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第20 讲 共线向量问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共18 小题）
1．已知直线
，椭圆
．
（Ⅰ）若不论
取何值，直线与椭圆
恒有公共点，试求出
的取值范围及椭圆离心率
关于
的函数关系式；
（Ⅱ）当
时，直线
与椭圆
相交于
，
两点，与
轴交于点
．若
，求椭圆
的方程．
【解答】解：（Ⅰ）
直线恒过定点
，且直线与椭圆
恒有公共点，
点
在椭圆
上或其内部，得
，
解得
，且
．（3 分）
（联立方程组，用判别式法也可）
当
时，椭圆的焦点在
轴上，
；
当
时，椭圆的焦点在
轴上，
．
（6 分）
（Ⅱ）由
，消去
得
．
设
，
，
，
，则
①，
②．
，
由
得
③．（9 分）
由①③得
④．
将③④代入②得，
，解得
不合题意，舍去）．
椭圆
的方程为
．（12 分）
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2．已知直线
与椭圆
相交于
，
两个不同的点，记直
线与
轴的交点为
．
（Ⅰ）若
，且
，求实数
的值；
（Ⅱ）若
，求
的值，及
的面积．
【解答】解：设
，
，
，
联立
得：
因此，
，
（6 分）
，可得：
，
直线
与
轴的交点为
，
，
，
，
，
（9 分）
由
得：
，代入
，
得：
消去
得：
（12 分）
（15 分）
3．已知直线
与椭圆
相交于
、
两个不同的点，记与
轴
的交点为
．
（Ⅰ）若
，且
，求实数
的值；
（Ⅱ）若
，求
面积的最大值，及此时椭圆的方程．
【解答】解：设
，
，
，
，
（Ⅰ）由
得
，
则
，
，
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则
，解得
．
（Ⅱ）由
，得
，
则
，
，
由
得
，
，
，
解得
，代入上式得：
，则
，
，
当且仅当
时取等号，此时
，
，
又
，
则
，解得
．
所以，
面积的最大值为
，此时椭圆的方程为
．
4．在平面直角坐标系中，已知
，若实数
使得
为坐标原点）
（1）求
点的轨迹方程，并讨论
点的轨迹类型；
（2）当
时，若过点
的直线与（1）中
点的轨迹交于不同的两点
，
在
，
之间），试求
与
面积之比的取值范围．
【解答】解：（1）
化简得：
①
时方程为
轨迹为一条直线
②
时方程为
轨迹为圆
③
，
，
时方程为
轨迹为椭圆
④．
，
，
时方程为
轨迹为双曲线
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（2）
，
点轨迹方程为
，
设直线
直线方程为
，联立方程可得：
．
△
，
．
，
，
，
由题意可知：
，所以
．
5．如图，动点
到两定点
、
构成
，且
，设动点
的轨迹为
．
（Ⅰ）求轨迹
的方程；
（Ⅱ）设直线
与
轴交于点
，与轨迹
相交于点
、
，且
，求
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设
的坐标为
，显然有
，且
当
时，点
的坐标为
当
时，
，由
有
，
即
，
化简可得
而点
在曲线
上
综上可知，轨迹
的方程为
；
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（Ⅱ）直线
与
联立，消元可得
①
①有两根且均在
内
设
，
，
，
设
，
的坐标分别为
，
，
，
，
，
，
，
，且
，且
，且
的取值范围是
，
，
6．如图，动点
与两定点
、
构成
，且直线
、
的斜率之积为
4，设动点
的轨迹为
．
（Ⅰ）求轨迹
的方程；
（Ⅱ）设直线
与
轴交于点
，与轨迹
相交于点
、
，且
，
求
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设
，
则
，
直线
、
的斜率之积为
4，
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又
时，必有一个斜率不存
在，故
综上点
的轨迹方程为
（
Ⅱ
）
直
线
与
联立，消
元可得
①
△
当1 或
是方程①的根时，
的
值为1 或
，结合题设
可
知，
且
设
，
的坐标分别为
，
，
，
，
，
，
，
且
，且
，
且
的取值范围是
，
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，
7．在平面直角坐标系
中，已知
的两个顶点
，
的坐标分别为
，
，
且
，
所在直线的斜率之积等于
，记顶点
的轨迹为曲线
．
（Ⅰ）求曲线
的方程；
（Ⅱ）设直线
与
轴相交于点
，与曲线
相交于不同的两点
，
（点
在点
和点
之间），且
，求实数
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设点
，
的两个顶点
，
的坐标分别为
，
，
且
，
所在直线的斜率之积等于
，
，
化简得曲线
的方程为：
；
（Ⅱ）设直线
与
轴相交于点
，
与曲线
相交于不同的两点
，
（点
在点
和点
之间），设
，
，
，
；
，
①
△
，
又
，
②
，
，且
，
③
由①②得
，
结合②得
实数
的取值范围．
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且
．
点
在点
和点
之间，
综上，实数
的取值范围：
8．已知抛物线
经过点
，过点
的直线与抛物线
有两个不同的交
点
，
，且直线
交
轴于
，直线
交
轴于
．
