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专题12 带电粒子在组合场中的运动
考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点 带电粒
子在组合场中
的运动
（10 年10
考）
2024·全国·高考真题、2024·广东·高考
真题、2024·辽宁·高考真题、2024·山
东·高考真题、2024·北京·高考真题、
2024·湖南·高考真题、2024·浙江·高考
真题、2023·海南·高考真题、2023·全
国·高考真题、2023·山东·高考真题、
2023·辽宁·高考真题、2023·浙江·高考
真题、2022·海南·高考真题、2022·天
津·高考真题、2022·河北·高考真题、
2022·山东·高考真题、2021·重庆·高考
真题、2021·山东·高考真题、2021·浙
江·高考真题、2021·广东·高考真题、
2021·全国·高考真题、2021·河北·高考
真题、2020·山东·高考真题、2019·全
国·高考真题、2019·浙江·高考真题、
2018·全国·高考真题、2018·天津·高考
真题、2017·浙江·高考真题、2017·天
津·高考真题、2016·四川·高考真题、
2015·重庆·高考真题、2015·山东·高考
真题
本章主要考查电流的磁效应、安培力、带
电粒子在磁场中运动的问题，主要涉及各
种电流产生的磁场、安培力的大小和方
向、带电粒子在洛伦兹力作用下的运动，
主要体现在以下几方面:
(1)电流磁效应主要结合安培力的大小和方
向、静电力平衡、安培力做功等问题考
查。
(2)匀强磁场中带电粒子做圆周运动，主要
涉及群发粒子的收集比例问题。
(3)带电粒子在复合场的运动主要涉及叠加
和不叠加两种形式，主要考查轨迹多解问
题和霍尔效应、磁流体发电机等。
考点 带电粒子在组合场中的运动
1．（2023·全国·高考真题）一电子和一α 粒子从铅盒上的小孔O 竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置
的屏幕P 上的a 和b 两点，a 点在小孔O 的正上方，b 点在a 点的右侧，如图所示。已知α 粒子的速度约为
电子速度的
，铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为（ ）
1
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A．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
【答案】C
【详解】A．带电粒子在电场和磁场中运动，打到a 点的粒子电场力和洛伦兹力平衡，当电场向左磁场垂
直直面向里时，因
粒子带正电，则受到向左的电场力和向左的洛伦兹力，则会打到a 点左侧；同理电子
带负电，受到向右的电场力和向右的洛伦兹力，则电子会打到a 点右侧，A 错误；
B．因
粒子带正电，设带电量为2q，速度v，电子带负电，电量-q，电子速度v＇>v，若电场方向向左，
磁场方向向外，则如果
粒子打在a 点则受到向左的电场力和向右的洛伦兹力平衡
因电子带负电，电量-q，且电子速度大，受到向左的洛伦兹力qv＇B 大于向右的电场力qE，则电子从而向
左偏转；同理如果电子打在a 点，则
，所以此时
粒子向左的电场力2qE 大于向右的洛伦兹力
2qvB，则向左偏转，不会打在b 点，B 错误；
CD．电场方向向右，磁场垂直纸面向里，如果
粒子打在a 点，即向右的电场力和向左的洛伦兹力平衡
电子速度大，受到向右的洛伦兹力qv＇B 大于向左的电场力qE 则向右偏转，从而达到b 点；同理如果电子
打在a，
则
粒子向右的电场力2qE 大于向左的洛伦兹力2qvB 从而向右偏转，会打在b 点；
同理电场向右磁场垂直纸面向外时，
粒子受到向右的电场力和洛伦兹力，电子受到向左的电场力和洛伦
兹力不能受力平衡打到a 点，故C 正确，D 错误；
故选C。
2．（2022·海南·高考真题）有一个辐向分布的电场，距离O 相等的地方电场强度大小相等，有一束粒子流
通过电场，又垂直进入一匀强磁场，则运动轨迹相同的粒子，它们具有相同的（ ）
A．质量
B．电量
C．比荷
D．动能
【答案】C
【详解】粒子在辐射电场中以速度做匀速圆周运动，电场力完全提供向心力，根据牛顿第二定律可知
2
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解得
粒子在匀强磁场中
解得
粒子不同场中的轨迹相同，即粒子在不同场中转动半径相同，所以这些粒子具有相同的速度和比荷
。
故选C。
二、多选题
3．（2023·海南·高考真题）如图所示，质量为
，带电量为
的点电荷，从原点以初速度
射入第一象
限内的电磁场区域，在
（
为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在
区域
内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（
值有多种可能），可让粒子从
射入磁场后偏转打到
接收器
上，则（ ）
A．粒子从
中点射入磁场，电场强度满足
B．粒子从
中点射入磁场时速度为
C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到
的距离为
D．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是
【答案】AD
【详解】A．若粒子打到PN 中点，则
3
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解得
选项A 正确；
B．粒子从PN 中点射出时，则
速度
选项B 错误；
C．粒子从电场中射出时的速度方向与竖直方向夹角为θ，则
粒子从电场中射出时的速度
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，则
则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN 的距离为
解得
选项C 错误；
D．当粒子在磁场中运动有最大运动半径时，进入磁场的速度最大，则此时粒子从N 点进入磁场，此时竖直
最大速度
出离电场的最大速度
4
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则由
可得最大半径
选项D 正确；
故选AD。
三、解答题
4．（2024·浙江·高考真题）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，
截面如图所示。在xOy 平面内，除x 轴和虚线之间的区域外，存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向
外的匀强磁场，在无磁场区域内，沿着x 轴依次放置离子源、长度为L 的喷镀板P、长度均为L 的栅极板
M 和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P 上表面中点Q 的坐标为（1.5L，0），栅极板M 中点S
的坐标为（3L，0），离子源产生a 和b 两种正离子，其中a 离子质量为m，电荷量为q，b 离子的比荷为a
离子的
倍，经电压U=kU0（其中
，k 大小可调，a 和b 离子初速度视为0）的电场加速后，沿
着y 轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N 和M 间电压UNM调控（UNM>0），a 和b 离子分别落在喷镀板
的上下表面，并立即被吸收且电中和，忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。
（1）若U=U0，求a 离子经磁场偏转后，到达x 轴上的位置x0（用L 表示）。
（2）调节U 和UNM，并保持
，使a 离子能落到喷镀板P 上表面任意位置，求：
①U 的调节范围（用U0表示）；
②b 离子落在喷镀板P 下表面的区域长度；
（3）要求a 和b 离子恰好分别落在喷镀板P 上下表面的中点，求U 和UNM的大小。
【答案】（1）L；（2）①
；②
；（3）
，
【详解】（1）对a 离子根据动能定理得
a 离子在匀强磁场中做匀速圆周运动
5
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a 离子经磁场偏转后，到达x 轴上的位置
，联立解得
（2）①要使a 离子能落到喷镀板P 上表面任意位置，只能经电压为U 的电场加速后再经第一象限匀强磁场
偏转一次打在P 板上方任意处，则
结合（1）中分析得
即
即
②b 离子经过电压为U 的电场加速后在磁场中第一次偏转打在x 轴上的位置坐标为
代入
得
故可知b 离子能从栅极板（坐标范围为
）任意位置经电压为
的电场减速射入虚线下方的磁场，
此时
b 离子先经过电压为U 的电场加速再在第一象限磁场中做匀速圆周运动后再经过电压为
的电场减速，因为根据动能定理得
同时有
，
当
时，b 离子从栅极板左端经虚线下方磁场偏转打在P，此时离栅极板左端的距离为
6
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当
时，b 离子从栅极板右端经虚线下方磁场偏转打在P，此时离栅极板右端的距离为
故b 离子落在喷镀板P 下表面的区域长度为
（3）要求a 离子落在喷镀板中点Q，由（1）可知
故可得
则b 离子从
处经过栅极板，若b 离子减速一次恰好打在P 板下方中央处，设
，则同理可
知
联立解得
则可得
当减速n 次
联立得
当减速n 次恰好打在P 板下方中央处，可得
7
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即
解得
即
，n 取整数，故可得
，故可得
5．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左右端面圆心O′、O 处各开有一小孔。
以O 为坐标原点，取O′O 方向为x 轴正方向建立xyz 坐标系。在筒内x ≤ 0 区域有一匀强磁场，磁感应强度
大小为B，方向沿x 轴正方向；筒外x ≥ 0 区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y 轴正方向。一电子
枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy 平面内，且在x 轴正方向的分速度大小均
为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重
力。
（1）若所有电子均能经过O 进入电场，求磁感应强度B 的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x 轴正方向最大夹角为θ，求tanθ
的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y 轴正方向的最大位移。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x 轴的匀速直线运动和在yOz 平面内的匀速圆周运
