
，且该圆经过点
．
（1）求圆
的标准方程；
（2）若点
也在圆
上，且弦
长为8，求直线
的方程；
（3）直线交圆
于
，
两点，若直线
，
的斜率之积为2，求证：直
线过一个定点，并求出该定点坐标．
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【解答】（1）解：设圆的标准为
，把
代入得
，
故圆的标准方程为
．
（2）解：①当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
，此时弦
长为8，符
合题意；
②当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
联立方程
，则
，
所以
，
，
根据弦
长为8，可得
，
解得
，所以直线
的方程为
，
综上所述，直线
的方程为
或
；
（3）证明：当直线斜率不存在时，设
，
，
直线
，
的斜率之积为2，
，
，即
，
点
在圆上，
，
联立
，无解，舍去，
当直线斜率存在时，设直线
，
，
，
，
，
①
联立方程
，
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，
，
代入①，得
，
化简得
，
直线的方程为：
，所以过定点
．
3．已知椭圆
的离心率为
，点
在椭圆
上，点
是椭圆
的右焦点．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，则在
轴上是否存在一点
，使得
轴
平分
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得
解得：
，
．
所以椭圆
的方程为
．
（2）由题意可知直线的斜率不为0，
．
若直线斜率存在，设直线的方程为
，
，
，
，
，
联立
得
．
由题意可知△
恒成立，所以
，
．
假设在
轴上存在一点
，使得
轴平分
，则
，
所以
．所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
．
若直线斜率不存在时，则
，
两点关于
轴对称，当点
坐标为
时，
轴平分
．
综上所述，在
轴上存在一点
，使得
轴平分
．
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4．已知椭圆
的离心率是
，一个顶点是
，点
，
是椭
圆
上异于点
的任意两点，且
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）试问直线
是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得
，解得
，
所以椭圆方程为
．
（2）由
知直线
，
的斜率存在且不为0．
设直线
的斜率为
，直线
的方程为
，
，得
．
解得
或
．
当
时，
，即
，
用
代替
，得
于是直线
的斜率
，
直线
的方程为
，
整理得
，
当
，
时，对任意的
，
恒成立，
所以直线
过定点
．
5 ．已知
，
分别为椭圆
的左，右顶点，
为
的上顶点，
．
为椭圆外一点，
与
的另一交点为
，
与
的另一交点为
，且
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．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）证明：直线
过定点．
【解答】解：（1）由题意知
，
，
，
所以
，
解得
，
故椭圆
的标准方程为
．
证明：（2）设直线
的方程为
，
，
，
，
，
联立
，消去
得
，
则有
，
所以
，
即
，
因为
，
，
所以
，
，
，
解得
，
所以直线
的方程为
，
故直线
过定点
．
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6．已知抛物线
的焦点
与双曲线
的一个焦点重合，
为直
线
上的动点，过点
作抛物线
的两条切线，切点分别为
，
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）证明直线
过定点．
【解答】解：（1）由题意可得双曲线
的焦点为
，
，
即有抛物线的焦点
，
则
，
所以抛物线
的方程为：
；
（2 ）证明：设
，
，设切线方程为
，联立
得：
①，
由
．
设两条切线的斜率分别为
，
，则
，
，
由①知等根为
，故设
，
，则
，
所以直线
的方程为：
，
化简得
．
所以直线
过定点
．
7．已知椭圆
过点
，离心率为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
分别作斜率为
、
的椭圆的动弦
、
，设
、
分别为线段
、
的中点，若
，是否存在一个定点
，使得其在直线
上，若存在，求出
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该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）
椭圆
过点
，离心率为
．
，解得
，
，
椭圆
的方程为
．
（2）由题意得
，设
，
，直线
的方程为
，即
，
代入椭圆方程并化简，得：
，
，
，
同理，
，
，
直线
的方程为
，
即
，
此时直线过定点
，
当
时，直线
即为
轴，此时也过点
．
综上，直线
恒过定点，且定点坐标为
．
8．已知左焦点为
的椭圆过点
．过点
分别作斜率为
，
的椭圆的
动弦
，
