文档文本内容
9.5 带电粒子在磁场中运动的多解问题专项训练
2027 届高考物理一轮复习
一、单选题
1．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，
，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a 点垂直于ab 射入磁场，这些粒子具有各种速率。
已知该粒子的比荷为k，不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图所示，在竖直平面内的Oxy 直角坐标系中，x 轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大
小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x 轴放置足够长的探测薄板MN，MN 到x 轴的距离为d，上、下
表面均能接收粒子。位于原点O 的粒子源，沿Oxy 平面向x 轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。
已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为
，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作
用，则（ ）
A．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最长时间为
B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为
C．薄板接收到的粒子数占总粒子数量的
D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
3．如图，一粒子发射源P 位于足够大绝缘板AB 的上方d 处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v、电荷
量为q、质量为m 的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重
力。已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则（ ）
A．能打在板上的区域长度是2d
B．能打在板上的区域长度是
C．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为
D．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为
4．某质谱仪简化结构如图所示，在xOy 平面的
区域存在方向垂直纸面向里、大小为B 的匀强磁场，
在x 轴处放置照相底片，大量a、b 两种离子飘入（其初速度几乎为零）电压为U 的加速电场，经过加速
后，从坐标原点且与y 轴成
角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角
的余弦值
，已知a、b 两种离子的电荷量均为
，质量分别为2m 和m，不考虑离子间相互作
用。下面说法正确的是（ ）
A．a 离子在磁场中速度大小为
B．b 离子在照相底片上形成的亮线长度为
C．打在照相底片上的a、b 两种离子间的最近距离为
D．若加速电压在
之间波动，要在底片上完全分辨出a、b 两种离子，则
不超过
5．如图所示，在直角三角形abc 区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量
为m、电荷量为＋q 的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab 边射入场区，结果在bc 边仅有一半的区域内
有粒子射出。已知bc 边的长度为L，bc 和ac 的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列
说法正确的是（ ）
A．粒子的入射速度为
B．粒子的入射速度为
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为
D．从bc 边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为
6．如图所示，边长为
的等边三角形区域
