专题十八 带电粒子在组合场中的运动（基础篇）
基础巩固
1.(多选)[2025·四川成都模拟] 如图所示,空间存在方向垂直于纸面向里的分界磁场,其中在
MN 左侧区域的磁感应强度大小为B,在MN 右侧区域的磁感应强度大小为3B.一质量为m、
电荷量为q、重力不计的带电粒子以平行纸面的速度v 从MN 上的O 点垂直MN 射入磁场,
此时开始计时,当粒子的速度方向再次与入射方向相同时,下列说法正确的是
( )
A.粒子运动的时间是4 π m
3qB
B.粒子运动的时间是2π m
3qB
C.粒子与O 点间的距离为4 mv
3qB
D.粒子与O 点间的距离为mv
3qB
2.[2025·黑龙江哈尔滨模拟] 如图所示,两匀强磁场的方向相同,以虚线MN 为理想边界,左、
右两侧磁场的磁感应强度大小分别为B1、B2.今有一质量为m、电荷量为e 的电子从MN 上
的P 点沿垂直于磁场方向射入左侧匀强磁场中,其运动轨迹为图中虚线所示的“心”形图线,
则以下说法正确的是
( )
A.电子运动的路径为PENCMDP
B.B1=2B2
C.电子从射入磁场到回到P 点用时为2π m
e B1
D.B1=4B2
3.(多选)如图所示,在x 轴上方第一象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场,x 轴下方存在沿y 轴
正方向的匀强电场.a、b 两个重力不计的带电粒子分别从电场中的同一点P 由静止释放后,
经电场加速从M 点射入磁场并在磁场中发生偏转.最后从y 轴离开磁场时,速度大小分别为v1
和v2,v1的方向与y 轴垂直,v2的方向与y 轴正方向成60°角.a、b 两粒子在磁场中运动的时间
分别记为t1和t2,则以下比值正确的是( )
A.v1∶v2=2∶1
B.v1∶v2=1∶2
C.t1∶t2=3∶2
D.t1∶t2=3∶8
4.如图所示,虚线ab 上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场Ⅰ,下方
存在方向相同、磁感应强度大小为λB 的匀强磁场Ⅱ,虚线ab 为两磁场的分界线.M、O、N
位于分界线上,点O 为MN 的中点.一电子从O 点射入磁场Ⅰ,速度方向与分界线ab 的夹角为
30°,电子离开O 点后依次经N、M 两点回到O 点.已知电子的质量为m,电荷量为e,重力不计,
求:
(1)λ 的值;
(2)电子从射入磁场到第一次回到O 点所用的时间.
综合提升
5.(多选)[2025·山西太原模拟] 如图所示,在直角坐标系xOy 的第一象限内有一虚线,虚线与x
轴正方向间的夹角为θ=30°.虚线上方有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小
B=0.75×10-3 T.虚线下方到第四象限内有与虚线平行、电场强度E=20 N/C 的匀强电场.一
比荷q
m
=2×105 C/kg 的带电粒子从y 轴正半轴上的P 点以速度v0=300 m/s 沿x 轴正方向射
入磁场,粒子进入磁场后,从虚线上的M 点(图中未画出)垂直于虚线方向进入电场(不计粒子
所受重力),则( )
A.该带电粒子一定带正电
B.O、M 之间的距离为2 m
C.粒子第一次穿过虚线后与x 轴间的最小距离约为0.98 m
D.粒子第一次穿过虚线后能击中x 轴
6.[2025·新课标卷] 一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子始终在同一水平面内运动,其速
度可用图示的直角坐标系内一个点P(vx,vy)表示,vx、vy分别为粒子速度在水平面内两个坐标
轴上的分量.粒子出发时P 位于图中a(0,v0)点,粒子在水平方向的匀强电场作用下运动,P 点沿
线段ab 移动到b(v0,v0)点;随后粒子离开电场,进入方向竖直、磁感应强度大小为B 的匀强磁
场,P 点沿以O 为圆心的圆弧移动至c(-v0,v0)点;然后粒子离开磁场返回电场,P 点沿线段ca 回
到a 点.已知任何相等的时间内P 点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等.不计重力.求:
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期;
(2)电场强度的大小;
(3)P 点沿图中闭合曲线移动1 周回到a 点时,粒子位移的大小.
