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2023届高考数学三轮冲刺卷：平面向量的分解
一、选择题（共20小题；）
1. 已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上（不包括端点 A，C），则 ⃗AP= ()
( √2)
A. λ(⃗AB+⃗AD)，λ∈(0,1) B. λ(⃗AB+⃗BC)，λ∈ 0,
2
( √2)
C. λ(⃗AB−⃗AD)，λ∈(0,1) D. λ(⃗AB−⃗BC)，λ∈ 0,
2
2. 如图，在 △ABC 中，AD，BE，CF 分别是边 BC，CA，AB 上的中线，它们交于点 G，
则下列各等式中不正确的是 ()
2
A. ⃗BG= ⃗BE B. ⃗AB+⃗AC=3⃗AG
3
1
C. ⃗DG= ⃗AG D. ⃗GA+⃗GB+⃗GC=0⃗
2
1
3. 已知矩形 ABCD 中，AE= AB，若 ⃗AD=⃗a，⃗AB=⃗b，则 ⃗CE= ()
3
2 2 2 2
A. −⃗a+ ⃗b B. −⃗a− ⃗b C. ⃗a+ ⃗b D. ⃗a− ⃗b
3 3 3 3
4. 如图，在 △ABC 中，已知 ⃗BD=2⃗DC，则 ⃗AD= ()
1 3 1 3 1 2 1 2
A. − ⃗AB+ ⃗AC B. ⃗AB+ ⃗AC C. ⃗AB+ ⃗AC D. ⃗AB− ⃗AC
2 2 2 2 3 3 3 35. 已知 △ABC 和点 M 满足 ⃗MA+⃗MB+⃗MC=0⃗．若存在实数 m 使得 ⃗AB+⃗AC=m⃗AM 成
立，则 m= ()
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 在 △ABC 中，⃗BD=⃗DC，⃗AP=2⃗PD，⃗BP=λ⃗AB+μ⃗AC，则 λ+μ 等于 ()
1 1 1 1
A. − B. C. − D.
3 3 2 2
7. 已知关于 x 的方程 ⃗ax2+⃗bx+⃗c=0⃗，其中 ⃗a，⃗b，⃗c 都是非零向量，且 ⃗a，⃗b 不共线，则该方
程的解的情况是 ()
A. 至少有一个解 B. 至多有一个解
C. 至多有两个解 D. 可能有无数个解
8. 如图，原点 O 是 △ABC 内一点，顶点 A 在 x 轴上，∠AOB=150∘，∠BOC=90∘，
μ
∣⃗OA∣=2，∣⃗OB∣=1，∣⃗OC∣=3，若 ⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB，则 等于 ()
λ
√3 √3
A. − B. C. −√3 D. √3
3 3
1
9. 在 △ABC 中，点 G 满足 ⃗GA+⃗GB+⃗GC=0⃗．若存在点 O，使得 ⃗OG= ⃗BC，且
6
⃗OA=m⃗OB+n⃗OC，则 m−n 等于 ()
A. 2 B. −2 C. 1 D. −1
1 2
10. 如图，在 △ABC 中，⃗AN= ⃗AC，P 是 BN 上的一点，若 ⃗AP=m⃗AB+ ⃗AC，则实数
3 11
m 的值为 ()