内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为
，方向分别垂
直纸面向里、向外，三角形顶点
处有一正粒子源，能沿
的角平分线发射速度大小不等、方向相同的
粒子，所有粒子均能通过
点，粒子的比荷
，粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的
速度可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图所示，两平行竖直线MN、PQ 间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感
应强度为B，在MN 上O 点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q 的带负电粒子，当速度方向与OM 夹角
时，粒子恰好垂直PQ 方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力。则下列说法正确的是
（ ）
A．粒子的速率为
B．粒子在磁场中运动的时间为
C．若只改变粒子速度方向，使
角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为
D．若只改变粒子速度方向，使
角能在0°至180°间不断变化，则PQ 边界上有粒子射出的区间长度
为
8．如图所示，长方体a1b1c1d1—a2b2c2d2处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，a1b1c1d1为
边长为L 的正方形，a1a2竖直，O1、O2、O3、O4为相应边a1b1、a2b2、c2d2、c1d1的中点。在平面a1a2b2b1内有
质量为m、电荷量为q（q>0）的带正电粒子从O2沿该平面以速度v（大小未知）射入匀强磁场，速度v 的
方向与底边a2b2的夹角θ=45°，经历一定时间，粒子恰好能到达O4位置，不计粒子的重力，则下列说法
正确的是（ ）
A．粒子的入射速度
B．粒子在运动过程中的轨迹一定与a1a2d2d1平面相切
C．长方体的a1a2边的长度可能为
D．粒子从O2运动到O4经历的时间可能为
二、多选题
9．如图甲所示，边长为L 的正方形MNPQ 区域内存在方向垂直于MNPQ 平面的磁场，磁感应强度大小为B0，
方向周期性变化，且磁场变化周期T 可调。以垂直于MNPQ 平面向外为磁感应强度的正方向，B-t 图像如图
乙所示。现有一电子在t=0 时刻由M 点沿MN 方向射入磁场区域，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，
PN 边界上有一点E，且
，若使电子满足下列条件时，说法错误的是（ ）
A．电子沿NP 方向经过P 点，则电子的速度大小一定是
B．电子沿NP 方向经过P 点，则电子的速度大小可能小于
C．电子垂直于NP 边过E 点，则磁场变化周期一定是
D．电子垂直于NP 边过E 点，则磁场变化周期可能小于
10．如图所示，在
坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
。在
点有一
粒子源，
点坐标为
。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀发射带正电
的粒子，粒子质量为
，电荷量为
，速率
。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，
点坐标为
，则下列说法正确的是（ ）
A．从
轴射出磁场的粒子数占总粒子数的
B．从
之间射出磁场的粒子数占总粒子数的
C．到达
轴的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．打在
轴的长度为
11．在科学研究中，可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图所示，纸面内有一矩形
，其长
为
、宽
为
，P、Q 为
边上的点，
。在矩形
外存在范围足够大的
匀强磁场（图中未画出磁场），磁感应强度大小为
。一质量为m、带电荷量为
的粒子，从P 点
垂直
以速度
向外射入磁场，粒子从Q 处进入无场区。现在将入射速度变为
，粒子从P 点垂直