拓展挑战
7.[2025·广东深圳模拟] 如图所示,MHN 和PKQ 为竖直方向的平行边界线,水平线HK 将两边
界围成区域分为上下两部分,其中Ⅰ区域内为竖直向下的匀强电场,Ⅱ区域内为垂直纸面向外
的匀强磁场,一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从左边界A 点以初速度v0垂直边界进入
Ⅰ区域,从C 点离开Ⅰ区域进入Ⅱ区域.已知AH=h,HC=2h,粒子重力不计.
(1)求Ⅰ区域匀强电场的电场强度E 的大小;
(2)若两竖直边界线距离为4h,粒子从Ⅱ区域左边界射出,求Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度
大小范围.
答案解析
1.AC [解析] 粒子在MN 右侧运动半个周期后回到MN 左侧,再运动半个周期后的速度方向
与入射方向相同,在MN 右侧运动的时间t1=1
2
T1=1
2
×2π m
3qB
= π m
3qB
,在MN 左侧运动的时间t2=
1
2
T2=1
2
×2π m
qB
=π m
qB
,因此粒子的速度方向再次与入射方向相同时运动的时间为t=t1+t2=
4 π m
3qB
,故A 正确,B 错误;在MN 右侧粒子位移为L1=2R1=2mv
3qB
,在MN 左侧粒子位移为
L2=2R2=2mv
qB
,因此粒子的速度方向再次与入射方向相同时,粒子与O 点间的距离L=L2-L1=
4 mv
3qB
,故C 正确,D 错误.
2.B [解析] 根据左手定则可知,电子从P 点沿垂直于磁场的方向射入左侧匀强磁场时,受到
的洛伦兹力方向向上,所以电子运动的路径为PDMCNEP,故A 错误;由题图可知,电子在左侧
匀强磁场中运动的半径是在右侧匀强磁场中运动的半径的一半,根据r=mv
eB
可知B1=2B2,故B
正确,D 错误;电子从射入磁场到回到P 点的过程中,在左侧匀强磁场中运动了两个半圆,即运
动了一个周期,在右侧匀强磁场中运动了半个周期,所以用时为t=2π m
e B1
+ π m
e B2
=4 π m
e B1
,故C
错误.
3.AD [解析] 粒子在电场中加速,设加速的位移为x,则根据动能定理有qEx=1
2
mv2,解得v=
❑√
2qEx
m
,粒子在磁场中运动时,其轨迹如图所示,a 粒子运动轨迹的圆心为O,b 粒子运动轨迹
的圆心为O',根据几何知识可知,r2·sin 30°+r1=r2,则r1∶r2=1∶2,根据洛伦兹力提供向心力,有
r=mv
qB
,联立可得m1
q1
∶m2
q2
=1∶4,v1∶v2=2∶1,故A 正确,B 错误;粒子在磁场中运动的周期T=
2π r
v
=2π m
qB
,粒子在磁场中运动的时间t= θ
2π
T,则两粒子的运动时间之比t1∶t2=3∶8,故C
错误,D 正确.
