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专题18.7 三角形的中位线（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】三角形的中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
特别提醒：
1. 三角形有三条中位线.
2. 不要把三角形的中位线与三角形的中线混淆，应从它们的定义加以区别.
【知识点二】三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
特别提醒：
三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长
的一半，每个小三角形的面积为原三角形面积的四分之一.
【考点目录】
【考点1】利用三角形中位线求值； 【考点2】利用三角形中位线证明；
【考点3】利用三角形的中位线求值与证明； 【考点4】三角形的中位线综合应用；
【考点1】利用三角形的中位线求值.
【例1】（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）如图，在 中， 是 边上的中线，点
在 边上，且 ， 交 于点 ，则求（1） 的值？
（2） 的值？
【答案】（1） 的值为1；；（2） ．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理．
（1）如图所示，取 中点G，连接 ，则 是 的中位线，即可证明 ，
，进而推出 ，再证明 ，即可求解；
（2）由 ，推出 ，再根据点G是 中点，据此求解即可．
（1）解：如图所示，取 中点G，连接 ，
∵ 是 边上的中线，即D是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ 的值为1；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵点G是 中点，
∴ ．
【变式1】（2023·广东肇庆·统考三模）如图， 中， ， 平分 ，交 于点 ，
，点 ， 分别是 和 的中点，则 的长为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．5
【答案】B
【分析】首先根据平行四边形的性质可得 ， ，再结合角平分线的定义和平行线的
性质证明 为等腰三角形，易得 ，进而可得 ，然后结合点 ， 分别是
和 的中点，易得 是 的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案．
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ， 分别是 和 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平
分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题关键．
【变式2】（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在平行四边形 中，， 、 分别为边 、 的中点，连接 、 、 ，当 平分 时， 的长为
．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形中位线定理．
由三角形的中位线定理可得 ， ，由角平分线的性质和平行线的性质可求
， ，即可求解．
解：如图，设 与 的交点为 ，
平分 ，
，
∵ ，
，
、 分别为边 、 的中点，
∴ ， ，
， ，
，
， ，
，
故答案为： ．【考点2】利用三角形的中位线证明；
【例2】（2024下·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图， 是 的中位线，
延长 至点 ，使 ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）若 ，试判断 的形状，并说明理由．
【答案】（1）见分析；（2） 为直角三角形，理由见分析
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得 ， ，求出 ，根据平行四边形的
判定可得结论；
（2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出 ，可得 ，
，然后利用三角形内角和定理求出 即可．
解：（1）证明： 是 的中位线，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 为直角三角形；
理由： 四边形 是平行四边形，
，
，
，是 的中位线，
．
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
为直角三角形．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，
熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式1】（2023·云南德宏·统考一模）如图，在钝角 中，点D，E分别是边 的中点，
且 ，那么下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明 是 的中位线， ，则 ， ， ，由
得到 ， ，则 ， ，得到 ，即可作出判断．
解：∵点D，E分别是边 的中点，
∴ 是 的中位线， ，
∴ ，
∴ ， ，
故B选项正确；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选项A和C都正确；
无法证明 ，故D选项符合题意，故选：D
【点拨】此题考查了三角形中位线定理、等边对等角等知识，熟练掌握三角形中位线定理、等边对等
角是解题的关键．
【变式2】（2023下·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校联考期中）如图，在 中， 是
上一点，若 、 分别是 、 的中点， 的面积为6，则 的面积为 ．
【答案】24
【分析】连接 ，先证明 ，再证明 ， 即可解决问题．
解：连接 ．
、 分别是 、 的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：24．
【点拨】本题考查三角形中位线定理，三角形中线的性质，解题的关键是灵活应用三角形中线的性质，
三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，属于中考常考题型．
【考点3】利用三角形的中位线求值或证明【例3】（2024上·上海静安·八年级上海田家炳中学校考期末）如图，直角 中， ，
，点D是 边的中点，点E是 边上的一个动点（不与A，B重合）， 交 于
点F，设 ， ．
（1）求证： ；
（2）写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）写出x为何值时， ？
【答案】（1）见详解；（2） ， ；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明 是关
键．
（1）取 的中点记为 ，取 的中点记为 ．根据三角形中位线的性质可得 ，根据余