射入磁场，粒子的重力不计，粒子离开P 点至回到P 点的运动路程可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、
电荷量为q 的带负电的粒子，从x 轴上P 点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B 的匀强磁场中，部
分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A 点。A，O 两点距离为
，入射速度方向与x 轴夹角为60°，
不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．如图所示，间距为
的两竖直虚线
、
边界内（含边界）有竖直向上的匀强磁场，
点到边界
、
的距离相等。一带正电的粒子（重力不计）从
点射入磁场中，速度方向与竖直方向的夹角
。若
粒子在运动过程中恰好没有越过边界
、
，经历一段时间后，粒子到达
点正上方的
点（图中未画
出）处，则
、
两点间的距离可能等于（ ）
A．
B．
C．
D．
三、解答题
14．平面直角坐标系xOy 的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反，坐
标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x 轴夹角为
区域各方向发射速率范围在
的带正
电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q，如图所示。粒子进入第一象限后，A 点为速率最小的粒子首次进
入第四象限通过x 轴的最远点，
，
为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞及相互作用，
已知
。
(1)求A 点坐标；
(2)求能够到达A 点的粒子的初速度方向与y 轴正方向的夹角范围；
(3)若首次通过A 点进入第四象限的粒子和首次通过C 点进入第四象限的粒子会在x 轴上相遇，以粒子同时
离开A、C 为计时起点（
时刻），求粒子第一次在x 轴上相遇的位置及时刻。
15．带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。如图所示，在直角坐标系xOy 第二象
限的圆形区域中存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，其圆心A 的坐标为（-d，d），半径
为d，y 轴右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场。宽度为2d 的带电粒子流以相同的速度沿y 轴负方向垂直匀
强磁场入射进圆形区域，经过圆形磁场后汇聚到y 轴上S（0，d）处进入第一象限，在y 轴S 点下方固定一
能吸收粒子的收集板。已知粒子的质量为m、电荷量为q，圆形磁场和第一、四象限匀强磁场的磁感应强度
大小均为B，粒子重力及粒子间的相互作用均不计。求：
(1)粒子通过x 轴时，与坐标原点的最远距离OP；
(2)运动轨迹经x 轴的粒子中，从S 点计时运动的最短时间；
(3)所有粒子在第一、四象限中的运动轨迹经过的区域面积。
16．如图所示，在xOy 直角坐标系中，在x 轴负半轴区域内有沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为
E1（未知）。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，从A 点（到x 轴的距离是d）以一定的初速度沿x 轴
正方向开始运动，粒子恰好以速度v0经过原点进入y 轴右侧区域，v0的方向与x 轴正方向的夹角
θ=30°。在第一、四象限内，距y 轴为L 的MN 左侧区域内存在磁感应强度大小均为B（未知）的匀强磁
场，第一象限的匀强磁场方向垂直纸面向外，第四象限的匀强磁场方向垂直纸面向里。MN 右侧区域内存在
正交分布的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里，大小也为B，电场强度沿x 轴正方向，
大小为E2。若带电粒子恰好从MN 与x 轴的交点P 进入MN 右侧区域。不计粒子的重力，不计空气阻力。
(1)求A 点到y 轴的距离x 和E1的大小；
(2)求B 的大小；
(3)若
，
，求粒子在MN 右侧区域运动时，距y 轴最远时的位置坐标。
17．如图所示，
