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训练二十 带电粒子在组合场中的运动
知识梳理
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．
2．分析思路
(1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图．
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．
3．常见粒子的运动及解题方法
题型一 磁场与磁场的组合
知识梳理
磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小
相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，
进一步寻找边角关系．
如图所示，在无限长的竖直边界AC 和DE 间，上、下部分分别充满方向垂直于平面ADEC 向外的匀强磁
场，上部分区域的磁感应强度大小为B0，OF 为上、下磁场的水平分界线．质量为 m、带电荷量为＋q 的粒
子从AC 边界上与O 点相距为a 的P 点垂直于AC 边界射入上方磁场区域，经OF 上的Q 点第一次进入下方磁
场区域，Q 点与O 点的距离为3a.不考虑粒子重力．
(1)求粒子射入时的速度大小；
(2)要使粒子不从AC 边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度大小B1应满足的条件；
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(3)若下方区域的磁感应强度B＝3B0，粒子最终垂直DE 边界飞出，求边界 DE 与AC 间距离的可能值．
题型二 电场与磁场的组合
知识梳理
1．带电粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示．
2．带电粒子在匀强电场中做类平抛(或类斜抛)运动，在磁场做匀速圆周运动，如图所示
考向1 先电场后磁场
例2 (2018·全国卷Ⅰ·25)如图，在y>0 的区域存在方向沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在
y<0 的区域存在方向垂直于xOy 平面向外的匀强磁场．一个氕核H 和一个氘核H 先后从y 轴上y＝h 点以相
同的动能射出，速度方向沿x 轴正方向．已知H 进入磁场时，速度方向与x 轴正方向的夹角为60°，并从
坐标原点O 处第一次射出磁场.H 的质量为m，电荷量为q.不计重力．求：
(1)H 第一次进入磁场的位置到原点O 的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)H 第一次离开磁场的位置到原点O 的距离．
考向2 先磁场后电场
例3 (2023·河北唐山市模拟)平面直角坐标系xOy 中，直线OP 与x 轴正方向的夹角为30°，其上方存
在方向垂直纸面向外的匀强磁场，下方存在匀强电场，电场强度方向与x 轴负方向的夹角为60°，如图所
示．质量为m、电荷量为q 的带正电粒子以速度v 从坐标原点沿y 轴正方向进入磁场，经磁场偏转后由P 点
进入电场，最后从x 轴上的Q 点离开电场，已知O、P 两点间距离为L，PQ 连线平行于y 轴．不计粒子重
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力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(2)匀强电场的电场强度E 的大小．
考向3 粒子多次进出电场、磁场的运动
例4 (2021·广东卷·14)图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c 围成的区
域，圆a 内为无场区，圆a 与圆b 之间存在辐射状电场，圆b 与圆c 之间有三个圆心角均略小于90°的扇
环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外．电子以初动能Ek0从
圆b 上P 点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a 与圆b 之间
电势差为U，圆b 半径为R，圆c 半径为R，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取tan 22.5°
＝0.4.
(1)当Ek0＝0 时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ 均为45°，
最终从Q 点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动
时间及在Q 点出射时的动能；
(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射．当Ek0＝keU 时，要保证电子从出射区
域出射，求k 的最大值．
变式训练1 如图所示，一对足够长平行栅极板M、N 水平放置，极板与可调电源相连．极板外上方和下
方分别存在方向垂直纸面向外和向内的匀强磁场B1和B2，B1和B2的大小未知，但满足B2＝B1，磁场左边界
上距M 板距离为2l 的A 点处的粒子源平行极板向右发射速度为v 的带正电粒子束，单个粒子的质量为m、
电荷量为q，粒子第1 次离开M 板的位置为C 点，已知C 点距离磁场左边界距离为l.忽略栅极的电场边缘
效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力．
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(1)求磁感应强度B1的大小；
(2)当两板间电势差UMN＝0 时，粒子经过下方磁场一次偏转后恰能从C 点再次返回极板上方的磁场，求两板