（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设
为原点，
，
，求证：
为定值．
【解答】解：（Ⅰ）
抛物线
经过点
，
，解得
，
设过点
的直线方程为
，
，
，
，
联立方程组可得
，消
可得
，
△
，且
解得
，
且
，
，
，
又
、
要与
轴相交，
直线不能经过点
，即
，
故直线的斜率的取值范围
，
，
，
；
（Ⅱ）证明：设点
，
，
则
，
因为
，所以
，故
，同理
，
直线
的方程为
，
令
，得
，同理可得
，
因为
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，
，
为定值．
9．如图，已知抛物线
经过点
，过点
的直线与抛物线
有两个不
同的交点
，
．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设
为原点，直线
交
轴于
，直线
交
轴于
．
，
，
求证：
为定值．
【解答】解：（1）抛物线
经过点
，
，解得
，
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设过点
的直线方程为
，
，
，
，
；
联立方程组可得
，
消
可得
，
△
，且
解得
，
故直线的斜率的取值范围
，
，
；
（2）证明：设点
，
，
则
，
；
因为
，所以
，故
，同理
，
直线
的方程为
，
令
，得
，同理可得
，
因为
，
即有
为定值．
10．已知点
在抛物线
上，过点
的直线与抛物线
有两个不同的
交点
、
，且直线
交
轴于
，直线
交
轴于
．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设
为原点，
，
，试判断
是否为定值，若是，求
值；若不是，求
的取值范围．
【解答】解：（1）因点
在抛物线
上，则
，解得
，
所以抛物线
的方程为
．
令直线的斜率为
，则直线方程为：
，
由
，消去
并整理得，
，
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直线与抛物线
有两个不同的交点
、
，则
，解得
且
，
又直线
，
与
相交，而点
在抛物线
上，则直线不能过点
，
否则
或
之一平行于
轴，矛盾，因此
，
综上得：
，
且
，
所以直线的斜率的取值范围
，
，
，
．
（2）设点
，
，
，
，
而
，则
，同理
，
设
，
，
，
，
由
，知
，
直线
方程：
，即
，则
，
令
，得
，同理
，
于是得
，
所以
为定值2．
11．已知
，直线
，动圆
与
相外切，且与直线相切．
设动圆圆心
的轨迹为
，过点
的直线与曲线
有两个不同的交点
、
．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设
为原点，点
，直线
交
轴于
，直线
交
轴于
，
，
，求证：
为定值．
【解答】解：（1）由题意设
，且
，由题意可得
，
整理可得：
；
所以曲线
的方程为：
；
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由题意可得直线
的斜率存在且不为0，设直线
的方程为：
，设
，
，
，
联立直线与抛物线的方程：
，整理可得：
，
可得△
，解得
，且
，
所以直线的斜率的取值范围
，
，
．
（2）证明：由（1）可得：
，
，
直线
的方程为：
，令
可得
，可得
，
同理可得
的坐标
，
由
，
，可得
，
，
所
以
，
所以
为定值2．
12．如图所示，在平面直角坐标系
中，设椭圆
，其中
，
过椭圆
内一点
的两条直线分别与椭圆交于点
，
和
，
，且满足
，
，其中
为正常数．当点
恰为椭圆的右顶点时，对应的
．
（1）求椭圆
的离心率；
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（2）求
与
的值；
（3）当
变化时，
是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【解答】（本小题满分16 分）
解：（1）因为
，
所以
，整理得
，即
，
所以离心率
．
（4 分）
（2）因为
，
，
所以由
，得
，
（7 分）
将它代入到椭圆方程中，
得
，解得
，
所以
．
（10 分）
（3）解法一：设
，
，
，
，
，
，
，
，
由
，得
，
（12 分）
又椭圆的方程为
，
所以由
，
得
①，且
②，
由②得，
，
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即
，
结合①，得
，
（14 分）
同理，有
，
所以
，
从而
，即
为定值．
（16 分）
（3）解法二：设
，
，
，
，
，
，
，
，
由
，得
，
同理
，
（12 分）
将
，
坐标代入椭圆方程得
，
两式相减得
，
即
，
（14 分）
同理，
，
而
，所以
，
所以
，
所以
，
即
，所以
为定值．
（16 分）
13．已知椭圆
的离心率为
，右焦点为
，过
作
轴的垂线交
双曲线
的两条渐近线于
，
，得到三角形
的面积为1．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设
，
，
的三个点都在椭圆
上，设
的中点为
，且
，试判断
的面积是否为定值，并说明理由．
【解答】解：（1）因为椭圆
的离心率为
，
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所以
，其中
，
双曲线
的两条渐近线的方程为