平面的第一象限存在一圆形匀强磁场区域，与
轴、
轴分别相切于
、
点，其圆
心为
，半径为
，磁感应强度大小为
、方向垂直
平面向里。一带电粒子从
点沿
方向以速度
射入磁场区域，该粒子恰好经过
点。现使大量此种带电粒子从
点沿不同方向以速度射入磁场区域，
其速度方向均处于与
方向夹角不超过
的范围内，且均在
平面内。不计粒子的重力及粒子间的相
互作用力，求：
(1)该带电粒子的比荷；
(2)粒子在第一象限内运动的最长时间（结果可保留根号）；
(3)圆形磁场区域内，有粒子经过的区域的面积。
18．如图所示，直角坐标系
的第二象限内存在沿
轴正方向的匀强电场，第三象限内存在沿
轴负方
向的另一匀强电场，两电场的场强大小相等。
轴右侧区域Ⅰ和区域Ⅱ内分别存在磁感应强度大小不同、
方向均垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场的分界线与
轴平行，在分界线上有一长为
的绝缘弹性薄挡
板，挡板关于
轴对称。现在
点沿
轴正方向射入一初速度大小为
的带正电的粒子，粒子进入
第二象限运动，穿过
轴上的
点进入区域Ⅰ的磁场，在
点的速度方向与
轴正方向成
角，之
后又垂直挡板从挡板的上边缘进入区域Ⅱ。粒子在区域Ⅱ运动过程中会与挡板的中央发生碰撞，后又经区
域Ⅰ、第三象限回到
轴负半轴。已知该粒子的质量为
、电荷量为
，不计粒子重力，
，在
与挡板进行碰撞时粒子的电荷量和动能均无变化。则在此过程中，求：
(1)
点到原点
的距离
；
(2)区域Ⅰ中磁场的磁感应强度大小
；
(3)粒子在区域Ⅱ中的运动时间；
(4)粒子第一次回到
轴负半轴时的速度大小。
19．在高能物理的稳态磁约束聚变研究中，常用环状磁场来约束带电粒子的活动范围，其模型简化图如图
所示，圆心均为O 点的内圆半径为R、外圆半径为2R 的圆环形区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大
小为B 的匀强磁场，内圆半径上的M 点有一粒子源，可沿平行纸面的各个方向发射速度大小不同、质量均
为m、电荷量均为
的同种粒子，M，点到圆心的距离为
，粒子源发射出的各种速率的
粒子在各个方向都是均匀分布的。不计粒子重力和粒子间的相互作用力。
(1)当
时，求粒子不从外圆射出去的速度的最大值
；
(2)当
时，求速度为
的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比；
(3)当
时，若粒子都不会从外圆射出去，求此时速度的最大值
；若有部分粒子可从外圆射出，求
没有从外圆射出去的粒子中，速度的最大值
。
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
BC
D
A
A
D
C
AD
AC
题号
11
12
13
答案
AD
BC
BC
1．C
【详解】
弦切角越大，圆心角越大，粒子在磁场中运动的时间最长。如图，粒子从点射出时弦切角最大，由几何
关系可知
已知该粒子的比荷为k，粒子在磁场中运动的最长时间为
故选C。
2．C
【详解】A．由洛伦兹力提供向心力
解得
运动周期
最长时间对应圆心角
则最长时间
，故A 错误；
B．薄板的上表面接收到粒子最远点对应轨迹为半圆，最远点距
点为
最近点距
点为
则薄板的上表面接收到粒子的区域长度为
，故B 错误；
C．如图与
相切的轨迹为临界情况，对应的圆心角
，则速度偏向角等于
，从
点出发时与
轴正向夹角为
，则薄板接收到的粒子数占总粒子数量的
，故C 正确；
D．最短时间为粒子刚好到达
点，对应圆心角为
，由几何关系可得
则最短时间
，不等于
，故D 错误。
故选C。
3．BC
【详解】AB．以磁场方向垂直纸面向外为例，打在极板上的粒子轨迹的临界状态左侧相切位置，右侧为直
径的交点，如图所示
根据几何关系知，带电粒子能打在板上的长度为
，故A 错误，B 正确；
CD．在磁场中打到板上的粒子运动时间最长和最短的运动轨迹示意图如图所示
由几何关系知，最长时间
最短时间
粒子在磁场中运动的周期为
所以带电粒子打到板上的最大时间差为
，故C 正确，D 错误。
故选BC。
4．D
【详解】A．a 离子加速过程
解得
，故A 错误；
B．b 离子加速
解得
磁场中轨道半径
离子沿y 轴入射时，打在底片上的位置为2rb；沿与y 轴成
角入射时，水平位移为
亮线长度为
代入
，得亮线长度
，故B 错误；
C．磁场中，洛伦兹力提供向心力，得轨道半径
则轨道半径
