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23 带电粒子在磁场中的多解问题
1．(2020·湖北省松滋市言程中学高二月考)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy 平面向外。
某时刻一个质子从点(L0，0)处沿y 轴负方向进入磁场；一个α 粒子同时从点(－L0，0)进入磁场，速度方
向在xOy 平面内。设质子的质量为m、电荷量为e，不计质子与α 粒子的重力和它们之间的相互作用。
如果α 粒子第一次到达原点时恰能与质子相遇，已知质子和α 粒子都带正电，且α 粒子的质量是质子质
量的4 倍，α 粒子带的电荷量是质子的2 倍，则( )
A．质子的速度大小为
B．质子的速度大小为
C．两粒子相遇时，α 粒子的运动时间可能是
D．两粒子相遇时，α 粒子的运动时间可能是
2．如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形ABC 分开，三角
形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠BAC 的角平分线发射速度不同的质子(质
子重力不计)，所有质子均能通过C 点，质子比荷
＝k，则质子的速度可能为( )
A．2BkL
B．
C．
D．
3．(2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高二月考)长为
的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁
感应强度为
，板间距离也为
，极板不带电。现有质量为
、电荷量为
的带正电粒子(重力不计)，
从左边极板间中点处垂直磁场以速度
水平入射，如图所示。欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是
( )
A．使粒子速度
B．使粒子速度
C．使粒子速度
D．使粒子速度
4．如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB 边长度为d，
。现垂直AB 边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v 的带正电粒子。已知垂直
AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为
(不计重
力)，则下列说法中正确的是( )
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为
D．粒子进入磁场时速度大小为
5．如图所示，S 为一离子源，MN 为荧光屏，其长度为
，S 到MN 的距离为SP=L，P 为MN
的中点，MN 的左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻离子
源S 一次性沿平行纸面的各个方向均匀地喷发大量的正离子(此后不再喷发)，喷发的离子速率均相等、
质量均为m、电荷量均为q。不计粒子重力，不考虑离子之间的相互作用力，下列说法正确的是( )
A．若离子在磁场中做匀速圆周运动的半径为2L，则离子喷发时的速率为
B．速率为
的离子，一定打不到荧光屏上
C．速率为
的离子，能打中荧光屏的最短时间为
D．速率为
的离子，能打到荧光屏MN 上的范围为
6．如图为“EAST 超导托卡马克核聚变实验装置”的简化模型：把核材料约束在半径为r2的圆形区域内，等
离子体只在半径为r1的圆形区域内反应，环形区域(约束区)存在着垂直于截面的匀强磁场。假设约束的
核聚变材料只有氕核(
)和氘核(
)，已知氕核(
)的质量为m，电量为q，两个同心圆的半径满足r2
＝(
＋1)r1，只研究在纸面内运动的核子，不考虑核子间的相互作用、中子和质子的质量差异以及速
度对核子质量的影响。设核聚变材料氕核(
)和氘核(
)具有相同的动能Ek，则以下说法正确的是(
)
A．氕核(
)和氘核(
)的比荷之比为1：2
B．氕核(
)和氘核(
)分别在环形区域做匀速圆周运动的半径之比为1：
C．为了约束从反应区沿不同方向射入约束区的核子，则环形磁场区域所加磁场磁感应强度B 满足的条
件为B>
D．若约束区的磁感应强度为B0，氕核(
)从圆心O 点沿半径方向以某一速度射入约束区，恰好经过
约束区的外边界，则氘核(
)再次回到反应区所用时间t＝
7．(2020·浙江余姚中学高二月考)如图所示，真空室内有一个点状的α 粒子放射源P，它向各个方向发射α
粒子(不计重力)，速率都相同。ab 为P 点附近的一条水平直线(P 到直线ab 的距离PC=L)，Q 为直线
ab 上一点，它与P 点相距PQ=
L(现只研究与放射源P 和直线ab 同一个平面内的α 粒子的运动)，当