，设
，
分别为线段
，
的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
为线段
的中点，求
；
（3）若
，求证直线
恒过定点，并求出定点坐标．
【解答】（1）解：由题意
，且右焦点
，
所求椭圆方程为
；
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（2）解：设
，
，
，
，则
①，
②
②
①，可得
；
（3）证明：由题意，
，
设
，
，直线
的方程为
，即
，
代入椭圆方程并化简得
，
同理，
，
当
时，直线
的斜率
直线
的方程为
即
此时直线过定点
当
时，直线
即为
轴，此时亦过点
综上，直线
恒过定点，且坐标为
．
9．已知椭圆
，
为其左焦点，点
，
，
，
分别
为椭圆的左、右顶点，且
，
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
作两条射线分别与椭圆交于
、
两点（均异于点
，且
，证
明：直线
恒过
轴上的一个定点．
【解答】（1）解：
，
，
又
，
，
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整理得
，
，
则
．
椭圆
的方程为
；
（2）证明：由已知直线
与
轴不垂直，假设其过定点
，设其方程为
，
联立
，得
．
设
，
，
，
，则
，
．
，
．
，
．
，
．
即
．
化简得：
，
若
，则
与
重合，不合题意，
，
整理得
．
综上，直线
过定点
．
10．已知椭圆
的左右顶点分别为
，
，点
为椭圆上异于
，
的任意
一点．
（Ⅰ）求直线
与
的斜率之积；
（Ⅱ）过点
作与
轴不重合的任意直线交椭圆
于
，
两点．证明：以
为直径的圆恒过点
．
【解答】解：（Ⅰ）
．设点
，
，
则有
，
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即
，
．
（Ⅱ）证明：设
，
，
，
，
与
轴不重合，
设直线
，
由
化简得，
；
由题意可知△
成立，且
；
；
将
代入上式并化简得，
．
，即以
为直径的圆恒过点
．
11．已知点
，
，抛物线
，过点
的动直线交抛物线
于
，
两点，直线
交抛物线
于另一点
，
为坐标原点．
（1）求
；
（2）证明：直线
恒过定点．
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【解答】解：（1）设点
，
，
，
，由题意，设直线
，
由
得
，
△
，
，又
，
．
（2）证明：设
，
，直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，直线
的
斜率为
，
，
，
三点共线，
，
，即
，
，即
，
，
，
，
即
，
，
直线
的方程是
，即
，
，
由
式可知，
代入上式，得
，
令
，解得
，
直线
恒过定点
．
12．已知点
，
和抛物线
，
为坐标原点，过点
的动直线交抛
物线
于
、
，直线
交抛物线
于另一点
，如图
（1）证明：
为定值；
（2）若
的面积为
，求向量
与
的夹角；
（3）证明直线
恒过一个定点．
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【解答】
证明：设点
，
，
、
、
三点共线，
，即
，
，
，
（2 分）
．
（5 分）
解：设
，则
，
，
，
．
（8 分）
又
，
，
，
与
的夹角为
．
（10 分）
（Ⅲ）证明：设点
，
、
、
三点共线，
，
，
，
，即
，
，
，
即
，
（12 分）
，
直线
的方程是
，
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即
，
即
，
由
式，
，
代入上式，得
，
直线
过定点
．
13．已知抛物线
的焦点为
，
是抛物线
上一点，且在第一象限，满
足
，
（1）求抛物线
的方程；
（2）已知经过点
的直线交抛物线
于
，
两点，经过定点
和
的直线
与抛物线
交于另一点
，问直线
是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明
理由．
【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点
，
，满足
，
的
的坐标
为
，
，
在抛物线上，
所以
，即
，
，解得
，所以抛物线的方程为：
；
（2）设
，
，
，
，
，
，则
，
，
直线
的斜率
，
则直线
的方程为：
，即
①，
同理可得直线
的方程整理可得
②，
将
，
分别代入①，②的方程可得
，消
可得
，
易知直线
，则直线
的方程为：
，
即
，故
，
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所以
，
因此直线
恒过定点
．
14．已知直线
与抛物线
相交于
，
两点，满足
．定点
，
，
是抛物线上一动点，设直线
，
与抛物线的另一个交点分别是
，
．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：当
点在抛物线上变动时（只要点
、
存在且不重合），直线
恒过一
个定点；并求出这个定点的坐标．
【解答】解：（1）设
，
，
，
，
联立
，整理可得：
，
所以可得
，
，
进而可得
，
由
，可得：
，
即
，可得
，
所以抛物线的方程为：
；
（2）证明：设
，
，
，
，
，
，