离子沿与y 轴成
角入射时，打在x 轴上的水平位移为
沿y 轴入射时，水平位移为
a 离子的最小水平位移（沿
角入射）
b 离子的最大水平位移（沿y 轴入射）
两种离子的最近距离为
，故C 错误；
D．要完全分辨，需满足
通过半径公式推导，可得
，故D 正确；
故选D。
5．A
【详解】AB．粒子进入磁场向上做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
因bc 边只有一半区域有粒子射出，在bc 边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示
由几何关系可得
则粒子的入射速度
，故A 正确，B 错误；
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为
，故C 错误；
D．与bc 边相切恰从bc 边射出粒子的对应的圆心角最大为
从bc 边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为
，故D 错误。
故选A。
6．A
【详解】粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，粒子运动的半径
由洛伦兹力提供向心力，有
联立解得
将
代入，只有选项A 符合，故选A。
7．D
【详解】A．根据左手定则，由粒子带负电以及磁场方向可知粒子所受洛伦兹力的方向与速度的方向垂直
指向右下方。
当速度方向与OM 夹角θ=60°时，粒子恰好垂直PQ 方向射出磁场，所以粒子运动的半径
由粒子在磁场中运动洛伦兹力作向心力可得
，解得
，故A 错误；
B．粒子在磁场中运动的周期
则粒子在磁场中运动的时间
，故B 错误；
D．当θ=0°时，如图所示，可知粒子打在PQ 上的位置为O 点水平线上方
处；
当θ 增大时，粒子打在PQ 上的位置下移，直到粒子的运动轨迹与PQ 相切时。
如图所示，可知粒子打在PQ 上的位置为O 点水平线下方
处；
当θ 继续增大直到180°，粒子的运动轨迹与PQ 不相交，直接从MN 上射出，且在MN 上的出射点不断上移
直到O 点。
所以若只改变粒子速度方向，使θ 角能在0°至180°间不断变化，则PQ 边界上有粒子射出的区间长度为
，故D 正确；
C．若只改变粒子速度方向，使θ 角能在0°至180°间不断变化，则粒子运动半径不变，那么粒子运动周
期不变。
所以粒子在磁场中运动的轨迹所对应的弦长越长，则粒子在磁场中运动的时间越长。
由D 的分析可知，当粒子的出射点在PQ 上时，粒子的弦长可取[a，2a]的任意值；
当粒子的出射点在MN 上时，粒子的弦长可取[0，
]的任意值；
所以粒子运动轨迹的弦长最大可取
，此时对应的中心角φ=120°。
所以粒子在磁场中运动的最长时间
，故C 错误。
故选 D。
8．C
【详解】A．将粒子的速度沿水平方向与竖直方向分解，可知粒子在水平方向上的分运动为匀速圆周运
动，竖直方向上的分运动为匀速直线运动，粒子恰好到达O4位置，则粒子做圆周运动的轨道半径
根据
解得
故A 错误；
B．若粒子在水平方向上仅运动半个圆周到达O4位置，此时粒子的轨迹并没有与a1a2d2d1平面相切，故B 错
误；
C．粒子到达O4位置的时间
（n=0，1，2，3…）
长方体的a1a2边的长度h=vsin θ·t
解得
（n=0，1，2，3…）
当n=2 时，解得
故C 正确；
D．结合上述解得
（n=0，1，2，3…）
当粒子从O2运动到O4经历的时间为
时，解得
不符合要求，即粒子从O2运动到O4经历的时间不可能为
，故D 错误。
故选C。
9．AD
【详解】AB．电子沿NP 方向经过P 点，根据几何关系，电子运动的半径满足
根据洛伦兹力提供向心力有
可得电子的速度大小
当
时，则电子的速度小于
，A 错误，B 正确；
CD．设垂直NP 边过E 点时，磁场变化周期一定是在磁场中运动半径最大的粒子的运动时间的两倍，否则无
法从垂直NP 边过E 点射出，设最大半径为R，则
电子偏转的角度
解得
磁场变化周期
，C 正确，D 错误。
电子偏转的角度
由
决定，要满足电子垂直于NP 边过E 点，
必须为
，因此
一定为
，C 正确，D
错误。
故选AD。
10．AC
【详解】由
得
A．
如图所示，从
轴射出磁场的粒子速度间的夹角为
，因此从
轴射出磁场的粒子数占总粒子数的
，故A 正确；
B．
如图所示，从
之间射出磁场的粒子速度间的夹角为
，因此从
