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模型18、带电粒子在组合场中运动模型
【模型概述】
带电粒子在组合场中的运动过程比较复杂,但如果认真分析其运动过程会发现,粒子的运动过程实际上是几
个运动过程的组合，只要认真分析每个过程，找出其所满足的物理规律，并找出各个过程之间的衔接点和
相关联的物理量，问题便可迎刃而解.
【模型解题】
1. 先电场后磁场模型
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动.在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚
进入磁场时的速度.
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时
的速度.
2.先磁场后电场模型
1
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对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况:(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相
反;(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直.
【模型训练】
一、单选题
1．如图所示，在直角坐标系的第一、二象限内有垂直于纸面的匀强磁场，第三象限有沿y 轴负方向的匀强
电场；第四象限无电场和磁场。现有一质量为m、电荷量为q 的粒子以速度
从y 轴上的M 点沿x 轴负方
向进入电场，不计粒子的重力，粒子经x 轴上的N 点和P 点最后又回到M 点，已知
，
。
则下列说法错误的是（ ）
A．带电粒子带负电，电场强度E 的大小为
B．带电粒子到达N 点时的速度大小为
且方向与x 轴负方向成
夹角
C．匀强磁场的磁感应强度的大小为
D．粒子从M 点进入电场，经N、P 点最后又回到M 点所用的时间为
【答案】A
【详解】A．粒子在电场中做类平抛运动、在磁场中做匀速圆周运动、无场区域做匀速直线运动。粒子在
向下的电场中从M 点向上偏转经过N 点，故粒子带负电。从M 至N 运动过程中沿y 轴方向有
2
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加速度
由沿x 轴方向匀速运动可得运动时间
故电场强度
A 错误；
B．设
与x 轴负方向成
角，有
解得
则带电粒子到达N 点时的速度大小
B 正确；
C．带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示
圆心在
处，设半径为R，由几何关系知，带电粒子过P 点的速度方向与x 轴负方向成
夹角，则
再由牛顿第二定律有
联立解得
3
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C 正确；
D．粒子从M 运动至N 的时间
粒子在磁场中运动时间
粒子从P 运动至M 做匀速直线运动，时间
总时间
D 正确。
选错误的，故选A。
2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内存在竖直向下的匀强电场，在第四象限的某位置有垂
直坐标系平面向里的矩形匀强磁场。x 轴上有一点M，其坐标分别为M（l，0）。一质量为m、电荷量为q
的带正电的粒子从y 轴上P 点以初速度
沿x 轴正方向射入第一象限，经电场偏转从M 点以与x 轴正方向
成
角的速度射人第四象限，经磁场偏转后又从x 轴上的N 点（图中未画出）以与x 轴正方向成
角的速度再次返回第一象限。已知磁场的磁感应强度大小为
，不计粒子重力，则下列说
法正确的是（ ）
4
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A．电场强度大小为
B．P 点坐标为（0，
）
C．M、N 两点间的距离一定等于2l
D．矩形磁场的最小面积为
【答案】B
【详解】A．在电场中，粒子做类平抛运动
水平方向有
根据竖直方向匀加速直线运动的规律，有
得
A 错误；
粒子经过电场的过程，竖直方向有
所以P 点坐标为（0，
），B 正确；
C．粒子到达M 点的速度为
5
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粒子进入第四象限的磁场后，做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有
则
根据题意，粒子回到第一象限时的速度方向与x 轴正方向成
角，假设粒子从M 点进入磁场，画出粒
子在磁场中运动的轨迹
由几何关系，可求得粒子在磁场中运动的轨迹所对的弦长为
根据矩形磁场的长、宽最小面积为图示区域
但是，根据题意无法确定粒子在哪个位置进入磁场，所以无法确定MN 之间的距离，CD 错误。
故选B。
3．一电子和一α 粒子从铅盒上的小孔O 竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕P 上的a 和b 两
点，a 点在小孔O 的正上方，b 点在a 点的右侧，如图所示。已知α 粒子的速度约为电子速度的