动，设电子入射时沿y 轴的分速度大小为v y，由电子在x 轴方向做匀速直线运动得
在yOz 平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知
8
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可得
且
由题意可知所有电子均能经过O 进入电场，则有
联立得
当
时，B 有最小值，可得
（2）将电子的速度分解，如图所示
有
当
有最大值时，v y最大，R 最大，此时
，又
，
联立可得
，
（3）当v y最大时，电子在电场中运动时沿y 轴正方向有最大位移
，根据匀变速直线运动规律有
由牛顿第二定律知
又
9
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联立得
6．（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进
器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间
距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向
沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E 和
；还有方向沿半径向外的径
向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为
R 的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、
电荷量为
，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电
室的电子刚好完全中和。
已知电子的质量为m、电荷量为
；对于氙离子，仅考虑电场的作用。
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小
；
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求
此霍尔推进器获得的推力大小F。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对于氙离子，仅考虑电场的作用，则氙离子在放电室时只受电场力作用，由牛顿第二定
律
解得氙离子在放电室内运动的加速度大小
（2）电子在阳极附近在垂直于轴线的平面绕轴线做半径做匀速圆周运动，则轴线方向上所受电场力与径
向磁场给的洛仑兹力平衡，沿着轴线方向的匀强磁场给的洛仑兹力提供向心力，即
，
解得径向磁场的磁感应强度大小为
（3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，则单
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位时间内被电离的氙离子数
氙离子经电场加速，有
时间
内氙离子所受到的作用力为
，由动量定理有
解得
由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小
则
7．（2024·山东·高考真题）如图所示，在Oxy 坐标系x>0，y>0 区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小
为B 的匀强磁场。磁场中放置一长度为L 的挡板，其两端分别位于x、y 轴上M、N 两点，∠OMN=60°，挡
板上有一小孔K 位于MN 中点。△OMN 之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y 轴左侧的粒子发生
器在0＜y＜
的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q 的无初速度的粒子。粒子发生器与y 轴之间存
在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可
沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。
（1）求使粒子垂直挡板射入小孔K 的加速电压U0；
（2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K 射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的
大小和方向；
（3）当加速电压为
时，求粒子从小孔K 射出后，运动过程中距离y 轴最近位置的坐标。
【答案】（1）
；（2）
，方向沿x 轴正方向；（3）
(n=0,1,2
)
⋅⋅⋅
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【详解】（1）根据题意，作出粒子垂直挡板射入小孔K 的运动轨迹如图所示
根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
在
区域根据洛伦兹力提供向心力有
在匀强加速电场中由动能定理有
联立解得
（2）根据题意，当轨迹半径最小时，粒子速度最小，则作出粒子以最小的速度从小孔K 射出的运动轨迹如
图所示
根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
在
区域根据洛伦兹力提供向心力有
粒子从小孔K 射出后恰好做匀速直线运动，由左手定则可知粒子经过小孔K 后受到的洛伦兹力沿x 轴负方
向，则粒子经过小孔K 后受到的电场力沿x 轴正方向，粒子带正电，则
之外第一象限区域电场强度的
方向沿x 轴正方向，大小满足
联立可得
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（3）在匀强加速电场中由动能定理有
可得
在
区域根据洛伦兹力提供向心力有
可得粒子在
区域运动的轨迹半径
作出从小孔K 射出的粒子的运动轨迹如图所示
设粒子从小孔
射出的速度方向与
轴正方向夹角为
，根据几何关系可知
则粒子从小孔
射出的速度方向与
轴正方向的夹角为
，该速度沿
轴和
轴正方向的分速度大小为
，
则粒子从
射出后的运动可分解为沿
轴正方向的匀速直线运动和速度大小为
的
匀速圆周运动，可知
解得
粒子做圆周运动的周期为T = 2πm
qB ，粒子至少运动
距离
轴最近，加上整周期则粒子运动
，
时距离
轴最近，则最近位置的横坐标为
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纵坐标为
，
综上所述，最近的位置坐标
，
。
8．（2024·辽宁·高考真题）现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ
区宽度均为L，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区电场足够宽，
各区边界均垂直于x 轴，O 为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为＋q，质量均为m 的粒子。如
图，甲、乙平行于x 轴向右运动，先后射入Ⅰ区时速度大小分别为
和
。甲到P 点时，乙刚好射入Ⅰ
区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°，甲到O 点时，乙恰好到P 点。已知Ⅲ区存在沿＋x 方向的匀强电场，
电场强度大小
。不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。
（1）求磁感应强度的大小B；
（2）求Ⅲ区宽度d；
（3）Ⅳ区x 轴上的电场方向沿x 轴，电场强度E 随时间t、位置坐标x 的变化关系为
，其中常系
数
，
已知、k 未知，取甲经过O 点时
。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的
电场力大小为F，甲、乙间距为Δx，求乙追上甲前F 与Δx 间的关系式（不要求写出Δx 的取值范围）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对乙粒子，如图所示
由洛伦兹力提供向心力
由几何关系
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联立解得，磁感应强度的大小为
（2）由题意可知，根据对称性，乙在磁场中运动的时间为
对甲粒子，由对称性可知，甲粒子沿着直线从P 点到O 点，由运动学公式
由牛顿第二定律
联立可得Ⅲ区宽度为
（3）甲粒子经过O 点时的速度为
因为甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，则
可得
设乙粒子经过Ⅲ区的时间为
，乙粒子在Ⅳ区运动时间为
，则上式中
对乙可得
整理可得
对甲可得
则
化简可得乙追上甲前F 与Δx 间的关系式为
15
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9．（2024·广东·高考真题）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为
、周期为
的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀
强磁场。磁感应强度大小为B．一带电粒子在
时刻从左侧电场某处由静止释放，在
时刻从下板左
端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在
时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁
场，并在
时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的
倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
（1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
（2）求金属板的板间距离D 和带电粒子在
时刻的速度大小v；
（3）求从
时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
【答案】（1）正电；
；（2）
；
；（3）
【详解】（1）根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运
动的周期为
根据
T = 2πm
qB
则粒子所带的电荷量
（2）若金属板的板间距离为D，则板长
粒子在板间运动时
出电场时竖直速度为零，则竖直方向
16
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在磁场中时
其中的
联立解得
（3）带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由（2）的计算可知金属板的板间距离
则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4 t0时刻进入左侧的电场做减速运动速度为零后反向加速，