9 5 3 2
A. B. C. D.
11 11 11 1111. 如图所示，在 △ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交 AB，AC 所在直
线于不同的两点 M，N，若 ⃗AB=m⃗AM，⃗AC=n⃗AN，则 m+n 的值为 ()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
π
12. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC= ，AC=2AB，∠BAC 的平分线交 △ABC 的外接
2
圆于点 D，设 ⃗AB=⃗a，⃗AC=⃗b，则向量 ⃗AD 等于 ()
1 1 2
A. ⃗a+⃗b B. ⃗a+⃗b C. ⃗a+ ⃗b D. ⃗a+ ⃗b
2 2 3
13. 如图所示，在 △ABC 中，BC=30，点 D 在 BC 边上，点 E 在线段 AD 上，若
1 1
⃗CE= ⃗CA+ ⃗CB，则 BD 等于 ()
6 2
A. 10 B. 12 C. 15 D. 18
14. 设 A，B，C 是平面内共线的三个不同的点，点 O 是 A，B，C 所在直线外任意一点，且满
足 ⃗OC=x⃗OA+ y⃗OB，若点 C 在线段 AB 的延长线上，则 ()
A. x<0，y>1 B. y<0，x>1 C. 00，μ>0），则 + 的最小值为 ()
λ μ
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
18. 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，设向量 ⃗OA=⃗a,⃗OB=⃗b, 其中 ⃗a=(3,1),⃗b=(1,3) ．若
⃗OC=λ⃗a+μ⃗b, 且 0≤λ≤μ≤1 ， C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是 ()
A. B.
C. D.
19. 已知 ∣⃗OA∣=1，∣⃗OB∣=√3，⃗OA⋅⃗OB=0，点 C 在 ∠AOB 内，且 ∠AOC=30∘，
m
设 ⃗OC=m⃗OA+n⃗OB(m,n∈R)，则 等于 ()
n
1 √3
A. B. 3 C. D. √3
3 3
1 1
20. 设 a>b>c>0，则 2a2+ + −10ac+25c2 的最小值是 ()
ab a(a−b)
A. 2 B. 4 C. 2√5 D. 5
二、填空题（共5小题；）
21. 若向量 ⃗a=(1,−2) 的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是 ．22. 如图，已知 △ABC 的面积为 14cm2，D，E 分别为边 AB，BC 上的点，且
AD:DB=BE:EC=2:1，CD 与 AE 交于点 P，连接 BP，则 △APC 的面积为
．
23. 已知 ∣⃗OA∣=1，∣⃗OB∣=√3，⃗OA⋅⃗OB=0，点 C 在 AB 上，且 ∠AOC=30∘．设
⃗OC=m⃗OA+n⃗OB，则 m+n= ．
24. 已知 △ABC，点 P 是平面上任意一点，且 ⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC(λ,μ∈R)，给出以下命题：
1 1
①若 λ= ，μ= ，则 P 为 △ABC 的内心；
∣⃗AB∣ ∣⃗AC∣
②若 λ=μ=1，则直线 AP 经过 △ABC 的重心；
③若 λ+μ=1，且 μ>0，则点 P 在线段 BC 上；
④若 λ+μ>1，则点 P 在 △ABC 外；
⑤若 0<λ+μ<1，则点 P 在 △ABC 内．
其中真命题为 ．
25. 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若 ⃗AD=x⃗AB+ y⃗AC，则 x=
，y= ．
三、解答题（共5小题；）
26. 如图，AD，BE，CF 是 △ABC 的三条中线，⃗CA=⃗a，⃗CB=⃗b．用 ⃗a，⃗b 表示 ⃗AB，⃗AD，
⃗BE，⃗CF．
27. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，⃗AC=⃗a，⃗BD=⃗b，试用 ⃗a，⃗b 表示 ⃗AB，⃗BC．1
28. 在 △ABC 内有一点 O，满足 ⃗OA+⃗OB+⃗OC=0⃗，E 为 BC 边的中点，⃗AD= ⃗AB，设
4
⃗AB=⃗a，⃗AC=⃗b，以 ⃗a，⃗b 为基底，试求下列向量表达式：
（1）⃗OE；
（2）⃗DE．
29. 如图，已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB=2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设
⃗AD=⃗a，⃗AB=⃗b．
（1）试用 {a,b} 为基底表示 ⃗DC，⃗EF，⃗FC．
（2）若取 BC 的中点 G，则 ⃗AG= ．
（3）若 EF 的中点为 H，试表示出 ⃗BH．
1
30. 如图，在 △ABC 中，⃗AQ=⃗QC，⃗AR= ⃗AB，BQ 与 CR 相交于点 I，AI 的延长线与边
3
BC 交于点 P．
（1）用 ⃗AB 和 ⃗AC 分别表示 ⃗BQ 和 ⃗CR；
（2）如果 ⃗AI=⃗AB+λ⃗BQ=⃗AC+μ⃗CR，求实数 λ 和 μ 的值；
（3）确定点 P 在边 BC 上的位置．答案
1. A 【解析】根据平行四边形法则，⃗AP=λ⃗AC=λ(⃗AD+⃗AB)，λ∈(0,1) ．
2. C 【解析】因为 AD，BE，CF 分别是边 BC，CA，AB 上的中线，它们交于点 G，
所以点 G 是 △ABC 的重心．
2 2
选项A：因为点 G 是 △ABC 的重心，所以 BG= BE，因此 ⃗BG= ⃗BE，所以本选项正确；
3 3
选项B：因为 AD 是边 BC 上的中线，所以 ⃗AB+⃗AC=2⃗AD，又因为点 G 是 △ABC 的重心，
2 3
所以有 ⃗AG= ⃗AD⇒⃗AD= ⃗AG，因此 ⃗AB+⃗AC=3⃗AG，所以本选项正确；
3 2
1 1
选项C：因为点 G 是 △ABC 的重心，所以 AG=2DG，因此 ⃗DG= ⃗GA=− ⃗AG，所以本选
2 2
项不正确；
选项D：因为 AD 是边 BC 上的中线，点 G 是 △ABC 的重心，所以有
⃗GA+⃗GB=2⃗GF=⃗CG⇒⃗GA+⃗GB+⃗GC=0⃗，因此本选项正确．
故选：C．
1
3. B 【解析】因为 AE= AB，⃗AD=⃗a，⃗AB=⃗b，
3
2 2 2
所以 ⃗CE=⃗CB+⃗BE=⃗DA+ ⃗BA=−⃗AD− ⃗AB=−⃗a− ⃗b．
3 3 3
4. C 【解析】
⃗AD =⃗AB+⃗BD
2
¿ =⃗AB+ (⃗AC−⃗AB)
3
¿ ¿
5. B
【解析】由 ⃗MA+⃗MB+⃗MC=0⃗ 知，点 M 为 △ABC 的重心，设 D 为边 BC 的中点，则
2 2 1 1
⃗AM= ⃗AD= × (⃗AB+⃗AC)= (⃗AB+⃗AC)，所以有 ⃗AB+⃗AC=3⃗AM，故 m=3．
3 3 2 3
6. A 【解析】因为 ⃗BD=⃗DC，⃗AP=2⃗PD，
1 1 3
所以 ⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC= ⃗AP，
2 2 2
1 1
所以 ⃗AP= ⃗AB+ ⃗AC，
3 3
2 1
所以 ⃗BP=⃗AP−⃗AB=− ⃗AB+ ⃗AC，
3 3
因为 ⃗BP=λ⃗AB+μ⃗AC，
2 1
所以 λ=− ，μ= ，
3 31
所以 λ+μ=− ．
3
7. B 【解析】由平面向量基本定理可得，⃗c=λ⃗a+μ⃗b(λ,μ∈R)，
则方程 ⃗ax2+⃗bx+⃗c=0⃗ 可变为 ⃗ax2+⃗bx+λ⃗a+μ⃗b=0⃗，
即 (λ+x2)⃗a+(μ+x)⃗b=0⃗，
{λ+x2=0,
因为 ⃗a，⃗b 不共线，所以
μ+x=0,
可知方程组可能无解，也可能有一个解．
所以方程 ⃗ax2+⃗bx+⃗c=0⃗ 至多有一个解．
( √3 1) ( 3 3√3)
8. D 【解析】由题意知 A(2,0)，B − , ，C − ,− ，
2 2 2 2
