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第4 讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆
锥曲线问题
一．选择题（共10 小题）
1．已知椭圆
的左焦点为
，点
在椭圆上且在
轴的上方．若线段
的中点
在以原点
为圆心，
为半径的圆上，则直线
的斜率是
A．
B．
C．
D．2
2．如图，从双曲线
的左焦点
引圆
的切线，切点
为
，延长
交双曲线右支于
点，若
为线段
的中点，
为坐标原点，则
与
的大小关系为
A．
B．
C．
D．以上三种可能都有
3．从双曲线
的左焦点
引圆
的切线，切点为
，延长
交双曲线右支于
点，若
为线段
的中点，
为坐标原点，则
等
于
A．
B．
C．
D．
4．设
，
是双曲线
的两个焦点，点
在双曲线上，已知
是
和
的等差中项，且
，则该双曲线的离心率为
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A．1
B．
C．
D．
5．已知点
是椭圆
上的动点，
、
为椭圆的左、
右焦点，
为坐标原点，若
是
的角平分线上的一点，且
，则
的
取值范围是
A．
B．
C．
D．
6．设
，
是双曲线
的左右焦点，点
是
右支上
异于顶点的任意一点，
是
的角平分线，过点
作
的垂线，垂足为
，
为
坐标原点，则
的长为
A．定值
B．定值
C．定值
D．不确定，随
点位置变化而变化
7．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射
光线经过椭圆的另一个焦点．直线
与椭圆
相切于点
，椭圆
的焦点为
，
，由光学性质知直线
，
与的夹角相等，则
的角平分线
所在的直线的方程为
A．
B．
C．
D．
8．根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光
线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该
点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知
，
分别是双曲线
的左、
右焦点，若从点
发出的光线经双曲线右支上的点
，
反射后，反射光线为射线
，则
的角平分线所在的直线的斜率为
A．
B．
C．
D．
9．设直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于点
，
，若点
满足
，则该双曲线的离心率是
A．
B．
C．
D．
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10．椭圆
的右焦点为
关于直线
的对称点
在椭圆上，
则椭圆的离心率是
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共1 小题）
11．已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，
的一条渐近线
的方程为
，且
到的距离为
，点
为
在第一象限上的点，点
的坐标为
，
为
的平分线，则下列正确的是
A．双曲线的方程为
B．
C．
D．点
到
轴的距离为
三．填空题（共7 小题）
12．已知椭圆
的左焦点为
，点
在椭圆上且在
轴的上方，若线段
的中
点在以原点
为圆心，
为半径的圆上，则
；
点的坐标为 ．
13．已知
是抛物线
的焦点，
、
是该抛物线上的两点，
，则线
段
的中点到
轴的距离为 ．
14．抛物线
的焦点为
，已知点
，
为抛物线上的两个动点，且满足
．过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最大
值为 ．
15．设抛物线
的焦点为
，已知
，
为抛物线上的两个动点，且满足
，过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最
大值为
．
16．抛物线
的焦点为
，已知点
，
为抛物线上的两个动点，且满足
，过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最
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大值为 ．
17．已知
、
分别为双曲线
的左、右焦点，点
，点
的坐标为
，
为
的平分线，则
．
18．如图，从椭圆的一个焦点
发出的光线射到椭圆上的点
，反射后光线经过椭圆的另
一个焦点
，事实上，点
，
处的切线
垂直于
的角平分线．已
知椭圆
的两个焦点是
，
，点
是椭圆上除长轴端点外的任意一点，
的角平分线
交椭圆
的长轴于点
，则的取值范围是 ．
四．解答题（共8 小题）
19．已知椭圆
的左右焦点分别为：
，
，
为椭圆
上除长轴端点外任意一点，△
周长为12．
（1）求椭圆
的方程；
（2）作
的角平分线，与
轴交于点
，求实数
的取值范围．
20．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲
面）的一部分．过对称轴的截口
是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点
上，片
门位于该椭圆的另一个焦点
上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面
反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点
处的切线与直线
、
的夹角相等．已
知
，垂足为
，
，
，以
所在直线为
轴，线段
的
垂直平分线为
轴，建立如图的平面直角坐标系．
（1）求截口
所在椭圆
的方程；
（2）点
为椭圆
上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．
①是否存在
，使得
到
和
到直线
的距离之比为定值，如果存在，求出的
值，
如果不存在，请说明理由；
②若
的角平分线
交
轴于点
，设直线
的斜率为
，直线
、
的斜率
分别为
，
，请问
是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
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21．在平面直角坐标系
中，已知椭圆
与直线
，
四点
，
，
，
，
，
中有三个点在椭圆
上，剩余一个点
在直线上．
求椭圆
的方程；
（Ⅱ）若动点
在直线上，过
作直线交椭圆
于
，
两点，使得
，再
过
作直线
．证明直线
恒过定点，并求出该定点的坐标．
22．已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，上顶点为
．
为抛
物线
的焦点，且
，
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）过定点
的直线与椭圆
交于
，
两点
在
，
之间），设直线的
斜率为
，在
轴上是否存在点
，使得以
，
为邻边的平行四边形为
菱形？若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，请说明理由．
23．在①离心率
，②椭圆
过点
，③△
面积的最大值为
，这三个条件
中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
设椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过
且斜率为
的直线交椭
圆于
、
两点，已知椭圆
的短轴长为
，_____．
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（1）求椭圆
的方程；
（2）若线段
的中垂线与
轴交于点
，求证：
为定值．
24．已知
，
，
是椭圆
上的三个点，
是坐标原点．
（Ⅰ）当点
是
的右顶点，且四边形
为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点
不是
的顶点时，判断四边形
是否可能为菱形，并说明理由．
25．已知过抛物线
的焦点，斜率为
的直线交抛物线于
，
和
，
两点，且
．（1）求抛物线
的方程；
（2）若抛物线
的准线为，焦点为
，点
为直线
上的动点，且点
的
横坐标为
，试讨论当
取不同的值时，圆心在抛物线
上，与直线相切，且过点
的圆
的个数．
26．设抛物线
的焦点为
，过
且斜率为
的直线与
交于
，
两点，
．
（1）求的方程；
（2）求过点
，
且与
的准线相切的圆的方程．