真空室内(直线ab 以上区域)只存在垂直该平面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场时，水平向左射出的
α 粒子恰到达Q 点。(α 粒子的电荷量为+q，质量为m；sin37°=0.6；cos37°=0.8)求：
(1)α 粒子的发射速率；
(2)能到达直线ab 的α 粒子所用最长时间和最短时间的比。
8．(2020·苏州市相城区望亭中学高二月考)如图所示，左、右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为
d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量绝对值为q 的微观粒子，沿图示
方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，求粒子入射速度v0的最大值？(粒子不计
重力)
9．如图甲所示，M、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正
对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场
方向为正方向。有一群正离子在t=0 时垂直于M 板从小孔O 射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量
为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而
产生的电场的影响。求：
(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
10．(2020·山东高三月考)如图所示，半径为a 的圆内有一固定的边长为1.5a 的等边三角形框架ABC，框架
中心与圆心重合，S 为位于BC 边中点处的狭缝．三角形框架内有一水平放置带电的平行金属板，框架
与圆之间存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场．一束质量为m、电量为q，不计重
力的带正电的粒子，从P 点由静止经两板间电场加速后通过狭缝S，垂直BC 边向下进入磁场并发生偏
转．忽略粒子与框架碰撞时能量与电量损失．求：
(1)要使粒子进入磁场后第一次打在SB 的中点，则加速电场的电压为多大？
(2)要使粒子最终仍能回到狭缝S，则加速电场电压满足什么条件？
(3)回到狭缝S 的粒子在磁场中运动的最短时间是多少？
11．(2020·浙江高三其他模拟)如图所示，真空中有以O 和O＇为圆心，半径都为r=10cm 的圆柱形匀强磁
场区域Ⅰ和Ⅱ，磁场的感应强度大小相等B=0.2T，方向垂直于纸面(xoy 平面)向里。圆柱O 没有筒壁，圆
柱O＇的筒壁光滑绝缘，粒子与筒壁碰撞后，粒子电量和速度大小不变，方向遵循反射定律。圆柱O＇
与x 轴的交点开有两个小孔A、C，并在C 处装有阀门，控制粒子通过。在y1=10cm 到y2=15cm 的区域
存在平行于y 轴，方向沿y 轴负方向的匀强电场。现打开阀门C，有一带正电的粒子在y 轴上的
y2=15cm 处静止释放，穿出电场后依次进入匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，经磁场偏转，与筒壁碰撞后从C 孔离开
磁场，到达位于x=40cm 处平行于y 轴的荧光屏MN，荧光屏就发光。带电粒子的比荷1×108C/kg。不计
粒子重力。求：
(1)电场强度的大小；
(2)若带电粒子从y2=15cm，x 坐标在-5cm≤x≤5cm 范围内的某位置静止开始进入电场加速，然后进入匀强
磁场，粒子进入磁场开始计时，在t=2π×10-7s 时刻关闭阀门C；
①从A 孔出去的粒子，与x 轴夹角的范围；
②能够从C 孔离开磁场的粒子到达荧光屏的位置(用纵坐标y 来表示)。
12．如图所示，MN 长为3L，NP 长为4L 的矩形MNPQ 区域内，存在以对角线MP 为分界线的两个匀强磁
场区域I 和II，方向均垂直纸面向外，区域I 的磁感应强度大小可调，区域II 的磁感应强度大小为B。
一质量为m、电量为q 的带正电粒子从M 点以平行于MN 边的方向射入磁场I 区域中，速度大小为
，不计粒子所受重力，矩形外边线上均存在磁场。(sin
=0.6，cos
=0.8)
(1)若粒子无法进入区域II 中，求区域I 磁感应强度大小范围；
(2)若区域I 的磁感应强度大小
，求粒子在磁场中的运动时间；
(3)若粒子能到达对角线MP 的中点O 点，求区域I 磁场的磁感应强度大小的所有可能值。
13．(2020·江苏高考真题)空间存在两个垂直于
平面的匀强磁场，y 轴为两磁场的边界，磁感应强度分
别为
、
。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O 沿x 轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1