，铅盒
与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为（ ）
A．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
6
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B．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
【答案】C
【详解】A．带电粒子在电场和磁场中运动，打到a 点的粒子电场力和洛伦兹力平衡，当电场向左磁场垂
直直面向里时，因
粒子带正电，则受到向左的电场力和向左的洛伦兹力，则会打到a 点左侧；同理电子
带负电，受到向右的电场力和向右的洛伦兹力，则电子会打到a 点右侧，A 错误；
B．因
粒子带正电，设带电量为2q，速度v，电子带负电，电量-q，电子速度v＇>v，若电场方向向左，
磁场方向向外，则如果
粒子打在a 点则受到向左的电场力和向右的洛伦兹力平衡
因电子带负电，电量-q，且电子速度大，受到向左的洛伦兹力qv＇B 大于向右的电场力qE，则电子从而向
左偏转；同理如果电子打在a 点，则
，所以此时
粒子向左的电场力2qE 大于向右的洛伦兹力
2qvB，则向左偏转，不会打在b 点，B 错误；
CD．电场方向向右，磁场垂直纸面向里，如果
粒子打在a 点，即向右的电场力和向左的洛伦兹力平衡
电子速度大，受到向右的洛伦兹力qv＇B 大于向左的电场力qE 则向右偏转，从而达到b 点；同理如果电子
打在a，
则
粒子向右的电场力2qE 大于向左的洛伦兹力2qvB 从而向右偏转，会打在b 点；
同理电场向右磁场垂直纸面向外时，
粒子受到向右的电场力和洛伦兹力，电子受到向左的电场力和洛伦
兹力不能受力平衡打到a 点，故C 正确，D 错误；
故选C。
4．如图所示，在
的区域存在方向沿
轴正方向的匀强电场，场强大小为
，在
的区域存在方向
垂直于
平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
。一个带负电的粒子（重力不计）从
轴上的A 点
以大小为
的初速度沿
轴正方向射出，粒子在电场和磁场中运动后回到A 点。则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设粒子类平抛的分运动匀速运动的位移为y，离开电场时瞬时速度与y 轴的夹角
，则有
粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系可得
联立可得
故选B。
5．如图所示，厚度非常薄的铅板
的上方、下方分别分布有垂直于纸面向外、磁感应强度分别为
、
的有界匀强磁场，一比荷为k、电荷量为q 的粒子（不计重力）从a 点射入第一个磁场，经过铅板的b 点
射入第二个磁场，从c 点射出第二个磁场，紧接着进入虚线
（与
平行）下方的与
垂直的匀强电
场，粒子到达d 点时速度正好与
平行。己知两个圆弧轨迹的圆心均在铅板的O 点，
、
，粒子与铅板的作用时间忽略不计，下列说法正确的是（ ）
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A．该粒子带正电
B．粒子从a 到c 的运动时间为
C．粒子与铅板碰撞产生的热量为
D．c 点与d 点的电势差为
【答案】D
【详解】A．由左手定则可知该粒子带负电，故A 错误；
B．粒子从a 到c 运动的时间为
结合
可得
故B 错误；
C．分析可知粒子在两个磁场中运动的圆，弧轨迹半径相等，设为R，由洛伦兹力提供向心力可得
，
联立可得
，
由能量守恒，粒子与铅板的碰撞所产生的热量为
结合
联立可得
9
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故C 错误；
D．分析可知粒子从c 点到d 点做类斜抛运动，粒子在c 点的速度与
的夹角为
，把粒子在c 点的速度
分别沿着
和电场线的方向分解，沿着
方向的分速度为
粒子到达盘点时沿电场线方向的分速度为0，由动能定理得
结合
，
解得
故D 正确。
故选D。
6．水平放置的两金属板，板长为0.2m，板间距为0.15m，板间有竖直向下的匀强电场，场强大小为
2×103V/m，两板的左端点MN 连线的左侧足够大空间存在匀强磁场，磁感应强度的大小为0.2T，方向垂直
纸面向里。一比荷为1×106C/kg 正电粒子以初速度v0紧靠上极板从右端水平射入电场，随后从磁场射出。
则（ ）
A．当v0=1×104m/s 时，粒子离开磁场时的速度最小
B．当
时，粒子离开磁场时的速度最小
C．当
时，粒子离开磁场的位置距M 点的距离最小
D．当v0=2×104m/s 时，粒子离开磁场的位置距M 点的距离最小
【答案】D
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【详解】AB．粒子在磁场中做匀速圆周运动，要使粒子离开磁场时的速度最小，则粒子在从电场进入磁场
时速度最小，设粒子进入磁场时的速度与水平方向的夹角为
，根据类平抛运动的规律有，水平方向
竖直方向
加速度
而
则
可得
根据匀变速直线运动速度与位移的关系式可得
而
联立以上各式可得