之间射出磁场的粒子数占总粒子数
的
，故B 错误；
C．
如图所示，当射出点为N（PN 与x 轴垂直）时，此粒子为到达x 轴的粒子中，在磁场中运动的时间最短，
圆心角为
，运动时间为
，故C 正确；
D．
如图所示，PN 为直径，ON 为打在
轴的长度，等于
，故D 错误。
故选AC。
11．AD
【详解】
根据粒子从P 点垂直ab 射入磁场，从Q 处进入无场区，可判断粒子做圆周运动的半径
，粒子在磁场
中做圆周运动，有
解得
则粒子在磁场中运动的半径
由几何关系可知，粒子先以Q 为圆心做
个圆周运动到ad 的中点M，再沿直线MN 运动到N（
）再经
过
个圆周运动到P 点，沿直线PM 运动到M,再经过半个圆周运动到N 点，沿直线NP 运动到P，之后重复
上述运动，粒子运动轨迹如图所示，可知粒子在一个周期内经过P 点两次。由P 点沿圆弧运动到M 点所用
时间
由M 点沿直线运动到N 点所用时间
粒子以
垂直ab 向外经过P，则粒子运动的时间
，其中
粒子运动的路程
，其中
当
时，故A 正确；
粒子以
大小与ab 方向成30°角经过P,则
其中
粒子运动的路程
其中
当
时，D 项正确；无论k 取何值，都不能
得出B、C 两项。
故选AD。
12．BC
【详解】带负电粒子斜向右上与x 轴成
入射，粒子垂直打在
，结合几何关系可得
最大半径
当轨迹恰好与
相切时，有
最小半径
所以轨迹半径满足
洛伦兹力提供向心力
解得速度范围
故选BC。
13．BC
【详解】将粒子的速度分别沿水平与竖直方向分解，粒子在竖直方向以速度
做匀速直线运动，在水
平面内以速度
做匀速圆周运动，则有
运动周期为
由于粒子在运动过程中恰好没有越过边界
、
，所以有
解得
经历一段时间后，粒子到达
点正上方的
点处，则有
（
），当n=1
时，O、A 两点间的距离
当n=2 时，O、A 两点间的距离
，无论n 取其他任何整数AD 都不可能。
故选BC。
14．(1)（
，0）
(2)
(3)
，
，
【详解】（1）粒子以最小速度进入第四象限的最远点在x 轴上的截距为直径，由于
，A 点的横坐
标为
，则C 点的横坐标为
故A 点的坐标为（
，0）
（2）设粒子进入第一象限时与y 轴正方向的夹角为
、速度大小为
时通过A 点，如图所示，需满足
由此可知，通过A 点的粒子的竖直分速度为
由于通过A 点的粒子的速度满足
与y 轴正方向的夹角
满足
故到达A 点的粒子的初速度方向与y 轴正方向的夹角范围是
（3）设粒子进入第一象限时与y 轴正方向的夹角为
、速度大小为
时通过C 点，同理可得
可得
因此通过
点的粒子的速度满足
与
轴正方向的夹角
满足
，故
两粒子相遇，必有
（其中
、
取，
，
）
即
由于是第一次相遇，则取最小的自然数，取
，
因此粒子第一次在
轴上相遇的位置：
由于粒子在两磁场中的运动具有周期性，且粒子做圆周运动的周期均为
，因此从
、
两点出发
运动时间最短的粒子最快到达相遇点。
由分析知，粒子相遇时的时间
其中
，
代入
，
可得到，到达第一次相遇位置的粒子，满足
当
时，
，不符合题意，舍去；
当
时，
，符合题意；
由此可知，当
时相遇的时间最短，即
，
的粒子最先相遇；
因此，粒子第一次在
轴上相遇的时刻为
即相遇时刻
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据磁聚焦原理可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为
粒子通过x 轴时，若轨迹与x 轴的交点与S 点的连线恰好等于轨迹圆的直径时，粒子与坐标原点的距离最
远，根据几何关系可得
解得
（2）运动轨迹经x 轴的粒子中，经过O 点的粒子运动时间最短，此时圆心角为60°，所以从S 点计时运动
的最短时间为
（3）所有粒子在第一、四象限中的运动轨迹经过的区域面积，如图所示
上边界是以（d，d）为圆心，半径为d 的半圆，下边界是以（0，d）为圆心，半径为2d 的四分之一圆，所
以面积为
16．(1)
，
(2)
（n=1，2，3…）
(3)[
，
]（k=0，1，2，3…）
【详解】（1）粒子在第二象限做类平抛运动，水平方向上有
竖直方向上有
，
解得
，
（2）带电粒子恰好从MN 与x 轴的交点P 进入MN 右侧区域，作出最简单的运动轨迹，如图所示
由于粒子可以多次经过x 轴最后恰好从交点P 进入MN 右侧区域，根据几何关系有
解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