次、第2 次经过y 轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q 时，乙也恰好同时经过该点。已
知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q 到O 的距离d；
(2)甲两次经过P 点的时间间隔
；
(3)乙的比荷
可能的最小值。
14．在如图甲所示的xOy 平面内，y 轴右侧空间有分布均匀、随时间变化的电场和磁场，其变化规律分别
如图乙、丙所示，以y 轴正方向为电场强度的正方向，电场强度大小为E0、2E0、3E0、……；垂直xOy
平面向外为磁场的正方向。t=0 时刻，质量为m、电荷量为q 的负粒子，以初速度v0从坐标原点O 沿x
轴正方向射入，不计粒子的重力。已知磁感应强度大小
，求该粒子在：
(1)t0时刻的速度大小；
(2)2t0时刻的位置坐标；
(3)nt0(n=1，2，3，…)时刻的动能。
15．在空间建立直角坐标系xoy，以坐标原点O 为圆心作两个半径分别为r 和R 的同心圆，小圆与两坐标
轴分别交于M、P、两点，Q 也是小圆上的一点；两圆将空间分隔成三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。在区域Ⅰ内
存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，区域Ⅱ内也存在垂直于坐标平面的匀强磁场，区域Ⅲ内没有磁场。
一个不计重力、带电量为+q、质量为m 的粒子从M 点沿－y 方向进入磁场，从P 点进入区域Ⅱ，又从Q
点再次回到区域Ⅰ。已知∠POQ＝60°，求：
(1)求区域Ⅰ和区域Ⅱ内磁场的磁感应强度；
(2)若要使粒子约束在磁场内，求大圆半径R 的最小值；
(3)粒子在磁场中运动的周期。
16．运动的合成与分解告诉我们一个复杂合运动可看成几个简单分运动同时进行，比如平抛运动：如果我
们想直接得到它的轨迹方程就比较困难，为方便处理，我们将合运动分解成一个匀速直线运动和一个匀
变速直线运动同时进行。这种思想方法得到了广泛的应用。如图所示，一人工转变核反应的反应区A，
内有α 粒子以速率v′轰击静止的铍核(
)，单位时间发射大量α 粒子，发生核反应生成碳核(碳12)和
另一个核子，三者速度在同一直线上，且碳核速度与α 粒子入射速度同向。反应区A 的大小忽略不计，
碳核仅在如图所示的竖直平面内，从反应区A 限定角度内可以沿各个方向按平面机会均等地射出，其速
率为
(θ 为碳核与水平方向的夹角，θ 最大为75°)。整个空间处于一个向右的场强为B 的
匀强磁场中，距离反应区右侧d 位置处有一个圆屏，圆心O 与反应区A 的连线垂直于圆屏。(不考虑粒
子重力作用及生成物间的相互作用)。已知电子电荷量大小为e，中子和质子质量均为m，于是各粒子的
质量和电荷量均可表示，求：
(1)写出核反应方程式，书写时请推断出核反应生成的另一核子，并计算θ=0 时另一核子的速率；
(2)若单位时间内
数量的碳核打到圆屏上，求圆屏的半径；
(3)若已知圆屏的半径为R，求单位时间内打到圆屏上碳核的数目占总生成碳核的百分比。
17．如图甲所示，长方形MNPQ 区域(MN=PQ=3d，MQ 与NP 边足够长)存在垂直纸面向里的匀强磁场，
其磁感应强度为B。有一块长为5d、厚度不计的荧光屏ab，其上下两表面均涂有荧光粉，平行NP 边放
置在磁场中，且与NP 边相距为d，左端a 与MN 相距也为d。电子由阴极K 均匀地发射出来(已知电子
质量为m、电荷量为e、初速度可视为零)经加速电场加速后，沿MN 边进入磁场区域，若电子打到荧光
屏就被吸收。忽略电子重力和一切阻力，求：
(1)如果加速器的电压为U，求电子刚进入磁场的速度大小；
(2)调节加速电压，求电子落在荧光屏上，使荧光屏发光的区域长度；
(3)若加速电压按如图乙所示的图象变化，求从t=0 开始一个周期内，打在荧光屏上的电子数相对总电
子数的比例；并分析提高该比例的方法，至少提出三种。
18．利用电磁场可以控制带电粒子的速度大小与方向。在图示坐标系的第Ⅱ象限，存在一个圆心为坐标原
点的
圆环状的均匀辐向电场，圆环在y 轴上的截面长度为R，电场中各点电势为
，式中k 为
正的已知常量，r 为该点到圆心O 的距离。在y 轴右侧，圆心为(R，0)、半径为R 的虚线圆内分布着方
向垂直于圆面的匀强磁场，在
处有一竖直放置的足够长的探测屏。今在圆弧的
点
放置一个离子源，能不断释放质量为m、电荷量为
的带电离子。当磁场的磁感应强度大小为
时，
这些经电场加速的离子刚好能从磁场区域最高点射出。忽略离子初速度，不计离子重力及相互作用力，
不考虑空气阻力。
(1)求离子在磁场中的速率v；
(2)若磁场的磁感应强度大小可调，求离子打在屏上的纵坐标y 与磁感应强度大小B、原磁感应强度大小
的关系式；
(3)若将离子源沿环形电场外边界缓慢移动，使所有离子均沿竖直方向射出磁场，求磁场区域的最小面
积，画出磁场形状并标明磁感应强度的大小与方向。