在6 t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5 t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电
场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有开始进入左侧电
场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，则
10．（2024·全国·高考真题）一质量为m、电荷量为
的带电粒子始终在同一水平面内运动，其速度
可用图示的直角坐标系内，一个点
表示，v x、v y分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴上的分量。
粒子出发时P 位于图中
点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，P 点沿线段ab 移动到
点；随后粒子离开电场，进入方向竖直、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，P 点沿以O 为圆心的圆弧移动
至
点；然后粒子离开磁场返回电场，P 点沿线段ca 回到a 点。已知任何相等的时间内P 点沿图中
闭合曲线通过的曲线长度都相等。不计重力。求
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期；
（2）电场强度的大小；
（3）P 点沿图中闭合曲线移动1 周回到a 点时，粒子位移的大小。
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【答案】（1）
，2πm
Bq ；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在磁场中做圆周运动时的速度为
根据洛伦兹力提供向心力
解得做圆周运动的半径为
周期为
T = 2πm
Bq
（2）根据题意，已知任何相等的时间内P 点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等，由于曲线表示的为
速度相应的曲线，根据
可知任意点的加速度大小相等，故可得
解得
（3）根据题意分析可知从b 点到c 点粒子在磁场中转过的角度为
，绕一圈的过程中两次在电场中运动，
根据对称性可知粒子的运动轨迹如图，
角为两次粒子在电场中运动时初末位置间的位移与x 轴方向的夹
角，从a 到b 过程中粒子做类平抛运动，得
故可得该段时间内沿y 方向位移为
根据几何知识可得
由粒子在两次电场中运动的对称性可知移动一周时粒子位移的大小为
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联立解得
11．（2024·浙江·高考真题）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反
射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度
大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为
和
，
其电势差
。一束质量为m、电荷量为e 的质子从O 点以入射角
射向Ⅰ区，在P 点以出射角
射出，实现“反射”；质子束从P 点以入射角
射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线
夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为
，不计质子重力，
不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。
（1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d 的最小值；
（2）若
，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值）
（3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P 点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区）
（4）在P 点下方距离
处水平放置一长为
的探测板
（Q 在P 的正下方），
长为
，
质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O 点射
入Ⅰ区，且
，求探测板受到竖直方向力F 的大小与U 之间的关系。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）见解析
【详解】（1）根据牛顿第二定律
不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，d 的最小值为
19
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（2）设水平方向为
方向，竖直方向为
方向，
方向速度不变，
方向速度变小，假设折射角为
，根
据动能定理
解得
根据速度关系
解得
（3）全反射的临界情况：到达Ⅲ区的时候
方向速度为零，即
可得
即应满足
（4）临界情况有两个：1、全部都能打到，2、全部都打不到的情况，根据几何关系可得
所以如果
的情况下，折射角小于入射角，两边射入的粒子都能打到板上，分情况讨论如下：
①当
时
又
解得
全部都打不到板的情况
②根据几何知识可知当从Ⅱ区射出时速度与竖直方向夹角为
时，粒子刚好打到D 点，水平方向速度为
所以
20
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又
解得
即当
时
③部分能打到的情况，根据上述分析可知条件为（
），此时仅有O 点右侧的一束粒子能打到
板上，因此
又
解得
12．（2023·山东·高考真题）如图所示，在
，
的区域中，存在沿y 轴正方向、场强大小
为E 的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q 的带正电粒
子从OP 中点A 进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，求磁场的磁
感应强度B 的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A 点沿y 轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P 点
第二次进入电场，在电场的作用下从Q 点离开。
（i）求改变后电场强度
的大小和粒子的初速度
；
（ii）通过计算判断粒子能否从P 点第三次进入电场。
21
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【答案】（1）
；（2）（i）
，
；（ii）不会
【详解】（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，轨迹如图
根据几何关系可知
联立可得
（2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图
在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知
解得
所以有
θ =53
∘，
洛伦兹力提供向心力
带电粒子从A 点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有
22
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再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x 方向有
沿y 方向上有
其中根据牛顿第二定律有
联立以上各式解得
（ii）粒子从P 到Q 根据动能定理有
可得从Q 射出时的速度为
此时粒子在磁场中的半径
根据其几何关系可知对应的圆心坐标为
，
而圆心与P 的距离为
故不会再从P 点进入电场。
13．（2023·辽宁·高考真题）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的
倍。
金属板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。
质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P 点飞出电场，
并沿PO 方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为
，不计粒子重力。
23
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（1）求金属板间电势差U；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画
出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）
【详解】（1）设板间距离为
，则板长为
，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为
根据牛顿第二定律得，电场力提供加速度
解得
设粒子在平板间的运动时间为
，根据类平抛运动的运动规律得
，
联立解得
（2）设粒子出电场时与水平方向夹角为
，则有
故
则出电场时粒子的速度为
24
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粒子出电场后沿直线匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供匀速圆周运动所需
的向心力得
解得
已知圆形磁场区域半径为
，故
粒子沿
方向射入磁场即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入
磁场时运动方向的夹角为
，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为
，由几何关系可得
故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为
或
；
（3）带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为
，根据几何关系可知，带电粒子在该
磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最长。
则相对应的运动轨迹和弦以及圆心M 的位置如图所示：
14．（2023·浙江·高考真题）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x 轴上方存在垂直