因为 ⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB，由向量相等的坐标表示可得，
{ 2λ− √3 μ=− 3 ,
2 2 { λ=−3, μ
得 即 =√3．
1 3√3 μ=−3√3, λ
μ=− ,
2 2
9. D 【解析】因为 ⃗GA+⃗GB+⃗GC=0⃗，
所以 ⃗OA−⃗OG+⃗OB−⃗OG+⃗OC−⃗OG=0⃗，
1 1 1
所以 ⃗OG= (⃗OA+⃗OB+⃗OC)= ⃗BC= (⃗OC−⃗OB)，
3 6 6
1 3
可得 ⃗OA=− ⃗OC− ⃗OB，
2 2
3 1
所以 m=− ，n=− ，m−n=−1．
2 2
10. B
【解析】注意到 N，P，B 三点共线，
2 6 6
因此 ⃗AP=m⃗AB+ ⃗AC=m⃗AB+ ⃗AN，从而 m+ =1，
11 11 11
5
所以 m= ．
11
11. B 【解析】方法一：连接 AO，
1 m n
则 ⃗AO= (⃗AB+⃗AC)= ⃗AM+ ⃗AN，
2 2 2因为 M，O，N 三点共线，
m n
所以 + =1，
2 2
所以 m+n=2．
方法二：连接 AO（图略）．
1
由于 O 为 BC 的中点，故 ⃗AO= (⃗AB+⃗AC)，
2
⃗MO=⃗AO−⃗AM=
1
(⃗AB+⃗AC)−
1
⃗AB=
(1
−
1)⃗AB+ 1
⃗AC，
2 m 2 m 2
同理，⃗NO=
1
⃗AB+
(1
−
1)⃗AC．
2 2 n
由于向量 ⃗MO，⃗NO 共线，故存在实数 λ 使得 ⃗MO=λ⃗NO，
即
(1
−
1)⃗AB+ 1
⃗AC=λ
[1
⃗AB+
(1
−
1)⃗AC ]
．
2 m 2 2 2 n
由于 ⃗AB，⃗AC 不共线，
1 1 1 1 (1 1)
故得 − = λ 且 =λ − ，
2 m 2 2 2 n
消掉 λ，得 (m−2)(n−2)=mn，
化简即得 m+n=2．
π
12. C 【解析】设圆的半径为 r，在 Rt△ABC 中，∠ABC= ，AC=2AB，
2
π π
所以 ∠BAC= ，∠ACB= ，∠BAC 的平分线交 △ABC 的外接圆于点 D，
3 6
π
所以 ∠ACB=∠BAD=∠CAD= ，则根据圆的性质得 BD=CD=AB，
6
1
又因为在 Rt△ABC 中，AB= AC=r=OD，所以四边形 ABDO 为菱形，
2
1
所以 ⃗AD=⃗AB+⃗AO=⃗a+ ⃗b．
2
13. B
14. A
15. D
1 1 1 1 1 1 1
16. A
【解析】由题意得，⃗DE= ⃗DA+ ⃗DC= (⃗DC+⃗CA)+ ⃗DC=⃗DC− ⃗AC= ⃗AB− ⃗AC．
2 2 2 2 2 2 2
17. A 【解析】由题意可知：⃗AP=λ⃗AB+4μ⃗AD，
其中 B，P，D 三点共线，
由三点必要条件可得：λ+4μ=1，则：
4 1 (4 1) 16μ λ √16μ λ
+ = + ×(λ+4μ)=8+ + ≥8+2 × =16，
λ μ λ μ λ μ λ μ1 1 4 1
当且仅当 λ= ，μ= 时等号成立，即 + 的最小值为 16．
2 8 λ μ
故选A．
18. A
19. B
20. B
【解析】因为 a>b>c>0，所以
1 1
原式 =a2+ + −10ac+25c2+a2
ab a(a−b)
¿ = [ a(a−b)+ 1 ] + ( ab+ 1 ) +(a−5c) 2
a(a−b) ab
¿ =4,
当且仅当 a(a−b)=1，ab=1，a−5c=0 时取等号，
√2 √2
即当 a=√2，b= ，c= 时，所求代数式的最小值为 4．
2 5
21. (−1,2)
22. 4
【解析】设 ⃗AB=⃗a，⃗BC=⃗b 为一组基底，
2 1
则 ⃗AE=⃗a+ ⃗b，⃗DC= ⃗a+⃗b．
3 3
因为点 A，P，E 与 D，P，C 分别共线，
2 1
所以存在 λ 和 μ，使 ⃗AP=λ⃗AE=λ⃗a+ λ⃗b，⃗DP=μ⃗DC= μ⃗a+μ⃗b．
3 3
又因为 ⃗AP=⃗AD+⃗DP= (2 + 1 μ ) ⃗a+μ⃗b，
3 3
2 1
{λ= + μ,
3 3
所以
2
λ=μ.