19．如图甲所示，空间中有一半径为2r，边界处由特殊绝缘材料制成圆筒，粒子打到边界会被筒壁反弹
(反射后粒子动能不变，其反射规律类似于光的镜面反射规律)。筒内有垂直纸面向外的匀强磁场，其大
小随时间呈周期变化(如图乙所示)，周期为T(未知)。以圆心O 为原点建立坐标轴， O 处有一质量为
m，带电量为+q 的粒子，在t=0 时刻以速度v0沿向y 轴正方向进入磁场，经t=0.4T 恰能第一次返回O 点。
已知
，粒子不计重力。求：
(1)通过计算，试画出粒子刚进入磁场至第一次返回O 点的运动轨迹；
(2)磁场变化的周期T；
(3)粒子经过M(-r，0)点可能的时刻t。
20．真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B 垂直纸面向里为正方向，B0=1T，t0=π×l0-5s，k
为正整数。某直角坐标系原点O 处有一粒子源，在t=0 时刻沿x 轴正方向发射速度为v0=103m/s 的正点
电荷，比荷
=1×l06C/kg，不计粒子重力。
(1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3 次(从O 点出发记为第1 次)经过y 轴时的时刻；
(2)若k=2，求粒子在运动过程中与y 轴交点坐标的最大值和最小值；
(3)若t0=
10-5s，则k 取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值Tmin
和相应的k 值。
21．在如图所示的坐标系中，仅第三象限的磁场垂直坐标系所在平面向外，其余象限的磁场方向均垂直坐
标系所在平面向里，四个象限中的磁感应强度大小均为B。其中M、N 两点为x 轴负半轴和y 轴负半轴
上的点，坐标分别
、
，一带负电的粒子由M 点沿MN 连线方向射入，忽略粒子的
重力。求：
(1)如果负粒子由M 点射入后刚好能经过坐标原点第一次离开边界线，负粒子在第三象限磁场中的路程
为多少？
(2)如果负粒子由M 点射入后能经O 点到达N，负粒子的路程为多少？
22．如图所示，在第一、四象限有垂直于纸面向里和向外的磁场区域Ⅰ和Ⅱ，OM 是两磁场区域的交界线，
两区域磁场磁感应强度大小相同 B =0.1T，OM 与 x 轴正方向夹角为α。在第二、四象限存在着沿 x
轴正向的匀强电场，电场强度大小E= 1×104V/m。一带正电的粒子,质量m=1.6×10 −24kg、电荷量
q=1.6×10−15C，由 x 轴上某点 A 静止释放，经电场加速后从 O 点进入Ⅱ区域磁场(带电粒子的重力不
计)
(1)若 OA 距离l1=0.2m，求粒子进入磁场后，做圆周运动的轨道半径大小R1；
(2)要使经电场加速后，从O 点进入磁场的所有带电粒子仅在第一象限区域内运动，设计两磁场区域大
小时，角α 最大不能超过多少？
(3)若
=30°，OM 上有一点 P(图中未画出)，距 O 点距离l2=0.3πm。上述带正电的粒子从 x 轴上某
一位置 C 由静止释放，以速度 v 运动到 O 点后能够通过 P 点，v 等于多大时，该粒子由 C 运动到
P 点总时间最短，并求此最短时间。
23．如图所示，圆心为O、半径为r 的圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度
大小为B。P 是圆外一点，OP=3r，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从P 点在纸面内沿着与OP 成
60°方向射出(不计重力)，求：
(1)若粒子运动轨迹经过圆心O，求粒子运动速度的大小；
(2)若要求粒子不能进入圆形区域，求粒子运动速度应满足的条件。
24．在科学研究中，可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动的控制。在如图所示的平面坐标系
xOy 内，以坐标原点O 为圆心，半径为
d 的圆形区域外存在范围足够大的匀强磁场。一质量为m、
电荷量为＋q 的粒子从P(0，
d)点沿y 轴正方向射入磁场，当入射速度为v0时，粒子从a
处进入无场区射向原点O，不计粒子重力。求：
(1)磁场的磁感应强度B 的大小
(2)粒子离开P 点后经多长时间第一次回到P 点
(3)若仅将入射速度变为3v0，则粒子离开P 点后运动多少路程经过P 点
25．如图所示，在直角坐标系
中，
，
范围内有两个匀强磁场区域I 和II，磁场方向均垂
直纸面向里，虚线
为它们的分界线，区域I 的磁感应强度大小为
，区域II 的磁感应强度大小
可调，
点为它们分界线上的某一点，已知
。质量为
，带电量为
的粒子从
点沿
轴
方向射入磁场I 中，速度大小为
，不计粒子所受重力。求：
(1)粒子不会飞出第一象限，求粒子在区域II 磁场中做圆周运动的半径大小应满足的条件；
(2)粒子在第一象限内运动的过程中，恰好能经过
点，求区域II 磁场的磁感应强度大小的所有可能值。