平面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。x 轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板
25
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M 和N 组成，其中位于x 轴的M 板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N 板连接电流表后接地。位于坐标
原点O 的离子源能发射质量为m、电荷量为q 的正离子，其速度方向与y 轴夹角最大值为
；且各个方向
均有速度大小连续分布在
和
之间的离子射出。已知速度大小为
、沿y 轴正方向射出的离子经磁
场偏转后恰好垂直x 轴射入孔C。未能射入孔C 的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。
不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。
（1）求孔C 所处位置的坐标
；
（2）求离子打在N 板上区域的长度L；
（3）若在N 与M 板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0 时的电压
；
（4）若将分析器沿着x 轴平移，调节加载在N 与M 板之间的电压，求电流表示数刚为0 时的电压
与孔
C 位置坐标x 之间关系式。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）当
时，
【详解】（1）速度大小为
、沿y 轴正方向射出的离子经磁场偏转后轨迹如图
由洛伦兹力提供向心力
解得半径
孔C 所处位置的坐标
（2）速度大小为的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力
26
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解得半径
若要能在C 点入射，则由几何关系可得
解得
如图
由几何关系可得
（3）不管从何角度发射
由（2）可得
根据动力学公式可得
，
联立解得
（4）孔C 位置坐标x
其中
联立可得
27
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，
解得
在此范围内，和（3）相同，只与v y相关，可得
解得
根据动力学公式可得
，
解得
15．（2022·天津·高考真题）如图所示，M 和N 为平行金属板，质量为m，电荷量为q 的带电粒子从M 由
静止开始被两板间的电场加速后，从N 上的小孔穿出，以速度v 由C 点射入圆形匀强磁场区域，经D 点穿
出磁场，CD 为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与
磁场方向垂直，重力略不计。
（1）判断粒子的电性，并求M、N 间的电压U；
（2）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r；
（3）若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】（1）正电，
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子在磁场中运动，根据左手定则可知粒子带正电。粒子在电场中运动由动能定理可
知
解得
28
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（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力提供向心力，有
解得
（3）设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为
，如图
依题意粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，由几何关系，得
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，有
带电粒子在磁场中运动的时间
联立各式解得
16．（2022·河北·高考真题）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1 所示，金属板与可调电
源相连形成电场，方向沿y 轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直
平面向外。电场强度和磁感应
强度随时间的变化规律如图2 所示。板间O 点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为
、
初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1）
时刻释放的粒子，在
时刻的位置坐标；
（2）在
时间内，静电力对
时刻释放的粒子所做的功；
（3）在
点放置一粒接收器，在
时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被
捕获。
29
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
或
【详解】（1）在
时间内，电场强度为
，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知
解得粒子在
时刻的速度大小为
方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离
在
时间内，根据粒子在磁场运动的周期T = 2πm
qB 可知粒子偏转180
°，速度反向，根据
可知粒子水平向右运动的距离为
粒子运动轨迹如图
所以粒子在
时刻粒子的位置坐标为
，即
；
（2）在
时间内，电场强度为
，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向
30
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解得
时刻粒子的速度
方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为
在
时间内，粒子在水平方向运动的距离为
此时粒子速度方向向下，大小为
，在
时间内，电场强度为
，竖直方向
解得粒子在
时刻的速度
粒子在竖直方向运动的距离
粒子运动的轨迹如图
在
时间内，静电力对粒子的做功大小为
电场力做正功；
（3）根据（1）问中解析有
，
31
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①若粒子到达
点之前，在磁场中已经过两个半圆，则释放时刻一定在
时间内，若在
之间
的时刻释放粒子，粒子运动轨迹如图丙所示，有
，
，
，
，
，
所以
整理发现
所以需满足
，代入数据解不等式，
当
时不等式成立
②若粒子到达
点前只经过一个半圆，则粒子在磁场中运动的轨迹半径
由
得，经第一次电场加速的末速度
，则粒子在
时间内释放不可能，如果在
时间内释放，则第一次在电场中加速的时间
，即在
时释放符合条件，
32
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但在此情况下，
，经过一个半圆后在电场中减速至速度为零的位移大小为
联立有
故此情况下无法到达
点，所以考虑在
时间内释放，假设粒子第一次在电场中加速的时间为
，则
，在此种情况下，
，经过一个半圆后在电场中减速至速度为零的位移大小
为
联立有
故此情况下粒子能在
点被吸收，所以粒子释放时刻为
综上可知，在
或
时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获
17．（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和
加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系
中，
空间内充满匀强磁场I，
磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；
，
的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为
，方向平行于
平面，与x 轴正方向夹角为
；
，
的空间内充满沿y 轴负方向的匀强
电场。质量为m、带电量为
的离子甲，从
平面第三象限内距
轴为
的点
以一定速度出射，速度
方向与
轴正方向夹角为
，在
平面内运动一段时间后，经坐标原点
沿
轴正方向进入磁场I。不计
离子重力。
（1）当离子甲从
点出射速度为
时，求电场强度的大小
；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿
轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，求第四次穿过
平面的位
置坐标（用d 表示）；
33
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（4）当离子甲以
的速度从
点进入磁场I 时，质量为
、带电量为
的离子乙，也从
点沿
轴正
方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差
（忽
略离子间相互作用）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）（d，d，
）；（4）
【详解】（1）如图所示
将离子甲从
点出射速度为
分解到沿
轴方向和
轴方向，离子受到的电场力沿
轴负方向，可知离子
沿
轴方向做匀速直线运动，沿
轴方向做匀减速直线运动，从
到
的过程，有
联立解得
（2）离子从坐标原点
沿
轴正方向进入磁场I 中，在磁场I 中做匀速圆周运动，经过磁场I 偏转后从
轴
进入磁场II 中，继续做匀速圆周运动，如图所示
34
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由洛伦兹力提供向心力可得
，
可得
为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I 运动时，不能从磁场I 上方穿出。在磁场II 运动时，不能xOz 平面
穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足
，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿z 轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，离子在磁场I 中的轨迹半径
为
离子在磁场II 中的轨迹半径为
离子从
点第一次穿过到第四次穿过
平面的运动情景，如图所示
35
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离子第四次穿过
平面的
坐标为
离子第四次穿过
平面的
坐标为
故离子第四次穿过
平面的位置坐标为（d，d，
）。