角的性质可得 ，根据 可证 ，根据全等三角形的性质即可证明 ；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，从而得到y关于x的函数关系式，以及x的定义域；
（3）连接 ，根据三角形中位线的性质可得x为1时， ．
（1）解：取 的中点记为H，取 的中点记为N．连接
∵ ，点D是 边的中点，
∴ 都是三角形中位线
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
即
∵E是 边上的一个动点（不与A、B重合），
∴ ；
（3）解：连接 ，当E与H重合时， ，
∵此时 ，
∴当 时， ．
【变式1】（2019·安徽阜阳·校联考一模）如图，AB＝12，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为
边在A的同侧作等边△ACP和等边△CBQ，连接PQ，则PQ的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】分别延长AP、BQ交于点D，易证四边形CPDQ为平行四边形，得出PD+DQ＝PC+CQ＝
AC+BC＝12，作△ABD的中位线MN，则MD＝DN＝MN＝ AB，运用中位线的性质和等边三角形的性质求出MD＝DN＝MN＝ AB，进而求得MD+DN＝PD+DQ，得出PM＝QN，作PE⊥MN，QF⊥MN，则
PE∥QF，然后证得△PME≌△QNF，从而证得MN＝EF，根据平行线间的距离得出PQ≥EF，从而求得PQ的
最小值．
解：如图，分别延长AP、BQ交于点D，
∵∠A＝∠QCB＝60°，
∴AD∥CQ，
∵∠B＝CPCA＝60°，
∴BD∥PC，
∴四边形CPDQ为平行四边形，
∴PD＝CQ，PC＝DQ，
∴PD+DQ＝PC+CQ＝AC+BC＝12，
作△ABD的中位线MN，则MD＝DN＝MN＝ AB，
∴MD+DN＝AB＝12，
∴MD+DN＝PD+DQ，
∴PM＝QN，
作PE⊥MN，QF⊥MN，
∴PE∥QF，
∴∠PEM＝∠QFN＝90°，且∠PME＝∠QNF＝60°，PM＝QN
∴△PME≌△QNF（AAS），
∴EM＝FN，
∴MN＝EF，
∴PQ≥EF，
∴C是线段AB的中点时，PQ的值最小，最小值为 AB＝6．
故选D．【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、三角形中位线定理及等边
三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，得到PQ≥EF，综合性较强．
【变式2】（2022上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图， 为等边三角形，边长为4，点
为 的中点， ，其两边分别交 和 的延长线于 ，则 ．
【答案】6
【分析】过点 作 ，设 与 交于点 ，证明 ，由全等三角形的性质可得
，结合 ，可知 ，即可获得答案．
解：∵ 是等边三角形，边长为4，
∴ ， ，
如图，过点 作 ，设 与 交于点 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
又∵点 为 的中点，且 ，
∴ 是 的中位线，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
．
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质、等边三角形的性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判
定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用、正确作出辅助线构建全等三角形是
解题关键．
【考点4】三角形的中位线的综合应用
【例4】（2023下·河南三门峡·八年级统考期末）（1）回归课本
请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________．
（2）回顾证法
证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的
添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．
已知：在 中，点 分别是 的中点．
求证：________________．
证明：过点 作 ，与 的延长线交于点 ．
（3）实践应用
如图3，点 和点 被池塘隔开，在 外选一点 ，连接 ，分别取 的中点 ，测得的长度为9米，则 两点间的距离为________________．
【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2） ，
；详见分析；（3）18米
【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可；
（2）过点 作 ，与 的延长线交于点 ，证明 ，再证四边形 是平
行四边形，即可证明结论；
（3）直接利用三角形中位线定理求解即可．
解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
（2）求证： ， ．
证明：∵点 分别是 的中点，
∴ ， ，
过点 作 ，与 的延长线交于点 ．
∴ ，
在 和 中，
．
， ．
， ．
四边形 是平行四边形，
， ，又 ，
， ．
故答案为： ， ；
（3）∵点 分别是 的中点， 米，
∴ ，即： 米
故答案为：18米．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添
加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
【变式1】（2023下·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）如图， 的周长是2，以它的
三边中点为顶点组成第1个三角形 ，再以 的三边中点为顶点，组成第2个三角形 ，
…，则第 个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，即可得到答案．
解： 的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形 ，
， ， ，
的周长为 ，
的周长为 ，…
以此类推，第 个三角形的周长为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了找规律-图形的变化类，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三
边的一半是解题的关键．
【变式2】（2022下·河北唐山·八年级统考期中）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，
在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是 ．
【答案】20m
【分析】根据三角形的中位线定理即可进行解答．
解：∵C、D分别为AO、BO中点，
∴CD= AB，
∵CD＝10m，
∴AB=20m，
故答案为：20m．
【点拨】本题主要考查了三角形的中位线定理，熟练掌握“三角形的中位线平行于第三边并且等于第
三边的一半” 是解题的关键．