可知，当
时，粒子进入磁场时有最小速度
此时
故AB 错误；
CD．根据以上分析可知，粒子进入磁场时的速度为，进入磁场后粒子在磁场中做圆周运动，偏转后从
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MN 边界离开磁场，则由洛伦兹力充当向心力有
可得
根据几何关系可得，粒子进入磁场的位置与射出磁场的位置之间的距离为
则离M 点的距离为
即有
可知，当
时，粒子离开磁场的位置距M 点的距离最小，而根据以上分析可知，当
时
故C 错误，D 正确。
故选D。
二、解答题
7．如图所示，在x 轴上方有一匀强磁场方向垂直纸面向里。在x 轴下方有一匀强电场，方向竖直向上。一
个质量为m、电荷量为q、重力不计的带正电粒子从y 轴上的a 点
处沿y 轴正方向以初速度
开始运动，一段时间后，粒子速度方向与x 轴正方向成45°角进入电场，经过y 轴上b 点时速度
方向恰好与y 轴垂直．求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）匀强电场的电场强度大小；
（3）粒子从开始运动到第三次经过x 轴的时间
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）作出粒子运动轨迹如图所示
由几何关系有
粒子在磁场中做圆周运动
解得
（2）粒子在x 轴下方运动到b 点过程中，水平方向上有
竖直方向
解得
（3）粒子在磁场中运动周期为
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粒子在磁场中运动总的圆心角
粒子从开始运动到第三次经过x 轴
联立可得
8．如图所示，平面直角坐标系
的第一象限内存在沿
轴正方向、电场强度大小为
的匀强电场，第
四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一带电荷量为
，质量为
的带负电粒子以一定的速度从
点
垂直射入电场，从
点进入磁场后，恰好垂直
轴从
点离开磁场。已知
点坐标为（0，L），
点坐标
为（L，0），不计粒子受到的重力，求：
（1）粒子射入磁场时的速度大小；
（2）
点的纵坐标
；
（3）匀强磁场的磁感应强度大小
。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子射入电场时的速度大小为
，粒子在电场中运动时的加速度大小为
，运动时间为
，粒子在
点时的速度方向与
轴正方向的夹角为
，则有
解得
（2）如图所示，设粒子在磁场中运动的轨道半径为
，根据几何关系有
解得
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（3）根据洛伦兹力提供向心力有
解得
9．科学家们常利用电场、磁场控制粒子运动进行科学实验研究。如图所示，在
的区域存在方向沿
轴负方向的匀强电场；在
的区域存在方向垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
。
时刻，两个带正电粒子甲和乙同时以各自的初速度分别从
轴上
点和原点
射出（甲发射
方向未知，乙沿
轴负方向）。经过一段时间后，甲和乙同时第一次到达
轴并发生弹性正碰（速度共
线），碰撞后两粒子带电量不发生变化。已知两个粒子的质量均为
，所带电荷量均为
。不考虑重力和
两粒子间库仑力的影响。求：
（1）两粒子发生正碰前瞬间甲粒子的速度大小；
（2）若甲粒子与乙粒子发生正碰后经过一段时间甲再次经过
轴上
点，则匀强电场的场强大小为多
少。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设甲和乙发生正碰前瞬间速度分别为
、
，依据题意有
根据
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所以
运动时间
联立得
（2）质量相等的甲、乙发生弹性正碰，碰撞前后速度交换，即碰撞后瞬间甲和乙的速度分别变为
、
，依据题意有
根据牛顿第二定律
联立得
根据
得
联立得
10．如图所示，在
平面内，第Ⅱ象限内的射线
是电场与磁场的分界线，
与
轴的负方向成
。在
且
的左侧空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场B，磁感应强度大小为
，在
且
的
右侧空间存在着沿
轴正方向的匀强电场
，场强大小为
。一不计重力的带负电微粒，从坐标原
点
沿
轴负方向以
的初速度进入磁场，最终离开磁、电场区域。已知微粒所带的电荷量
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，质量
，求：
（1）带电微粒在磁场中做圆周运动的半径；
（2）带电微粒第一次进入电场前运动的时间；
（3）带电微粒第二次进入电场后在电场中运动的水平位移。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）微粒在磁场中，受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，洛伦兹力提供圆周运动向心力有
解得
（2）由轨迹图