（4）设离子乙的速度为
，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得
离子甲、离子乙在磁场I 中的轨迹半径分别为
，
离子甲、离子乙在磁场II 中的轨迹半径分别为
，
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x 轴的位置，如图所示
从
点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
18．（2021·重庆·高考真题）如图1 所示的
竖直平面内，在原点O 有一粒子源，可沿x 轴正方向发射速
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度不同、比荷均为
的带正电的粒子。在
的区域仅有垂直于平面向内的匀强磁场；
的区域仅有
如图2 所示的电场，
时间内和
时刻后的匀强电场大小相等，方向相反（
时间内电场方向竖直
向下），
时间内电场强度为零。在磁场左边界
直线上的某点，固定一粒子收集器（图中未画
出）。0 时刻发射的A 粒子在
时刻经过左边界进入磁场，最终被收集器收集；B 粒子在
时刻以与A 粒
子相同的发射速度发射，第一次经过磁场左边界的位置坐标为
；C 粒子在
时刻发射，其发射速
度是A 粒子发射速度的
，不经过磁场能被收集器收集。忽略粒子间相互作用力和粒子重力，不考虑边界
效应。
(1)求电场强度E 的大小；
(2)求磁感应强度B 的大小；
(3)设
时刻发射的粒子能被收集器收集，求其有可能的发射速度大小。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
、
、
【详解】（1）由
粒子类平抛
粒子先类平抛后匀直，
可得
或
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解得
（2）对
粒子类平抛
得
A 进入磁场时速度与
轴正方向夹角为
，则
得
即
A 粒子做匀圆，速度为
半径为
，有
由
可得
对
粒子类平抛运动的时间为
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可得
由几何关系
得
联立解得
（3）①设
直接类平抛过D 点，即
解得
②设
先类平抛后匀圆过D 点，刚进入磁场时与
轴夹角为
、偏移的距离为
，
则
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整理得
令
，则上式变成
观察可得
是其中一解，所以上方程等价于
可得其解是
或
（另一解
不符合题意，舍去）
则有
或
综上所述，能够被粒子收集器收集的粒子速度有：
、
、
。
19．（2021·山东·高考真题）某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x 轴垂直交
于坐标原点O，其内充满垂直于
平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
；Ⅱ区宽度为L，左边界
与x 轴垂直交于
点，右边界与x 轴垂直交于
点，其内充满沿y 轴负方向的匀强电场。测试板垂直x 轴
置于Ⅱ区右边界，其中心C 与
点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m 的正离子，加速后沿x
轴正方向过O 点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x 轴正
方向的夹角为
。忽略离子间的相互作用，不计重力。
（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；
（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；
（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）方向相反
且平行y 轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C 点，需沿x 轴移动测试板，
40
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求移动后C 到
的距离S。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得
①
根据几何关系得
②
联立①②式得
（2）离子在Ⅱ区内只受电场力，x 方向做匀速直线运动，y 方向做匀变速直线运动，设从进入电场到击中
测试板中心C 的时间为t，y 方向的位移为
，加速度大小为a，由牛顿第二定律得
由运动的合成与分解得
，
，
联立得
（3）Ⅱ区内填充磁场后，离子在垂直y 轴的方向做线速度大小为vcosθ 的匀速圆周运动，如图所示。设左
侧部分的圆心角为
，圆周运动半径为r
′，运动轨迹长度为
，由几何关系得
，
由于在y 轴方向的运动不变，离子的运动轨迹与测试板相切于C 点，则离子在Ⅱ区内的运动时间不变，故
有
C 到
的距离
41
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联立得
20．（2021·浙江·高考真题）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d 的中间有小孔的两
平行金属板M、N 和边长为L 的立方体构成，其后端面P 为喷口。以金属板N 的中心O 为坐标原点，垂直
立方体侧面和金属板建立x、y 和z 坐标轴。M、N 板之间存在场强为E、方向沿z 轴正方向的匀强电场；立
方体内存在磁场，其磁感应强度沿z 方向的分量始终为零，沿x 和y 方向的分量
和
随时间周期性变化
规律如图乙所示，图中
可调。氙离子（
）束从离子源小孔S 射出，沿z 方向匀速运动到M 板，经电
场加速进入磁场区域，最后从端面P 射出，测得离子经电场加速后在金属板N 中心点O 处相对推进器的速
度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为
，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推
进器的质量。
（1）求离子从小孔S 射出时相对推进器的速度大小vS；
（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节
的值，使得从小孔S 射出的离子均能从喷口后端面P 射出，
求
的取值范围；
（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P 射出的离子数为n，且
。求图乙中
时刻离子束对推进器作用力沿z 轴方向的分力。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向沿z 轴负方向
【详解】（1）离子从小孔S 射出运动到金属板N 中心点O 处，根据动能定理有
42
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解得离子从小孔S 射出时相对推进器的速度大小
（2）当磁场仅有沿x 方向的分量取最大值时，离子从喷口P 的下边缘中点射出，根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
当磁场在x 和y 方向的分量同取最大值时，离子从喷口P 边缘交点射出，根据几何关系有
此时
；根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
故
的取值范围为
；
（3）粒子在立方体中运动轨迹剖面图如图所示
由题意根据洛伦兹力提供向心力有
且满足
所以可得
43
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所以可得
离子从端面P 射出时，在沿z 轴方向根据动量定理有
根据牛顿第三定律可得离子束对推进器作用力大小为
方向沿z 轴负方向。
21．（2021·广东·高考真题）图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c 围成的区
域，圆a 内为无场区，圆a 与圆b 之间存在辐射状电场，圆b 与圆c 之间有三个圆心角均略小于90°的扇环
形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能
从
圆b 上P 点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a 与圆b 之间
电势差为U，圆b 半径为R，圆c 半径为
，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取
。
（1）当
时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角
均为45°，
最终从Q 点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动
时间及在Q 点出射时的动能；
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当
时，要保证电子从出射
区域出射，求k 的最大值。
【答案】（1）
，
，
；（2）13
6
【详解】（1）电子在电场中加速有
在磁场Ⅰ中，由几何关系可得
44
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联立解得
在磁场Ⅰ中的运动周期为
由几何关系可得，电子在磁场Ⅰ中运动的圆心角为
在磁场Ⅰ中的运动时间为
联立解得
从Q 点出来的动能为
（2）在磁场Ⅰ中的做匀速圆周运动的最大半径为
，此时圆周的轨迹与Ⅰ边界相切，由几何关系可得
解得
由于
联立解得
22．（2021·全国·高考真题）如图，长度均为l 的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P 和
M 处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间
有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自电场中某
处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P 点处射入磁场，从两挡板下边缘Q 和N 之间射出磁场，运动
过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ 的夹角为60°，不计重力。
45
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（1）求粒子发射位置到P 点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从QN 的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN 的最近距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）粒子运动轨迹见解析，
