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第19 讲 利用平面向量解决平行四边形问题
一．解答题（共16 小题）
1．在平面直角坐标系
中，已知椭圆
经过
，且离心率
，
（1）求椭圆方程．
（2）经过点
且斜率
的直线与椭圆
有两个不同的交点
和
．
①求
的取值范围．
②设椭圆与
轴正半轴、
轴正半轴的交点分别为
、
，是否存在常数
，使向量
与
共线？如果存在，求
值；如果不存在，请说明理由．
2．已知椭圆
的右焦点
，点
，
为椭圆的半焦距）在
轴上
若椭圆的离心率
，且
．
（1）求椭圆方程；
（2）若过
的直线交椭圆与
，
两点，且
与向量
共线（其中
为
坐标原点），求证：
．
3．在平面直角坐标系
中，经过点
且斜率为
的直线与椭圆
有两个
不同的交点
、
，
（Ⅰ）若
；求直线的斜率
的值；
（Ⅱ）设椭圆与
轴正半轴、
轴正半轴的交点分别为
、
，是否存在常数
，使得向
量
与
共线，如果存在，求出
的值；如果不存在，请说明理由．
4．如图，设抛物线方程为
，
为直线
上任意一点，
不在
轴
上，过
引抛物线的切线，切点分别为
，
．
（Ⅰ）设线段
的中点为
；
（ⅰ）求证：
平行于
轴；
（ⅱ）已知当
点的坐标为
时，
，求此时抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点
，使得点
关于直线
的对称点
在抛物线
上，其
中，点
满足
为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点
的坐标；
若不存在，请说明理由．
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5．已知点
，
的坐标分别是
，
，
，
，动点
满足直线
和
的斜率之积为
，记
的轨迹为曲线
．
（1）求曲线
的方程；
（2）直线
与曲线
相交于
，
两点，若曲线
上存在点
，使得四边形
为平行四边形（其中
为坐标原点），求
的取值范围．
6．如图所示，已知圆
与直线
相切．
（Ⅰ）求
的值．
（Ⅱ）直线
与圆
相交于
，
两点，若在圆
上存在一点
，使四边形
为平行四边形，求实数
的取值范围．
7．在
中，
，
的坐标分别是
，点
是
的重心，
轴上一点
满足
，且
．
（Ⅰ）求
的顶点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）直线
与轨迹
相交于
，
两点，若在轨迹
上存在点
，使四边形
为平行四边形（其中
为坐标原点），求
的取值范围．
8．已知椭圆
，直线不过原点
且不平行于坐标轴，与
有两个
交点
，
，线段
的中点为
．
（1）证明：直线
的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点
，
，延长线段
与
交于点
，四边形
能否为平行四边形？
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若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．
9 ．设
为椭圆
的右焦点，点
在椭圆
上，直线
与以原点为圆心、以椭圆
的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
的直线与椭圆相交于
，
两点，过点
且平行于
的直线与椭圆交于另
一点
．问是否存在直线，使得四边形
的对角线互相平分？若存在，求出的
方程；若不存在，说明理由．
10．已知椭圆
的左、右顶点分别为
，
，上、下顶点分别为
，
，四边形
的面积为
，坐标原点
到直线
的距离为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过椭圆
上一点
作两条直线分别与椭圆
相交于点
，
（异于点
，试判断以
和
为对角线的四边形是否为菱形？若是，求出直线
的方程；若不是，请说明理
由．
11．已知椭圆
左右两个焦点分别为
，
，
为椭圆
上一
点，过
且与
轴垂直的直线与椭圆
相交所得弦长为3．抛物线
的顶点是椭圆
的
中心，焦点与椭圆
的右焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆
和抛物线
的方程；
（Ⅱ）过抛物线
上一点
（异于原点
作抛物线切线交椭圆
于
，
两点，求
面积的最大值；
（Ⅲ）过椭圆
右焦点
的直线
与椭圆相交于
，
两点，过
且平行于
的直线交
椭圆于另一点
，问是否存在直线
，使得四边形
的对角线互相平分？若存在，求
出
的方程；若不存在，说明理由．
12．设
，
分别为椭圆
的左、右焦点，点
在椭圆
上，且
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点
和
关于点
对称．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过右焦点
的直线与椭圆相交于
，
两点，过点
且平行于
的直线与椭圆交
于另一点
，问是否存在直线，使得四边形
的对角线互相平分？若存在，求出的
方程；若不存在，说明理由．
13．设
，
分别为椭圆
的左，右焦点，点
在椭圆
上，且
点
和
关于点
对称．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）过右焦点
的直线与椭圆相交于
，
两点，过点
且平行于
的直线与椭圆
交于另一点
，问是否存在直线，使得四边形
的对角线互相平分？若存在，求出
的方程；若不存在，说明理由．
14．在平面直角坐标系
中，椭圆
的左、右焦点分别为
，
，已知点
和
都在椭圆
上，其中为椭圆
的离心率．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设直线
与椭圆
相交于
，
两点，若在椭圆
上存在点
，使四边
形
为平行四边形，求
的取值范围．
15．已知椭圆
的右焦点为
，上顶点为
，短轴长为2，
为原点，
直线
与椭圆
的另一个交点为
，且
的面积是
的面积的3 倍．
（1）求椭圆
的方程；
（2）如图，直线
与椭圆
相交于
，
两点，若在椭圆
上存在点
，使
为平行四边形，求
的取值范围．
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16．椭圆
左、右焦点分别为
，
，过点
的直线交椭
圆于
，
两点．当直线
轴时，
．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆
上存在点
，使得四边形
是平行四边形，求此时直线
的斜率．