，
设
，则
，
因为三角形
的面积为1，所以
，所以
，
，
，
所以椭圆
的方程为
；
（2）①当直线
的斜率不存在时，
因为
，
所以
，此时
的方程为
；
或
，此时
的方程为
．
将
，代入椭圆方程
得，
，
，
所以
的面积为
．
由椭圆轴对称性得：当
的方程为
时，
的面积也为
；
②当直线
的斜率存在时，
设直线
方程为
，
设
，
，
，
，
，
，
因为
的中点为
，且
，所以
的重心是坐标原点
，
所以
，
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联立
和
，
得
，△
，
当△
时，
，
，
所以
，
，
故
，
因为点
在椭圆上，所以代入椭圆整理得
，满足△
，
因而
与
满足的等式关系为
①
当△
时，
，
因为
的重心是坐标原点
，所以
的面积为
的面积的3 倍，
设直线与
轴交于点
，则
．
那么
的面积为：
，
关系式（1）代入得
，
综合①②得，
的面积为定值
．
14．双曲线
，已知
，
是双曲线
上一点，
、
分别是双曲线
的左右顶点，直线
，
的斜率之积为1．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）若双曲线
的焦距为
，直线过点
且与双曲线
交于
、
两点，若
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，求直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）
，
是双曲线
上一点，
可得
，即为
，
由题意可得
，
，
，
可得
，即有
；
（Ⅱ）由题意可得
，
，
双曲线的方程为
，
设直线的方程为
，
，联立双曲线的方程，
可得
，
设
，
，
，
，
则
，
，①
又
，可得
，②
由①②可得
，
，
代入①可得
，解得
，
则直线的方程为
．
15．已知圆
，过点
的直线交圆
所得的弦长为
，且与
轴的交点
为双曲线
的右焦点
，
，双曲线
的离心率为
．
（1）求双曲线
的方程；
（2）过点
，
作动直线交双曲线右支于
、
两点，点
异于
，
，且在线段
上运动，并满足关系
，试证明点
恒在一条直线上．
【解答】解：（1）设过点
的直线为
，
即为
，
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圆心
到直线的距离为
，
由弦长公式可得
，
解得
，
由
，解得
或
．
则直线为
，令
，则
舍去，
或直线
，令
，则
成立，
即有
，
由离心率为
．即
．解得
，
．
则双曲线
的方程为
；
设过点
，
作动直线交双曲线右支于
，
、
，
两点，
点
，
则
，
，
，
设
，则
，
，
则
，
，
，
，
则
，
，
即
，
，
则
，
即
，
即
，
故
，
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故点
恒在一条直线上
．
16．点
在以
，
为焦点的双曲线
上，已知
，
，
为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）过点
作直线分别与双曲线渐近线相交于
，
两点，且
，
，求双曲线
的方程；
（Ⅲ）若过点
，
为非零常数）的直线与（2）中双曲线
相交于不同于双曲线
顶点的两点
、
，且
为非零常数），问在
轴上是否存在定点
，使
？若存在，求出所有这种定点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
，
，
，
渐近线为
设
，
，
，
，
，
，
代入
化简
，
假设在
轴上存在定点
使
，
设
，
，
，
，
联立与
的方程得
故
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（3）
由
（4）
（3）即为
（5），将（4）代入（1）（2）
有
代入（5）得
故在
轴上存在定点
使
．
17．设直线
，双曲线
，双曲线的离心率为
，与
交于
，
两点，直线与
轴交于点
，且
．
（1）证明：
；
（2）求双曲线
的方程；
（3）若点
是双曲线
的右焦点，
，
是双曲线上两点，且
，求实数
的
取值范围．
【解答】（1）
双曲线的离心率为
，
，从而
．
双曲线的方程可化为
．
设
，
，
，
由
得：
则有
，
从而
，
，
则
，即
；
（2）
，
，
，
，
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由
得
由
得
则
故双曲线的方程为
；
（3）易知
，设
，
，
，
．
由
得：
设直线
的方程为
．
由
得：
则
，
消去
，
得：
，
，
解得
或
当
时，可求出
．
当直线
与
轴重合时，
可求出
或
故
的取值范围是
．
18．
，
是双曲线
上一点，
，
分别是双
曲线
的左右顶点，直线
，
的斜率之积为
．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线
的右焦点且斜率为1 的直线交双曲线于
，
两点，
为坐标原
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点，
为双曲线上一点，满足
，求
的值．
【解答】解：（1）
，
是双曲线
上一点，
，①
由题意又有
，②
联立①、②可得
，
，
则
，
（2）联立
，得
，
设
，
，
，
，
则
，
，
设
，
，
，
即
又
为双曲线上一点，即
，
有
，
化简得：
，
又
，
，
，
在双曲线上，所以
，
，
而
，
得
，解得
或
．