【详解】（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知
①
②
粒子射入磁场时的速度方向与PQ 的夹角为60°，有
③
粒子发射位置到P 点的距离
④
由①②③④式得
⑤
（2）带电粒子在磁场运动在速度
⑥
带电粒子在磁场中运动两个临界轨迹（分别从Q、N 点射出）如图所示
由几何关系可知，最小半径
⑦
46
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最大半径
⑧
带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式可知
⑨
由⑥⑦⑧⑨解得，磁感应强度大小的取值范围
（3）若粒子正好从QN 的中点射出磁场时，带电粒子运动轨迹如图所示。
由几何关系可知
⑩
带电粒子的运动半径为
⑪
粒子在磁场中的轨迹与挡板MN 的最近距离
⑫
由⑩⑪⑫式解得
⑬
23．（2021·河北·高考真题）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应
强度大小为B 的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上O 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为
、
带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，一足够长的挡板
与正极板成
倾斜放置，用于
吸收打在其上的粒子，C、P 是负极板上的两点，C 点位于O 点的正上方，P 点处放置一粒子靶（忽略靶的
大小），用于接收从上方打入的粒子，
长度为
，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒
子所受重力。
。
47
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（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P 点处的粒子靶上，求可调电源电压
的大小；
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板
上，求电压的最小值
；
（3）若粒子靶在负极板上的位置P 点左右可调，则负极板上存在H、S 两点（
，H、S 两点
未在图中标出）、对于粒子靶在
区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接
收到n（
）种能量的粒子，求
和
的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；
【详解】（1）从O 点射出的粒子在板间被加速，则
粒子在磁场中做圆周运动，则半径
由
解得
（2）当电压有最小值时，当粒子穿过下面的正极板后，圆轨道与挡板OM 相切，此时粒子恰好不能打到
挡板上，则
48
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从O 点射出的粒子在板间被加速，则
粒子在负极板上方的磁场中做圆周运动
粒子从负极板传到正极板时速度仍减小到v0，则
由几何关系可知
联立解得
（3）结合（2）分析可知，当粒子经上方磁场再进入下方磁场时，轨迹与挡板相切时，粒子运动轨迹半径
分别为r2、r3，则
①当粒子在下方区域磁场的运动轨迹正好与OM 相切，再进入上方磁场区域做圆周运动，轨迹与负极板的
交点记为H2，当增大两极板的电压，粒子在上方磁场中恰好运动到H2点时，粒子靶恰好能够接收2 种能量
的粒子，此时H2点为距C 点最近的位置，是接收2 种能量的粒子的起点，运动轨迹如图所示
由几何关系可得
②同理可知当粒子靶接收3 种能量的粒子的运动轨迹如图所示
49
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第③个粒子经过下方磁场时轨迹与MN 相切，记该粒子经过H2后再次进入上方磁场区域运动时轨迹与负极
板的交点为H3 (S2) ，则该点为接收两种粒子的终点，同时也是接收3 种粒子的起点。由几何关系可得
可知，粒子靶接收n 种、n+1 种粒子的起点（即粒子靶接收n 种粒子的起点与终点）始终相距
当粒子靶接收n 种能量的粒子时，可得
24．（2020·山东·高考真题）某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N 为竖直放置的两金属板，两板间
电压为U，Q 板为记录板，分界面P 将N、Q 间区域分为宽度均为d 的I、Ⅱ两部分，M、N、P、Q 所在平
面相互平行，a、b 为M、N 上两正对的小孔。以a、b 所在直线为z 轴，向右为正方向，取z 轴与Q 板的交
点O 为坐标原点，以平行于Q 板水平向里为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向，建立空间直角坐标系
Oxyz。区域I、Ⅱ内分别充满沿x 轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为
B 和E。一质量为m，电荷量为+q 的粒子，从a 孔飘入电场（初速度视为零），经b 孔进入磁场，过P 面
上的c 点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板Q 上。不计粒子重力。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径R 以及c 点到z 轴的距离L；
（2）求粒子打到记录板上位置的x 坐标；
（3）求粒子打到记录板上位置的y 坐标（用R、d 表示）；
（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点s1、s2、s3，若这三个点是质子
、氚核
、氦核
的位置，
请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）。
50
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
；（4）s1、s2、s3分别对应氚核
、氦核
、质子
的位置
【详解】（1）设粒子经加速电场到b 孔的速度大小为v，粒子在区域I 中，做匀速圆周运动对应圆心角为
α，在M、N 两金属板间，由动能定理得
在区域I 中，粒子做匀速圆周运动，磁场力提供向心力，由牛顿第二定律得
联立解得
根据题意，画出运动轨迹如图所示
由几何关系得
，
，
联立解得
（2）设区域Ⅱ中粒子沿z 轴方向的分速度为
，沿x 轴正方向加速度大小为a，位移大小为x，运动时间
为t，由牛顿第二定律得
粒子在z 轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得
，
粒子在x 方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得
联立解得
51
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（3）设粒子沿y 方向偏离z 轴的距离为y，其中在区域Ⅱ中沿y 方向偏离的距离为y'，由运动学公式得
由题意得
联立解得
（4）s1、s2、s3分别对应氚核
、氦核
、质子
的位置。
25．（2019·全国·高考真题）如图，在直角三角形OPN 区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向
垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U 加速后，沿平行于x 轴的方向射入磁场；一段时间
后，该粒子在OP 边上某点以垂直于x 轴的方向射出．已知O 点为坐标原点，N 点在y 轴上，OP 与x 轴的
夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x 轴的时间．
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）粒子从静止被加速的过程，根据动能定理得：
，解得：
根据题意，下图为粒子的运动轨迹，由几何关系可知，该粒子在磁场中运动的轨迹半径为：
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：
52
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联立方程得：
（2）根据题意，粒子在磁场中运动的轨迹为四分之一圆周，长度
粒子射出磁场后到运动至
轴，运动的轨迹长度
粒子从射入磁场到运动至
轴过程中，一直匀速率运动，则
解得：
或
26．（2018·全国·高考真题）一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy 平面内的截面如
图所示：中间是磁场区域，其边界与y 轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy 平面；
磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l´，电场强度的大小均为E，方向均沿x 轴正方向；M、N 为条状
区域边界上的两点，它们的连线与y 轴平行，一带正电的粒子以某一速度从M 点沿y 轴正方向射入电场，
经过一段时间后恰好以从M 点入射的速度从N 点沿y 轴正方向射出，不计重力。
（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；
（2）求该粒子从M 点入射时速度的大小；
（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x 轴正方向的夹角为
，求该粒子的比荷及其从M 点运动到
N 点的时间。
【答案】（1）轨迹如图所示：
53
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（2）
（3）
；
【详解】（1）粒子运动的轨迹如图所示。（粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对
称）
（2）粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动。设粒子从M 点射入时速度的大小为v0，在下侧电
场中运动的时间为t，加速度的大小为a；粒子进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为
如图
所示，速度沿电场方向的分量为v1，根据牛顿第二定律有
式中q 和m 分别为粒子的电荷量和质量，由运动学公式有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
由几何关系得
联立以上公式可得
54
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（3）由运动学公式和题给数据得