3
6
{λ= ,
7
解得
4
μ= .
7
4 4
所以 S = S =14× =8(cm2)．
△PAB 7 △ABC 7
所以 S =14× ( 1− 6) =2(cm2)．
△PBC 7
故 S =14−8−2=4(cm2)．
△APC23. 1
【解析】提示：
因为 ∣⃗OA∣=1，∣⃗OB∣=√3，⃗OA⊥⃗OB，
所以 ∠A=60∘．又 ∠AOC=30∘．
所以 ⃗OC⊥⃗AB，
1
所以 ∣⃗AC∣= ，又 ∣⃗AB∣=2，
2
1
所以 ⃗AC= ⃗AB，
4
1 3 1
所以 ⃗OC=⃗OA+⃗AC=⃗OA+ (⃗OB−⃗OA)= ⃗OA+ ⃗OB．
4 4 4
24. ②④
1 1
【解析】①
⃗AP= ⃗AB+ ⃗AC，
∣⃗AB∣ ∣⃗AC∣
1 1
其中 ∣ ⃗AB∣=1，∣ ⃗AC∣=1，
∣⃗AB∣ ∣⃗AC∣
如图①所示，
1 1
令
⃗ABʹ= ⃗AB， ⃗ACʹ= ⃗AC，
∣⃗AB∣ ∣⃗AC∣
其中 ∣⃗ABʹ∣=∣⃗ACʹ∣=1，
则四边形 ABʹPCʹ 为菱形，
则 AP 是 ∠BAC 的角平分线，
但 P 不一定为 △ABC 的内心（内心应为三个角角平分线的交点），
因此①不正确；
②若 λ=μ=1，
则如图②所示，四边形 ABPC 为平行四边形，则 BD=DC，
即 AD 为边 BC 中线，
因此直线 AP 经过 △ABC 的重心（重心为三个中线交点），
因此②正确；
③若 λ=2，μ=−1，
则满足条件 λ+μ=1，λ>0，
如图③所示，此时点 P 没有在线段 BC 上，
因此③是假命题；
④若 λ 与 μ 中有一个小于 0，
则 P 一定在 △ABC 外，
若 λ>0，μ>0 且 λ+μ=1，
所以 ⃗AP=λ⃗AB+(1−λ)⃗AC，
根据三点在同一条直线上的判定原理可得 P 位于线段 BC 上，
因此若 λ+μ>1，
则 P 位于 △ABC 处，
因此④是真命题；
3
⑤若 λ=−1，μ= ，
2
则 P 在 △ABC 处，⑤为假命题；
综上：②④是真命题．
√3 √3
25. 1+ ，
2 2
【解析】设斜边长为 2．由已知，得 ⃗AB+⃗BD=x⃗AB+ y⃗AC，
即 ⃗BD=(x−1)⃗AB+ y⃗AC⋯⋯①，
√2
在 ① 的两端点乘 ⃗AC，化简得 √2⋅√3⋅ = y⋅(√2) 2 ⋯⋯②，
2
( √2) √2
在 ① 的两端点乘 ⃗BC，化简得 0=(x−1)√2⋅2⋅ − + y⋅√2⋅2⋅ ⋯⋯③，
2 2
√3 √3
联立 ②③，解得 x=1+ ,y= ．
2 2
1 1 1 1
26. ⃗AB=⃗b−⃗a，⃗AD= ⃗b−⃗a，⃗BE= ⃗a−⃗b，⃗CF= ⃗a+ ⃗b．
2 2 2 2
1 1 1 1