间距d 的大小；
(3)当两板间所加的电势差UMN＝－时，在M 板上C 点右侧P 点处放置一粒子靶(忽略靶的大小)，用于接收
从M 板上方打入的粒子．问当P 点离磁场左边界多远的地方能接收到粒子？
强基固本练
1．(多选)(2023·辽宁沈阳市模拟)圆心为O、半径为R 的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直
纸面的匀强磁场(未画出)，磁场边缘上的A 点有一带正电粒子源，半径OA 竖直，MN 与OA 平行，且与圆形
边界相切于B 点，在MN 的右侧有范围足够大且水平向左的匀强电场，电场强度大小为E.当粒子的速度大
小为v0且沿AO 方向时，粒子刚好从B 点离开磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是
( )
A．圆形区域内磁场方向垂直纸面向外 B．粒子的比荷为
C．粒子在磁场中运动的总时间为 D．粒子在电场中运动的总时间为
2．(多选)(2023·广东省模拟)如图所示的平面直角坐标系xOy，在y 轴的左侧存在沿y 轴负方向的匀强电
场．在y 轴的右侧存在垂直坐标平面向外的匀强磁场．一比荷为k 的带正电粒子(不计重力)从x 轴上的A
点以沿着与x 轴正方向成θ＝53°角的初速度v0开始运动，经过电场偏转从y 轴的B 点以垂直y 轴的速度
进入磁场，磁场的磁感应强度大小为，粒子进入磁场后电场方向变为沿y 轴正方向．该带正电粒子经过磁
场偏转，粒子先后经过x 轴上的C 点、y 轴上的D 点，粒子经D 点后，再次回到x 轴上的A 点，sin 53°
＝，cos 53°＝，下列说法正确的是( )
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A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为d
B．A、C 两点之间的距离为3d
C．匀强电场的电场强度为
D．粒子从A 点开始到再回到A 点的运动时间为
3．平面直角坐标系xOy 中，第二象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，第三、四象限存
在垂直坐标平面向里的匀强磁场，如图所示．一质量为m、带电荷量为q 的正粒子从坐标为(－L，L)的P
点沿y 轴负方向进入电场，初速度大小为v0＝，粒子第二次到达x 轴的位置为坐标原点．不计粒子的重
力．
(1)求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(2)若粒子由P 点沿x 轴正方向入射，初速度仍为v0＝，求粒子第二次到达x 轴时与坐标原点的距离．
4．如图所示，xOy 平面内，OP 与x 轴正方向的夹角为θ＝53°，在 xOP 范围内(含边界)存在垂直于坐标
平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1 T．第二象限有平行于 y 轴向下的匀强电场，电场强度大
小为E ＝×105 V/m.一带电微粒以速度 v0 ＝5×106 m/s 从 x 轴上 a(L,0)点平行于OP 射入磁场，并从OP
上的b 点垂直于OP 离开磁场，与y 轴交于c 点，最后回到x 轴上的d 点，图中b、d 两点未标出．已知L＝
m，sin 53°＝，cos 53°＝，不计微粒的重力，求：
(1)微粒的比荷；
(2)d 点与O 点的距离l;
(3)仅改变磁场强弱而其他条件不变，当磁感应强度Bx大小满足什么条件时，微粒能到达第四象限．
5．(2023·湖北宜昌市联考)如图所示，在矩形区域ABCD 内存在竖直向上的匀强电场，在BC 右侧Ⅰ、Ⅱ两
区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界(BC 与L1重合)，宽度相等，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应
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强度大小为B1.一电荷量为＋q、质量为m 的粒子(重力不计)从AD 边中点以初速度v0沿水平向右方向进入电
场，粒子恰好从B 点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B 点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知AB 长度是BC
长度的倍．
(1)求带电粒子到达B 点时的速度大小；
(2)求区域Ⅰ磁场的宽度L；
(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ中的磁感应强度B2的最小值．
6.(2023·广东省高三检测)如图所示，半径为R 的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，圆形区域内
ac、df 为互相垂直的竖直和水平两条直径，沿df 方向距f 点为R 的g 点处固定一足够长的挡板，挡板与
fg 方向的夹角α＝60°，粒子打到挡板上会被吸收，圆形磁场区域以外空间存在竖直向上的匀强电场．一
质量为m、电荷量为q 的带负电粒子(不计重力)自c 点沿ca 方向以速度v 射入磁场，经磁场偏转后从f 点
沿fg 方向射出磁场，之后恰好未打在挡板上，图中已画出粒子在电场中运动的轨迹．
(1)求匀强磁场的磁感应强度大小B1；
(2)求匀强电场的电场强度大小E；
(3)若将原电场换为方向垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小B2＝kB1(0<k≤1)，求粒子返回圆形
磁场区域边界时的位置到f 点的距离．
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