联立得
设粒子由M 点运动到N 点所用的时间为
，则
式中T 是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
则从M 点运动到N 点的时间
【点睛】在复合场中的运动要分阶段处理，每一个运动建立合理的公式即可求出待求的物理量。
27．（2019·浙江·高考真题）有一种质谱仪由静电分析器和磁分析器组成，其简化原理如图所示．左侧静
电分析器中有方向指向圆心O、与O 点等距离各点的场强大小相同的径向电场，右侧的磁分析器中分布着
方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行，两者间距近似为零．离子源发出
两种速度均为v0、电荷量均为q、质量分别为m 和0.5m 的正离子束，从M 点垂直该点电场方向进入静电分
析器．在静电分析器中，质量为m 的离子沿半径为r0的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，从N 点水平射
出，而质量为0.5m 的离子恰好从ON 连线的中点P 与水平方向成θ 角射出，从静电分析器射出的这两束离
子垂直磁场方向射入磁分析器中，最后打在放置于磁分析器左边界的探测板上，其中质量为m 的离子打在
O 点正下方的Q 点．已知OP=0.5r0，OQ=r0，N、P 两点间的电势差
，
，不计重力和
离子间相互作用。
（1）求静电分析器中半径为r0处的电场强度E0和磁分析器中的磁感应强度B 的大小；
（2）求质量为0.5m 的离子到达探测板上的位置与O 点的距离l（用r0表示）；
（3）若磁感应强度在（B—△B）到（B＋△B）之间波动，要在探测板上完全分辨出质量为m 和0.5m 的两
束离子，求
的最大值。
55
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）0.12
【详解】（1）在静电分析器中，电场力提供向心力，有
解得
离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
解得
（2）对离子，由动能定理
解得
离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有
解得
距离
解得
（3）恰好能分辨的条件
56
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解得
28．（2015·重庆·高考真题）下图为某种离子加速器的设计方案.两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸
面向外的匀强磁场.其中
和
是间距为
的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔
和
，
，P 为靶点，
（
为大于1 的整数）。极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间
电压为
。质量为
、带电量为
的正离子从
点由静止开始加速，经
进入磁场区域.当离子打到极板
上
区域（含
点）或外壳上时将会被吸收。两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过。
忽略相对论效应和离子所受的重力。求：
（1）离子经过电场仅加速一次后能打到P 点所需的磁感应强度大小；
（2）能使离子打到P 点的磁感应强度的所有可能值；
（3）打到P 点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。
【答案】（1）
（2）
，
（3）
，
【分析】带电粒子在电场和磁场中的运动、牛顿第二定律、运动学公式。
【详解】（1）离子经电场加速，由动能定理：
可得
磁场中做匀速圆周运动：
刚好打在P 点，轨迹为半圆，由几何关系可知：
57
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联立解得
；
（2）若磁感应强度较大，设离子经过一次加速后若速度较小，圆周运动半径较小，不能直接打在P 点，
而做圆周运动到达
右端，再匀速直线到下端磁场，将重新回到O 点重新加速，直到打在P 点。设共加
速了n 次，有：
且：
解得：
，
要求离子第一次加速后不能打在板上，有
且：
解得：
，
故加速次数n 为正整数最大取
即：
；
（3）加速次数最多的离子速度最大，取
，离子在磁场中做n-1 个完整的匀速圆周运动和半个圆周
打到P 点。
由匀速圆周运动：
电场中一共加速n 次，可等效成连续的匀加速直线运动.由运动学公式
58
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可得：
29．（2019·浙江·高考真题）小明受回旋加速器的启发，设计了如图1 所示的“回旋变速装置”．两相距
为d 的平行金属栅极板M、N，板M 位于x 轴上，板N 在它的正下方．两板间加上如图2 所示的幅值为U0
的交变电压，周期
．板M 上方和板N 下方有磁感应强度大小均为B、方向相反的匀强磁场．粒子
探测器位于y 轴处，仅能探测到垂直射入的带电粒子．有一沿x 轴可移动、粒子出射初动能可调节的粒子
发射源，沿y 轴正方向射出质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子．t=0 时刻，发射源在（x，0）位置发射
一带电粒子．忽略粒子的重力和其它阻力，粒子在电场中运动的时间不计．
（1）若粒子只经磁场偏转并在y=y0处被探测到，求发射源的位置和粒子的初动能；
（2）若粒子两次进出电场区域后被探测到，求粒子发射源的位置x 与被探测到的位置y 之间的关系
【答案】（1）
，
（2）见解析
【详解】（1）发射源的位置
，
粒子的初动能：
；
（2）分下面三种情况讨论：
（i）如图1，
由
，
和
，
，
及
，
59
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得
；
（ii）如图2，
由
，
和
，
及
，
得
；
（iii）如图3，
由
，
和
，
及
，
得
；
30．（2018·天津·高考真题）如图所示，在水平线ab 下方有一匀强电场，电场强度为E，方向竖直向下，
ab 的上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，磁场中有一内、外半径分别为R、
的
半圆环形区域，外圆与ab 的交点分别为M、N．一质量为m、电荷量为q 的带负电粒子在电场中P 点静止
释放，由M 进入磁场，从N 射出，不计粒子重力．
60
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（1）求粒子从P 到M 所用的时间t；
（2）若粒子从与P 同一水平线上的Q 点水平射出，同样能由M 进入磁场，从N 射出，粒子从M 到N 的过
程中，始终在环形区域中运动，且所用的时间最少，求粒子在Q 时速度
的大小．
【答案】（1）
（2）
【详解】试题分析：粒子在磁场中以洛伦兹力为向心力做圆周运动，在电场中做初速度为零的匀加速直线
运动，据此分析运动时间；粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，当轨迹与内圆相切时，所有的时间最短，
粒子从Q 射出后在电场中做类平抛运动，在电场方向上的分运动和从P 释放后的运动情况相同，所以粒子
进入磁场时沿竖直方向的速度同样为v，结合几何知识求解．
（1）设粒子在磁场中运动的速度大小为v，所受洛伦兹力提供向心力，有
①
设粒子在电场中运动所受电场力为F，有F=qE②；
设粒子在电场中运动的加速度为a，根据牛顿第二定律有F=ma③；
粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，有v=at④；联立①②③④式得
⑤；
（2）粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，其周期与速度、半径无关，运动时间只由粒子所通过的圆弧
所对的圆心角的大小决定，故当轨迹与内圆相切时，所有的时间最短，设粒子在磁场中的轨迹半径为
，
由几何关系可得
⑥
设粒子进入磁场时速度方向与ab 的夹角为θ，即圆弧所对圆心角的一半，由几何关系知
⑦；
粒子从Q 射出后在电场中做类平抛运动，在电场方向上的分运动和从P 释放后的运动情况相同，所以粒子
进入磁场时沿竖直方向的速度同样为v，在垂直于电场方向的分速度等于为
，由运动的合成和分解可得
⑧
联立①⑥⑦⑧式得
⑨．
61
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【点睛】带电粒子在组合场中的运动问题，首先要运用动力学方法分析清楚粒子的运动情况，再选择合适
方法处理．对于匀变速曲线运动，常常运用运动的分解法，将其分解为两个直线的合成，由牛顿第二定律
和运动学公式结合求解；对于磁场中圆周运动，要正确画出轨迹，由几何知识求解半径．
31．（2018·全国·高考真题）如图，在y>0 的区域存在方向沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在
y<0 的区域存在方向垂直于xOy 平面向外的匀强磁场．一个氕核
1
1H 和一个氘核
2
1H 先后从y 轴上y=h 点以
相同的动能射出，速度方向沿x 轴正方向．已知1
1H 进入磁场时，速度方向与x 轴正方向的夹角为60°，并
从坐标原点O 处第一次射出磁场．1
1H 的质量为m，电荷量为q 不计重力．求
（1）1
1H 第一次进入磁场的位置到原点O 的距离
（2）磁场的磁感应强度大小
（3）1
2H 第一次离开磁场的位置到原点O 的距离
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】本题考查带电粒子在电场中的类平抛运动、在匀强磁场中的匀速圆周运动及其相关的知识点，意
在考查考生灵活运用相关知识解决问题的的能力．
【详解】（1）
在电场中做类平抛运动，在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示．设
在电场中的加
速度大小为
，初速度大小为
，它在电场中的运动时间为
，第一次进入磁场的位置到原点Ｏ的距离为
．由运动学公式有
①
②
由题给条件，
进入磁场时速度的方向与x 轴正方向夹角
．
进入磁场时速度的y 分量的大
小为
③
联立以上各式得
62
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④
（2）
在电场中运动时，由牛顿第二定律有
⑤
设
进入磁场时速度的大小为
，由速度合成法则有
⑥
设磁感应强度大小为B，
在磁场中运动的圆轨道半径为
，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
⑦
由几何关系得
⑧
联立以上各式得
⑨
（3）设
在电场中沿x 轴正方向射出的速度大小为
，在电场中的加速度大小为
，由题给条件得
⑩
由牛顿第二定律有
⑪
设
第一次射入磁场时的速度大小为
，速度的方向与x 轴正方向夹角为
，入射点到原点的距离为
，在电场中运动的时间为