27. ⃗AB= ⃗a− ⃗b，⃗BC= ⃗a+ ⃗b．
2 2 2 2
28. （1） 因为 E 为 BC 边的中点，
由平行四边形法则，⃗OB+⃗OC=⃗OF=2⃗OE，
由已知：⃗OA+⃗OB+⃗OC=0⃗ 得：⃗OB+⃗OC=−⃗OA=⃗AO，
所以 ⃗AO=2⃗OE，故 O 为 AE 的三等分点，
所以 ⃗OE= 1 ⃗AE= 1(1 (⃗AB+⃗AC) ) = 1 ⃗a+ 1 ⃗b；
3 3 2 6 6
⃗DE =⃗AE−⃗AD
1 1
（2） ¿ = (⃗a+⃗b)− ⃗a
2 4
¿ ¿
29. （1） 因为 DC∥AB，AB=2DC，E，F 分别是 DC，AB 的中点，
所以 ⃗FC=⃗AD=⃗a，
1 1
⃗DC=⃗AF= ⃗AB= ⃗b，
2 2⃗EF= ⃗ED+⃗DA+⃗AF
1 1
= − ⃗DC−⃗AD+ ⃗AB
2 2
1 1 1
= − × ⃗b−⃗a+ ⃗b
2 2 2
1
= ⃗b−⃗a.
4
1 3
（2） ⃗a+ ⃗b
2 4
1 1
【解析】⃗BC=⃗BA+⃗AD+⃗DC=−⃗b+⃗a+ ⃗b=⃗a− ⃗b，
2 2
1 1 1 1 3
所以 ⃗AG=⃗AB+⃗BG=⃗AB+ ⃗BC=⃗b+ ⃗a− ⃗b= ⃗a+ ⃗b．
2 2 4 2 4
1 1 1 1
（3） ⃗BH=⃗FH−⃗FB= ⃗FE− ⃗AB=− ⃗EF− ⃗AB，
2 2 2 2
1
因为 ⃗EF= ⃗b−⃗a，
4
1 1 1 1 5
所以 ⃗BH=− ⃗b+ ⃗a− ⃗b= ⃗a− ⃗b．
8 2 2 2 8
1 1
30. （1） 由 ⃗AQ= ⃗AC，可得 ⃗BQ=⃗BA+⃗AQ=−⃗AB+ ⃗AC；
2 2
1 1
又 ⃗AR= ⃗AB，所以 ⃗CR=⃗CA+⃗AR=−⃗AC+ ⃗AB．
3 3
1 1
（2） 将 ⃗BQ=−⃗AB+ ⃗AC，⃗CR=−⃗AC+ ⃗AB 代入 ⃗AI=⃗AB+λ⃗BQ=⃗AC+μ⃗CR，
2 3
则有
⃗AB+λ ( −⃗AB+ 1 ⃗AC ) =⃗AC+μ ( −⃗AC+ 1 ⃗AB ) ,
2 3
即
1 1
(1−λ)⃗AB+ λ⃗AC= μ⃗AB+(1−μ)⃗AC.
2 3
所以
1
{1−λ= μ,
3
1
λ=1−μ,
2
解得
4
{λ= ,
5
3
μ= .
5（3） 设 ⃗BP=m⃗BC，⃗AP=n⃗AI．
1 2
由（2）知 ⃗AI= ⃗AB+ ⃗AC，所以
5 5
⃗BP =⃗AP−⃗AB=n⃗AI−⃗AB
¿ = 2n ⃗AC+ (n −1 )⃗AB
5 5
¿ ¿
所以
n
{−m= −1,
5
2n
m= ,
5
解得
2
{m= ,
3
5
n= .
3
2 BP
所以 ⃗BP= ⃗BC，即 =2．
3 PC