可知，微粒先做一圆周运动，然后在电场中在电场力作用下先向上匀减速然后向下匀加速，离开电场时速
度大小与进入时大小相等然后在磁场中做一圆周运动，以垂直于电场方向的速度再进入电场作类平抛运
动。所以微粒第一次在磁场中运动的时间为
又
联立，解得
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（3）微粒在电场中的加速度
微粒第二次离开磁场在电场中做类平拋运动时抛出点高度为2R，所以微粒在竖直方向做初速度为0 的匀加
速直线运动，故有
可得微粒在电场中运动时间
所以微粒在水平方向的位移
11．如图所示，在直角坐标系
的第一、四象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强
磁场，在第二、三象限内存在沿x 轴正方向的匀强电场。某时刻，一个正电荷从x 轴上的P 点以初速度
沿x 轴正方向射入，正电荷第一次到达y 轴时，速度方向与y 轴负方向成
角，之后正电荷在电场中运
动，并垂直通过x 轴上的Q 点。已知O、P 两点之间的距离为L，正电荷所受重力忽略不计。求：（结果
均可用根式表示）
（1）正电荷的比荷；
（2）匀强电场的电场强度大小；
（3）正电荷从P 点出发到第一次回到P 点的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意，作出正电荷的部分运动轨迹如图所示
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设正电荷在磁场中运动的轨道半径为r，由图可得
解得
正电荷在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
解得正电荷的比荷为
（2）设正电荷第一次经过y 轴的位置到O 点的距离为
，到达Q 点时的速度大小为
，结合类平抛运动
规律，有
设正电荷进入电场后经过时间t 运动到Q 点，则有
由几何知识结合类平抛运动可得
解得
又
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正电荷从第一次经过y 轴到运动至Q 点的过程中，根据动能定理有
联立解得
（3）正电荷在磁场中的运动的周期为
由几何关系可知，正电荷第一次在磁场中运动的时间为
正电荷在电场中运动的时间为
正电荷第二次在磁场中的运动轨迹与第一次在磁场中运动的轨迹对称，则正电荷第二次在磁场中的运动时
间为
所以正电荷从P 点出发到第一次回到P 点的时间为
12．如图所示，半径r=0.06m 的半圆形无场区的圆心在坐标原点O 处，半径R=0.1m、磁感应强度大小
B=0.075T 的圆形有界磁场区的圆心坐标为(0，0.08m) 。平行金属板MN 的极板长L=0.3m、间距d=0.1m，
极板间所加电压U=6.4×102V，其中N 极板收集粒子全部中和吸收．一位于O 处的粒子源向第Ⅰ、Ⅱ象限
均匀地发射速度大小v=6×105m/s 的带正电粒子，经圆形磁场偏转后，从第Ⅰ象限出射的粒子速度方向均沿
x 轴正方向。若粒子重力不计、比荷
108C/kg、不计粒子间的相互作用力及电场的边缘效应。
sin37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）粒子在磁场中的运动半径R0；
（2）从坐标(0，0.18m)处射出磁场的粒子，其在O 点入射方向与x 轴负方向夹角θ；
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（3）N 板收集到的粒子占所有发射粒子的比例η。
【答案】（1）0.08m；（2）θ=37°；（3）29.4%
【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力，可得
解得
（2）从坐标(0，0.18m)处射出磁场的粒子的轨迹圆心在坐标y 轴O′处，如图所示，设粒子对应的入射角方
向与y 轴的夹角为β，在
中，由几何关系
，
恰好满足勾股定理，
为直角，则有
其在O 点入射方向与x 轴负方向的夹角θ=37°。
（3）如图所示，在电场中，电场强度
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带电粒子在电场中做类平抛运动，其加速度
如果带电粒子恰能从MN 右侧穿出，则运动时间
则偏转距离
因此设此粒子射入时与x 轴正向夹角为α，则由几何关系可知
可知
能被N 板收集的粒子为从O 点出射的角度为与x 轴正方向成
的粒子
13．如图所示，在xOy 平面直角坐标系第一象限内存在+y 方向的匀强电场，第四象限
范围内存在垂直xOy 平面向里，大小为
的匀强磁场。一带电
量为-q 质量为m 的粒子，以初速度
从P(0，2L)点沿+x 方向垂直射入电场，粒子做匀变速曲线运动至
Q(4L，0)点进入第四象限，粒子运动过程中不计重力。求：
（1）第一象限内匀强电场电场强度大小；
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（2）粒子在第一象限运动过程中与PQ 连线的最大距离；
（3）粒子进入第四象限后与x 轴的最大距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子从P 到Q 的过程中，做类平抛运动，在x 轴方向有