4.(1)1
2
(2)4 π m
eB
[解析] (1)电子在磁场中的运动轨迹如图所示
设电子在匀强磁场Ⅰ、Ⅱ中做匀速圆周运动的半径分别为R1、R2,电子在磁场中做匀速圆周
运动有
evB=mv
2
R1
evλB=m v
2
R2
由于最终能回到O 点,由几何关系,可得
R2=2R1
联立解得λ=1
2
(2)电子在磁场Ⅰ中的运动周期T1=2π m
eB
电子在磁场Ⅱ中的运动周期T2=2π m
eλB
=4 π m
eB
设电子经过三段轨迹的时间分别为t1、t2、t3,由几何关系可得
O 到N 的圆心角为60°,则t1=1
6
T1
N 到M 的圆心角为300°,则t2=5
6
T2
M 到O 的圆心角为60°,则t3=1
6
T1
电子从射入磁场到第一次回到O 点所用的时间为t=t1+t2+t3
联立以上式子,解得t=4 π m
eB
5.BC [解析] 该粒子所受洛伦兹力向下,根据左手定则可知,该带电粒子一定带负电,A 错误;
根据牛顿第二定律有qv0B=mv0
2
r
,解得r=2 m,由于粒子经过P、M 两点时速度方向分别与y
轴、虚线垂直,所以做圆周运动的圆心为原点O,则O、M 之间的距离为2 m,B 正确;粒子在
电场中运动时,垂直于x 轴方向的分初速度为vy=v0cos 30°=150❑√3 m/s,垂直于x 轴方向的加
速度为ay=qE sin30°
m
=2×106 m/s2,在垂直于x 轴方向上减速运动过程中,有v y
2=2ayy,解得减
速运动的位移y≈0.02 m,M 点到x 轴的距离为d=rsin 30°=1 m,所以粒子第一次穿过虚线后
与x 轴间的最小距离约为ymin=d-y≈0.98 m,C 正确,D 错误.
6.(1)❑√2m v0
Bq
2π m
Bq
(2)❑√2
Bv0
(3)(2−❑√2)m v0
Bq
[解析] (1)由题意可知,粒子速度对应b(v0,v0)点时开始在磁场中运动,所以粒子在磁场中做圆
周运动的线速度大小为v=❑√v0
2+ v0
2=❑√2v0
设粒子做圆周运动的半径为r,周期为T,根据洛伦兹力提供向心力有
qvB=mv
2
r
解得r=❑√2m v0
Bq
由圆周运动规律得T=2π r
v
解得T=2π m
Bq
(2)根据题意,粒子速度用图示的直角坐标系内一个点P(vx,vy)表示,则图中闭合曲线即速度矢
量变化曲线,已知任何相等的时间内P 点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等,说明速度变
化率大小相等,即加速度大小相等,则在匀强电场中和在匀强磁场中的加速度大小相等,根据
a= F
m
可得Bqv
m
= Eq
m
解得E=❑√2Bv0
(3)根据粒子的速度矢量变化图作出粒子在匀强电场和匀强磁场中运动的轨迹如图所示
粒子先在匀强电场中做类平抛运动,再在匀强磁场中做匀速圆周运动,后又在匀强电场中做
逆向类平抛运动直到速度垂直于电场,由速度矢量变化图可知,粒子在匀强电场中运动的总时
间t1与在匀强磁场中运动的总时间t2的关系为t1
t2
=
v0-(- v0)
3 π
2 v
其中t2=3
4
T
P 点沿图中闭合曲线移动1 周回到a 点时,粒子位移的大小s=|y2-2y1|
其中y2=❑√2r
y1=v0t1
联立解得s=(2- ❑√2)m v0
Bq
7.(1)m v0
2
2qh
(2)(❑√2-1)m v0
2qh
<B<(❑√2+1)m v0
2qh
[解析] (1)如图所示,粒子从A 点至C 点做类平抛运动,垂直电场方向有2h=v0t1
平行电场方向有h=1
2
at1
2
根据牛顿第二定律有qE=ma
联立解得E=mv0
2
2qh
(2)粒子在C 点速度的竖直分量vCy=at1=v0
故粒子在C 点的速度为vC=❑√v0
2+ vCy
2=❑√2v0
方向为斜向右下方与HK 夹角为45°,当粒子恰好不从MN 边界出射时,粒子轨迹如图轨迹①
所示,
设此种情况下,粒子在磁场中轨迹半径为r1,由几何知识有r1+r1sin 45°=2h
解得r1=2(2-❑√2)h
粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有qvCB1=mvC
2
r1
解得B1=(❑√2+1)m v0
2qh
当粒子恰好不从PQ 边界出射时,粒子轨迹如图轨迹②所示,由几何知识得r2-r2sin 45°=2h
解得r2=2(2+❑√2)h
粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qvCB2=mvC
2
r2
解得B2=(❑√2-1)m v0
2qh
所以Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小范围为(❑√2-1)m v0
2qh
<B<(❑√2+1)m v0
2qh