由
，
，
三点共线可得，
，即
，
整理可得：
，
所以
，
同理可得
，
，
三点共线，
，
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所以直线
的方程：
，
整理可得：
，
将
，
的值代入直线方程可得：
，
所以
解得：
，
所以直线
过定点
．
15．已知直线
与抛物线
交于
，
、
两点，过点
与直线
垂直的直线交抛物线
于点
，
．如图所示．
（1）求抛物线
的焦点坐标；
（2）求经过
、
两点的直线与
轴交点
的坐标；
（3）过抛物线
的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点
、
的直线
是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请
说明理由．
【解答】解：（1）抛物线
的方程化为
，
，
．
（2 分）
抛物线
的焦点坐标为
．
（4 分）
（2）联立方程组
，解得点
坐标为
．
（6 分）
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联立方程组
，解得点
坐标为
．
（7 分）
所以直线
的方程为
，
（8 分）
令
，解得
．
点
的坐标为
．
（9 分）
（3）结论：过抛物线
的顶点任意作两条互相垂直的直线，
过这两条直线与抛物线的交点的直线
恒过定点
．
（10 分）
证明如下：
设过抛物线
的顶点的一条直线为
，
则另一条为
，
联立方程组
，解得点
坐标为
．
（11 分）
联立方程组
，解得点
坐标为
，
．
（12 分）
所以直线
的方程为
，
（13 分）
令
，解得
．
直线
恒过定点
．
（14 分）
16．过抛物线
上一点
作直线交抛物线
于另一点
．
（Ⅰ）若直线
的斜率为1，求线段
的长；
（Ⅱ）不过点
的动直线交抛物线
于
，
两点，且以
为直径的圆经过点
，问
动直线是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）把
点的坐标代入抛物线
可得
，
所以抛物线的方程为：
，
由题意可得直线
的方程为：
，即
，
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与抛物线联立
，整理可得：
，解得：
或
，可得交点
或
，
所以
；
（Ⅱ）设直线为：
，
，
，
，
，
联立直线与抛物线的方程：
，整理可得：
，
△
，即
，
，
，
因为
，所以
，
，
，
，
整理可得：
，
整理可得：
，
即
，
，可得
不是恒成立，或
（符合△
，
所以直线为：
，
即
，直线恒过点
．
17．如图所示，已知椭圆
的离心率为
，
的右焦点到直线
的距离为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设椭圆
的右顶点为
，不经过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，且以
为直径的圆过
，求证：直线恒过定点，并求出此定点坐标．
【解答】解：（1）
椭圆
的离心率为
，
，即
．
（2 分）
椭圆
的右焦点
到直线
的距离为
．
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，
．
（4 分）
解得
，又
，
，故椭圆
的方程为
．
（5 分）
（2）由题意可知，直线的斜率为0 时，不合题意，
不妨设直线的方程为
，
由
，消去
得
，
设
，
，
，
，则
，
．
（7 分）
以
为直径的圆过椭圆右顶点，
，
即
．
（9 分）
，
解得
或
（舍
（11 分）
故直线恒过定点
．
（12 分）
18．已知椭圆
的左顶点是
，左焦点为
，上顶点为
．
（1）当
的面积为
时，求
的值；
（2）若直线交椭圆
于
，
两点（不同于
，以线段
为直径的圆过
点，试探
究直线是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．
【解答】解：（1）由椭圆方程：
，则
，
，
，
由三角形
的面积
，
，
则
，解得：
，
的值为
；
（2）由线段
过直径的圆过
点，则
，
设直线
的斜率为
，则直线
的斜率为
，
为
，
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设
，
，
，
，则
，
整理得：
，
则
，则
，故
，
则
，
，
直线
的方程为
，同理可得：
，
，
当的斜率不存在时，显然可得
，此时
，
，
，
，
则圆心为
，
，
由直线总穿过
轴，证明当的斜率存在时，也过点
，
，
当的斜率存在时，
，
综上可知：过定点
，
．
19．已知椭圆
的左右顶点分别为
、
，点
为椭圆上异于
，
的任意
一点．
（Ⅰ）求直线
与
的斜率乘积的值；
（Ⅱ）设
，
，过点
作与
轴不重合的任意直线交椭圆
于
，
两点，
则是否存在实数，使得以
为直径的圆恒过点
？若存在，求出的值；若不存在，请
说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）
．设点
，
，
则有
，
即
，
．
（Ⅱ）假设存在实数，使得以
为直径的圆恒过点
；
学科网（北京）股份有限公司
设
，
，
，
，
与
轴不重合，
设直线
的方程为
，
，
由
化简得，
，
由题意可知△
成立，且
，
；
，
，
，
，
将
，
代入上式可得，
，
即
，
即
，
即
，
解得，
（舍去）或
．
故
．