（n=1，2，3…）
（3）当
时，结合上述，粒子在中间磁场中运动轨迹如图所示
进入右边复合场中的速度大小仍为v0，方向如图所示与x 轴正方向的夹角也为θ。将粒子在右边复合场的
速度沿x 轴方向和垂直于x 轴方向正交分解，x 轴方向有
x 轴垂直方向有
分速度v2使粒子受到的洛伦兹力
方向沿x 轴负方向。粒子受到的电场力
方向沿x 轴正方向，F 洛2与F 电平衡，则粒子沿v2方向做匀速直线运动。分速度v1使粒子做匀速圆周运动，
轨道半径设为r1，则有
，
解得
，
粒子在MN 右侧运动过程中，每一次离y 轴最远时，x 坐标为
y 坐标分MN 左右两边来分析，作出粒子运动轨迹如图所示
粒子在MN 右边离y 轴最远时，由于存在分速度v1，每一次都做匀速圆周运动，轨道半径均为
又由于存在分速度v2，沿NM 方向做匀速直线运动，每转
圈的时间内，y 方向位移
在MN 左边运动过程中，粒子从右向左穿过MN 时速度大小仍为v0，方向与x 轴负方向所成夹角仍为θ=30°
在MN 左边磁场中运动的轨道半径
r2在MN 上的分量
综合上述可知，粒子在MN 右侧离y 轴最远时的y 坐标
（k=0，1，2，3…）
解得
即在MN 右侧粒子离y 轴最远时坐标为[
，
]（k=0，1，2，3…）
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）沿
方向入射的粒子恰好经过
点，则轨迹圆半径
由牛顿第二定律得
解得比荷
（2）由图可知，粒子从
点沿
偏右
射入在磁场中运动时间最长，在第一象限没有磁场区域运动的
位移也最大，故总时间最长。
磁场中运动为三分之一周长，
第一象限没有磁场区域运动的位移
时间
粒子在第一象限内运动的最长时间为
（3）由
可知，所有粒子从磁场区域离开时，速度方向均垂直于
轴，如图所示
设磁场区域上有粒子离开的最低点为
，最高点为
，根据几何关系可知，点
与圆心
重合，右侧轨
迹经过
点，则有
有粒子经过区域为虚线阴影部分，灰色阴影部分面积相等，则有粒子经过磁场区域的面积
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）（1）粒子在第二象限做类平抛运动，在
的速度大小为
，方向与
轴正方向成
角，沿
轴正方向做匀速运动，有
，
沿
轴正方向做匀加速运动，有
，
由以上各式可得
（2）由（1）可得
在区域Ⅰ中粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
如图所示
根据几何关系有
可得
，
（3）粒子在区域Ⅱ中也做匀速圆周运动，可能轨迹如上图所示
则半径
的可能值满足
（
，2，3……）
圆周运动周期
粒子在区域Ⅱ中的运动时间
（
，2，3……）
解得
（4）由对称性可知，粒子从
轴负半轴上的
点进入第三象限，
与
关于
对称，在
点的速度方向
与
轴正方向成
角，在第三象限，粒子沿
轴正方向做匀速运动，则
沿
轴负方向做匀加速运动，则
由对称性可知
粒子回到
轴负半轴时的速度大小
19．(1)
(2)
(3)
，
【详解】（1）由牛顿第二定律有
解得
当
时，从圆心O 点沿半径方向向外发射粒子如图所示。
由几何关系有
解得运动半径
故
（2）当
时，速度为
的粒子，运动半径
，入射点在内圆上，向纸面内各个方向均匀发
射，如图所示。
当入射方向与环的半径夹角为
时，那么进入磁场再进入内圆再进入磁场时的夹角都为
，也就是不会从
外圆出去。由几何关系可知，在图中OM 线上方
范围入射的粒子都会从外圆射出去，在OM 线下方
范围入射的粒子都不会从外圆射出去。所以当
时，速度为
的粒子中，从外圆射出去的粒子数和
被约束在外圆以内的粒子数之比为
。
（3）当
时，由几何关系，下图中粒子源发出速度大小相同的粒子，从A 点竖直向上进入磁场，
角最大，最有可能从外圆射出去，即如果它都没有出去，则这个速度大小的粒子从其他方向发射也不会从
外圆射出去，此时
角为
。
由余弦定理有
解得
所以
同理，由几何关系可知，图丙中粒子源发出的粒子，从B 点向下进入磁场，
角最大，最有可能射不出外
圆，若它刚好射不出，此时
角为
，有
所以
速度大小为
的粒子中，只有沿MB 方向射出的恰好不会从外圆射出去，其他方向发射的都会从外圆射出
去；速度大小比
小的粒子沿各个方向发射都不会从外圆射出去，速度大小介于
到
之间的粒子要看发
射方向，一部分会从外圆射出去，一部分不会从外圆射出去。