．由运动学公式有
⑫
⑬
⑭
⑮
联立以上各式得
，
，
⑯
设
在磁场中做圆周运动的半径为
，由⑦⑯式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得
63
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⑰
所以出射点在原点左侧．设
进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为
，由几何关系有
⑱
联立④⑧⑯⑰⑱式得，
第一次离开磁场时的位置到原点O 的距离为
⑲
【点睛】此题与2004 年全国理综卷第25 题情景类似，都是带电粒子在匀强电场中类平抛运动后进入匀强
磁场中做匀速圆周运动，且都是在第一象限和第二象限设置了竖直向下的匀强电场，在第三象限和第四象
限设置了方向垂直纸面向外的匀强磁场，解答需要的知识都是带电粒子在匀强电场中的类平抛运动规律和
洛伦兹力等于向心力、几何关系等知识点．带电粒子在匀强电场中的类平抛运动和在匀强磁场中的匀速圆
周运动是教材例题和练习中的常见试题，此题可认为是由两个课本例题或习题组合而成．
32．（2017·浙江·高考真题）如图所示，在x 轴的上方存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为B0的匀强磁
场。位于x 轴下方的离子源C 发射质量为m、电荷量为q 的一束负离子，其初速度大小范围
，这束
离子经电势差
的电场加速后，从小孔O（坐标原点）垂直x 轴并垂直磁场射入磁场区域，最后打
到x 轴上。在x 轴上2a~3a 区间水平固定放置一探测板（
），假设每秒射入磁场的离子总数为N0，
打到x 轴上的离子数均匀分布（离子重力不计）。
（1）求离子束从小孔O 射入磁场后打到x 轴的区间；
（2）调整磁感应强度的大小，可使速度最大的离子恰好打在探测板右端，求此时的磁感应强度大小B1；
（3）保持磁感应强度B1不变，求每秒打在探测板上的离子数N；若打在板上的离子80%被吸收，20%被反
向弹回，弹回速度大小为打板前速度大小的0.6 倍，被吸收和被弹回的离子数在探测板上沿x 轴均匀分布，
求探测板受到的作用力大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】（1）初速度不同的粒子被同一加速电场加速后，进入磁场的速度也不同，做匀速圆周运动的半
径不同，转半圈后打在x 轴上的位置不同。分别求出最大和最小速度，从而求出最大半径和最小半径，也
就知道打在x 轴上的区间；
（2）打在探测板最右端的粒子其做匀速圆周运动的半径为1.5a，由半径公式也就能求出磁感应强度；
（3）取时间t=1s，分两部分据动量定理求作用力。两者之和就是探测板受到的作用力。
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【详解】（1）对于初速度为0 的离子，根据动能定理
qU = 1
2 mv1❑
2
解得
在磁场中洛伦兹力提供向心力
，所以此情况下离子在磁场中运动轨迹的半径
恰好打在x＝2a 的位置；
对于初速度为
的离子，根据动能定理
解得
在磁场中洛仑兹力提供向心力
，所以此情况下离子在磁场中运动轨迹的半径
恰好打在x＝4a 的位置。
故离子束从小孔O 射入磁场打在x 轴上的区间为[2a，4a]
（2）由（1）问计算可知，速度最大的离子以
进入磁场，离子恰好打在探测板右端，则离子在磁场
中运动轨迹的半径
在磁场中
计算可得
（3）对初速度为0 的离子，经过电场加速后，以速度
进入磁场，在磁场中有
解得
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则在磁感应强度为B1时，离子打在x 轴上的区间为[1.5a，3a]，则每秒打在探测板上的离子数为
对打探测板最左端（x＝2a）的离子，轨道半径为a，则离子在磁场中
计算可得
打到x 轴上的离子均匀分布，所以打在探测板上的离子的平均速度为
被吸收和被弹回的离子数在探测板上沿x 轴均匀分布，由动量定理可得
解得单位时间内探测板受到的作用力
33．（2017·天津·高考真题）平面直角坐标系xOy 中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象
限存在沿y 轴负方向的匀强电场，如图所示．一带负电的粒子从电场中的Q 点以速度v0沿x 轴正方向开始
运动，Q 点到y 轴的距离为到x 轴距离的2 倍．粒子从坐标原点O 离开电场进入磁场，最终从x 轴上的P
点射出磁场，P 点到y 轴距离与Q 点到y 轴距离相等．不计粒子重力，问：
(1)粒子到达O 点时速度的大小和方向；
(2)电场强度和磁感应强度的大小之比．
【答案】(1)
,与x 轴正方向成45°角斜向上 (2)
【详解】(1)粒子运动轨迹如图：
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粒子在电场中由Q 到O 做类平抛运动，设O 点速度v 与x 方向夹角为
，Q 点到x 轴的距离为L，到y 轴的
距离为2L，粒子的加速度为a，运动时间为t，根据平抛运动的规律有：
x 方向：
y 方向：
粒子到达O 点时沿y 轴方向的分速度：
，
又
，
解得
，即
，
粒子到达O 点时的夹角为450解斜向上，粒子到达O 点时的速度大小为
；
(2)设电场强度为E，粒子电荷量为q，质量为m，粒子在电场中受到的电场力为F，粒子在电场中运动的加
速度：
，
设磁感应强度大小为B，粒子做匀速圆周运动的半径为R，洛伦兹力提供向心力，有：
，
根据几何关系可知：
解得：
34．（2016·四川·高考真题）如图所示，图面内有竖直线DD′，过DD′且垂直于图面的平面将空间分成Ⅰ、
Ⅱ两区域．区域Ⅰ有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于图面的匀强磁场B（图中未画出）；区域Ⅱ有
固定在水平地面上高h＝2l、倾角α＝
的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线DD′距离s＝4l，区域Ⅱ可加竖
直方向的大小不同的匀强电场(图中未画出)；C 点在DD′上，距地面高H＝3l．零时刻，质量为m、带电荷
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量为q 的小球P 在K 点具有大小
、方向与水平面夹角θ＝
的速度，在区域Ⅰ内做半径
的
匀速圆周运动，经C 点水平进入区域Ⅱ．某时刻，不带电的绝缘小球A 由斜面顶端静止释放，在某处与刚
运动到斜面的小球P 相遇．小球视为质点，不计空气阻力及小球P 所带电量对空间电磁场的影响．l 已知，
g 为重力加速度．
(1)求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(2)若小球A、P 在斜面底端相遇，求释放小球A 的时刻tA；
(3)若小球A、P 在时刻t＝β
(β 为常数)相遇于斜面某处，求此情况下区域Ⅱ的匀强电场的场强E，并讨
论场强E 的极大值和极小值及相应的方向．
【答案】（1）
（2）
（3）0，
竖直向上
【详解】试题分析：（1）由题知，小球P 在区域Ⅰ内做匀速圆周运动，有
①
代入数据解得
②
（2）小球P 在区域Ⅰ做匀速圆周运动转过的圆心角为θ，运动到C 点的时刻为tC，到达斜面低端时刻为
t1，有
③
④
小球A 释放后沿斜面运动加速度为aA，与小球P 在时刻t1相遇于斜面底端，有
⑤
⑥
联立以上方程可得
⑦
（3）设所求电场方向向下，在t'A时刻释放小球A，小球P 在区域Ⅱ运动加速度为aP，有
⑧
⑨
⑩
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联立相关方程解得
对小球P 的所有运动情形讨论可得
由此可得场强极小值为
；场强极大值为
，方向竖直向上．
考点：平抛运动；圆周运动；牛顿第二定律的应用
【名师点睛】此题是力、电、磁及运动大拼盘，综合考查带电粒子在磁场中及电场中的运动—圆周运动以
及平抛运动和下斜面上的匀加速运动等问题；解题时要能把这些复杂的物理过程分解为一个一个的小过程，
然后各个击破；此题是有一定难度的；考查学生综合分析问题，解决问题的能力．
35．（2015·山东·高考真题）如图所示，直径分别为D 和2D 的同心圆处于同一竖直面内，O 为圆心，GH
为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅱ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距
为d 的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔。一质量为m、电量为＋q 的粒子由小孔下方
处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v 射出电场，由H 点紧靠大圆内侧射入磁场。不计粒子的重
力。
（1）求极板间电场强度的大小；
（2）若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；
（3）若Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小分别为
、
，粒子运动一段时间后再次经过H 点，求这段时
间粒子运动的路程。
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）5.5πD
【详解】（1）设极板间电场强度大小为E，对粒子在电场中的加速运动，由动能定理可得
解得
（2）设I 区内磁感应强大小为B，粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得
如图甲所示
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粒子的运动轨迹与小圆相切有两种情况，若粒子轨迹与小圆外切，由几何关系可得
解得
若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得
解得
（3）设粒子在I 区和II 区做圆周运动的半径分别为R1、R2，由题意可知，I 区和II 内的磁感应强度大小分别
为
，
由牛顿第二定律可得
，
代入解得
，
设粒子在I 区和II 区做圆周运动的周期分别为T1、T2，由运动学公式得
，
由题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔的运动轨迹如图所示
由对称性可知，I 区两段圆弧所对圆心角相同，设为
，II 区内所对圆心角设为
，圆弧和大圆的两个切点
与圆心O 连线间的夹角为
，由几何关系可得
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在区域II 中恰好经过了半个圆周，故
粒子重复上述交替运动到H 点，设粒子I 区和II 区做圆周运动的时间分别为t1、t2，可得
，
设粒子运动的路程为s，由运动学公式可得
解得
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