在y 轴方向有
解得
，
，
所以匀强电场电场强度大小为
。
（2）粒子在第一象限运动时，分解为平行于PQ 连线方向和垂直于PQ 连线方向的两个分运动，粒子与
PQ 连线的距离最大时，速度方向平行于PQ 连线。设PQ 与x 轴的夹角为
，则
，
在垂直PQ 连线方向上有
解得粒子在第一象限运动过程中与PQ 连线的最大距离
24
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（3）粒子到Q 点时，x 轴方向的分速为
，y 轴方向的分速度为
则粒子进入第四象限时的速度大小为
v 的方向与x 轴正方向的夹角为
。粒子进入第四象限后，在有磁场的区域做匀速圆周运动，在无磁场区
域做匀速直线运动，当粒子速度方向平行于x 轴时，设粒子运动到M 点，则粒子在M 点时距离x 轴最远。
粒子做圆周运动时，有
解得
粒子做圆周运动的圆弧在y 轴方向的投影长度为
由于
，可知在Q 到M 之间有5 个磁场区域和4 个无磁场区域，则粒子进入第四象限后与x 轴的
最大距离为
14．如图所示。研究员在研究带电粒子的受控轨迹时。设置了以下场景，空间中存在
平面直角坐标
系。其第一象限内存在方向沿y 轴负向的匀强电场。电场强度为 E；第四象限内有一条分界线ON 与x 轴
正方向的夹角为：
在
轴与ON 间存在垂直纸面向外的匀强磁场。研究员将一带正电的粒子从y 轴
上的距原点O 距离d 的P 点，以速度v0垂直y 轴打入电场，经电场偏转后经
轴进入磁场，在磁场中运
动一段时间后从ON 上以垂直于y 轴的速度方向射出。已知粒子的比荷为
，不计粒子重力。求：
（1）粒子从
轴打出点到原点的距离以及粒子过该点时的速度 大小；
（2）磁场的磁感应强度 B 的大小；
（3）若改变磁感应强度 B 的大小，使粒子第一次进入磁场后轨迹恰好与ON 相切再次打入电场。求粒子
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第三次进入磁场时距离 O 点的距离
。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在电场中有
经过
轴打出点时的速度大小
联立可得
（2）粒子离开电场时与x 轴夹角
既
如图
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根据几何关系可得
联立可得
由
可得
（3）粒子第一次进入磁场后轨迹恰好与ON 相切，则粒子第一次在磁场中转过的圆心角为
，根据
几何关系
粒子在磁场中轨迹半径
第一次出磁场点在A 点左侧距离为
出磁场后，粒子在电场中做类斜抛运动，该过程，根据对称性，有
联立解得在第二次在电场中向右的位移大小为
根据类斜抛运动对称性，第二次进入磁场时速度方向仍与第一次进入磁场方向相同，故第二次出磁场时相
比较第二次进磁场时位置向左偏转
，然后第三次在电场中向右运动
后第三次进入磁场，故粒子
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第三次进入磁场时距离 O 点的距离
15．如图，平面直角坐标系第一象限内存在水平向左的匀强电场
，第二象限内存在垂直纸面向里的匀强
磁场，第三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，电场强度大小
。
现有一带正电，比荷为
的粒子，从x 轴上的A 点以初速度
射入第一象限的电
场，速度方向与x 轴的夹角为
，经y 轴上的P 点进入第二象限。已知第二、三象限内磁感应强度的
大小均为
，A 点的横坐标为0.35m，P 点的纵坐标为1.2m，（不计粒子重力，计算结果可保留
）。求：
（1）第一象限内匀强电场
的大小；
（2）粒子到达P 点时的速度；
（3）粒子从A 点出发到第一次回到x 轴所用的时间；
（4）粒子运动过程中，第二次回到x 轴时的位置坐标。
【答案】（1）
；（2）
，方向与y 轴正方向的夹角为
；（3）
；（4）
【详解】（1）粒子在第一象限内运动时，y 轴方向
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x 轴方向
，
解得
，
，
（2）粒子在第一象限内运动时
负号表示速度方向沿x 轴负方向。粒子到达P 点时
方向与y 轴正方向的夹角为
所以
（3）粒子从A 点出发到第一次回到x 轴所用的时间；粒子在第二象限中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定
律
解得
根据几何关系有
可知圆心
恰好在x 轴上，粒子在磁场中运动的周期
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由此可得，粒子从A 点出发到第一次回到x 轴所用的时间
（4）粒子运动过程中，第一次回到x 轴时
粒子在第三象限中，另附加一个沿x 轴负方向的速度
，满足
解得
此时粒子的另一个分速度为
方向与x 轴正方向的夹角为
，则由有
，
，
该过程沿x 轴负方向又发生的位移大小
所以，粒子第二次回到x 轴时的位置坐标为
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